高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型講解+專題訓(xùn)練(新高考專用)專題15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(原卷版+解析)

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值極值的概念求函數(shù)的極值極值的判斷含參的極值問題含參的最值問題求函數(shù)的最值求參數(shù)的值求參數(shù)的范圍參數(shù)引起的討論求參數(shù)的值求參數(shù)的范圍參數(shù)引起的討論練高考明方向1.(2023·全國(guó)甲（文T8）(理T6)）.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.12.(2023·新高考Ⅰ卷T10）已知函數(shù)，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D.直線是曲線的切線3.(2023·全國(guó)乙（理）T16）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．4．(2023·新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為________．5．(2023年高考全國(guó)乙卷理科)設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則(） AB．C．D．6．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由．7.(2023·全國(guó)卷Ⅲ文科·T20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+2.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)當(dāng)0<a<3時(shí),記f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為M,最小值為m,求M-m的取值范圍.8.(2023·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函數(shù)f(x)=14x3-x2+(1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程.(2)當(dāng)x∈[-2,4]時(shí),求證:x-6≤f(x)≤x.(3)設(shè)F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),記F(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為M(a),當(dāng)M(a)最小時(shí),求a的值.9．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)(12分)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．10．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)已知函數(shù)．(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；(2)若是的極大值點(diǎn)，求．11．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本小題滿分12分)(I)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；(II)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．12．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為 ()A． B． C． D．113．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)已知函數(shù)=．(Ⅰ)討論的單調(diào)性；(Ⅱ)設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；(Ⅲ)已知，估計(jì)ln2的近似值(精確到0．001)14．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)已知函數(shù)滿足滿足．(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的最大值．15．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是() A．B．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．若是的極值點(diǎn)，則16．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)已知函數(shù),則的最小值是．17．(2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的等邊三角形的中心為為圓上的點(diǎn),,,分別是以為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后,分別以為折痕折起,,,使得重合,得到三棱錐．當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:)的最大值為__________．18．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)若函數(shù)=的圖像關(guān)于直線=－2對(duì)稱，則的最大值是______．講典例備高考類型一、函數(shù)極值的判斷基礎(chǔ)知識(shí)：(1)函數(shù)的極小值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，且f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則x＝a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值。(2)函數(shù)的極大值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，且f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則x＝b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。基本題型：1、已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)有()A．兩個(gè)極大值，一個(gè)極小值B．兩個(gè)極大值，無極小值C．一個(gè)極大值，一個(gè)極小值D．一個(gè)極大值，兩個(gè)極小值2．設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－f(x)＝xlnx，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,e)，則f(x)()A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值D．既無極大值，又無極小值3．已知函數(shù)（）可變形為，它可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，則函數(shù)（）（）A．無極小值 B．有極小值1 C．無極大值 D．有極大值基本方法：1、極值的判斷：可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同．同時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．2．知圖判斷函數(shù)極值的情況。先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)。3、導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用策略(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的極值、最值．類型二、求函數(shù)的極值基本題型：1．已知函數(shù)f(x)＝(x2－m)ex，若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處切線的斜率為3e，則f(x)的極大值是()A．4e－2 B．4e2C．e－2 D．e22．函數(shù)f(x)＝eq\f(3,2)x2－lnx的極值點(diǎn)為()A．0,1，－1 B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)3、已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．基本方法：1．函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號(hào)，來判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況．注意：(1)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．(2)對(duì)于求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值問題，一般要對(duì)方程f′(x)＝0的根的情況進(jìn)行討論，分兩個(gè)層次討論．第一層次，討論在定義域內(nèi)是否有根；第二層次，在有根的條件下，再討論根的大?。愋腿?、含參的極值問題基本題型：1．