2021年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練圓錐曲線中的基本量及性質(zhì)的考查含解析

考試考試/考試圓錐曲線中的基本量及性質(zhì)的考查考查圓錐曲線的題目有小有大，其中小題以考查圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程及幾何性質(zhì)為主，難度在中等或以上；大題則主要考查直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系問題；命題的主要特點有：一是以過特殊點的直線與圓錐曲線相交為基礎(chǔ)設(shè)計“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程·一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)X圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距F1F2＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2焦半徑公式：稱到焦點的距離為橢圓的焦半徑①設(shè)橢圓上一點，則（可記為“左加右減”）②焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為，最小值為焦點三角形面積：（其中）一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a>0，c>0.(1)當(dāng)a＜c時，點P的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)a＝c時，點P的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)a＞c時，點P不存在．二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)X圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長常用結(jié)論1、過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為eq\f(2b2,a)，也叫通徑．2、與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．3、雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.4、若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.三、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)X圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑公式：設(shè)拋物線的焦點為，，則焦點弦長：設(shè)過拋物線焦點的直線與拋物線交于，則（，再由焦半徑公式即可得到）1、已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=A．2B．3C．6D．9【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C．2、設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為A．B．C．D．【答案】B【解析】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標(biāo)為，故選：B．3、設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A．4、設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為A．B．C．D．【答案】D【解析】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得．故選：．5、已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】設(shè)圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取得等號，故選：A．6、若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2B．3C．4D．8【答案】D【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．7、雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則△PFO的面積為A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，則，，故選A．8、已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則A．a(chǎn)2=2b2B．3a2=4b2C．a(chǎn)=2bD．3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率，化簡得，故選B.9、已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為原點），則雙曲線的離心率為A．B．C．D．【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有，∴，，，∴.故選D.10、漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是A．B．1C．D．2【答案】C【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，則，所以雙曲線的離心率.故選C.11、已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點．若，，則C的方程為A．B．C．D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．12、已知曲線.A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD．13、已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.【答案】2【解析】聯(lián)立，解得，所以.依題可得，，，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為.故答案為：．14、已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為_________．【答案】5【解析】因為圓心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．15、已知雙曲線，則C的右焦點的坐標(biāo)為_________；C的焦點到其漸近線的距離是_________．【答案】；【解析】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為.故答案為：；.16、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是▲．【答案】【解析】雙曲線，故.由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：17、設(shè)為橢圓C:的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】由已知可得，，∴．設(shè)點的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．18、已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且．（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】（1）由已知可設(shè)的方程為，其中.不妨設(shè)在第一象限，由題設(shè)得的縱坐標(biāo)分別為，；的縱坐標(biāo)分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）知，，故，設(shè)，則，，故.①由于的準(zhǔn)線為，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去），.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19、已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【解析】（1）由題設(shè)可得，得，所以的方程為.（2）設(shè)，根據(jù)對稱性可設(shè)，由題意知，由已知可得，直線BP的方程為，所以，，因為，所以，將代入的方程，解得或.由直線BP的方程得或8.所以點的坐標(biāo)分別為.，直線的方程為，點到直線的距離為，故的面積為.，直線的方程為，點到直線的距離為，故的面積為.綜上，的面積為.20、已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【解析】設(shè)直線．（1）由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．由，可得，則．從而，得．所以的方程為．（2）由可得．由，可得．所以．從而，故．代入的方程得．故．一、單選題1、拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，所以拋物線為開口向上的拋物線，且，所以焦點坐標(biāo)為，故選：C2、已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則值為（）A．2B．3C．4D．【答案】C【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，又其一條漸近線與直線垂直，直線的斜率為，所以故選：C.3、若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題,離心率,解得,因為焦點在軸上,則漸近線方程為,即故選：C4、拋物線上一點與焦點間的距離是10，則點到軸的距離是（）A．10B．9C．8D．5【答案】B【解析】拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，因為M到焦點的距離為10，由定義可知，M到準(zhǔn)線的距離也為10，所以到M到軸的距離是9.故選:B．5、設(shè)分別是雙曲線的左?右焦點，過點的直線交雙曲線的右支于兩點，若，且，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，則，由余弦定理得，解得，為直角三角形，，故選：B.6、已知雙曲線：（，）的上、下頂點分別為，，點在雙曲線上（異于頂點），直線，的斜率乘積為，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)點，又，，則，所以，又因為點在雙曲線上得，所以，故，所以則雙曲線的漸近線方程為.故選：B二、多選題7、已知拋物線的焦點為，直線的斜率為且經(jīng)過點，直線與拋物線交于點、兩點（點在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點，若，則以下結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】如下圖所示：分別過點、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項正確；，又，為的中點，則，B選項正確；，，（拋物線定義），C選項正確；，，D選項錯誤.故選：ABC.8、已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，則能使雙曲線C的方程為的是()A．離心率為B．雙曲線過點C．漸近線方程為D．實軸長為4【答案】ABC【解析】由題意，可得：焦點在軸上，且；A選項，若離心率為，則，所以，此時雙曲線的方程為：，故A正確；B選項，若雙曲線過點，則，解得：；此時雙曲線的方程為：，故B正確；C選項，若雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程為：，所以，解得：，所以此時雙曲線的方程為：，故C正確；D選項，若實軸長為4，則，所以，此時雙曲線的方程為：，故D錯誤；故選：ABC.9、關(guān)于雙曲線，下列說法正確的是（）A．該雙曲線與雙曲線有相同的漸近線B．過點作直線與雙曲線交于，若，則滿足條件的直線只有一條C．若直線與雙曲線的兩支各有一個交點，則直線的斜率D．過點能作4條直線與雙曲線僅有一個交點【答案】ACD【解析】雙曲線的漸近線方程可表示為為，雙曲線的漸近線方程可表示為，整理后都是，故A正確；由于雙曲線的實軸長為,∴過焦點與左右兩支都相交的直線被雙曲線截得的弦長的取值X圍是,存在關(guān)于對稱的兩種情況，使其弦長為5，另外當(dāng)直線垂直于x軸時，經(jīng)計算可得弦長正好是5，故滿足條件的直線有三條，如圖所示：故B錯誤；由于雙曲線的漸近線的斜率為，焦點在x軸上，∴若直線與雙曲線的兩支各有一個交點，則直線的斜率，如圖所示：故C正確；由于點在雙曲線的兩條漸近線的上方，如圖所示：故過能作4條直線與雙曲線僅有一個交點，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與雙曲線相切.故選：.10、如圖，過點作兩條直線和：（）分別交拋物線于，和，（其中，位于軸上方），直線，交于點．則下列說法正確的（）A．，兩點的縱坐標(biāo)之積為B．點在定直線上C．點與拋物線上各點的連線中，最短D．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，始終有【答案】ABC【解析】設(shè)點，將直線l的方程代入拋物線方程得：.則，故A正確；由題得，則，，直線的方程為，直線的方程為，消去y得，將代入上式得，故點Q在直線上，故B正確；設(shè)拋物線上任一點，則，當(dāng)時，最小，此時，即最短，故C正確；因為，但，所以D錯誤.故選：ABC.11、已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于點，且，.下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．△的面積為【答案】BCD【解析】選項A.由拋物線的定義可得，解得，所以A不正確.選項B.所以，，拋物線方程為將點坐標(biāo)代入拋物線方程，得，所以，所以B正確選項C.當(dāng)時，則，則直線的方程為：則，得，解得或所以，則，同理當(dāng)時，可得，所以C正確.選項D.由上可知當(dāng)時，同理當(dāng)時，，所以D正確.故選：BCD三、填空題12、雙曲線的左?右頂點分別為A，B