高中數(shù)學(xué)選修二（人教A版2019）課后習(xí)題答案解析

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)4.1數(shù)列的概念第四章數(shù)列4．1數(shù)列的概念例1根據(jù)下列數(shù)列an（1）an（2）an解：（1）當(dāng)通項(xiàng)公式中的n=1，2，3，4，5時(shí)，數(shù)列an圖象如圖4.1-2（1）所示．（1）（2）圖4.1-2（2）當(dāng)通項(xiàng)公式中的n=1，2，3，4，5時(shí)，數(shù)列an圖象如圖4.1-2（2）所示．例2根據(jù)下列數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）1，?12，13（2）2，0，2，0，…．解：（1）這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的倒數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an（2）這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)是2，偶數(shù)項(xiàng)是0，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an練習(xí)1．寫出下列數(shù)列的前10項(xiàng)，并作出它們的圖象：(1)所有正偶數(shù)的平方按從小到大的順序排列成的數(shù)列；(2)所有正整數(shù)的倒數(shù)按從大到小的順序排列成的數(shù)列；(3)當(dāng)自變量x依次取1，2，3，…時(shí)，函數(shù)fx(4)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解(4)見詳解【分析】（1）根據(jù)題意，直接寫出前10項(xiàng)后，作圖即可；（2）根據(jù)題意，直接寫出前10項(xiàng)后，作圖即可；（3）根據(jù)題意，直接寫出前10項(xiàng)后，作圖即可；（4）根據(jù)題意，直接寫出前10項(xiàng)后，作圖即可；(1)根據(jù)題意，可知數(shù)列的前10項(xiàng)為：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400.圖象如下：.(2)根據(jù)題意，可知數(shù)列的前10項(xiàng)為：1，12，13，14，15，16，17，.(3)根據(jù)題意，可知數(shù)列的前10項(xiàng)為：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.圖象如下：.(4)根據(jù)題意，可知數(shù)列的前10項(xiàng)為：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.圖象如下：.2．根據(jù)數(shù)列ann12…5………na……153…273…3(3+4n)【答案】答案見解析【分析】根據(jù)an【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，an當(dāng)n=2時(shí)，an當(dāng)n=5時(shí)，an當(dāng)an=153時(shí)，3(3+4n)=當(dāng)an=273時(shí)，3(3+4n)=273所以列表如下：n12…5…12…22…nan2133…69…153…273…3(3+4n)3．除數(shù)函數(shù)(divisorfunction)y=dn(n∈N?)的函數(shù)值等于n的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，例如d1=1，d4=3.寫出數(shù)列【答案】1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.【分析】根據(jù)定義直接寫出即可.【詳解】由題意可得d1因?yàn)?=1×2，所以d2因?yàn)?=1×3，所以d3因?yàn)?=1×4=2×2，所以d4因?yàn)?=1×5，所以d5因?yàn)?=1×6=2×3，所以d6因?yàn)?=1×7，所以d7因?yàn)?=1×8=2×4，所以d8因?yàn)?=1×9=3×3，所以d9因?yàn)?0=1×10=2×5，所以d10所以前10項(xiàng)分別為1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.故答案為：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4.4．根據(jù)下列數(shù)列的前5項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）1，13，15，17（2）1，22，12，24【答案】（1）an=1【分析】（1）找到規(guī)律后寫出通項(xiàng)公式即可；（2）找到規(guī)律后寫出通項(xiàng)公式即可.【詳解】（1）12×1?1=1，12×2?1=13，所以an（2）由題意，2所以an例3如果數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a分析：要判斷120是不是數(shù)列an中的項(xiàng)，就是要回答是否存在正整數(shù)n，使得n解：令n2解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=?12（舍去），或n=10．所以，120是數(shù)列an例4圖4.1-3中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形．在圖中4個(gè)大三角形中，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．（1）（2）（3）（4）圖4.1-3在圖4.1-3（1）（2）（3）（4）中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次為1，3，9，27，即所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號(hào)減1．因此，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an例5已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=1解：由題意可知a1a2a3a4a5練習(xí)5．根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在橫線上和括號(hào)中分別填上第5項(xiàng)的圖形和點(diǎn)數(shù)．(1)(2)(3)【答案】(1)第5項(xiàng)圖形見解析，通項(xiàng)公式為an=5n?4，第5(2)第5項(xiàng)圖形見解析，通項(xiàng)公式為bn=3n?2，第5(3)第5項(xiàng)圖形見解析，通項(xiàng)公式為cn=nn+2，第【分析】（1）根據(jù)圖形中點(diǎn)數(shù)的規(guī)律可作出第5項(xiàng)的圖形，并根據(jù)各項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)可歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)圖形中點(diǎn)數(shù)的規(guī)律可作出第5項(xiàng)的圖形，并根據(jù)各項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)可歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）根據(jù)圖形中點(diǎn)數(shù)的規(guī)律可作出第5項(xiàng)的圖形，并根據(jù)各項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)可歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（1）解：設(shè)第n項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為an∵a1=1，a2=1+5，a3=1+2×5數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=1+5（2）解：設(shè)第n項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為bn∵b1=1，b2=1+3，b3=1+2×3數(shù)列bn的一個(gè)通項(xiàng)公式為bn=1+3（3）解：設(shè)第n項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為cn∵c1=1×3，c2=2×4，c3=3×5數(shù)列cn的一個(gè)通項(xiàng)公式為cn=n6．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列an（1）a1=1，（2）a1=3，【答案】（1）1，3，7，15，31；（2）3，3，3，3，3.【分析】根據(jù)遞推公式直接寫出即可.【詳解】（1）因?yàn)閍1=1，所以a2a3a4a5故數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，3，7，15，31.（2）因?yàn)閍1=3所以a2a3a4a5故數(shù)列的前5項(xiàng)分別為3，3，3，3，3.7．已知數(shù)列an滿足a1=2【答案】a1=2，a2=32，a3【分析】將n=2、3、4、5代入an【詳解】a1=2，a2=2?1a1猜想an8．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式為Sn=?2【答案】a【分析】本題可根據(jù)an【詳解】當(dāng)n≥2時(shí)，an當(dāng)n=1時(shí)，a1=S故an的通項(xiàng)公式為a習(xí)題4．19．寫出下列數(shù)列的前10項(xiàng)，并繪出它們的圖像：（1）素?cái)?shù)按從小到大的順序排列成的數(shù)列；（2）歐拉函數(shù)φn【答案】（1）2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，圖見解析；（2）1、1、2、2、4、2、6、4、6、4，圖見解析.【分析】（1）本題可依次列出素?cái)?shù)，然后繪圖即可；（2）本題可依次列出歐拉函數(shù)φn【詳解】（1）素?cái)?shù)從小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，繪出圖像如圖所示：（2）φ1=1，φ2=1，φ3φ6=2，φ7=6，φ8依次為1、1、2、2、4、2、6、4、6、4，繪出圖像如圖所示：10．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列an（1）an（2）an（3）a1=1（4）a1=?1【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析【分析】（1）利用通項(xiàng)公式分別取n＝1，2，3，4，5，即可得出．（2）利用通項(xiàng)公式分別取n＝1，2，3，4，5，即可得出．（3）分別取n＝2，3，4，5，即可得出．（4）分別取n＝2，3，4，5，即可得出．【詳解】（1）由an=1n2可得a1＝1a4=116，a5（2）由an＝（﹣1）n+1（n2+1）可得：a1＝2，a2＝﹣5，a3＝10，a4＝﹣17，a5＝26．（3）a1=12，an＝4an﹣1+1n＝2時(shí)，a2n＝3時(shí)，a3n＝4時(shí)，a4n＝5時(shí)，a5（4）a1=?14，an＝1?1an＝2時(shí)，a2＝1?1an＝3時(shí)，a3＝1?1n＝4時(shí)，a4＝1?1n＝5時(shí)，a5＝1?1a11．觀察下列數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）（

），4，9，（

），25，（

），49；（2）1，132，（

），172，19（3）1，2，（

），2，5，（

），7；（4）12，16，（