（求參數(shù)的值）設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax2－eq\f(3,2)x，若x＝1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極小值為()A．ln2－2 B．ln2－1C．ln3－2 D．ln3－12．（求參數(shù)的范圍）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，則的取值范圍為________．3．（求參數(shù)的值）已知函數(shù)f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1處取得極值0，則m＋n＝()A．4 B．11C．4或11 D．3或94、（參數(shù)引起的討論）已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(k,x)－1，k∈R.判斷函數(shù)f(x)是否存在極值，若存在，請(qǐng)求出極值；若不存在，請(qǐng)說明理由．基本方法：1．已知極值求參數(shù)。若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極值，則f′(x0)＝0，且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反。2、對(duì)于求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值問題，一般要對(duì)方程f′(x)＝0的根的情況進(jìn)行討論，分兩個(gè)層次討論．第一層次，討論在定義域內(nèi)是否有根；第二層次，在有根的條件下，再討論根的大?。?、已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的策略列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0或極值列方程(組)，利用待定系數(shù)法求解驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證注意：若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上存在極值點(diǎn)，則函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)。類型三、求函數(shù)的最值基礎(chǔ)知識(shí)：函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件：一般地，如果在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟為：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值?；绢}型：1．（多選）下列說法正確的是（）A．的最小值為1B．的最小值為1C．的最小值為1D．的最小值為12．已知函數(shù)，，若，，則的最大值為______________3．設(shè)函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值．基本方法：求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，則f(a)與f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在[a，b]上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到．注意：求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．類型五、含參的最值問題基本題型：1．（求參數(shù)的范圍）若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－eq\f(2,3)在區(qū)間(a，a＋3)內(nèi)既存在最大值也存在最小值，則a的取值范圍是()A．(－3，－2) B．(－3，－1)C．(－2，－1) D．(－2,0)2．（參數(shù)引起的分類討論）設(shè)函數(shù).（1）若，求函數(shù)的遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．3．（求參數(shù)的值）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的最小值為，求參數(shù)a的值．類型五、函數(shù)極值與最值得交匯問題基本題型：1．（多選）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)在時(shí)，取得極小值B．對(duì)于，恒成立C．若，則D．若，對(duì)于恒成立，則的最大值為，的最小值為12．已知函數(shù)有極小值－6.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的值；（3）求在[－3，4]上的最大值和最小值.3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2＋bx＋c,ex)(a＞0)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為－3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為－e3，求f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值．新預(yù)測(cè)破高考1．函數(shù)在上的最小值為（）A． B． C．0 D．2．函數(shù)在內(nèi)存在極值點(diǎn)，則（）A． B．C．或 D．或3、已知函數(shù)f(x)＝(x2－m)ex，若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處切線的斜率為3e，則f(x)的極大值是()A．4e－2 B．4e2C．e－2 D．e24．函數(shù)在上的最大值是（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，5．設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，函數(shù)y＝x·f′(x)的圖象的一部分如圖所示，則()A．f(x)的極大值為f(eq\r(3))，極小值為f(－eq\r(3))B．f(x)的極大值為f(－eq\r(3))，極小值為f(eq\r(3))C．f(x)的極大值為f(－3)，極小值為f(3)D．f(x)的極大值為f(3)，極小值為f(－3)6．如圖是函數(shù)的大致圖象，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（），，的最大值為3，最小值為，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．（多選）材料：函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的復(fù)合所產(chǎn)生的，且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，如函數(shù)（），我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即（）為初等函數(shù)．根據(jù)以上材料，對(duì)于初等函數(shù)（）的說法正確的是（）A．無極小值 B．有極小值1 C．無極大值 D．有極大值10．（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)有極小值也有最小值B．函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)不相等的實(shí)根D．當(dāng)時(shí)，的最大值為，則的最小值為11．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m∈[－1，1]，則f(m)的最小值為________.12．已知函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(m,x)(m<0)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，則m＝________.13．若，為函數(shù)相鄰的兩個(gè)極值點(diǎn)，且在，處分別取得極小值和極大值，則定義為函數(shù)的一個(gè)“極優(yōu)差”．那么，函數(shù)的“極優(yōu)差”為______．14、已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。15．已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．16．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1處取得極值，且f(1)＝－1.（1）求常數(shù)a，b，c的值；（2）判斷x＝±1是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，試說明理由，并求出極值.17．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)．(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線l與直線3x－y＝0平行，求切線l的方程；(2)求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值．18．已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）若a＝0，求函數(shù)f（x）的極值；（2）若a＝﹣1，證明：函數(shù)f（x）在（0，1）上有唯一的極值點(diǎn)，且.19．