青島版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(二)構(gòu)造全等三角形的四種方法課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(二)構(gòu)造全等三角形的四種方法類型一利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形1.如圖,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).

試說明:DE=2AM.

證明如圖,延長AM至點(diǎn)N,使MN=AM,連接BN.因?yàn)辄c(diǎn)M為BC的中點(diǎn),所以BM=CM.在△AMC和△NMB中,

所以△AMC≌△NMB(SAS),所以AC=NB,∠C=∠NBM,所以∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠

EAD.因?yàn)锳D=AC,所以AD=BN.在△ABN和△EAD中,

所以△ABN≌△EAD(SAS),所以DE=NA,所以DE=2AM.類型二利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形2.(一題多解)如圖,AC∥BD,AE,BE分別平分∠CAB,∠DBA,

CD經(jīng)過點(diǎn)E,試判斷AC,BD與AB間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

解析

AC+BD=AB,理由如下:方法一(截長法):如圖1所示,在線段AB上截取AF=AC,連接

EF.

圖1因?yàn)锳E,BE分別平分∠CAB,∠DBA,所以∠1=∠2,∠3=∠4.在△ACE和△AFE中,

所以△ACE≌△AFE(SAS),所以∠C=∠5.因?yàn)锳C∥BD,所以∠C+∠D=180°,因?yàn)椤?+∠6=180°,所以∠D=∠6.在△EFB和△EDB中,

所以△EFB≌△EDB(AAS),所以BF=BD,所以AB=AF+BF=AC+BD,即AC+BD=AB.方法二(補(bǔ)短法):如圖2所示,延長AC至點(diǎn)F,使AF=AB,連接EF.圖2因?yàn)锳E,BE分別平分∠CAB,∠DBA,所以∠1=∠2,∠3=∠4,在△AEF和△AEB中,

所以△AEF≌△AEB(SAS),所以EF=EB,∠F=∠3.又因?yàn)椤?=∠4,所以∠F=∠4.因?yàn)锳C∥BD,所以∠FCE=∠D.在△CEF和△DEB中,

所以△CEF≌△DEB(AAS),所以CF=BD.因?yàn)锳B=AF=AC+CF=AC+BD,所以AC+BD=AB.類型三利用“補(bǔ)形法”構(gòu)造全等三角形3.如圖,在△ABC中,∠BCA=90°,AC=BC,AE平分∠BAC,BE⊥

AE,試說明BE=

AD.

證明如圖,延長AC,BE交于點(diǎn)F,因?yàn)椤螦CB=90°,BE⊥AE,所以∠ACD=∠BCF=90°,∠CAD+∠CDA=90°,∠EDB+∠

EBD=90°.因?yàn)椤螩DA=∠EDB,所以∠CAD=∠EBD.在△ADC和△BFC中,

所以△ADC≌△BFC(ASA),所以AD=BF.因?yàn)锽E⊥AE,所以∠AEB=∠AEF=90°,因?yàn)锳E平分∠BAC,所以∠FAE=∠BAE.在△AEF和△AEB中,

所以△AEF≌△AEB(ASA),所以BE=EF,即BE=

BF.又因?yàn)锳D=BF,所以BE=

AD.類型四利用“三垂直”構(gòu)造全等三角形4.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,將△ABC放在平面直角坐

標(biāo)系中,如圖所示.圖1圖2圖3(1)如圖1,若A(1,0),B(0,3),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

;(2)如圖2,若A(1,3),B(-1,0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

;(3)如圖3,若B(-4,0),C(0,-1),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

.(4,1)(4,1)解析(1)過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D(圖略),則∠CAD+∠ACD=90°.∠CDA=∠AOB=90°,因?yàn)椤螧AC=90°,所以∠BAO+∠CAD=90°,所以∠BAO=∠ACD.在△ABO與△CAD中,

所以△ABO≌△CAD(AAS),所以BO=AD,OA=CD.因?yàn)锳(1,0),B(0,3),所以O(shè)A=1,OB=3,所以AD=3,CD=1,所以O(shè)D=OA+AD=4,所以C(4,1).(2)過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E(圖略).同

(1)可證△ACE≌△BAD,所以AE=BD,CE=AD.因?yàn)锳(1,3),B(-1,0),所以BD=2,AD=3,所以CE=3,AE=2,所以DE=AD-AE=1,所以C(4,1).(3)過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,AE⊥y軸于點(diǎn)E(圖略).易得AD=OE,∠EAD=90°.同(1)可證△BAD≌△CAE,所以CE=BD,AE=AD.