），120，1【答案】詳見解析【分析】本題可依次觀察每個(gè)數(shù)列中的數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)數(shù)之間的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】（1）中依次填寫1、16、36，通項(xiàng)公式為an（2）中依次填寫152、111（3）中依次填寫3、6，通項(xiàng)公式為an（4）中依次填寫112、142，通項(xiàng)公式為12．已知數(shù)列an的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由a（1）寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）利用數(shù)列an，通過(guò)公式bn=an+1【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b1=2，b2=32，b3=53，b4=8【分析】（1）根據(jù)題中給的遞推關(guān)系，依次寫出數(shù)列的前5項(xiàng)．（2）依據(jù)（1）中給的an的前5項(xiàng)，通過(guò)公式bn=an+1an求解出數(shù)列{bn【詳解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2，得a3＝a2+a1＝2+1＝3，a4＝a3+a2＝2+3＝5，a5＝a4+a3＝3+5＝8；（2）依題意有：b1=a2b2=ab3=ab4=ab5=a13．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù)，第三行的1，5，12，22稱為五邊形數(shù).請(qǐng)你分別寫出三角形數(shù)?正方形數(shù)和五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項(xiàng)和第6項(xiàng).【答案】三角形數(shù)：第五個(gè)數(shù)15，第六個(gè)數(shù)21.正方形數(shù)：第五個(gè)數(shù)25，第六個(gè)數(shù)36.五邊形數(shù)：第五個(gè)數(shù)35，第六個(gè)數(shù)51.【分析】找到規(guī)律后代入計(jì)算即可.【詳解】三角形數(shù)：第一個(gè)數(shù)1，第二個(gè)數(shù)1+2=3，第三個(gè)數(shù)1+2+3=6，第四個(gè)數(shù)1+2+3+4=10，第五個(gè)數(shù)1+2+3+4+5=15，第六個(gè)數(shù)1+2+3+4+5+6=21.正方形數(shù)：第一個(gè)數(shù)12=1，第二個(gè)數(shù)22=4，第三個(gè)數(shù)32=五邊形數(shù)：第一個(gè)數(shù)1(3×1?1)2=1，第二個(gè)數(shù)2(3×2?1)2=5，第三個(gè)數(shù)3(3×3?1)2=12，第四個(gè)數(shù)14．假設(shè)某銀行的活期存款年利率為0.35%某人存10萬(wàn)元后，既不加進(jìn)存款也不取款，每年到期利息連同本金自動(dòng)轉(zhuǎn)存，如果不考慮利息稅及利率的變化，用an表示第n年到期時(shí)的存款余額，求a1、a2、a【答案】a1=10.035，a2≈10.070，【分析】本題可根據(jù)活期存款年利率的計(jì)算方式得出結(jié)果.【詳解】a1=101+0.35%a3=101+0.35%15．已知函數(shù)f(x)=2x?12x（1）求證an（2）an【答案】（1）證明見解析；（2）遞增數(shù)列，證明見解析.【分析】（1）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)即可證得；（2）證得an+1【詳解】（1）由題意得an=2n?12n（2）an證明：因?yàn)閍n=2所以an+1?a4.2等差數(shù)列第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念例1（1）已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=5?2n（2）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng).分析：（1）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由an解：（1）當(dāng)n?2時(shí)，由an的通項(xiàng)公式aan?1于是d=a把n=1代入通項(xiàng)公式ana1所以，an的公差為?2（2）由已知條件，得d=5?8=?3.把a(bǔ)1=8，d=?3代入an把n=20代入上式，得a20所以，這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)是?49.例2?401是不是等差數(shù)列?5，?9，?13，……的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？分析：先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，它是一個(gè)關(guān)于n的方程，再看?401是否能使這個(gè)方程有正整數(shù)解.解：由a1=?5，an令?4n?1=?401，解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100.所以，?401是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第100項(xiàng).練習(xí)1．判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列．如果是，寫出它的公差．（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111；（3）1，－2，3，－4，5，－6；（4）1，1112，56，34，23，【答案】（1）是等差數(shù)列，公差為?13；（2）不是等差數(shù)列；（3）不是等差數(shù)列；（4）是等差數(shù)列，公差為?1【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義對(duì)（1）、（2）、（3）、（4）逐個(gè)分析即可求解.【詳解】解：（1）由82?95=69?82=56?69=43?56=30?43=?13，即該數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為同一個(gè)常數(shù)?13，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列為等差數(shù)列，公差為?13；（2）通過(guò)觀察可知，1.1?1=0.1，1.11?1.1=0.01，?該數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差不是同一個(gè)常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列不是等差數(shù)列；（3）通過(guò)觀察可知，?2?1=?3，3??2=5，（4）由1112?1=56?2．求下列各組數(shù)的等差中項(xiàng)：（1）647和895；

（2）?1213和【答案】（1）771；（2）9215【分析】由等差中項(xiàng)的定義直接求解即可.【詳解】（1）設(shè)647和895的等差中項(xiàng)為a，則a=647+8952=771（2）設(shè)?1213和2435的等差中項(xiàng)為b，則b=?12133．已知在等差數(shù)列an中，a4+a8【答案】a【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)知a4+a8=2【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則在等差數(shù)列ana4+∴d=∴4．在7和21中插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．【答案】10.5，14，17.5【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出插入的這3個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵在7和21之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，∴a1=7a∴aa3a4∴插入的這3個(gè)數(shù)為10.5，14，17.5．例3某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過(guò)程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值就會(huì)減少d（d為正常數(shù)）萬(wàn)元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的取值范圍.分析：這臺(tái)設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an.由題意可知，10年之內(nèi)（含10年），這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)不小于(220×5%=)11萬(wàn)元；而10年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)小于11萬(wàn)元.可以利用a解：設(shè)使用n年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為an萬(wàn)元，則可得數(shù)列aan由于d是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列an是一個(gè)公差為?d的等差數(shù)列.因?yàn)橘?gòu)進(jìn)設(shè)備的價(jià)值為220萬(wàn)元，所以aan根據(jù)題意，得a即220?10d?11,解這個(gè)不等式組，得19<d?20.9.所以，d的取值范圍為19<d?20.9.例4已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2，公差d=8，在a（1）求數(shù)列bn（2）b29是不是數(shù)列an的項(xiàng)？若是，它是分析：（1）an是一個(gè)確定的數(shù)列，只要把a(bǔ)1，a2表示為bn中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得出bn的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)an中的第n項(xiàng)是bn中的第c解：（1）設(shè)數(shù)列bn的公差為d由題意可知，b1=ab5因?yàn)閎5?b1=4所以bn所以，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是b（2）數(shù)列an的各項(xiàng)依次是數(shù)列bn的第1，5，9，13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列cn令4n?3=29，解得n=8.所以，b29是數(shù)列a例5已知數(shù)列an是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N?，且p+q=s+t分析：只要根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出ap，aq，as證明：設(shè)數(shù)列anapaqasat所以ap+a因?yàn)閜+q=s+t，所以ap練習(xí)5．某體育場(chǎng)一角看臺(tái)的座位是這樣排列的：第1排有15個(gè)座位，從第2排起每一排都比前一排多2個(gè)座位．你能用an表示第n【答案】an=2n+13【分析】可將每排座位數(shù)看成等差數(shù)列，列出通項(xiàng)公式.【詳解】由條件可知，每排的座位數(shù)，看成等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=15，則ana10綜上可知，an=2n+13，第10排的座位數(shù)6．畫出數(shù)列an【答案】圖象見解析，?3【分析】由遞推關(guān)系an=18,n=1【詳解】根據(jù)遞推關(guān)系an=18,n=1作出數(shù)列an通過(guò)圖象上所有點(diǎn)的直線的斜率a67．在等差數(shù)列an中，an=m，am=n【答案】2n【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解出a1、d，代入【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為則a所以a8．已知數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，公差分別為d1，d2，數(shù)列（1）數(shù)列cn（2）若an，bn的公差都等于2，a1【答案】（1）數(shù)列cn是等差數(shù)列，證明見解析；（2）c【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證得結(jié)論；（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）數(shù)列cn證明：因?yàn)閿?shù)列an，bn都是等差數(shù)列，公差分別為d1所以an又因?yàn)閏n故cn+1?c而c1=a1+2b1（2）由（1）知：數(shù)列cn是以a1+2而c1=a所以cn9．