人教版高一數(shù)學(xué)講義 三角函數(shù)的應(yīng)用

人教版高一數(shù)學(xué)精品講義三角函數(shù)的應(yīng)用

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握三角函數(shù)的圖象與解析式之間的

對(duì)應(yīng)問(wèn)題的處理方法.

2.能結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)與生活中與三角函數(shù)

之間的密切關(guān)系，用三角函數(shù)這一數(shù)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握常見(jiàn)的三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題

學(xué)模式解決與之相關(guān)的問(wèn)題.

的處理方法，了解并掌握數(shù)學(xué)建模的方法與步驟，能處

3.能處理三角函數(shù)相關(guān)學(xué)科之間的問(wèn)

理與三角函數(shù)相結(jié)合的數(shù)學(xué)問(wèn)題、物理問(wèn)題及與之相關(guān)

題，用三角函數(shù)這一重要工具解決與

的其它學(xué)科與生產(chǎn)、生活有密切聯(lián)系的問(wèn)題.

數(shù)學(xué)、物理學(xué)及其它學(xué)科與之相關(guān)聯(lián)

的問(wèn)題.

4.掌握數(shù)學(xué)建模的重要方法與步驟，并

能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽?yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

四N知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)

1.三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻

畫(huà)周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)等方面發(fā)揮著十分重要的作用.

教材中的例2對(duì)太陽(yáng)光照以及潮汐問(wèn)題的研究為我們展示了怎樣運(yùn)用模型化的思想建立三

角函數(shù)模型的方法和過(guò)程.

2.三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟

三角函數(shù)模型應(yīng)用即建模問(wèn)題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在

某點(diǎn)處的函數(shù)值，進(jìn)而使實(shí)際問(wèn)題得到解決.

步驟可記為：審讀題意一建立三角函數(shù)式一根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值一解決實(shí)際問(wèn)

題.

這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然

后寫(xiě)出具體的三角函數(shù)解析式.

3.三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用

我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，通過(guò)觀察散點(diǎn)圖并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，

從而獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個(gè)函數(shù)模型來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.

【即學(xué)即練1】把函數(shù)產(chǎn)sin（x+mTT）的圖象上所有點(diǎn)向右平移TT;個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象

的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的解析式是產(chǎn)sin（cox+<p）（。>0,

刷〈兀），貝（）

A.①二一,(p=—~B.co=2,(p=—

233

C.co=2,(p=0D.co=2,(p=

【答案】C

IT7T

【解析】把函數(shù)v=sin（x+—）的圖象上所有點(diǎn)向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)

-33

得圖象的解析式是產(chǎn)sin2x,故co=2,%0.

【即學(xué)即練2】電流強(qiáng)度/（單位：安）隨時(shí)間/（單位：秒）變化的函數(shù)上Asin（而+9）

（A>0,G>0,0<9<1）的圖象如圖所示，則當(dāng)仁標(biāo)秒時(shí)，電流強(qiáng)度是（

10

5

A.—5安B.5安

C.5石安D.10安

【答案】A

【解析】由題圖可知A=10T,-4------1-—,即4」1所以3=2」兀=100兀，函數(shù)圖象過(guò)

230030050T

7TITJTI

點(diǎn)（0,5）且0<”一，所以3=一，所以函數(shù)為/=10sin（100河+一），當(dāng)上一秒時(shí)，1=

266100

一5安.故選A.

7T

【即學(xué)即練3】如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)）=3sin（―x+⑼

+k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（)

【答案】C

【解析】根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2,有-3+無(wú)=2,"5,最大值為3+48.

【即學(xué)即練4】如圖所示，質(zhì)點(diǎn)尸在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為幾（、回，

一夜），角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸的距離d關(guān)于時(shí)間/的函數(shù)圖象大致為（）

【答案】C

【解析】因?yàn)锽（血，-V2）,所以NPo。產(chǎn)一△.因?yàn)榻撬俣葹?,所以按逆時(shí)針旋

4

兀

轉(zhuǎn)時(shí)間t后，得NPOPE所以NPQxr——.由三角函數(shù)定義，知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

4

2sin（f—）,因此42|sin（f—）|.令/=0,貝U4Zlsinl—）|=>/2,.當(dāng)片一時(shí)，（1=0.故

4444

選C.

