專題02 復數(shù)的幾何意義-滬教版高一《數(shù)學》核心考點題型方法與技巧（解析版）

第第頁PAGE【解析版】專題02復數(shù)的幾何意義在數(shù)學的發(fā)展史上有一件有意思的事：數(shù)學家在研究三次方程求解的過程中，即使最終得到實根，過程中卻常常要對一些負數(shù)開平方，遇到了難以自圓其說的尷尬；于是，一種被稱作為“虛數(shù)”的新數(shù)于16世紀開始被引入了數(shù)學實數(shù)與虛數(shù)合稱為復數(shù)；復數(shù)是人類理性思維的演繹成果，它的產(chǎn)生首先是因為數(shù)學家解決數(shù)學自身問題的需要，在很長的一段時間內(nèi)，人們并不清楚它與現(xiàn)實世界到底有怎樣的聯(lián)系；后來，數(shù)學家建立了復數(shù)與向量，即復數(shù)與幾何的關聯(lián)，在大學學習力學和電磁學時，會看到復數(shù)在其中的重要作用，復數(shù)在數(shù)學及其他科學領域中也越來越體現(xiàn)出它的重要性；現(xiàn)在，復數(shù)已經(jīng)成為數(shù)學工作者與許多領域的科技人員熟練掌握并廣泛應用的基本數(shù)學工具；一、《必修第二冊》目錄與內(nèi)容提要【本章教材目錄】9.1復數(shù)及其四則運算9.1.1復數(shù)的引入與復數(shù)的四則運算；9.1.2復數(shù)的實部、虛部與共軛；9.2復數(shù)的幾何意義9.2.1復平面與復數(shù)的坐標表示；9.2.2復數(shù)的向量表示；9.2.3復數(shù)加法的平行四邊形法則；9.2.4復數(shù)的模9.3實系數(shù)一元二次方程9.3.1實數(shù)的平方根；9.3.2實數(shù)系一元二次方程；*9.4復數(shù)的三角形式9.4.1復數(shù)的三角形式；9.4.2三角形式下復數(shù)的乘除運算；9.4.3三角形式下復數(shù)的乘方與開方【本章內(nèi)容提要】復數(shù)是我們繼自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和實數(shù)的學習之后，新認識的一種數(shù).1、復數(shù)系與相關概念（1）虛數(shù)單位，滿足.（2）復數(shù)的代數(shù)形式：（）.（3）復數(shù)的相等：（）的充要條件是同時為；復數(shù)（）的充要條件是且.（4）復數(shù)的實部與虛部：復數(shù)（）的實部是，虛部是；虛部為的復數(shù)是實數(shù)，虛部不為的復數(shù)稱為虛數(shù)，實部為的虛數(shù)稱為純虛數(shù).；（5）復數(shù)的共軛：復數(shù)（）的共軛復數(shù)是；（6）復數(shù)的模：復數(shù)（）的模是；復數(shù)的模有如下性質(zhì)：對、、，，；；；（復數(shù)的三角不等式）.2、復數(shù)的四則運算（1）兩個復數(shù)進行相加、相減或相乘時，仿照兩個二項式進行相加、相減或相乘的規(guī)則計算，并用條件及合并同類項以化簡結果：設；．（2）兩個復數(shù)進行除法（除數(shù)不為）運算時，將分子和分母同時乘分母的共軛復數(shù)，然后分子和分母分別做復數(shù)的乘法而得到運算結果：設，.本質(zhì)：化簡分式.（3）復數(shù)模對乘、除的分配性：復數(shù)積（商）的模等于模的積（商）：設；（）.3、復數(shù)的坐標表示（1）復平面：表示復數(shù)的直角坐標平面叫做復平面，其中軸叫做實軸，軸叫做虛軸.（2）復數(shù)的坐標表示與向量表示：復數(shù)（）可用復平面上坐標為的點來表示，也可以用從坐標原點出發(fā)的向量來表示.（3）復數(shù)模的幾何意義：復數(shù)（）的模等于點與原點的距離，也等于向量的模.（4）兩個復數(shù)的和在復平面上所對應的向量就是兩個復數(shù)對應的向量按平行四邊形法則所得到的和向量.（5）兩復數(shù)差的模的幾何意義：兩復數(shù)、差的模是這兩個復數(shù)在復平面上對應點、之間的距離，即.4、實系數(shù)一元二次方程給定方程（，），并令為其判別式，則（1）當時，方程有兩個不相等的實根；（2）當時，方程有兩個相等的實根（二重根）（3）當時，方程有一對共軛虛根*5、復數(shù)的三角形式（1）復數(shù)的輻角：設復數(shù)對應復平面上的點，則以原點為頂點、軸的正半軸為始邊、射線為終邊的角稱為的輻角，記作；滿足的輻角稱為的輻角主值，記為.（2）復數(shù)的三角形式：設復數(shù)的模為，輻角為，則，復數(shù)的這種表示形式稱為它的三角形式.（3）三角形式下復數(shù)的乘法與除法公式：給定三角形式的復數(shù)與，則，（）.