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為M，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值極值的概念求函數(shù)的極值極值的判斷含參的極值問題含參的最值問題求函數(shù)的最值求參數(shù)的值求參數(shù)的范圍參數(shù)引起的討論求參數(shù)的值求參數(shù)的范圍參數(shù)引起的討論練高考明方向1.(2023·全國(guó)甲（文T8）(理T6)）.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.1答案：B分析：根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．2.(2023·新高考Ⅰ卷T10）已知函數(shù)，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D.直線是曲線的切線答案：AC分析：利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.3.(2023·全國(guó)乙（理）T16）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．答案：【解析】分析：由分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，可得時(shí)，，時(shí)，，再分和兩種情況討論，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，與前面矛盾，故不符合題意，若時(shí)，則方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.4．(2023·新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為________．答案：1【解析】當(dāng)x＞eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝2x－1－2lnx，f′(x)＝2－eq\f(2,x)＝eq\f(2x－2,x).令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得eq\f(1,2)＜x＜1，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝1.當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝1－2x－2lnx，f′(x)＝－2－eq\f(2,x)＝eq\f(－2x－2,x)＜0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2lneq\f(1,2)＝2ln2＞1.所以f(x)的最小值為1.5．(2023年高考全國(guó)乙卷理科)設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則(） AB．C．D．答案：D解析：若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故．有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的．依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的．當(dāng)時(shí)，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故．當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故．綜上所述，成立．【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答．6．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由．答案：(1)見詳解；(2)或．【解析】(1)．令，得或． 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； 若時(shí)，在單調(diào)遞增； 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． (2)滿足題設(shè)條件的存在．(ⅰ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，最大值為．此時(shí)滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即．(ⅱ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在單調(diào)遞減，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為．此時(shí)滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即．(ⅲ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在的最小值為，最大值為或．若，則，與矛盾．若，則或或，與矛盾．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)或，在最小值為，最大值為1．【點(diǎn)評(píng)】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算．思考量不大，計(jì)算量略大．7.(2023·全國(guó)卷Ⅲ文科·T20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+2.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)當(dāng)0<a<3時(shí),記f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為M,最小值為m,求M-m的取值范圍.【解題指南】(1)求出f'(x),解不等式求單調(diào)區(qū)間.(2)根據(jù)f'(x)的零點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系分類表示出最值,再求差的范圍.【解析】(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0,得x=0或x=a3若a>0,則當(dāng)x∈(-∞,0)∪a3,+∞時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈0,a3時(shí),f'故f(x)在(-∞,0),a3,+∞上單調(diào)遞增,在若a=0,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;若a<0,則當(dāng)x∈-∞,a3∪(0,+∞)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈a3,0時(shí),f'故f(x)在-∞,a3,(0,+∞)上單調(diào)遞增,在a(2)當(dāng)0<a<3時(shí),由(1)知,f(x)在0,a3上單調(diào)遞減,在所以f(x)在[0,1]的最小值為fa3=-a327+2,最大值為f(0)=2或f(1)=4-a.于是m=-a3所以M-m=2?當(dāng)0<a<2時(shí),可知2-a+a327單調(diào)遞減,所以M-m的取值范圍是當(dāng)2≤a<3時(shí),a327單調(diào)遞增,所以M-m的取值范圍是綜上,M-m的取值范圍是8278.(2023·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函數(shù)f(x)=14x3-x2+(1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程.(2)當(dāng)x∈[-2,4]時(shí),求證:x-6≤f(x)≤x.(3)設(shè)F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),記F(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為M(a),當(dāng)M(a)最小時(shí),求a的值.【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,求切線方程,研究函數(shù)的極值和最值,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).試題難度:難.【解析】(1)f(x)定義域?yàn)镽,f'(x)=34x2-2x+1,設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0y0=f(x0)=14x03-x02+x0,k=f'(x0)=34x0當(dāng)x0=0時(shí),y0=0,切線方程為y-0=x-0,即x-y=0;當(dāng)x0=83時(shí),y0=827,切線方程為y-827=x-83,即27x(2)令g(x)=f(x)-x=14x3-x2,x∈[-2,4],則g'(x)=f'(x)-1=34x2-2x,令g'(x)=0得x=0,x,g'(x),g(x)關(guān)系如下x(-2,0)00,88g'(x)+0-0+g(x)↗↘↗又因?yàn)間(-2)=-6,g(0)=0,g83=-6427,g(4)=0,所以在x∈[-2,4]上,g(x)min=-6,g(x)所以-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.(3)由(2)知,-6≤f(x)-x≤0,-6-a≤f(x)-(x+a)≤-a,所以M(a)=max{|-6-a|,|-a|}=max{|a+6|,|a|},①若a≤-6,則M(a)=max{-a-6,-a}=-a,當(dāng)a=-6時(shí),M(a)最小,為6;②若-6<a<0,則M(a)=max{a+6,-a}=a+6?3<a<03a=?3③若a≥0,則M(a)=max{a+6,a}=a+6,當(dāng)a=0時(shí),M(a)最小,為6.