【即學(xué)即練5】某彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其位移函數(shù)為y=sin（初+雪（。>0）,其中/表示

振動(dòng)的時(shí)間，y表示振動(dòng)的位移，當(dāng)fe[0,2]時(shí)，該振子剛好經(jīng)過(guò)平衡位置（平衡位置即位

移為0的位置）5次，則在該過(guò)程中該振子有（）次離平衡位置的距離最遠(yuǎn).

A.3B.2C.5D.5或6

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)的草圖，根據(jù)函數(shù)的圖像，得出該振子離平衡位置的距離最遠(yuǎn)的

次數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)出草圖，由圖可知2€L,々)，fe[0,2]時(shí)，該振子離平衡位置的距

【即學(xué)即練6]我們學(xué)過(guò)用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者提出用“面度制''度量角，

因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中，同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱

這個(gè)常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做面度制.在面度制

下，角。的面度數(shù)為(，則角。的余弦值為()A.-與B.

C.yD.2

22

【答案】B

【分析】利用扇形面積公式，根據(jù)面度數(shù)定義，求角夕

【詳解】由面度數(shù)的定義可知把[=巳，即。=斗，cosO=cos尋=-4.故選：B

r2332

Q能力拓展

考法01

1.函數(shù)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)問(wèn)題

(1)已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，可結(jié)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)排除干擾項(xiàng)即可得到正確的

選項(xiàng).

(2)函數(shù)圖象與解析式的對(duì)應(yīng)問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)，解決此類問(wèn)題的一般方法是根據(jù)

圖象所反映出的函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性、值域，

此外零點(diǎn)也可以作為判斷的依據(jù).

【典例1].已知函數(shù)/(x)=3sin(2x+}],xeR.

(1)用“五點(diǎn)法''作出y=/(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖;

(2)請(qǐng)說(shuō)明函數(shù)y=f(x)的圖像可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【分析】

(I)先由函數(shù)解析式，按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表，再描點(diǎn)連線，即可得出圖像；

(2)根據(jù)函數(shù)的平移變換以及伸縮變換的原則，即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：(1)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：

c兀n3冗

2x+-0Tl2兀

62T

兀Tl5兀2萬(wàn)1171

X

"12612~3~~\2

f(x)030-30

簡(jiǎn)圖如圖所示.

(2)先將函數(shù)y=sinx圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，得到y(tǒng)=3sinx

的圖像；再將得到的圖像向左平移,個(gè)單位長(zhǎng)度，得至ijy=3sin(x+^)的圖像；最后將得到

的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到〃x)=3sin(2x+S)的圖像.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)圖像的畫(huà)法，以及三角函數(shù)的伸縮變換與平移變換，熟記五點(diǎn)作圖法,

以及圖像變換的法則即可，屬于常考題型.

ABCD

【答案】A

【解析】?.?曠=111905彳）［一5冗<8<7/1）\是偶函數(shù)，；.可排除8、D；

又當(dāng)X=」兀時(shí)，y=ln1—<0,故選A.

32

【名師點(diǎn)睛】該題也可直接利用余弦函數(shù)的定義域得到，顯然只有選項(xiàng)A滿足題意，直

接得到正確的選項(xiàng).所以該類問(wèn)題抓住函數(shù)的“特性”很重要.

【即學(xué)即練8］函數(shù)y=sin園的圖象是（）

【答案】B

【解析】令心）=sinR,xeR,則人一x）=sin|-x|=sin國(guó)=於），：.函數(shù)式x）=sinl%|為偶函

數(shù)，排除A；

兀兀兀

又當(dāng)彳=一時(shí),y=sin|—|=sin—=1,排除D；

2^22

當(dāng)*=—時(shí)，y=sin|—|=sin—=—1,排除C,故選B.

222

【名師點(diǎn)睛】解決函數(shù)圖象與解析式對(duì)應(yīng)問(wèn)題的策略

（1）解決此類問(wèn)題的一般方法是根據(jù)圖象所反映出的函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決，如函數(shù)的奇偶性、

周期性、圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性、值域，此外零點(diǎn)也可以作為判斷的依據(jù).

（2）利用圖象確定函數(shù)尸Asin（3x+0）的解析式，實(shí)質(zhì)就是確定其中的參數(shù)A,s,<p.