已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為（1）將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？（3）取出數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，它是等差數(shù)列嗎？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎？【答案】（1）是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1+md，公差為d；（2）是等差數(shù)列，首項(xiàng)為首項(xiàng)為a1，公差為2d；（3）是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a【分析】（1）由題意可知，新的數(shù)列為：am+1（2）由題意可知，新的數(shù)列為：a1（3）由題意可知，新的數(shù)列為：a7【詳解】（1）由題意可知，將無(wú)窮等差數(shù)列an的前mam+1,?am+2（2）由題意可知，取出無(wú)窮等差數(shù)列ana1,?a3（3）由題意可知，取出無(wú)窮等差數(shù)列ana7,?a14猜想：等差數(shù)列每隔一定距離抽取一項(xiàng)后所組成的新數(shù)列仍是等差數(shù)列.4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例6已知數(shù)列an（1）若a1=7，a50（2）若a1=2，a2（3）若a1=12，分析：對(duì)于（1），可以直接利用公式Sn=na1+an2求和；在（2）中，可以先利用a1和解：（1）因?yàn)閍1=7，a50S50（2）因?yàn)閍1=2，a2=5S10（3）把a(bǔ)1=12，d=?1?5=1整理，得n2解得n=12，或n=?5（舍去）.所以n=12.例7已知一個(gè)等差數(shù)列an分析：把已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式（2）后，可得到兩個(gè)關(guān)于a1與d的二元一次方程.解這兩個(gè)二元一次方程所組成的方程組，就可以求得a解：由題意，知S10=310，把它們代入公式Sn得10解方程組，得a所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差.練習(xí)10．根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和S（1）a1=5，an=95（2）a1=100，d=?2，（3）a1=?4，a8=?18（4）a1=14.5，d=0.7，【答案】（1）S10=500；（2）S50=2550【分析】（1）利用等差數(shù)列求和公式Sn（2）利用等差數(shù)列求和公式Sn（3）先求出等差數(shù)列的公差d，再利用求和公式即可得解；（4）利用an=32求出項(xiàng)數(shù)【詳解】（1）由題意a1=5，an所以S（2）由題意a1=100，d=?2，所以S50（3）由題意a1=?4，a8=?18，n=10所以S（4）由題意a1=14.5，d=0.7，由an=a1+(n?1)d所以S2611．等差數(shù)列?1，?3，?5，…的前多少項(xiàng)的和是?100？【答案】10【分析】根據(jù)題意，找到首項(xiàng)和公差，利用前n項(xiàng)和公式即可解得.【詳解】等差數(shù)列?1，?3，?5，…的首項(xiàng)為a1=?1,公差設(shè)前n項(xiàng)的和為-100，則有Sn解得：n=10.即等差數(shù)列?1，?3，?5，…的前10項(xiàng)的和是?100.12．在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)的和，若S4=6，【答案】72【分析】由已知列出方程求出首項(xiàng)和公差即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則S4=4a則S1613．在等差數(shù)列an中，若S15=5【答案】16【分析】結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到15a1+【詳解】因?yàn)镾15=5a即15a8=5所以3a1+7d所以15=k?1，所以k=1614．已知一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為290，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為261．求此數(shù)列中間一項(xiàng)的值以及項(xiàng)數(shù)．【答案】此數(shù)列中間一項(xiàng)是29，項(xiàng)數(shù)為19.【分析】設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n?1，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出所有奇數(shù)和與所有偶數(shù)和的比與n的關(guān)系，求出n，即可求出項(xiàng)數(shù)及中間一項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n?1，設(shè)所有的奇數(shù)項(xiàng)和為S，則S=n(設(shè)所有的偶數(shù)項(xiàng)和為T，則T=(n?1)(TS=n?1項(xiàng)數(shù)2n?1=19，中間項(xiàng)為a10由S=10a所以此數(shù)列中間一項(xiàng)是29，項(xiàng)數(shù)為19.例8某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納800個(gè)座位，報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個(gè)座位.問(wèn)第1排應(yīng)安排多少個(gè)座位.分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列an.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn解：設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn.根據(jù)題意，數(shù)列an由S20=20a因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位.例9已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=10，公差d=?2，則分析：由a1>0和d<0，可以證明an是遞減數(shù)列，且存在正整數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時(shí)，an<0，S另一方面，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫成Sn=d2n2+a1?d2n，所以當(dāng)d≠0圖4.2-4解法1：由以an+1?an=?2<0又由an當(dāng)n<6時(shí)，an當(dāng)n=6時(shí)，an當(dāng)n>6時(shí)，an所以S1也就是說(shuō)，當(dāng)n=5或6時(shí)，Sn因?yàn)镾5=5解法2：因?yàn)镾n=d2n所以，當(dāng)n取與112最接近的整數(shù)即5或6時(shí)，S練習(xí)15．某市一家商場(chǎng)的新年最高促銷獎(jiǎng)設(shè)立了兩種領(lǐng)獎(jiǎng)方式：第一種，獲獎(jiǎng)?wù)呖梢赃x擇2000元的獎(jiǎng)金；第二種，從12月20日到第二年的1月1日，每天到該商場(chǎng)領(lǐng)取獎(jiǎng)品，第1天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品價(jià)值為100元，第2天為110元，以后逐天增加10元．你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎(jiǎng)方式獲獎(jiǎng)?wù)呤芤娓?？【答案】第二種方式獲獎(jiǎng)?wù)呤找娓啵痉治觥繌?2月20號(hào)到第二年的1月1號(hào)共13天，每天領(lǐng)取獎(jiǎng)金數(shù)是以100為首項(xiàng)，以10為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式求和，比較即可得結(jié)果.【詳解】從12月20號(hào)到第二年的1月1號(hào)共13天，每天領(lǐng)取獎(jiǎng)金數(shù)是以100為首項(xiàng)，以10為公差的等差數(shù)列，即a1=100，d=10所以共獲獎(jiǎng)金13×100+13×12由于2080>2000，故第二種方式獲獎(jiǎng)?wù)呤找娓啵?6．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S【答案】a【分析】利用公式a【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an當(dāng)n=1時(shí)，a1所以an17．已知等差數(shù)列?4.2，?3.7，?3.2，…的前n項(xiàng)和為Sn，Sn是否存在最大（?。┲?？如果存在，求出取得最值時(shí)【答案】Sn存在最小值，【分析】由已知可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式an=0.5n?4.7，令an>0，可知n>9且【詳解】由已知可知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1=?4.2則數(shù)列的通項(xiàng)公式為a令an>0，即0.5n?4.7>0，又n∈N?即數(shù)列的前9項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，第10項(xiàng)為正數(shù)，故當(dāng)n=9時(shí)，Sn18．求集合M={mm=2n?1,n∈N?，且【答案】集合M中有30個(gè)元素，這些元素的和為900.【分析】由集合M的元素特點(diǎn)可知，集合M=1,3,5,7,?59【詳解】集合M={mm=2n?1,n∈N?，且m<60共30個(gè)奇數(shù)，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列利用等差數(shù)列求和公式得S故集合M中有30個(gè)元素，這些元素的和為900.19．已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n?22n?15，前n項(xiàng)和為S【答案】n=7【分析】首先求出數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)，再判斷Sn取得最小值時(shí)n【詳解】當(dāng)an≤0?n?2解得：n=2,3,4,5,6,7，當(dāng)n=1和n≥8時(shí)，an所以Sn取得最小值時(shí)，n=7習(xí)題4.220．根據(jù)下列等差數(shù)列an（1）a1=20，an=54，Sn=999（2）d=13，n=37，Sn=629，求（3）a1=56，d=?16，S（4）d=2，n=15，an=?10，求a1【答案】（1）d=1713,n=27；（2）a1=11,【分析】（1）由已知結(jié)合Sn=n(a1（2）由已知結(jié)合Sn=na1+（3）由已知結(jié)合Sn=na1+（4）由已知結(jié)合通項(xiàng)公式，求出a1，再由前n項(xiàng)和公式求出S【詳解】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列an中，a1=20，a所以Snan（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列an中，d=13，n=37所以Sn解得a1（3）因?yàn)榈炔顢?shù)列an中，a1=56所以Sn整理得n2?11n?60，解得n=15，或an（4）因?yàn)榈炔顢?shù)列an中，d=2，n=15，aanSn21．已知an為等差數(shù)列，a1+a3【答案】1【分析】設(shè)an的公差為d，根據(jù)通項(xiàng)公式列方程即可求解公差與首項(xiàng)，從而求出a【詳解】設(shè)an的公差為d，首項(xiàng)為aa∴a∴a22．（1）求從小到大排列的前n個(gè)正偶數(shù)的和．（2）求從小到大排列的前n個(gè)正奇數(shù)的和．