綜上,M(a)最小為3,M(a)最小時(shí)a=-3.9．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)(12分)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．答案：解:（1）的定義域?yàn)?，．（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減．（ii）若，令得，或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)．由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則．由于，所以等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，．所以，即．10．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)已知函數(shù)．(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；(2)若是的極大值點(diǎn)，求．答案：【官方解析】當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，這與是的極大值點(diǎn)矛盾（ii）若，設(shè)函數(shù)由于當(dāng)時(shí)，，故與符號(hào)相同又，故是的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn)如果，則當(dāng)，且時(shí)，，故不是的極大值點(diǎn)如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，，所以不是的極大值點(diǎn)，如果，則則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn)綜上．【民間解析】（1）法一：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí)記則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)法二：當(dāng)時(shí)，，則，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減所以時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增所以時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增所以時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，綜上所述若，證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．（2）法一：由可得所以，因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增所以任意時(shí)，所以若時(shí)，，此時(shí)不存在極值，故由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，則若，則，使得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足題意，故，即②當(dāng)時(shí)，則若，則，使得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足題意，故，即綜上，，所以．法二：記，當(dāng)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即所以在上單調(diào)遞增，與是的極大值點(diǎn)不符合；當(dāng)時(shí)，，顯然可知遞減①，解得，則有，，遞增；時(shí)，，遞減，所以，故遞減，又則，，，遞增；，，，遞減此時(shí)為的極大值點(diǎn)，符合題意②當(dāng)時(shí)，有，所以在有唯一零點(diǎn)，記為，則，，遞增則，遞增，所以，即，遞增，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，有，所以在有唯一零點(diǎn)，記為，則，，遞減則，遞減，所以，即，遞減，不符合題意綜上可知．11．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本小題滿分12分)(I)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；(II)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．答案：（1）略；（2）．分析：（Ⅰ）先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，證明結(jié)論；（Ⅱ）用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)，又用導(dǎo)數(shù)法求解．【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋覂H當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，所以（II）由（I）知，單調(diào)遞增，對(duì)任意因此，存在唯一使得即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．因此在處取得最小值，最小值為于是，由單調(diào)遞增所以，由得因?yàn)閱握{(diào)遞增，對(duì)任意存在唯一的使得所以的值域是綜上，當(dāng)時(shí)，有最小值，的值域是．12．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為 ()A． B． C． D．1答案：A【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的極值概念及其極大值與極小值判定條件，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．【解析】∵∴導(dǎo)函數(shù)，∵∴∴導(dǎo)函數(shù)，令，∴，當(dāng)變化時(shí)，，隨變化情況如下表：+0-0+極大值極小值從上表可知：極小值為．13．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)已知函數(shù)=．(Ⅰ)討論的單調(diào)性；(Ⅱ)設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；(Ⅲ)已知，估計(jì)ln2的近似值(精確到0．001)答案：解析：（Ⅰ），等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立所以在上單調(diào)遞增．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以在上單調(diào)遞增，而，故．當(dāng)時(shí)，若滿足，即時(shí)，，而，故，．綜上的最大值為2．（Ⅲ）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，，得所以14．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)已知函數(shù)滿足滿足．(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的最大值．答案：（１）增區(qū)間為,減區(qū)間為（２）解析:(Ⅰ),令得,,再由,令得．所以的解析式為．,易知是上的增函數(shù),且．所以所以函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為．(Ⅱ)若恒成立,即恒成立，,(1)當(dāng)時(shí),恒成立,為上的增函數(shù),且當(dāng)時(shí),,不合題意;(2)當(dāng)時(shí),恒成立,則,;(3)當(dāng)時(shí),為增函數(shù),由得,故當(dāng)時(shí),取最小值．依題意有,即,,,令,則,,所以當(dāng)時(shí),取最大值．故當(dāng)時(shí),取最大值．綜上,若，則的最大值為．15．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是() A．B．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．若是的極值點(diǎn)，則答案：C解析：由三次函數(shù)的圖象可知，若是的極小值點(diǎn)，則極大值點(diǎn)在的左側(cè)，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減是錯(cuò)誤的，選C．16．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)已知函數(shù),則的最小值是．答案：解法一：先求的最大值，設(shè)，即，故根據(jù)奇函數(shù)知，解法二：導(dǎo)數(shù)法+周期函數(shù)當(dāng)；；解法三：均值不等式法當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，17．(2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的等邊三角形的中心為為圓上的點(diǎn),,,分別是以為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后,分別以為折痕折起,,,使得重合,得到三棱錐．