其中A由最值確定；

。由周期確定，而周期由特殊點(diǎn)求得；

夕由點(diǎn)在圖象上求得，確定e時(shí)，注意它的不唯一性，一般是求儂中最小的外

考法02

函數(shù)解析式的應(yīng)用

(1)已知實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)解析式解決相關(guān)問(wèn)題，題目一般很容易，只需將具體的值代入

計(jì)算即可.

(2)三角函數(shù)模型中函數(shù)解析式的應(yīng)用主要是對(duì)相關(guān)量物理意義的考查.

【典例2].如圖，某海港一天從0~12h的水位高度)，(單位：m)隨時(shí)間f(單位：h)的

變化近似滿足函數(shù)y=Asin("+e)+/A>O(y>O,O<e<；T).

(2)若該海港在水位高度不低于6m時(shí)為輪船最佳進(jìn)港時(shí)間，那么該海港在0~12h,輪船

最佳進(jìn)港時(shí)間總共多少小時(shí)？

【答案】⑴y=4sin(9+f]+4,0融12；(2)—h.

【分析】

(1)由圖可得4=亨=4,苧=4,7=2x00-2)=16,再由周期公式可求出@,

再把將f=2,y=8代入可求出。的值，從而可求得函數(shù)的解析式；

(2)由4$皿尋+?)+4.6可求出結(jié)果

【詳解】

Q_Ao_i_n

(1)由圖可知，4=7=4,人=0=4.

24

；7=2x00-2)=16,.-.—=16,解得。=工，

co8

TT7T

將f=2,y=8代入上式，解得gx2+*=g+2Z;r,kwZ,

82

?.?0<9<乃,：.(p=—,

4

故該曲線的函數(shù)解析式為>=4如序+?1+4,0釉12.

(2)由題意得4sin[j+丁]+4..6,B|Jsinf-/\,解得5+2版啜e/+乙之^+2上萬(wàn)，

184；(84J26846

214

keZ,即--F16/^)-----F16k,%￡Z.

33

14

?.,0釉12,???當(dāng)2=0時(shí)，即噫小—,

3

14

??.該海港在0~12h的輪船最佳進(jìn)港時(shí)間總共為.

【即學(xué)即練9】如圖，某地一天從6?14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)尸Asin(s+9)+

伙A>0,co>0,0<勿<兀)，則該函數(shù)的表達(dá)式為.

兀371

【答案】y=10sin(-x+—)+20

84

【解析】由題意可知，函數(shù)的周期7=2x(14—6)=16,.??3=生=4.

168

30-10.

2.?.y=10sin(/x+o)+20.

30+10

----------=b7

2

71371371

/?20=10sin(—x10+@)+20,sin(-------Fp)=0,------卜(p=kit,%￡Z.

,3兀7i3兀

XVO<69<7t,：?中=—,Ay=10sin(—x-\------)+20.

484

考法03

三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用

【典例3】下圖是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像.試根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題:

(2)從。點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)？如果從A點(diǎn)算起呢？

(3)寫(xiě)出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】⑴振幅為2cm,周期為0.8s,頻率為，

(2)如果從。點(diǎn)算起，到曲線上。點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；如果從A點(diǎn)算起，到曲線

上E點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；

54

(3)y=2sin—[0,+8),

【分析】

(1)從圖像中可以直接得到振幅、計(jì)算周期和頻率；

(2)從圖像中可以看出；

(3)設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)諾動(dòng)的函數(shù)解析式為尸加出(的+9)/目0,e),從圖像得到4例9,即可得到

解析式.

【詳解】

(1)從圖像中可以看出：這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為2cm,周期為0.8s,頻率為士=二；

0.84

(2)如果從。點(diǎn)算起，到曲線上。點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；如果從4點(diǎn)算起，到曲線

上E點(diǎn)，表示完成了?次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；

(3)設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式為丫=45也(的+。)/€[0,—),由圖像可知：A=2,。=0,

又由7=3=0.8,得：(0=—.

co2

所以所求筒諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式為y=2singx,xe[0,+?>).

【典例4]彈簧掛著的小球做上下振動(dòng)，它在時(shí)間小)內(nèi)離開(kāi)平衡位置(靜止時(shí)的位置)的距離

TT

/?(cm)由下面的函數(shù)關(guān)系式表示：/z=3sin(2f+-).

