高中數(shù)學(xué)講義100微專題083特殊值法解決二項(xiàng)式展開系數(shù)問題

1-微專題83特別值法解決二項(xiàng)式綻開系數(shù)問題一、基礎(chǔ)學(xué)問：1、含變量的恒等式：是指無論變量在已知范圍內(nèi)取何值，均可使等式成立。所以通?？蓪ψ兞拷o予特別值得到一些特別的等式或性質(zhì)2、二項(xiàng)式綻開式與原二項(xiàng)式呈恒等關(guān)系，所以可通過對變量賦特別值得到有關(guān)系數(shù)（或二項(xiàng)式系數(shù)）的等式3、常用賦值舉例：（1）設(shè)，①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：（2）設(shè)①令，則有：，即綻開式系數(shù)和②令，則有：，即常數(shù)項(xiàng)③令，設(shè)為偶數(shù)，則有：，即偶次項(xiàng)系數(shù)和與奇次項(xiàng)系數(shù)和的差由①③即可求出和的值二、典型例題：例1：已知，則的值為________思路：視察發(fā)覺綻開式中奇數(shù)項(xiàng)對應(yīng)的指數(shù)冪為奇數(shù)，所以考慮令，則偶數(shù)項(xiàng)相同，奇數(shù)項(xiàng)相反，兩式相減即可得到的值解：令可得：①令可得：②①②可得：答案：例2：已知，則的值為（）A.B.C.D.思路：本題雖然恒等式左側(cè)困難，但仍舊可通過對給予特別值得到系數(shù)的關(guān)系式，視察所求式子特點(diǎn)可令，得到，只需再求出即可。令可得，所以答案：B例3：設(shè)，則的值為（）A.B.C.D.思路：所求，在恒等式中令可得：，令時，所以答案：A例4：若，則等于（）A.B.C.D.思路：雖然綻開式的系數(shù)有正有負(fù)，但與對應(yīng)系數(shù)的肯定值相同，且均為正數(shù)。所以只需計(jì)算綻開的系數(shù)和即可。令，可得系數(shù)和為，所以答案：A例5：若，則__________思路：所求表達(dá)式可變形為：，從而只需求出和系數(shù)和即可。令可得：，令可得：，所以答案：2014例6：若，且，則等于（）A.B.C.D.思路：由可得或，解得，所求表達(dá)式只需令，可得答案：A例7：若，則（）A.B.C.D.思路：所求表達(dá)式中的項(xiàng)呈現(xiàn)2的指數(shù)冪遞增的特點(diǎn)，與恒等式聯(lián)系可發(fā)覺令，可得：，令可得：，所以，所以所求表達(dá)式變形為：，而，所以，從而表達(dá)式的值為答案：D例8：已知，若，則的值為（）A.B.C.D.思路：在恒等式中令可得系數(shù)和，與條件聯(lián)系可考慮先求出，令，可得，綻開式中為最高次項(xiàng)系數(shù)，所以，，所以，即，解得答案：B例9：若，則的值是（）A.B.C.D.思路：視察所求式子中項(xiàng)的系數(shù)剛好與二項(xiàng)綻開式中所在項(xiàng)的次數(shù)一樣，可聯(lián)想到冪函數(shù)求導(dǎo)：，從而設(shè)，恒等式兩邊求導(dǎo)再令可解得的值，再在原恒等式中令計(jì)算出即可解：設(shè)令可得：而在中，令可得：答案：D例10：若等式對于一切實(shí)數(shù)都成立，則（）A.B.C.D.思路：從所求表達(dá)式項(xiàng)的系數(shù)與綻開式對應(yīng)項(xiàng)聯(lián)系起來可聯(lián)想到在恒等式中兩邊同取不定積分。例如：，再利用賦值法令即可得到所求表達(dá)式的值解：，兩邊同取不定積分可得：令可得：令可得：答案：B小煉有話說：（1）本題可與例9作一個比照，都是對二項(xiàng)綻開的恒等式進(jìn)行等價變換。是求導(dǎo)還是取不定積分是由所求表達(dá)式項(xiàng)的系數(shù)與綻開式系數(shù)比照所確定的。（2）在取不定積分時，本題有兩個細(xì)微環(huán)節(jié)，一個是找尋的原函數(shù)，要留意其原函數(shù)求導(dǎo)時涉及