當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:)的最大值為__________．答案：【解析】如下圖,設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為x,則．,三棱錐的體積．令,則,令,,,．【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于三棱錐最值問題,肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決,本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量,利用圖形特征表示出三棱錐體積．當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決,當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)得方式進(jìn)行解決．18．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)若函數(shù)=的圖像關(guān)于直線=－2對(duì)稱，則的最大值是______．答案：16解析：由圖像關(guān)于直線=－2對(duì)稱，則0==，0==，解得=8，=15，∴=，∴===當(dāng)∈(－∞,)∪(－2,)時(shí)，＞0，當(dāng)∈(,－2)∪(,+∞)時(shí)，＜0，∴在（－∞，）單調(diào)遞增，在（，－2）單調(diào)遞減，在（－2，）單調(diào)遞增，在（，+∞）單調(diào)遞減，故當(dāng)=和=時(shí)取極大值，==16．講典例備高考類型一、函數(shù)極值的判斷基礎(chǔ)知識(shí)：(1)函數(shù)的極小值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，且f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則x＝a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值。(2)函數(shù)的極大值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，且f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則x＝b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值?；绢}型：1、已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)有()A．兩個(gè)極大值，一個(gè)極小值B．兩個(gè)極大值，無極小值C．一個(gè)極大值，一個(gè)極小值D．一個(gè)極大值，兩個(gè)極小值答案：C【解析】導(dǎo)函數(shù)f′(x)有三個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x1＜0，x2＝0，x3＞0，當(dāng)x＜x1時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x1＜x＜0時(shí)，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在x＝x1處取得極小值；當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)x2＜x＜x3時(shí)，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在x＝x2處無極值；當(dāng)x2＜x＜x3時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)x＞x3時(shí)，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在x＝x3處取得極大值．2．設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－f(x)＝xlnx，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,e)，則f(x)()A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值D．既無極大值，又無極小值答案：D【解析】因?yàn)閤f′(x)－f(x)＝xlnx，所以eq\f(xf′x－fx,x2)＝eq\f(lnx,x)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(fx,x)))′＝eq\f(lnx,x)，所以eq\f(fx,x)＝eq\f(1,2)ln2x＋c，所以f(x)＝eq\f(1,2)xln2x＋cx.因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,2e)ln2eq\f(1,e)＋c×eq\f(1,e)＝eq\f(1,e)，所以c＝eq\f(1,2)，所以f′(x)＝eq\f(1,2)ln2x＋lnx＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上既無極大值，也無極小值．3．（多選）已知函數(shù)（）可變形為，它可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，則函數(shù)（）（）A．無極小值 B．有極小值1 C．無極大值 D．有極大值答案：AD分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義判斷出其極值情況，從而得解．【詳解】由題知，所以，令，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．所以有極大值，為，無極小值．基本方法：1、極值的判斷：可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同．同時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．2．知圖判斷函數(shù)極值的情況。先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)。3、導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用策略(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的極值、最值．類型二、求函數(shù)的極值基本題型：1．已知函數(shù)f(x)＝(x2－m)ex，若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處切線的斜率為3e，則f(x)的極大值是()A．4e－2 B．4e2C．e－2 D．e2答案：A【解析】函數(shù)f(x)＝(x2－m)ex，求導(dǎo)可得f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在x＝1處切線的斜率為3e，所以f′(1)＝(3－m)e＝3e，解得m＝0，所以f′(x)＝(x2＋2x)ex.令(x2＋2x)ex＝0，解得x＝0或x＝－2.當(dāng)x<－2或x>0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)是增函數(shù)；當(dāng)－2<x<0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)是減函數(shù)．所以函數(shù)f(x)的極大值為f(－2)＝4e－2.故選A.2．函數(shù)f(x)＝eq\f(3,2)x2－lnx的極值點(diǎn)為()A．0,1，－1 B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)答案：B【解析】由已知，得f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝3x－eq\f(1,x)＝eq\f(3x2－1,x)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),3)舍去)).當(dāng)x>eq\f(\r(3),3)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)0<x<eq\f(\r(3),3)時(shí)，f′(x)<0.所以當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，f(x)取得極小值．從而f(x)的極小值點(diǎn)為x＝eq\f(\r(3),3)，無極大值點(diǎn)，選B.3、已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．【解析】(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.從而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,2))).令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.從而當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－2，－ln2)時(shí)，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln2)上單調(diào)遞減．當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)．基本方法：1．函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號(hào)，來判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況．