（3）在三位正整數(shù)的集合中有多少個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)？求這些數(shù)的和．（4）在小于100的正整數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)被7除余2？這些數(shù)的和是多少？【答案】（1）nn+1；（2）n【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和即可.【詳解】（1）通項(xiàng)公式為an=2n，所以（2）通項(xiàng)公式為an=2n?1，所以（3）因?yàn)槟┪矓?shù)是0或者5的數(shù)均是5的倍數(shù)，故最小是100，最大是995，所以n=995?100故和為100+995×180（4）被7整除余2的數(shù)為7n+2n∈N?所以9×13+13×12×723．1682年，英國(guó)天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大星的運(yùn)行曲線和1531年、1607年的彗星驚人地相似，他大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76年后再度回歸這就是著名的哈雷彗星，它的回歸周期大約是76年，請(qǐng)你查找資料，列出哈雷星的回歸時(shí)間表，并預(yù)測(cè)它在本世紀(jì)回歸的年份．【答案】2061年【分析】查歷史記載列出時(shí)間表，根據(jù)即可回歸周期求出它在本世紀(jì)回歸的年份.【詳解】根據(jù)歷史記載，哈雷彗星在1607年及以后的回歸時(shí)間表為：次數(shù)123457年份160716821759183519101986預(yù)測(cè)它在本世紀(jì)回歸的年份為2061年.24．已知一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)等于158cm，所有各邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列，最大的邊長(zhǎng)為44cm，公差為【答案】4【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，建立方程求得多邊形的邊數(shù).【詳解】由題意可知：an=44，S則Sn=n(a解得：n=4或n=79故這個(gè)多邊形的邊數(shù)為4.25．已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1=5，【答案】6000【分析】通過(guò){an}，{bn}都是等差數(shù)列，則【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以an則數(shù)列an+b26．已知Sn是等差數(shù)列an的前（1）證明Sn（2）設(shè)Tn為數(shù)列Snn的前n項(xiàng)和，若S4=12【答案】（1）證明見解析；（2）1【分析】（1）寫出Sn，求出Snn（2）求出S44，S88，求出公差d，進(jìn)一步求出【詳解】（1）∵Sn=n∴Snn∴S∴Sn（2）S44公差d=又∵S∴S∴Snn∴Tn27．已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列．求這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和．【答案】1472【分析】根據(jù)題意求出兩個(gè)數(shù)列，相同的項(xiàng)組成的數(shù)列，求出項(xiàng)數(shù)，然后求出它們的和即可.【詳解】有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，2，14，26，38，50，…，182是兩個(gè)數(shù)列的相同項(xiàng).共有182?212它們的和為2+1822這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為147228．一支車隊(duì)有15輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)．第一輛車于14時(shí)出發(fā)，以后每間隔10min（1）截止到18時(shí)，最后一輛車行駛了多長(zhǎng)時(shí)間？（2）如果每輛車行駛的速度都是60km/h【答案】（1）53小時(shí)；（2）2550(km)【分析】（1）根據(jù)條件求出時(shí)間的間隔，即可求得18時(shí)，最后一輛車行駛的時(shí)間；（2）每輛車行駛的時(shí)間構(gòu)成數(shù)列an【詳解】（1）第一輛車出發(fā)事件為14時(shí)，每輛車的間隔事件為10min，即為1則第15輛車在16×16=所以第15輛車行駛的時(shí)間為18?49（2）設(shè)每輛車行駛的時(shí)間構(gòu)成數(shù)列an由題意可得an構(gòu)成首項(xiàng)為a1=4則15輛車行駛的時(shí)間的和為S15所以行駛的總里程為S=8529．已知等差數(shù)列an的公差為d，求證a【答案】證明和解釋見解析.【分析】由通項(xiàng)公式可以證得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列an的公差為d，所以a在斜率為d的直線l：f(x)=dx+(a1?d)上任取兩點(diǎn)(m,am)，(n,an)?(m≠n)30．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an（1）寫出數(shù)列an（2）根據(jù)（1）中的遞推公式，寫出數(shù)列an【答案】（1）an=an?1+n【分析】（1）利用每一層的小球的數(shù)量找到遞推關(guān)系得解；（2）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】（1）由題意可知，a1a2a3=aan所以數(shù)列{an}（2）由題意，an故an所以數(shù)列{an}4.3等比數(shù)列1第四章數(shù)列4．3等比數(shù)列4．3．1等比數(shù)列的概念例1若等比數(shù)列an的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求a分析：等比數(shù)列an由a1，q唯一確定，可利用條件列出關(guān)于解法1：由a4=48，a②的兩邊分別除以①的兩邊，得q2解得q=12或把q=1a1此時(shí)a5把q=?1a1此時(shí)a5因此，an的第5項(xiàng)是24或?24解法2：因?yàn)閍5是a4與a5所以a5因此，an的第5項(xiàng)是24或?24例2已知等比數(shù)列an的公比為q，試用an的第m項(xiàng)am解：由題意，得aman②的兩邊分別除以①的兩邊，得an所以an例3數(shù)列an分析：先利用已知條件表示出數(shù)列的各項(xiàng)，再進(jìn)一步根據(jù)條件列方程組求解．解：設(shè)前三項(xiàng)的公比為q，后三項(xiàng)的公差為d，則數(shù)列的各項(xiàng)依次為80q2，80q，80，80+d80解方程組，得q=2,d=16,或所以這個(gè)數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，?48．練習(xí)1．判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列．如果是，寫出它的公比．（1）3，9，15，21，27，33；

（2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；（3）13，16，19，112，1（4）4，?8，16，?32，64，?128．【答案】（1）不是；（2）是等比數(shù)列，q=1.1；（3）不是；（4）是等比數(shù)列，公比q=?2【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義一一判斷即可；【詳解】解：（1）3，9，15，21，27，33；因?yàn)?3（2）a1=1，a2=1.1，a所以a2a（3）a1=13，a2=16，a顯然a2（4）因?yàn)閍1=4，a2=?8，a3=16，a所以a2a2．已知an是一個(gè)公比為qaaaaq2820.2【答案】第一行：4，16，±2【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)解出a1【詳解】第一行：a1=2,a第二行：a3．在等比數(shù)列an中，a1a3=36，a【答案】a1=?2【分析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出a2=6，即可求出q，再代入a【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍1a3=36，a∴a2>0∴1+q2=10當(dāng)q=3時(shí)，由a2=a當(dāng)q=?3時(shí)，由a2=所以a1=?24．對(duì)數(shù)列an，若點(diǎn)n,an(n∈N?)都在函數(shù)y=cqx的圖象上，其中c，q為常數(shù)，且c≠0，【答案】是（證明見解析）【分析】根據(jù)題意寫出通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列的定義即可判斷.【詳解】由題意知:an因?yàn)閏≠0，q≠0，q≠1，an且a所以數(shù)列an為以cq為首項(xiàng)，q5．已知數(shù)列an（1）a3，a5，a7是否成等比數(shù)列？為什么？a1，（2）當(dāng)n>1時(shí)，an?1，an，an+1是否成等比數(shù)列？為什么？當(dāng)n>k>0時(shí)，an?k，【答案】（1）a3，a5，a7成等比數(shù)列，a1，a5，a9成等比數(shù)列；（2）an?1，an，【分析】（1）分別說(shuō)明a52=（2）分別說(shuō)明an2=【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a52=∴a52=a3?又a1a9=a1?a1（2）∵an2∴an2=an?1?又an?k?a所以an?k，an，例4用10000元購(gòu)買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年．（1）若以月利率0.400%的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)月能獲得多少利息（精確到1元）？（2）若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到10?5分析：復(fù)利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計(jì)算下一期的利息，所以若原始本金為a元，每期的利率為r，則從第一期開始，各期的本利和a，a(1+r)，a(1+r)解：（1）設(shè)這筆錢存n個(gè)月以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列an，則an是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1a12所以，12個(gè)月后的利息為10490.7?10（2）設(shè)季度利率為r，這筆錢存n個(gè)季度以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列bn，則bn也是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)b1b4因此，以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度后的利息為104解不等式104r?1.206%．所以，當(dāng)季度利率不小于1.206%時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息．例5已知數(shù)列an的首項(xiàng)a（1）若an為等差數(shù)列，公差d=2，證明數(shù)列3（2）若an為等比數(shù)列，公比q=19分析：根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行證明．證明：（1）由a1=3，d=2，得an設(shè)bnbn+1又b1所以，3a（2）由a1=3，an兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，得log3所以log3又log3所以，log3an例6某工廠去年12月試產(chǎn)1050個(gè)高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%．從今年1月開始，工廠在接下來(lái)的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品．