4

(1)求小球開(kāi)始振動(dòng)的位置；

(2)求小球第一次上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位置:

(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往返振動(dòng)一次？

(4)每秒內(nèi)小球能往返振動(dòng)多少次？

【解析】(1)令M),得九=3sinq=逑，所以開(kāi)始振動(dòng)的位置為(0，—Y

422

7TTT

(2)由題意知，當(dāng)〃=3時(shí)，t=-,即最高點(diǎn)為(石,3);

OO

當(dāng)〃=-3時(shí)，t=^,即最低點(diǎn)為(9,一3).

OO

2兀

(3)T=—=71-3.14,即每經(jīng)過(guò)約3.14s小球往返振動(dòng)一次.

2

(4)/=1?0.318,即每秒內(nèi)小球往返振動(dòng)約0.318次.

【名師點(diǎn)睛】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于明確各個(gè)參數(shù)的物理意義，易出現(xiàn)的問(wèn)題是混淆彼此

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致錯(cuò)解.

【典例5］單擺從某點(diǎn)開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置的距離s(單位：cm)和時(shí)間《單位：s)

的函數(shù)關(guān)系式為s=6sin(2w+」JT).

6

(1)作出函數(shù)的圖象.

(2)當(dāng)單擺開(kāi)始擺動(dòng)(f=0)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是多少？

(3)當(dāng)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開(kāi)平衡位置的距離是多少？

(4)單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需多長(zhǎng)時(shí)間？

［解析］(1)利用“五點(diǎn)法''可作出其圖象.

兀

(2)因?yàn)楫?dāng)f=0時(shí)，s=6sin7=3,所以此時(shí)離開(kāi)平衡位置3cm.

(3)離開(kāi)平衡位置6cm.

(4)因?yàn)門(mén)=——=l,所以單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為Is.

2兀

【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用

三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，其中對(duì)■彈簧振子和單擺的運(yùn)動(dòng)等有關(guān)

問(wèn)題考查最多，尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.

考法04

三角函數(shù)在平面幾何中的應(yīng)用

【典例6】如圖，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點(diǎn)落在矩形的左邊上，那么折痕

長(zhǎng)度/取決于角。的大小.探求/，。之間的關(guān)系式，并導(dǎo)出用。表示/的函數(shù)表達(dá)式.

6cm

sin6(1+cos20)

【分析】

根據(jù)圖形判斷直角三角形，利用直角三角形求解AE=GE8s2e=/sinecos2e,山

AE+BE=lsm0cos20+lsin0=6,求解艮|1可.

【詳解】

解：由已知及對(duì)稱性知，GF=BF=lcos0,GE=BE=lsinG,

又NG￡4=NGF8=26,

AE=GEcos20=/sinOcos20,

又由A￡+8E=/sin0cos2(?+/sine=6得：/=....-----r-

sin0(l+cos2。)

【典例7】南開(kāi)園自然環(huán)境清幽，棲居著多種鳥(niǎo)類，熱愛(ài)動(dòng)物的南鶯同學(xué)獨(dú)愛(ài)其中形貌雅致

的藍(lán)膀香鵲，于是她計(jì)劃與生物興趣小組的同學(xué)一起在翔字樓前廣場(chǎng)一角架設(shè)一臺(tái)可轉(zhuǎn)動(dòng)鏡

頭的相機(jī)，希望可以捕捉到這種可愛(ài)鳥(niǎo)兒的飄逸瞬間，南同學(xué)設(shè)計(jì)了以下草圖，為簡(jiǎn)化模型，

假設(shè)廣場(chǎng)形狀為正方形，邊長(zhǎng)為1,已知相機(jī)架設(shè)于4點(diǎn)處，其可捕捉到圖象的角度為45。，

即NP4Q=45,其中尸，。分別在邊BC,。上，記ZR4P=，（0麴B(yǎng)45）.