（4）三角形式下復數(shù)的乘方與開方公式：給定三角形式的復數(shù)，則對任何正整數(shù)，有：；的次方根，；1、復平面及其相關概念復平面的有關概念：在平面上建立直角坐標系，以坐標為的點表示復數(shù)，就可在平面上的點的集合與復數(shù)集合之間建立一個一一對應，這樣用來表示復數(shù)的平面叫做復平面；在復平面上，軸上的點具有形式的坐標，從而對應的都是實數(shù)，所以把軸叫做實軸；同理，軸上的點（除坐標原點外）都對應純虛數(shù)，所以把軸叫做虛軸坐標原點表示實數(shù)；【特別提醒】（1）虛軸上的原點對應的有序?qū)崝?shù)對為，它所確定的復數(shù)是表示是實數(shù)；故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；（2）復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應關系，這就是復數(shù)的一種幾何意義，也是復數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示法；2、共軛復數(shù)的“數(shù)、形”特征共軛復數(shù)和在復平面上所對應的點和關于軸對稱；反之，如果復平面上的兩個點關于軸對稱，那么這兩個點所對應的復數(shù)互為共軛；特別地，如果，即是實數(shù)，則，此時、在復平面上所對應的點是位于實軸上的同一點；【典例】3、復數(shù)、點與向量“三者”間的對應復數(shù)一一對應復平面內(nèi)的點；復數(shù)一一對應平面向量；因此，復數(shù)、復平面內(nèi)的點和平面向量之間的關系可用右圖表示.為方便起見，常把復數(shù)說成點或向量；【規(guī)定】1、相等的向量表示同一個復數(shù)；2、本質(zhì)：建立了復數(shù)與復平面上的點,復數(shù)與向量的對應關系；3、應用：通過兩種對應關系的建立，可以直觀、有效地表示復數(shù)，便于理解復數(shù)的意義；4、復數(shù)加、減法的幾何意義（1）幾何意義：復數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行；設復數(shù)對應的向量分別為，四邊形為平行四邊形，則與對應的向量是，與對應的向量是;（2）實質(zhì):利用幾何圖形的變換解釋復數(shù)的加、減運算(數(shù)形結合)；（3）應用:廣泛應用于復數(shù)的加、減運算及復數(shù)與三角形、四邊形等結合的題目；5、復數(shù)的模1、復數(shù)，對應的向量為，則向量的模叫作復數(shù)的模(或絕對值)，2、記作：；3、由模的定義可知：；4、復數(shù)模的幾何意義是：復數(shù)對應復平面上的點到原點的距離；5．復數(shù)z的方程在復平面上表示的圖形（1）a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；（2）|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．6、復數(shù)模的性質(zhì)①；②；③；④；⑤；⑥；7、復平面上兩點間距離公式設、是復平面上的兩個點，其對應的復數(shù)、，則由平面上兩點間距離公式可知：題型1、準確把握復數(shù)與點的對應例1、（1）當實數(shù)m分別取何值時，在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i對應的點Z滿足下列條件？①在x軸上方；②在實軸負半軸上；【解析】①∵點Z在x軸上方，∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2；②若點Z在實軸負半軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))解得m＝1；（2）在復平面內(nèi)，若復數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i對應的點：①在虛軸上；②在第二象限；③在y＝x的圖象上，分別求實數(shù)m的值或取值范圍．【解析】復數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的實部為m2－2m－8，虛部為m2＋3m－10.①由題意，得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.②由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－8<0，,m2＋3m－10>0，))∴2<m<4.③由題意，得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝eq\f(2,5).【說明】1、復數(shù)集C與復平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應的，即復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z(a，b)，這是復數(shù)的一種幾何意義；2、利用復數(shù)與點的對應關系解題的步驟：①找對應關系：復數(shù)的幾何表示法即復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復平面內(nèi)的點Z(a，b)來表示，是解決此類問題的依據(jù)；②列出方程(組)或不等式(組)：根據(jù)復數(shù)的實部與虛部應滿足的條件，建立方程(組)或不等式(組)，通過解方程(組)或不等式(組)求解；題型2、理解與會用復數(shù)與平面向量的對應例2、（1）若O為復平面的原點，向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))對應的復數(shù