注意：(1)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．(2)對(duì)于求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值問題，一般要對(duì)方程f′(x)＝0的根的情況進(jìn)行討論，分兩個(gè)層次討論．第一層次，討論在定義域內(nèi)是否有根；第二層次，在有根的條件下，再討論根的大?。愋腿?、含參的極值問題基本題型：1．（求參數(shù)的值）設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax2－eq\f(3,2)x，若x＝1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極小值為()A．ln2－2 B．ln2－1C．ln3－2 D．ln3－1答案：A【解析】∵f(x)＝lnx＋ax2－eq\f(3,2)x(x>0)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax－eq\f(3,2)，∵x＝1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，∴f′(1)＝1＋2a－eq\f(3,2)＝2a－eq\f(1,2)＝0，解得a＝eq\f(1,4)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(x,2)－eq\f(3,2)＝eq\f(x2－3x＋2,2x)＝eq\f(x－1x－2,2x)，∴當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x<2時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．∴當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有極小值，且極小值為f(2)＝ln2－2.2．（求參數(shù)的范圍）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，則的取值范圍為________．答案：分析：求，討論和時(shí)的單調(diào)性與極小值點(diǎn)，使得極小值點(diǎn)位于區(qū)間即可求解.【詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，令可得或；令可得：，所以時(shí)，在處取得極小值，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，則，解得，綜上所述：的取值范圍為。3．（求參數(shù)的值）已知函數(shù)f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1處取得極值0，則m＋n＝()A．4 B．11C．4或11 D．3或9答案：B【解析】因?yàn)閒′(x)＝3x2＋6mx＋n，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－1＝0，,f－1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－6m＋n＝0，,－1＋3m－n＋m2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝9.))檢驗(yàn)：當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3))時(shí)，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，不合題意，舍掉；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝9))時(shí)，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋3)(x＋1)，令f′(x)>0，得x<－3或x>－1；令f′(x)<0，得－3<x<－1.所以f(x)在(－∞，－3)，(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－3，－1)上單調(diào)遞減，符合題意．則m＋n＝2＋9＝11.4、（參數(shù)引起的討論）已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(k,x)－1，k∈R.判斷函數(shù)f(x)是否存在極值，若存在，請(qǐng)求出極值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(k,x2)＝eq\f(x－k,x2)，當(dāng)k≤0時(shí)，f′(x)>0，y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)無極值；當(dāng)k>0，x∈(0，k)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(k，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，k)，單調(diào)遞增區(qū)間是(k，＋∞)．所以f(x)的極小值點(diǎn)是x＝k，f(x)的極小值為f(k)＝lnk，無極大值點(diǎn)．綜上，當(dāng)k≤0時(shí)，f(x)無極值；當(dāng)k>0時(shí)，f(x)的極小值為lnk，無極大值．基本方法：1．已知極值求參數(shù)。若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極值，則f′(x0)＝0，且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反。2、對(duì)于求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值問題，一般要對(duì)方程f′(x)＝0的根的情況進(jìn)行討論，分兩個(gè)層次討論．第一層次，討論在定義域內(nèi)是否有根；第二層次，在有根的條件下，再討論根的大?。?、已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的策略列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0或極值列方程(組)，利用待定系數(shù)法求解驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證注意：若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上存在極值點(diǎn)，則函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)。類型三、求函數(shù)的最值基礎(chǔ)知識(shí)：函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件：一般地，如果在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟為：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。基本題型：1．（多選）下列說法正確的是（）A．的最小值為1B．的最小值為1C．的最小值為1D．的最小值為1答案：AC分析：利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此確定函數(shù)的最值.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．2．已知函數(shù)，，若，，則的最大值為______________答案：分析：由已知等式代入可得，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)得出，構(gòu)造函數(shù)并由函數(shù)的單調(diào)性可得出，代入到所求式子后得，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，取得最大值，代入即可求出的最大值.【詳解】由題意得，，，，，，即，設(shè)，則，可知在上單調(diào)遞增，所以，則，，則，，令，則，當(dāng)時(shí)，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即的最大值為.3．設(shè)函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值．答案：（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間是和，最大值是18，最小值是．分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)的幾何意義建立方程，解之可求得答案；（2）由得到求得導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出原函數(shù)的單調(diào)性，可求得最值.【詳解】（1），導(dǎo)函數(shù)的最小值為，，又函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，而直線的斜率為，函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，即，解得，所以；由得到，列表如下：x00極大值極小值函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，，基本方法：求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，則f(a)與f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在[a，b]上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到．