DQ

(1)南鶯同學(xué)的數(shù)學(xué)老師很欣賞她的計(jì)劃，并根據(jù)她的設(shè)計(jì)草圖編制了此刻你正在思考的

這道期中考試試題，設(shè)AC與PQ相交于點(diǎn)R,當(dāng)6=30時(shí)，請(qǐng)你求出：

(i)線段。。的長(zhǎng)為多少？

(ii)線段AR的長(zhǎng)為多少？

(2)為節(jié)省能源，南鶯同學(xué)計(jì)劃在廣場(chǎng)上人員較多的時(shí)段關(guān)閉相機(jī)鏡頭的自動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)功能，

為使相機(jī)能夠捕捉到的面積(即四邊形APCQ的面積，記為S)最大，。應(yīng)取何值？S的最大值

為多少？

【答案】(1)⑴2-g,(ii)娓-五,(2)

【分析】

(I)如圖建立平面宜角坐標(biāo)系，在R/ADAQ中，直接求解力。，從而可得。(2-6,1),求

出直線PQ的方程，再與直線AC的方程聯(lián)立可求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式可

求出AR的長(zhǎng)：

JT7T

(2)由于BP=ABtan9=tan氏DQ=ADtan(--0)=tan(--6),從而可求出54八旅總餌的

44

值，進(jìn)而可表示出四邊形APC。的面積，再用三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值

【詳解】

解：(1)如圖建立平面直角坐標(biāo)系，由于0=30。，AB=AD=BC=CD=l,

所以A(O,O),C(1,1),3(1,0),0(0,1),

由tan(9=§^,得BP=48tan30°=立，所以尸(1,3)，

AB33

因?yàn)镹PAQ=45,ZBAP=30°,所以ND4Q=15°,

tan45°-tan30°

tanl50=lan(45°-30°)==2-73

1+tan45°tan30°

在R/AZM。中，tanZDAQ=^-,則0。=AQtanNZMQ=tanl5°=2-石，

AD

所以Q(2-G,l),

,V3

I6k=-----

k+m=——

設(shè)直線PQ為y=H+",則,3,解得＜3所以直線尸。為

2V3

(2—Ji)女+m=1m=-----

3

直線47為曠=》,

所以AR=J(層ip+(6-i)2=&(G-i)="_&

jrjr

(2)BP=ABt^nG=tanO,DQ=ADtan(----0)=tan(--0),

44

所以山即="8郎=如&山網(wǎng)=3皿DQ=gtang_。),

_117r

所以S=1-5“"一=l--tan^--tan(--0),

isin。cos0-sin0

=1---------------------------------

2cos02(cos0+sin6)

2cos28+2cosdsin。

1+cos26+sin2。

V2sin(2(9+-)+l

<i--^—=2-42,當(dāng)且僅當(dāng)26+?=],即e=J時(shí)取等號(hào),

V2+1428

所以當(dāng)。=9時(shí)，s取得最大值，最大值為2-夜

O

0(4)

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線產(chǎn)。、

AC的方程，從而可求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AA的長(zhǎng)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力,

屬于中檔題

考法05

三角函數(shù)模型的應(yīng)用

三角函數(shù)應(yīng)用模型的三種模式:

一、給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決

一些實(shí)際問(wèn)題；

二、給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問(wèn)題；

三、搜集一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過(guò)擬合函數(shù)圖象，求出可

以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題.

【典例8]已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度是時(shí)間f(h)的函數(shù)，記作下表是某日各時(shí)的

浪高數(shù)據(jù).

03691215182124

y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，。的曲線可近似地看成是函數(shù)尸Acosof+A

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)〉=4?^h+人的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式；

(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一

天內(nèi)的上午8時(shí)到晚上20時(shí)之間，有多長(zhǎng)時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？

【解析】(1)依題意，得T=12,A=?1miiL=0.5,加=%絲+2皿=],

I7[71717c

(2)令>>=—cos—f+1>1,則2E——<——(fcGZ),

26262

：.\2k-3<t<\2k+3(k&Z).又,.,8<7<20,.,.9</<15,

...從9點(diǎn)到15點(diǎn)適合對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，一共有6個(gè)小時(shí).

【名師點(diǎn)睛】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)已知條

件確定函數(shù)解析式中的各個(gè)參數(shù)，最后利用模型解決實(shí)際問(wèn)題.

【典例9】心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張

壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.設(shè)某人的血壓滿

足函數(shù)式p(f)=115+25sin160*其中p(f)為血壓(mmHg),f為時(shí)間(min),試回答下列問(wèn)題:

(1)求函數(shù)p⑺的周期；

(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；

(3)畫(huà)出函數(shù)p⑺的草圖；

(4)求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù).