1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高5%，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.4%，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個(gè)以內(nèi)？分析：設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列an，bn，則各月不合格品的數(shù)量構(gòu)成數(shù)列anbn．由題意可知，數(shù)列a解：設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列an，b由題意，知anbn=1?[90%+0.4%(n?1)]=0.104?0.004n，其中a=1.05由計(jì)算工具計(jì)算（精確到0.1），并列表（表4.3-1）．表4.3-1觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列anbn先遞增，在第6項(xiàng)以后遞減，所以只要設(shè)法證明當(dāng)n?6時(shí)，a由an+1得n>5．所以，當(dāng)n?6時(shí)，an又a13所以，當(dāng)13?n?24時(shí)，an所以，生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能控制在100個(gè)以內(nèi)．練習(xí)6．求滿足下列條件的數(shù)：（1）在9與243中間插入2個(gè)數(shù)，使這4個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；（2）在160與?5中間插入4個(gè)數(shù)，使這6個(gè)數(shù)成等比數(shù)列．【答案】（1）27、81；（2）?80、40、?20、10.【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】（1）在9與243中間插入2個(gè)數(shù)，使這4個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則243=9q3，解得所以在9與243中間插入2個(gè)數(shù)為27、81.（2）在160與?5中間插入4個(gè)數(shù)，使這6個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則?5=160q5，解得所以在160與?5中間插入4個(gè)數(shù)為?80、40、?20、10.7．設(shè)數(shù)列an，b（1）數(shù)列cn，其中cn（2）數(shù)列dn，其中d【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義判斷即可.（2）利用等比數(shù)列的定義判斷即可.【詳解】數(shù)列an，bn都是等比數(shù)列，設(shè)公比分別為q1、q2（q1（1）由cn=a所以數(shù)列cn（2）由dn=a所以數(shù)列dn8．某汽車集團(tuán)計(jì)劃大力發(fā)展新能源汽車，2017年全年生產(chǎn)新能源汽車5000輛.如果在后續(xù)的幾年中，后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的150%，那么2025年全年約生產(chǎn)新能源汽車多少輛（精確到1）？【答案】128145輛【分析】將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)知識(shí)求基本量即可求出結(jié)果【詳解】根據(jù)題意，從2017年開始，每一年新能源汽車的產(chǎn)量構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)為an，則a1=5000，公比q=150%=1.5，所以a故2025年全年約生產(chǎn)新能源汽車128145輛.9．某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)為105，力爭(zhēng)2年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)達(dá)到240．這個(gè)城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)達(dá)到多少（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)7≈2.646【答案】0.51【分析】設(shè)平均增長(zhǎng)率p，依題意可得，105(1+p)【詳解】解：設(shè)平均增長(zhǎng)率p，依題意可得，105(1+p)則1+p=16所以p=4故平均增長(zhǎng)率約為0.51．10．已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n3【答案】3【分析】根據(jù)已知條件列出前2項(xiàng)比較大小，然后根據(jù)an【詳解】設(shè)n=k時(shí)，an因?yàn)閍1=1所以k>1所以a即k3≥3(k?1)33k即2.26≤k≤3.26(k∈Z)所以k=3故當(dāng)an取最大值時(shí)，4．3．2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例7已知數(shù)列an（1）若a1=12，（2）若a1=27，a9=1（3）若a1=8，q=1解：（1）因?yàn)閍1=1S8（2）由a1=27，27×q即q8又由q<0，得q=?1所以S8（3）把a(bǔ)1=8，q=12，8×1?整理，得12解得n=5．例8已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為?1，前n項(xiàng)和為Sn．若S解：若q=1，則S10所以q≠1．當(dāng)q≠1時(shí)，由S10(?1)1?整理，得1+q即q5所以q=?1例9已知等比數(shù)列an的公比q≠?1，前n項(xiàng)和為Sn．證明Sn，S證明：當(dāng)q=1時(shí)，SnS2nS3n所以Sn，S2n?當(dāng)q≠1時(shí)，SnS2nS3n所以S2n因?yàn)閝n為常數(shù)，所以Sn，S2n?S練習(xí)11．已知數(shù)列an（1）若a1=3，q=2，n=6，求（2）若a1=?2.7，q=?13，（3）若a1=?1，a4=64，求（4）若a3=32，S3【答案】（1）189；（2）?9145；（3）q=?4，S4=51；（4）【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)的求和公式，即可求解；（2）由題設(shè)條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得n的值，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解；（3）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程求得公比q=?4，結(jié)合求和公式，即可求解.（4）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q【詳解】（1）因?yàn)閍1=3，q=2，n=6，可得（2）因?yàn)閍1=?2.7，q=?1所以Sn（3）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍1=?1，a即q3=?64，解得q=?4，所以（4）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍3=當(dāng)q=1時(shí)，可得an=a當(dāng)q≠1時(shí)，可得a3=a12．已知a≠b，且ab≠0．對(duì)于n∈N?，證明：an【答案】證明過(guò)程看解析.【分析】利用錯(cuò)位相減法直接求和.【詳解】證明：記Sn因?yàn)閍≠b，且ab≠0，所以兩邊同乘以abab所以1?a所以Sn所以an13．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a2=6,【答案】當(dāng)a1=3,q=2時(shí)，an=3×【詳解】設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得解得{a1=3當(dāng)a1=3,q=2時(shí)，當(dāng)a1=2,q=314．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，積等于64．求這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比．【答案】答案見解析【分析】由已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可直接求解.【詳解】設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為x,y,z，則滿足y2由題意可得x+y+z=14,xyz=64，聯(lián)立方程組，可得x=2,y=4,z=8或x=8,y=4,z=2，當(dāng)這三個(gè)數(shù)為x=2,y=4,z=8，可得這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為2；當(dāng)這三個(gè)數(shù)為x=8,y=4,z=2，可得這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為8，公比為1215．如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10，前10項(xiàng)的和等于50，那么這個(gè)數(shù)列的公比等于多少？【答案】4【分析】依題意設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為qq≠1，根據(jù)等比數(shù)列前n【詳解】解：依題意設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為qq≠1，則S5=a11?q51?q=10，S10例10如圖4.3-2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5cm，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL圖4.3-2（1）求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和；（2）如果這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？分析：可以利用數(shù)列表示各正方形的面積，根據(jù)條件可知，這是一個(gè)等比數(shù)列．解：設(shè)正方形ABCD的面積為a1，后繼各正方形的面積依次為a2，a3a1由于第k+1個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別是第k個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，所以ak+1因此，an是以25為首項(xiàng)，1設(shè)an的前n項(xiàng)和為S（1）S10所以，前10個(gè)正方形的面積之和為25575512（2）當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，Sn無(wú)限趨近于所有正方形的面積和aSn隨著n的無(wú)限增大，12n將趨近于0，所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50．例11去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬(wàn)噸，其中14萬(wàn)噸垃圾以填埋方式處理，6萬(wàn)噸垃圾以環(huán)保方式處理．預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增5%，同時(shí)，通過(guò)環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬(wàn)噸．為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請(qǐng)寫出從今年起n年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量的計(jì)算公式，并計(jì)算從今年起5年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬(wàn)噸）．分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列．因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．