注意：求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．類型五、含參的最值問題基本題型：1．（求參數(shù)的范圍）若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－eq\f(2,3)在區(qū)間(a，a＋3)內(nèi)既存在最大值也存在最小值，則a的取值范圍是()A．(－3，－2) B．(－3，－1)C．(－2，－1) D．(－2,0)答案：A【解析】由f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)＝0得x＝－2或x＝0，可以判斷f(x)在x＝0處取得極小值f(0)＝－eq\f(2,3)，在x＝－2處取得極大值f(－2)＝eq\f(2,3).令f(x)＝－eq\f(2,3)，得x＝－3或x＝0，令f(x)＝eq\f(2,3)，得x＝－2或x＝1,由題意知函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，a＋3)內(nèi)的最大、最小值只能在x＝－2和x＝0處取得，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＋3≤1，,－3≤a＜－2，))解得－3＜a＜－2，故a的取值范圍是(－3，－2)．2．（參數(shù)引起的分類討論）設(shè)函數(shù).（1）若，求函數(shù)的遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．答案：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，最小值為.分析：（1）求導(dǎo)，令，解不等式即可求出結(jié)果；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，．由，得.故函數(shù)的遞減區(qū)間為．∵，∴.∵，，∴當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)．因此，有最小值；當(dāng)時(shí)，在上，在上，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．故g(x)有最小值.綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時(shí)，在上的最小值為.3．（求參數(shù)的值）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的最小值為，求參數(shù)a的值．答案：（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）.分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后說明每個(gè)區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性可知存在唯一根，進(jìn)而知，即，結(jié)合已知，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性且，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)令，即，則（舍）；.∴當(dāng)，，在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間單調(diào)遞增；∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2），求導(dǎo)得：，令，則，且開口向上，，∴存在，使得，當(dāng)，，在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間單調(diào)遞增；，即，又，兩式相減得：，令，求導(dǎo)，∴函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且∴函數(shù)有唯一解，∴，解得.類型五、函數(shù)極值與最值得交匯問題基本題型：1．（多選）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)在時(shí)，取得極小值B．對(duì)于，恒成立C．若，則D．若，對(duì)于恒成立，則的最大值為，的最小值為1答案：BD分析：利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極值的定義、函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，而，所以不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故選項(xiàng)A不正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，有，所以選項(xiàng)B正確；構(gòu)造函數(shù)，由上可知：當(dāng)，恒成立，所以，因此函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)C不正確；由上可知：函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞減，所以有，因此的最大值為，由，有，函數(shù)在原點(diǎn)處的切線為：，所以有，因此的最小值為1，所以本選項(xiàng)正確，2．已知函數(shù)有極小值－6.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的值；（3）求在[－3，4]上的最大值和最小值.答案：（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（－1，3），單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－1），（3，+∞）；（2）3；（3）最大值為，最小值為.分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）由的極小值列方程，由此求得的值.（3）比較極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，求得在上的最大值和最小值.【詳解】（1），令，解得或，令，解得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為（－1，3），單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－1），（3，+∞）.（2）由（1）知，的極小值為，解得.（3）由（1）知，在（－3，－1）單調(diào)遞增，在（－1，3）上單調(diào)遞減，在（3，4）上單調(diào)遞增，，，，，所以在[－3，4]上的最大值為，最小值為.函數(shù)在上的最大值是18，最小值是．3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2＋bx＋c,ex)(a＞0)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為－3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為－e3，求f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值．【解析】(1)f′(x)＝eq\f(2ax＋bex－ax2＋bx＋cex,ex2)＝eq\f(－ax2＋2a－bx＋b－c,ex).令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c,因?yàn)閑x＞0，所以y＝f′(x)的零點(diǎn)就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零點(diǎn)，且f′(x)與g(x)符號(hào)相同．又因?yàn)閍＞0，所以當(dāng)－3＜x＜0時(shí)，g(x)＞0，即f′(x)＞0；當(dāng)x＜－3或x＞0時(shí)，g(x)＜0，即f′(x)＜0.所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3)和(0，＋∞)．(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的極小值點(diǎn)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－3＝\f(9a－3b＋c,e－3)＝－e3，,g0＝b－c＝0，,g－3＝－9a－32a－b＋b－c＝0，))解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝eq\f(x2＋5x＋5,ex).因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3)和(0，＋∞)，所以f(0)＝5為函數(shù)y＝f(x)的極大值．故y＝f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大值，而f(－5)＝eq\f(5,e－5)＝5e5＞5＝f(0)，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－5，＋∞)上的最大值是5e5.新預(yù)測(cè)破高考1．函數(shù)在上的最小值為（）A． B． C．0 D．答案：B分析：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可.【詳解】由，得．，得或．所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，所以在上的最小值為．2．函數(shù)在內(nèi)存在極值點(diǎn)，則（）A． B．C．或 D．