2兀2兀1

【解析】(1)由于刃=160兀，代入周期公式7=「，可得丁=——=——(min),所

1勿160兀80

以函數(shù)〃⑺的周期為上min.

(2)每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率/=工=80(次).

T

(3)列表：

1131

t0

32016032080

PS11514011590115

描點(diǎn)、連線并向左右擴(kuò)展得到函數(shù)p⑺的簡(jiǎn)圖如圖所示:

(4)由圖可知此人的收縮壓為140mmHg,舒張壓為90mmHg.

【名師點(diǎn)睛】解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟：

TT

【典例10］如圖，在扇形OPQ中，半徑。p=l,圓心角NPOQ=1,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),

矩形ABCQ內(nèi)接于扇形.記NPOC=e,求當(dāng)角。取何值時(shí)，矩形ABC。的面積最大？并求

出這個(gè)最大面積.

Q

p

【答案】a=3時(shí)，矩形ABCD的面積，最大面積為亳

66

【分析】

由題意可得CO=cosa--Usina,BC=sma,從而可得矩形ABC。的面積為

。3

S=CDBC=(cosa--7=sina)sina=-7=sin(2a+^)---尸,再由0<a<二可得

V3V362j33

g<2a+f<苧，由此可得2a+g=g時(shí)，S取得最大值

o0062

【詳解】

在RZaOBC中，BC=sina,OC=cosa,

..AD7trr

在RsADO中，---=tan—=V3,

OD3

所以O(shè)D=—尸AD=―尸BC=-尸sincc,

v35/3,3

所以C￡)=OC-O￡)=cosa-爰'Sina,

設(shè)矩形的面積為S,則

S=CDBC

=(cosa--y=sina)-sina

=sinacosa--j=sin2a

△sin2a+)cos2a--

22V32V3

小3+令-白

八7zciKAn57rllr1、0八冗71....71?.

由0<a<三,得二<2a+w<丁，所以當(dāng)2a+7=彳，即夕=二時(shí),

3666626

Sa=耳一訪=不，

因此，當(dāng)a=￡時(shí)，矩形ABCD的面積，最大面積為由,

66

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將四邊形A88的面積表示為

/1.、.1/c7T、1

S=CD?BC-(cosa——尸sina)-sina=—j=sm(2a+—)---產(chǎn)再利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求

V3V362V3

得其最大值，屬于中檔題

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)y=4sin（5x-。）的相位與初相分別是（）

_717T

A.5x,—B.5x—3,4

33

7T乃

C.5x-3,--D.4,-

33

【答案】C

【分析】

根據(jù)相位與初相的概念，直接求解即可.

【詳解】

TFTT

相位是5x-y；當(dāng)x=0時(shí)的相位為初相，即

故選：C

2.在兩個(gè)彈簧上各掛一個(gè)質(zhì)量分別為M和M2的小球，它們做上下自由振動(dòng).已知它們?cè)?/p>

時(shí)間/（s）時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移si（cm）和S2（cm）分別由下列兩式確定：

則在時(shí)間f=彳時(shí)，S1與$2的大小關(guān)系是()

A.51>52B.51<52

C.51=52D.不能確定

【答案】C

【分析】

將「=等代入求值，可得Sl=S2

【詳解】

,21,(_242萬(wàn)

當(dāng)/=~7"時(shí)，5i=5sin2x—+—=—5,5?=5cos2x---=—5,.'.si=S2

3\3oJ\33J

故選：C

3.月均溫全稱月平均氣溫，氣象學(xué)術(shù)語(yǔ)，指一月所有日氣溫的平均氣溫.某城市一年中12個(gè)

月的月均溫y(單位：O與月份x(單位：月)的關(guān)系可近似地用函數(shù)產(chǎn)4%m(x-3)+a

o

(x=l,2,3,…,12)來(lái)表示，已知6月份的月均溫為29C,12月份的月均溫為17C,則10月

份的月均溫為()

A.20CB.20.5CC.21CD.21.5C

【答案】A

【分析】

由題意得出關(guān)于A、。的方程組，可得出函數(shù)解析式，在函數(shù)解析式中令x=10可得結(jié)果.

【詳解】

Asin——Fa=A+a=29

2A=6

由題意可得；,解得

a=23

Asm-+a=a-A=\l

I2

所以，函數(shù)解析式為y=6sin-(x-3)+23,

O_

在函數(shù)解析式中，令尤=10,可得y=6sinV+23=6x(-g)+23=20.

