青島版初中八年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(二)證明三角形全等的五大基本模型課件

證明三角形全等的五大基本模型專項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(二)類型一一線三等角全等模型1.(2024山東菏澤曹縣期中,25,★☆☆)如圖,點(diǎn)C在BE上,∠B=∠E=∠ACF,AB=

CE,說明AC=CF的理由.

解析因?yàn)椤螧CF=∠E+∠CFE,∠BCF=∠ACF+∠ACB,∠ACF=∠E,所以∠ACB=∠CFE.在△ABC和△CEF中,

所以△ABC≌△CEF(AAS),所以AC=CF.方法解讀當(dāng)在一條線段上,存在三個(gè)相等的角(銳角或直角或鈍角),且有一組

邊相等時(shí),考慮用“一線三等角”全等模型.使用時(shí),找準(zhǔn)三個(gè)等角,再根據(jù)平角

性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角性質(zhì)進(jìn)行等角代換,進(jìn)而判定三角形全等.2.(2024山東聊城東阿三中月考,19,★★☆)如圖,已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),∠DCE=∠A=∠B,CD=CE.(1)說明△ACD與△BEC全等的理由.(2)說明AB=AD+BE的理由.

解析

(1)因?yàn)椤螪CE=∠A,所以180°-∠DCE=180°-∠A,所以∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE,所以∠D=∠BCE.在△ACD和△BEC中,

所以△ACD≌△BEC(AAS).(2)由(1)得△ACD≌△BEC,所以AD=BC,AC=BE,所以AC+BC=AD+BE,即AB=AD+BE.3.(學(xué)科素養(yǎng)應(yīng)用意識)(★★☆)小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖,小麗坐在秋

千的起始位置A處,OA與地面垂直,兩腳在地面上用力一蹬,媽媽在距地面1m高

的B處接住她后用力一推,爸爸在C處接住她.媽媽與爸爸到OA的水平距離BD、

CE分別為1.4m和1.8m,∠BOC=90°,爸爸在C處接住小麗時(shí),求小麗距離地面的

高度.

解析由題意可知∠CEO=∠BDO=90°,OB=OC,所以∠BOD+∠OBD=90°.因?yàn)椤螧OC=90°,所以∠COE+∠BOD=90°,所以∠COE=∠OBD.在△COE和△OBD中,

所以△COE≌△OBD(AAS),所以CE=OD=1.8m,OE=BD=1.4m,所以DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m).因?yàn)锳D=1m,所以AE=AD+DE=1.4m,所以爸爸在C處接住小麗時(shí),小麗距離地面

的高度為1.4m.4.(學(xué)科素養(yǎng)運(yùn)算能力)(★★☆)如圖,AE⊥AB,AE=AB,BC⊥CD,BC=CD.若點(diǎn)E,

B到直線AC的距離分別為6和3,AC=8,求圖中陰影部分的面積.

解析如圖,作EF⊥AC,BH⊥AC,DG⊥AC,分別交直線AC于點(diǎn)F、H、G,所以∠FEA+∠EAF=90°,EF∥DG.因?yàn)辄c(diǎn)E、B到直線AC的距離分別為6、3,所以EF=6,BH=3.因?yàn)椤螮AB=90°,所以∠EAF+∠BAH=90°,所以∠FEA=∠BAH.在△EAF和△ABH中,

所以△EAF≌△ABH(AAS),所以AH=EF=6,AF=BH=3.同理△BCH≌△CDG,所以CG=BH=3,DG=CH=AC-AH=2,所以FG=AF+AH+CH+CG=3+6+2+3=14,所以S陰影=S梯形EFGD-S△EAF-S△ABC-S△CDG=

×(6+2)×14-

×6×3-

×8×3-

×3×2=32.類型二手拉手模型5.(★☆☆)如圖,△ABC和△ADE都是等腰三角形,BC、DE分別是這兩個(gè)等腰三

角形的底邊,且∠BAC=∠DAE,求證:BD=CE.

證明因?yàn)椤鰽BC和△ADE都是等腰三角形,BC、DE分別是這兩個(gè)等腰三角形

的底邊,所以AE=AD,AB=AC.因?yàn)椤螧AC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△DAB與△EAC中,

所以△DAB≌△EAC(SAS),所以BD=CE.6.(★★☆)如圖,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=50°.(1)求證:AC=BD.(2)AC與BD相交于點(diǎn)P,求∠APB的度數(shù).