或答案：B分析：由分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】，，令，由于，所以，在上遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由于函數(shù)在內(nèi)存在極值點(diǎn)，所以.3、已知函數(shù)f(x)＝(x2－m)ex，若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處切線的斜率為3e，則f(x)的極大值是()A．4e－2 B．4e2C．e－2 D．e2答案：A【解析】函數(shù)f(x)＝(x2－m)ex，求導(dǎo)可得f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在x＝1處切線的斜率為3e，所以f′(1)＝(3－m)e＝3e，解得m＝0，所以f′(x)＝(x2＋2x)ex.令(x2＋2x)ex＝0，解得x＝0或x＝－2.當(dāng)x<－2或x>0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)是增函數(shù)；當(dāng)－2<x<0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)是減函數(shù)．所以函數(shù)f(x)的極大值為f(－2)＝4e－2.故選A.4．函數(shù)在上的最大值是（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，答案：A分析：利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可求出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】因?yàn)?，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即.5．設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，函數(shù)y＝x·f′(x)的圖象的一部分如圖所示，則()A．f(x)的極大值為f(eq\r(3))，極小值為f(－eq\r(3))B．f(x)的極大值為f(－eq\r(3))，極小值為f(eq\r(3))C．f(x)的極大值為f(－3)，極小值為f(3)D．f(x)的極大值為f(3)，極小值為f(－3)答案：D【解析】由圖象，當(dāng)x<－3時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)－3<x<0時(shí)，f′(x)>0，由此知極小值為f(－3)；當(dāng)0<x<3時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>3時(shí)，f′(x)<0，由此知極大值為f(3)。故選D。6．如圖是函數(shù)的大致圖象，則（）A． B． C． D．答案：C分析：根據(jù)給定圖象求出函數(shù)的解析式，再求出其極值點(diǎn)x1，x2的關(guān)系式即可得解.【詳解】觀察函數(shù)的圖象知，-1，0，2是函數(shù)的零點(diǎn)，且，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，于是得，求導(dǎo)得，因，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，是方程的兩根，從而有，，所以.7．已知函數(shù)（），，的最大值為3，最小值為，則（）A． B． C． D．答案：C分析：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，得到的最小值為，最大值為，解方程組即得解.【詳解】．令，得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．∵，，，∴的最小值為，最大值為，∴，解得，∴．8．已知函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．答案：A分析：求得導(dǎo)函數(shù)，問題化為只有一個(gè)解，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，函數(shù)的變化趨勢(shì)，結(jié)合函數(shù)圖象從而得參數(shù)范圍，注意檢驗(yàn)函數(shù)極值．【詳解】易知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，得，即．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象如圖所示．由圖得或．當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無極值，所以．9．（多選）材料：函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的復(fù)合所產(chǎn)生的，且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，如函數(shù)（），我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即（）為初等函數(shù)．根據(jù)以上材料，對(duì)于初等函數(shù)（）的說法正確的是（）A．無極小值 B．有極小值1 C．無極大值 D．有極大值答案：AD分析：根據(jù)給定信息，對(duì)函數(shù)變形并求導(dǎo)，進(jìn)而判斷其極值情況即可得解.【詳解】依題意，，，求導(dǎo)得：，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以有極大值，無極小值.10．（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)有極小值也有最小值B．函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)不相等的實(shí)根D．當(dāng)時(shí)，的最大值為，則的最小值為答案：ABD分析：求出導(dǎo)函數(shù)，由確定函數(shù)的單調(diào)性、極值、函數(shù)的變化趨勢(shì)，然后逐項(xiàng)分析即可．【詳解】由，得，令，則或，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，有極大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合可知：函數(shù)有極小值也有最小值，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故B正確；當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于直線與函數(shù)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，的最大值為，則，故D正確.11．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m∈[－1，1]，則f(m)的最小值為________.答案：分析：由極值的性質(zhì)得出的值，再由導(dǎo)數(shù)得出f(m)的最小值.【詳解】f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增∴當(dāng)m∈[－1，1]時(shí)，f(m)min＝f(0)＝－4.12．已知函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(m,x)(m<0)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，則m＝________.答案：－3e【解析】f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(m,x2)＝eq\f(x＋m,x2).令f′(x)＝0，得x＝－m，且當(dāng)0<x<－m時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>－m時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．若－m≤1，即－1≤m<0時(shí)，f(x)min＝f(1)＝－m≤1，不可能等于4；若1<－m≤e，即－e≤m<－1時(shí)，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1，令ln(－m)＋1＝4，得m＝－e3?[－e，－1)；若－m>e，即m<－e時(shí)，f(x)min＝f(e)＝1－eq\f(m,e)，令1－eq\f(m,e)＝4，得m＝－3e，符合題意．綜上所述，m＝－3e.13．若，為函數(shù)相鄰的兩個(gè)極值點(diǎn)，且在，處分別取得極小值和極大值，則定義為函數(shù)的一個(gè)“極優(yōu)差”．那么，函數(shù)的“極優(yōu)差”為______．答案：分析：根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)在所給區(qū)間上的極大值與極小值即可求解.【詳解】由題意，得，令，得，得或．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減．故的極大值為，極小值為，“極優(yōu)差”為．14、已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【解析】(1)f(x)＝eq\f(ex,x)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f′(x)＝eq\f(exx－1,x2)。當(dāng)f′(x)＝0時(shí)，x＝1。f′(x)與f(x)隨x的變化情況如下表：x(－∞，0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－－0＋f(x)↘↘極小值↗故f(x)的單