因此，10月份的月均溫為20C.

故選：A.

4.在一個(gè)港口，相鄰兩次高潮發(fā)生的時(shí)間相距12h,低潮時(shí)水深為9m,高潮時(shí)水深為15

m.每天潮漲潮落時(shí)，該港口水的深度y(m)關(guān)于時(shí)間f(h)的函數(shù)圖象可以近似地看成

函數(shù)y=Asin(M+0)+&(A>0,。>0)的圖象,其中叱然24,且f=3時(shí)漲潮到一次高潮，則

該函數(shù)的解析式可以是（）

A.y=3sin^/+12B.y=-3sin^f+12

TTTT

C.y=3sin—/+12D.y=3cos-/+12

【答案】A

【分析】

97TTT

由兩次高潮的時(shí)間間隔⑵知7=12,且7=12=——3>0）得。=g又由最高水深和最低

a>6

水深得A=3,k=n,將r=3y=15代入解析式解出夕，進(jìn)而求出該函數(shù)的解析式.

【詳解】

由相鄰兩次高潮的時(shí)間間隔為12兒知7=12,且7=12=生（3>0）,得3=又由高潮

時(shí)水深15團(tuán)和低潮時(shí)水深9得A=3,k—\2,由題意知當(dāng)r=3時(shí)，y=15.故將f=3,

y=15代入解析式尸3$，2/+0）+12中，得35畝（會(huì)3+0）+12=15,得已乂3+中=]+

2kMkGZ）,解得（p=2k7t（keZ）.所以該函數(shù)的解析式可以是y=3sin（”+2Z乃）+12=3sin,

+12.

5.在圖中，點(diǎn)。為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若

已知振幅為3cm,周期為3s,且物體向右運(yùn)動(dòng)到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí).則物體

對(duì)平衡位置的位移x（單位：cm）和時(shí)間f（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為（）

C.x=—sin3t+—D.x=3sin[丁+可

2{2

【答案】D

【分析】

設(shè)x=/（f）=Asin3+0）（o>0）,根據(jù)振幅確定A,根據(jù)周期確定。，根據(jù)〃0）=3確定夕,

即可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)位移X關(guān)于時(shí)間f的函數(shù)為x=/(，)=Asin(a+"?>0),

根據(jù)題中條件，可得4=3,周期7=至=3,故。=字==,

coT3

由題意可知當(dāng)x=0時(shí)，/⑺取得最大值3,故3sing=3,則。=1+2版?(％eZ),

—,c-/2乃兀….(2兀萬(wàn)、

所以x=3sin［-^-1+3+2〃7rI=3sinl—/+—I.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，考查由三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.

6.若函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移?個(gè)單位得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x),則下列

6

說(shuō)法正確的是()

A.g(x)的圖象關(guān)于x=-^對(duì)稱B.g(x)在［0,句上有2個(gè)零點(diǎn)

C.g(x)在區(qū)間件看上單調(diào)遞減D.g(x)在'劑上的值域?yàn)榭?，?/p>

【答案】B

【分析】

求出g(x)的解析式，并整理后，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)判斷.

【詳解】

由題意g(x)=sin2(x-=sin(2x-=sin(2x+—),

633

g(-2)=sin不是函數(shù)的最值，*=-專不是對(duì)稱軸，A錯(cuò)；

由g(x)=sin(2x+f)=0,2x』kMkeZ),x々三,其中苧是［0,兀］上的零點(diǎn)，B

332636

正確；

JT7T37rTT7乃7117E

由H—<2x4—<2%乃H----得H<x<kjiH-----,keZ,因此8(劃在(一,—)是遞減，

2321212312

在(二，苧)上遞增，c錯(cuò)；

126

xwg,0］時(shí),2x+梟g(尤)e［-l,亭，D錯(cuò).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖象變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì).掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.某藝術(shù)展覽館在開(kāi)館時(shí)間段（9：00-16：00）的參觀人數(shù)（單位：千）隨時(shí)間f（單位:

時(shí)）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系/Q）=4sin序-與）+5（A>0,9VY16）,且下午兩點(diǎn)整參

觀人數(shù)為7千，則開(kāi)館中參觀人數(shù)的最大值為（）

A.1萬(wàn)B.9千C.8千D.7千

【答案】B

【分析】

利用當(dāng)/=14時(shí)，〃f）=7,求出A=4,由94f416,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

下午兩點(diǎn)整即f=14,當(dāng)f=14時(shí)，/（z）=7.