解：設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬(wàn)噸）構(gòu)成數(shù)列an，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬(wàn)噸）構(gòu)成數(shù)列bn，n年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量為anbnS====420×1.05當(dāng)n=5時(shí)，S5所以，從今年起5年內(nèi)，通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬(wàn)噸．例12某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為c1，c2，（1）寫出一個(gè)遞推公式，表示cn+1與c（2）將（1）中的遞推公式表示成品cn+1（3）求S10分析：（1）可以利用“每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%”和“每年年底賣出100頭”建立cn+1與c解：（1）由題意，得c1cn+1（2）將cn+1cn+1比較①②的系數(shù)，可得r=1.08,解這個(gè)方程組，得r=1.08,所以，（1）中的遞推公式可以化為cn+1（3）由（2）可知，數(shù)列cn?1250是以c1?1250+所以S10練習(xí)16．某教育網(wǎng)站本月的用戶為500人網(wǎng)站改造后，預(yù)計(jì)平均每月的用戶都比上一個(gè)月增加10%，那么從本月起，大約經(jīng)過(guò)幾個(gè)月可使用戶達(dá)到1萬(wàn)人（精確到1）？【答案】32【分析】由題可得每月的用戶數(shù)形成一個(gè)等比數(shù)列，由an【詳解】根據(jù)題意，設(shè)從本月起，每月的用戶數(shù)形成一個(gè)等比數(shù)列an則首項(xiàng)a1=500，公比則由an=500×1.1則n=log17．一個(gè)乒乓球從1m(1)當(dāng)它第6次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程是多少（精確到1cm(2)至少在第幾次著地后，它經(jīng)過(guò)的總路程能達(dá)到400cm【答案】(1)386cm(2)8【分析】（1）利用等比數(shù)列的求和公式可得；（2）利用求和公式列出不等式即可求出.(1)由題可知，每次落地的高度形成以1為首項(xiàng)，0.61為公比的等比數(shù)列，則當(dāng)它第6次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程為1+20.61+所以當(dāng)它第6次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程是386cm；(2)由題意得1+20.61+整理得0.61n≤0.025，所以則至少在第8次著地后，它經(jīng)過(guò)的總路程能達(dá)到400cm18．某牛奶廠2015年初有資金1000萬(wàn)元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到50%．每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金后，剩余資金投入再生產(chǎn)，這家牛奶廠每年應(yīng)扣除多少消費(fèi)基金，才能實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)5年資金達(dá)到2000萬(wàn)元的目標(biāo)（精確到1萬(wàn)元）？【答案】424萬(wàn)元【分析】設(shè)這家牛奶廠每年應(yīng)扣除x萬(wàn)元消費(fèi)基金，則由規(guī)律可得第五年剩余資金為：1000×(32)5【詳解】解：設(shè)這家牛奶廠每年應(yīng)扣除x萬(wàn)元消費(fèi)基金，則：第一年剩余資金為：1000(1+50%)?x=1000×3第二年剩余資金為：(1000×3……以此類推，第五年剩余資金為：1000×(由題意知，1000×(即[(32故這家牛奶廠每年應(yīng)扣除424萬(wàn)元消費(fèi)基金．19．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn【答案】1?【分析】利用公式an=S【詳解】當(dāng)n=1時(shí)：S1當(dāng)n≥2時(shí)：SS①?②:a所以數(shù)列an為以?1所以Sn習(xí)題4．320．已知數(shù)列an（1）若a1=?1，a4=64，求（2）若a5?a1=15【答案】（1）q=?4，S4=51；（2）4或【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件列出方程組，求得q=?4，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解；（2）由題設(shè)條件，列出方程組a1(q4?1)=15a1【詳解】（1）由數(shù)列an是等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為q因?yàn)閍1=?1，a4=64，可得a4所以S4（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)閍5?a可得a1(q4?1)=15a1當(dāng)q=2時(shí)，可得a1=1，則當(dāng)q=12時(shí)，可得a121．已知an是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，公比為q（1）將數(shù)列an中的前k（2）取出數(shù)列an（3）在數(shù)列an【答案】答案見解析.【分析】（1）這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項(xiàng)與公比分別是a1（2）這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項(xiàng)與公比分別是a1（3）這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的公比是q11，我們由此可以得到一個(gè)結(jié)論：在數(shù)列an中，每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列，它的公比為【詳解】（1）將數(shù)列an中的前k項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項(xiàng)與公比分別是a（2）取出數(shù)列an中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項(xiàng)與公比分別是a（3）在數(shù)列an中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的公比是q11，我們由此可以得到一個(gè)結(jié)論：在數(shù)列an中，每隔k22．求和：（1）（2?3×5（2）1+2x+3x【答案】（1）n(n+1)?34【分析】（1）將式子分組，再分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可.（2）討論x的取值，當(dāng)x=1時(shí)，直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；當(dāng)x≠1時(shí)，利用錯(cuò)位相減即可求出答案.【詳解】（1）(2?3×=(2=(2+2n)n（2）當(dāng)x=1時(shí)：1+2x+3當(dāng)x≠1時(shí)：記S①×x:x①?②：(1?x)化簡(jiǎn)得：S綜上所述：1+2x+323．放射性元素在t=0時(shí)的原子核總數(shù)為N0，經(jīng)過(guò)一年原子核總數(shù)衰變?yōu)镹0q（1）碳14的年衰變率為多少（精確到10?6（2）某動(dòng)物標(biāo)本中碳14含量為正常大氣中碳14含量的60%（即衰變了40%），該動(dòng)物的死亡時(shí)間大約距今多少年？【答案】（1）0.999879；（2）4221.【分析】（1）根據(jù)題意，生物體死亡n年后，體內(nèi)每克組織中的碳14的殘留量為an，則可判斷出an是一個(gè)等比數(shù)列，由題意列出通項(xiàng)公式，解出（2）由題意，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程，解出n.【詳解】(1)設(shè)生物體死亡時(shí)，體內(nèi)每克組織中的碳14的含量為1，每年的衰變率為q，n年后的殘留量為an，則aan=a即碳14的年衰變率為0.999879；(2)設(shè)動(dòng)物約在距今n年前死亡，由anan解得n≈4221，所以動(dòng)物約在距今4221年前死亡．24．已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S3，S9，S6成等差數(shù)列.求證：a【答案】見解析【分析】根據(jù)an為等比數(shù)列且S3，S9，S6成等差數(shù)列，即可解出q3=?1【詳解】因?yàn)镾3，S9，所以2（1）當(dāng)q=1時(shí)：S9=9a1,（2）當(dāng)q≠1時(shí)：S9=a1(1?q9所以a5=a所以2a所以a2，a8，25．求下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式和一個(gè)前n項(xiàng)和公式：1，11，111，1111，11111，…．【答案】an=1【分析】利用1=19×9=19【詳解】設(shè)該數(shù)列為{an}，其前n因?yàn)閍1所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為anS26．在數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=1（1）求證：an（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S【答案】（1）證明見解析；（2）Sn【分析】（1）由an+1=?a（2）由（1）求得an=(?1)n+【詳解】（1）由題意，數(shù)列an滿足an+1+則an+1又由a1=1，可得所以數(shù)列an?2n表示首項(xiàng)為（2）由（1）知an?2所以Sn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可得Sn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可得Sn綜上可得，Sn27．若數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，且滿足a【答案】an【分析】由題可得an+1是首項(xiàng)為【詳解】∵an+1=2a∴an+1∴an+1=2×∴S28．已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a1=102，公比q=12．若Tn是數(shù)列【答案】T【分析】先求出an的通項(xiàng)公式，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值，以及取得最值時(shí)n【詳解】因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，a1=102所以an所以T當(dāng)an≥1a即102×12n?1此時(shí)T29．已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=（1）求證：數(shù)列1a（2）若1a1+【答案】（1）證明見解析；（2）99.【分析】（1）由an+1=3（2）由（1）求得1an=23【詳解】（1）由題意，數(shù)列an滿足an+1=可得1an+1?1=又由a1=3所以數(shù)列1an?1表示首項(xiàng)為2（2）由（1）可得1an設(shè)數(shù)列1an的前n項(xiàng)和為則Sn=2×1若Sn<100，即因?yàn)楹瘮?shù)y=x+1?1所以滿足Sn<100的最大整數(shù)n的值為30．已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a1=1，a3=22+1，前n求證：（1）數(shù)列bn（2）數(shù)列an【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【分析】（1）依題意首先求出an的通項(xiàng)公式，即可得到Sn，從而得到（2）假設(shè)存在an【詳解】解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列an滿足a1=1，a3=22所以bn=Snn=2（2）設(shè)數(shù)列an中任意三項(xiàng)an=1+2則an≠am即2因?yàn)閙,n,k∈所以n+k?2m=0m?12=n?1k?1，所以k?n2=04.4數(shù)學(xué)歸納法第四章數(shù)列4．