)是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數(shù)是－5＋4i，則eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數(shù)是（）A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i【答案】C【解析】由復數(shù)的幾何意義，可得eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(5，－4)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(－5,4)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數(shù)為0；（2）在復平面內(nèi)，把復數(shù)1＋i對應的向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，則所得向量對應的復數(shù)為___________【答案】－1－i【解析】復數(shù)1＋i對應的點的坐標為(1，1)，對應的向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，則對應的點的坐標為(－1，－1)，所得向量對應的復數(shù)為－1－i；【說明】復數(shù)與平面向量的對應關系：1、根據(jù)復數(shù)與平面向量的對應關系，可知當平面向量的起點在原點時，向量的終點對應的復數(shù)即為向量對應的復數(shù)．反之復數(shù)對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數(shù)對應的向量；2、解決復數(shù)與平面向量一一對應的問題時，一般以復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應為工具，實現(xiàn)復數(shù)、復平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化；題型3、復數(shù)的模及其計算例3、（1）求復數(shù)z1＝6＋8i及z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i的模，并比較它們模的大??；【提示】用求模的公式直接計算；【解析】因為z1＝6＋8i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i，所以|z1|＝eq\r(62＋82)＝10，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋－\r(2)2)＝eq\f(3,2).因為10>eq\f(3,2)，所以|z1|>|z2|；【說明】1、計算復數(shù)的模時，應先找出復數(shù)的實部和虛部，再利用復數(shù)模的公式進行計算；2、兩個復數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小；（2）已知復數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求：復數(shù)z；【解析】設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i；【說明】1、定義：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對值；2、記法：復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|；3、公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)；題型4、復數(shù)的模與點的軌跡的交匯例4、（1）已知復數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復數(shù)z對應的點Z的集合是什么圖形（）A．一個圓 B．線段C．兩點 D．兩個圓【答案】A【解析】∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，∴復數(shù)z對應的點Z的集合是以原點O為圓心，3為半徑的一個圓；（2）已知復數(shù)z1＝eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.①求|z1|及|z2|并比較大??；②設z∈C，滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點Z的集合是什么圖形？【解析】①因為z1＝eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，所以|z1|＝eq\r((\r(3))2＋12)＝2，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1，所以|z1|>|z2|;②由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2，根據(jù)復數(shù)幾何意義可知|z|表示復數(shù)z對應的點到原點的距離，所以，|z|≥1表示|z|＝1所表示的圓及其外部所有點組成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圓及其內(nèi)部所有點組成的集合，所以滿足條件的點Z的集合是以原點O為圓心，以1和2為半徑的兩圓之間的圓環(huán)(包括兩邊界)．