177r

BPAsin—+5=7,AA=4,

6

n1\7l77rITI

;當(dāng)9WY16時(shí),-t-------G-----,----

36L62

...當(dāng)1/-孚=當(dāng)時(shí)，f（t）取得最大值，且最大值為4+5=9.故選：B

362

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式、三角函數(shù)的應(yīng)用，考查了基本運(yùn)算求解能力，

屬于基礎(chǔ)題.

8.如圖所示為2018年某市某天中6h至14h的溫度變化曲線，其近似滿足函數(shù)？=水皿?！?/p>

+0）+?4>0,0>0,]<。<"）的半個(gè)周期的圖象，則該天8h的溫度大約為（）

77七

30------------------?

20--------------/\

10-----I!

?1??

8101214；/h

A.I6℃B.15℃C.14℃D.13℃

【答案】D

【分析】

由最大值和最小值及中間值求得A%由周期求得。，再由起點(diǎn)求得夕（注意圖象起點(diǎn)是最

低點(diǎn)）.得函數(shù)解析式，然后令x=8代入即可得.

【詳解】

由題意得4=gx（30—10）=10,

〃=gx（30+10）=20,

.兀

*.*2x(14—6)=16,—=16,??①=—

co8

.*.y=10sin+20,

/x6+e)+20=10,

將x=6,y=10代入得lOsin

(34

即sin=-l,

由于]<（p<7ctuj得夕=年

(71

.,.y=lOsinl—x+I+20,犬￡[6,14].

(TT37r

當(dāng)x=8時(shí)，v=lOsin—x8+:—+20=20—50x13,

-184

即該天8/z的溫度大約為13℃,故選:D

【點(diǎn)睛】本題考查了3=4疝（5+夕）+機(jī)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函

數(shù)解析式.

9..已知函數(shù)/'（x）=sin（2x+?）則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.〃x）的最小值為T(mén)B.點(diǎn)信0）是“X）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.〃x）的最小正周期為"D.“X）在（一看,0）上單調(diào)遞增

【答案】B

【分析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即uj"得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)椋▁）=sin（2x+?j定義域?yàn)??,所以/（x）=sin（2x+q）e[-l,l],即最小值為T(mén),故A

正確；

因?yàn)椴縮in《+升1,所以點(diǎn)得°）不是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，即B錯(cuò)；

又其最小正周期為7=三="，即C正確；

因?yàn)闀r(shí)，2x+|efo,y\所以函數(shù)在卜2,0）上單調(diào)遞增，即D正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦型函數(shù)性質(zhì)的判定，屬于基礎(chǔ)題型.

10.已知/(x)=asin2x+阮os2x的最大值為總=4,將了㈤圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)

為原來(lái)的2倍得到的函數(shù)解析式為()

A.y=4sin(2x+。)B.y=4sin(x+[)

C.y=4sin(gx+^JD.y=4sin(4x+/)

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，/㈤的最大值為4旦/信)=4,列式可算出。=2,。=26,利用輔助角公式

化簡(jiǎn)得

fW=2sin2x+2\/3cos2x=4sin(2x+y，根據(jù)平移伸縮的性質(zhì)即可得出變換后的

解析式.

【詳解】解：由題可知，f(x)=asin2x+bcos2x的最大值為4,

則/(x)=y/a2+b2sin(2x+(p)，\Ja2+b2=4?

7t..24

且/asm——+/?cos——,

121212

解之得a=2,b=2g.故/(x)=2sin2x+2百cos2x=4sin(2x+(J,

將/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到y(tǒng)=4sin(x+。)故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移伸縮求解析式，涉及三角函數(shù)最值和輔助角公式的應(yīng)用，

考查計(jì)算能力.

11.有一塊矩形花圃A8CO如圖所示，其中A3=10cm,BC=6cm,現(xiàn)引進(jìn)了新品種需將其

擴(kuò)大成矩形區(qū)域EFG",點(diǎn)A,B,C,。均落在矩形EFG”的邊上(不包括頂點(diǎn))，則擴(kuò)

大后的花圃的最大面積為()

A.10