解析

(1)證明:因?yàn)椤螦OB=∠COD,所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.因?yàn)镺A=OB,OC=OD,所以△AOC≌△BOD(SAS),所以AC=BD.(2)如圖,設(shè)AC與BO交于點(diǎn)M,則∠AMO=∠BMP.因?yàn)椤鰽OC≌△BOD,所以∠OAC=∠OBD,所以180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP,所以∠APB=∠AOM=50°.類型三半角模型7.(學(xué)科素養(yǎng)推理能力)(★★☆)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在BC上,點(diǎn)F在CD

上,連接AE、AF、EF,∠EAF=45°.(1)求證:DF+BE=EF.(2)若AH⊥EF,垂足為H,求證:AH=AD.

證明

(1)如圖,延長CB至點(diǎn)G,使BG=DF,連接AG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AD=AB,∠D=∠ABE=90°,所以∠ABG=90°.在△ABG和△ADF中,

所以△ABG≌△ADF(SAS),所以AG=AF,∠GAB=∠DAF.因?yàn)椤螮AF=45°,所以∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠GAB=∠GAE=45°,所以∠EAF=∠GAE.在△AEG和△AEF中,

所以△AEG≌△AEF(SAS),所以GE=EF,所以DF+BE=BG+BE=GE=EF.

(2)如圖,過點(diǎn)A作AH⊥EF,由(1)得△AEG≌△AEF,所以EG=EF,S△AEG=S△AEF,所以

GE·AB=

EF·AH,所以AB=AH,因?yàn)锳B=AD,所以AH=AD.

類型四對角互補(bǔ)模型8.(★★☆)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,C(4,4),點(diǎn)B、A分別在x軸正半軸和y軸正

半軸上,∠ACB=90°,求OA+OB的長.

解析如圖,過點(diǎn)C作CM⊥y軸于M,CN⊥x軸于N,則∠CMA=∠CNB=90°.因?yàn)镃(4,4),所以CN=CM=4.因?yàn)椤螹ON=∠CNO=∠CMO=90°,所以∠MCN=360°-90°-90°-90°=90°.因?yàn)椤螦CB=90°,所以∠ACB=∠MCN,所以∠ACM=∠BCN.在△ACM和△BCN中,

所以△ACM≌△BCN(ASA),所以AM=BN,所以O(shè)A+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=4+4=8.

9.(★★☆)如圖,四邊形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,BD=6,求四邊形

ABCD的面積.

解析如圖,過點(diǎn)D作DF⊥BD,交BC的延長線于F,則∠BDF=90°,所以∠BDF=∠ADC,所以∠ADB=∠CDF.因?yàn)椤螦DC=∠ABC=90°,所以∠A+∠BCD=180°,因?yàn)椤螧CD+∠DCF=180°,所以∠A=∠DCF,因?yàn)锳D=CD,所以△ADB≌△CDF(ASA),所以BD=DF=6,S△ADB=S△CDF,所以S四邊形ABCD=S△BDF.因?yàn)锽D=DF=6,∠BDF=90°,所以S△BDF=

×6×6=18,所以S四邊形ABCD=18,即四邊形ABCD的面積為18.方法解讀當(dāng)四邊形中有一組對角互補(bǔ),且有一組鄰邊相等時(shí)可考慮用“對角

互補(bǔ)模型”.解題時(shí),通過作等角(或延長某一邊并截取等線段)構(gòu)造全等三角形,

利用全等三角形的性質(zhì)解決線段、面積問題.類型五動點(diǎn)模型10.(2023山東聊城陽谷期中改編,16,★★☆)如圖,CA⊥AB,垂足為點(diǎn)A,AB⊥射線

BM,垂足為點(diǎn)B,AB=12cm,AC=6cm.動點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN

運(yùn)動,點(diǎn)D在射線BM上,且BD=AB.若點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為ts(t>0),則當(dāng)t=

s

時(shí),△DEB與△BCA全等.

2或6答案

2或6解析分情況討論:①當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上,AC=BE時(shí),△ACB≌△BED,所以BE=AC=6cm,所以AE=AB-BE=12-6=6(cm),所以點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為6÷3=2(s);②當(dāng)E在射線BN上,AC=BE時(shí),△ACB≌△BED,所以BE=AC=6cm,所以AE=AB+BE=12+6=18(cm),所以點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為18÷3=6(s).綜上,t=2或6.11.(2024山東聊城陽谷期中,26,★★☆)如圖,做一個(gè)“U”字形框架PABQ,其中

AB=42cm,AP、BQ足夠長,PA⊥AB,QB⊥AB,點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),向點(diǎn)A運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)

N從點(diǎn)B出發(fā),沿射線BQ運(yùn)動,點(diǎn)M、N運(yùn)動的速度之比為3∶4,當(dāng)M、N兩點(diǎn)運(yùn)動

到某一瞬間時(shí),同時(shí)停止,此時(shí)在射線AP上取點(diǎn)C,使△ACM與△BMN全等,求此

時(shí)線段AC的長.

解析由題意設(shè)BM=3tcm,BN=4tcm,因?yàn)锳B=42cm,所以A