4數(shù)學(xué)歸納法例題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，那么an=【答案】證明見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法與步驟即可證明.【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a1，右邊（2）假設(shè)當(dāng)n=kk∈N?根據(jù)等差數(shù)列的定義，有ak+1于是ak+1=ak+d=即當(dāng)n=k+1時(shí)，①式也成立，由（1）（2）可知，①式對(duì)任何n∈N練習(xí)2．下列各題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程中，有沒(méi)有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，錯(cuò)在哪里？（1）求證：當(dāng)n∈N?時(shí)，n=n+1．證明：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)時(shí)，等式成立，即k=k+1．則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=k+1=(k+1)+1=右邊．所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．由此得出，對(duì)任何n∈N?，等式n=n+1都成立．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn證明，①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=S1=a②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)時(shí)，等式成立，即Sk=k(Sk+1Sk+1上面兩式相加并除以2，可得Sk+1即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．由①②可知，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是S【答案】（1）有錯(cuò)誤，理由見解析；（2）有錯(cuò)誤，理由詳見解析.【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法分為兩步，①證明當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立，②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，應(yīng)用歸納假設(shè)，證明n=k+1時(shí)，命題也成立，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟判斷過(guò)程的錯(cuò)誤之處.【詳解】（1）有錯(cuò)誤，錯(cuò)誤在于沒(méi)有證明第（1）步，即沒(méi)有證明n=1時(shí)等式成立；（2）有錯(cuò)誤，錯(cuò)誤在于證明n=k+1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè)，而是應(yīng)用了倒序相加法，這不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程.3．用數(shù)學(xué)歸納法證明，首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1【答案】證明見解析【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，即可作出證明.【詳解】由題意，等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為①當(dāng)n=1時(shí)，a1=a②假設(shè)n=k時(shí)，ak則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1由①②可知，對(duì)于任意n∈N+，都有證明：前n項(xiàng)和公式Sn③當(dāng)n=1時(shí)，S1④假設(shè)n=k時(shí)，Sk則當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1由③④可知，對(duì)于任意n∈N+，都有例題4．用數(shù)學(xué)歸納法證明12【答案】見解析【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟進(jìn)行證明即可.【詳解】證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=1②假設(shè)當(dāng)n=kk∈即12那么，1=kk+1=即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.由①②知，等式對(duì)任何n∈N【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)列的命題，屬于基礎(chǔ)題.5．已知數(shù)列an滿足a1=0，2【答案】an【分析】利用遞推關(guān)系式得出數(shù)列的前5項(xiàng)，猜想an【詳解】由2an+1?由a1=0，可得同理可得a3=12?1歸納上述結(jié)果，猜想a下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想．（1）當(dāng)n=1時(shí)，③式左邊=a1=0（2）假設(shè)當(dāng)n=kk∈N?那么ak+1=1由（1）（2）可知，猜想對(duì)任何n∈N6．設(shè)x為正實(shí)數(shù)，n為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列1，1+x，(1+x)2，…，(1+x)n?1，…的前n項(xiàng)和為Sn，試比較S【答案】x∈R?，n∈N?且【分析】計(jì)算n=2和n=3時(shí)的情況猜想：n>1時(shí)，Sn【詳解】由已知可得Sn當(dāng)n=2時(shí)，S2=1+(1+x)=2+x，由x>0，可得當(dāng)n=3時(shí)，S3=1+(1+x)+(1+x)2=3+3x+由此，我們猜想，當(dāng)x∈R?，n∈N?且下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想．（1）當(dāng)n=2時(shí)，由上述過(guò)程知，不等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N?，且k≥2）時(shí)，不等式成立，即由x>0，可得1+x>1，所以(1+x)k于是Sk+1所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．由（1）（2）可知，不等式Sn>n對(duì)任何大于1的正整數(shù)練習(xí)7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：?1+3?5+?+【答案】證明見解析【分析】按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟嚴(yán)格證明即可.【詳解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=-1，右邊=-1，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=kn∈即?1+3?5+?+?1則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=?1+3?5+?+==?1所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立；由（1）（2）可知，對(duì)?n∈N【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8．若數(shù)列11×2，12×3，13×4，…，1nn+1，…的前n項(xiàng)和為Sn，計(jì)算S1【答案】S1=12，S2【分析】逐個(gè)計(jì)算S1,S2,【詳解】解：S1=12，由S1=12，S2檢驗(yàn)初始值n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.①n=1時(shí)，S1②假設(shè)n=k時(shí)，有Sk=kSk+1==k2=k+1所以Sk+1=∴n=k+1時(shí)，猜想也成立，故由①，②可知，猜想對(duì)n∈N9．觀察下列兩個(gè)數(shù)列an，b數(shù)列an數(shù)列bn猜想從第幾項(xiàng)起an小于b【答案】從第5項(xiàng)起an【分析】先寫出an,bn的通項(xiàng)公式，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)猜想從第5項(xiàng)起an【詳解】解：根據(jù)題意可得：數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為b由a1猜想從第5項(xiàng)起an即證當(dāng)n≥5時(shí)，n2⑴當(dāng)n=5時(shí)，a5=25，b5⑵假設(shè)當(dāng)n=k,k≥5,k∈N?當(dāng)n=k+1時(shí)，k+12即k+12即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立，由⑴⑵可知，當(dāng)n≥5,n∈N?時(shí)，都有n210．猜想滿足a1=a，2a【答案】an【分析】由2an+1?anan+1=1可得an+1=12?a【詳解】由2an+1?得a2a3a4推測(cè)an下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a右邊=1?1?(1?2)a②假設(shè)n=k(n∈N?)時(shí)等式成立，有ak則當(dāng)n=k+1時(shí)，a故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．由①②可知，對(duì)任何n∈N?都有an習(xí)題4．4一．選擇題11．用數(shù)學(xué)歸納法證明下列等式：?1+3?5+7+…+(?1)n(2n?1)+A．?1 B．?1+3 C．?1+3?5 D．?1+3?5+7【答案】C【分析】結(jié)合題意直接代入當(dāng)n=1時(shí)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，當(dāng)n=1時(shí)，左邊=?1+3+?+=?1+3?5故選：C二．解答題12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）1+3+5+…+2n?1（2）1+2+2（3）13【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】先證n=1時(shí)等式成立；再假設(shè)n=k時(shí)等式成立，證明n=k+1時(shí)等式也成立即可.【詳解】(1)當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊=1，右邊=1，所以等式成立；假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1+3+5+…+2k?1則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+3+5+…+2k?1故n=k+1時(shí)等式成立，綜上可知，等式1+3+5+…+2n?1(2)當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊=1，右邊=1，所以等式成立；假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1+2+2則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+2+2故n=k+1時(shí)等式成立，綜上可知，等式1+2+2(3)當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊=1，右邊=1，所以等式成立；假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即13則當(dāng)n=k+1時(shí)，13+2故n=k+1時(shí)等式成立，綜上可知，等式1313．已知數(shù)列an滿足a1=1，4an+1?ana【答案】an【分析】由a1=1，且4an+1?anan+1+2an=9即可求得a2，a3，a【詳解】由4an+1?∵a1=1同理可求，a3=135證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立．②設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)則當(dāng)n=k+1時(shí)，有ak+1所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．綜合①②，猜想對(duì)任何n∈N14．已知數(shù)列11×4，14×7，17×10，…，1(3n?2)(3n+1)，…的前n項(xiàng)和為Sn．計(jì)算S1，S2【答案】S1=1【分析】根據(jù)題意計(jì)算S1,S【詳解】由題意，數(shù)列11×4，14×7，17×10可得S1可以看出，上面的四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1，所以可猜想Sn數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=14，右邊②假設(shè)n=k(k∈N+)當(dāng)n=k+1時(shí)，S=1所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，由①②可知，對(duì)任意n∈N+都有所以Sn15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：12【答案】見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法，先證明當(dāng)n=1時(shí)，等式成立，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立即可.【詳解】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=121×3=（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即121×3+22當(dāng)n=k+1時(shí)，121×3+2====k+1即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.，由（1）（2）可知：等式對(duì)任何n∈N故1216．已知數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式分別為an=2n，bn【答案】n=1或者n≥17且n∈N【分析】由an>b【詳解】解：∵an>即2n兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：ln2即nln即ln2令fx則f′∴當(dāng)x∈0,e時(shí)，f′x當(dāng)x∈e,+∞時(shí)，f′x又∵f1f2f16故當(dāng)n=1時(shí)，ln2當(dāng)x≥16,時(shí)，fx即lnx即n=1或者n≥17且n∈N?時(shí)，有l(wèi)nn17．已知數(shù)列xn滿足x1=1，xn=xn+1【答案】證明見解析，x【分析】先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)處理，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，那么n=k+1時(shí)，若xk+1<0【詳解】證明：xn當(dāng)n=1時(shí)，x1假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，則xk那么n=k+1時(shí)，若xk+1<0，則故xn+1因此xn>0∴x因此0<x18．證明：n3【答案】見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.【詳解】解：⑴當(dāng)n=1時(shí)，n3⑵假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即n3當(dāng)n=k+1時(shí)，n3由假設(shè)知：k3而kk+1為偶數(shù)，故3k故k+13即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立，由⑴⑵可知，命題對(duì)一切正整數(shù)成立，即n319．一本舊教材上有一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的恒等式1×2其中問(wèn)號(hào)處由于年代久遠(yuǎn)，只能看出它是關(guān)于n的二次三項(xiàng)式，具體的系數(shù)已經(jīng)看不清楚了．請(qǐng)你猜想這個(gè)恒等式的形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【答案】1×2【分析】設(shè)f(n)=1?22+2?32+???+n(n+1)2即可求得f（1），f（2），f（3）；假設(shè)存在常數(shù)a，b，c使得f(n)=n(n+1)12(an2+bn+c)對(duì)一切自然數(shù)n都成立，由f（1），【詳解】設(shè)f(n)=1?2∴f（1）=1?2f（2）=1?2f（3）1?2假設(shè)存在常數(shù)a，b，c使得f(n)=n(n+1)12(a則f（1）=1×2∴a+b+c=24①，同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，由f（3）=70得9a+3b+c=70③聯(lián)立①②③，解得a=3，b=11，c=10．∴f(n)=n(n+1)證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；2°假設(shè)n=k時(shí)，f(k)=k(k+1)則n=k+1時(shí)，f(k+1)=f(k)+(k+1)====(k+1)[(k+1)+1][(k+2)+1][3(k+1)+5]即n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．綜合1°，2°知，存在常數(shù)a=3，b=11，c=10使得f(n)=n(n+1)12(320．已知命題：設(shè)a1，a2為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2為正實(shí)數(shù)，若【答案】命題推廣形式為：設(shè)a1,a2,…,an為非負(fù)實(shí)數(shù)，b【分析】先證n=1時(shí)不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，根據(jù)假設(shè)證當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立即可.【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，b1=1，有②假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即設(shè)a1,a2,…,若b1+b則當(dāng)n=k+1時(shí)，需證：設(shè)a1,a2,…,若b1+b因?yàn)閎1+b2+…+bk+1所以a因?yàn)閎1+b所以由歸納假設(shè)可得a1b1從而a1又由1?b所以a1=a1b由①②知，對(duì)一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立.復(fù)習(xí)參考題4復(fù)習(xí)參考題4一．解答題1．根據(jù)下列數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別作出它們的圖象.（1）an（2）bn（3）cn（4）dn【答案】答案見解析【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出它的前幾項(xiàng)，從而作出它們的圖象.【詳解】（1）an=?n（2）bn=2（3）cn=2n+1（4）dn=(?1)2．根據(jù)下列數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.（1）12，34，58（2）1+122，1?34（3）0，2，0，2．【答案】（1）an=2n?12n，n∈N?；（2）an=1+【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)特征，寫出符合條件的通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)特征，寫出符合條件的通項(xiàng)公式即可；（3）根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)特征，寫出符合條件的通項(xiàng)公式即可．【詳解】（1）∵12，34，58觀察每一項(xiàng)的分子是連續(xù)的奇數(shù)，分母是2n∴an=（2）∵1+122，1?34觀察每一項(xiàng)的組成是1加或減一個(gè)分?jǐn)?shù)的形式，分?jǐn)?shù)的分子是連續(xù)的奇數(shù)，分母是連續(xù)偶數(shù)的平方，∴an=1+（3）∵0，2，0，2，∴該數(shù)列可化為(1?1)?22，(1+1)?22，∴an=[1+二．選擇題3．預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，“直接推算法”使用的公式是Pn=P01+knk>?1，其中Pn為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，P0A．呈上升趨勢(shì) B．呈下降趨勢(shì) C．?dāng)[動(dòng)變化 D．不變【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知k為預(yù)測(cè)期內(nèi)年增長(zhǎng)率，當(dāng)k∈(?1,0)，可知年增長(zhǎng)率為負(fù)，由此即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，k為預(yù)測(cè)期內(nèi)年增長(zhǎng)率，如果在某一時(shí)期有k∈(?1,0)，即年增長(zhǎng)率為負(fù)，故這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì).故選:B.4．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的17是較小的兩份之和，則最小的一份為（

A．53 B．103 C．56【答案】A【分析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為{an}，設(shè)公差為d，可得a3+a4+【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為{an}依題意可得，S5∴a∴60+3d=7(40?3d)，解得d=55∴a故選:A.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5．如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法是：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長(zhǎng)依次記為C1，C2，C3，CA．1289 B．649 C．6427【答案】B【分析】觀察圖形可得出Cn為首項(xiàng)為C1=3【詳解】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，從第二個(gè)圖形開始，每一個(gè)圖形的周長(zhǎng)都在前一個(gè)的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上多了其周長(zhǎng)的13，即C所以Cn為首項(xiàng)為C1=3∴C故選：B.三．填空題6．已知a=5+26，c=5?26，若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則b=__________，若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則【答案】

5

±1【分析】由等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.所以b=a+c若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.所以b故答案為：5，±1.7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_____________【答案】3【詳解】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7=a1(1?2點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.四．解答題8．某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期