題型5、共軛復數(shù)的幾何特征例5、（1）如圖，在復平面內(nèi)，點A表示復數(shù)z，則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是（）A．AB．BC．CD．D【答案】B；【解析】設z＝a＋bi(a，b∈R)，且a<0，b>0，則z的共軛復數(shù)為a－bi，其中a<0，－b<0，故應為B點；（2）復數(shù)eq\x\to(z)＝1＋eq\r(3)i和z＝1－eq\r(3)i在復平面內(nèi)的對應點關于（）A．實軸對稱B．一、三象限的角平分線對稱C．虛軸對稱D．二、四象限的角平分線對稱【答案】A；【解析】復數(shù)eq\x\to(z)＝1＋eq\r(3)i在復平面內(nèi)的對應點為Z1(1，eq\r(3))，復數(shù)z＝1－eq\r(3)i在復平面內(nèi)的對應點為Z2(1，－eq\r(3))，點Z1與Z2關于實軸對稱，故選A，【說明】共軛復數(shù)和在復平面上所對應的點和關于軸對稱；反之，如果復平面上的兩個點關于軸對稱，那么這兩個點所對應的復數(shù)互為共軛；特別地，如果，即是實數(shù)，則，此時、在復平面上所對應的點是位于實軸上的同一點；題型6、共軛復數(shù)模的性質(zhì)及其應用例6、（1）設，則=（）A．2 B． C． D．1【答案】C；【解析】解法1：；解法2：；（2）若，則________.【答案】【解析】解法1：.解法2：，所以.【說明】復數(shù)模的性質(zhì)：①；②；③；④；⑤；⑥；【重要結論】（1）一個重要的復數(shù)等式：;（想一想：如何推導）（2）一個重要的復數(shù)不等式：;（想一想：等號成立條件）題型7、復數(shù)加法（減法）的幾何意義例7、如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應的復數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i；求：（1）eq\o(AO,\s\up6(→))對應的復數(shù)；（2）eq\o(CA,\s\up6(→))對應的復數(shù)；（3）eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數(shù)及|eq\o(OB,\s\up6(→))|的長度；【解析】（1）因為eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))對應的復數(shù)為－3－2i；（2）因為eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))對應的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37)；【說明】復數(shù)與向量的對應關系的兩個關注點：（1）復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與以原點為起點，Z(a，b)為終點的向量一一對應；（2）一個向量可以平移，其對應的復數(shù)不變，但是其起點與終點所對應的復數(shù)發(fā)生改變；題型8、利用代數(shù)方法求復數(shù)模的最值例8、（1）已知復數(shù)z＝a＋(a－1)i(a∈R)，則|z|的最小值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2) C．eq\f(\r(3),2) D．1【答案】B【解析】因為z＝a＋(a－1)i，所以|z|＝eq\r(a2＋（a－1）2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))≥eq\f(\r(2),2)，所以|z|的最小值為eq\f(\r(2),2)；（2）已知復數(shù)z滿足eq\f(z－1,z＋1)是純虛數(shù)，則|z2＋z＋3|的最小值為________.【答案】eq\f(\r(33),3)【解析】設z＝a＋bi，則eq\f(z－1,z＋1)＝eq\f(a2＋b2－1＋2bi,（a＋1）2＋b2).因為eq\f(z－1,z＋1)為純虛數(shù)，所以a2＋b2＝1(b≠0)，所以a2＝1－b2，所以－1＜a＜1.所以|z2＋z＋3|＝|a2－b2＋2abi＋a＋bi＋3|＝|a2－b2＋a＋3＋(2ab＋b)i|＝eq\r(（a2－b2＋a＋3）2＋b2（2a＋1）2)＝eq\r(12a2＋8a＋5)＝eq\r(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)))\s\up12(2)＋\f(11,3)).當a＝－eq\f(1,3)時，|z2＋z＋3|取得最小值，最小值為eq\f(\r(33),3).題型9、利用復數(shù)模的幾何意義求最值例9、（1）設復數(shù)z滿足條件|z|＝1，那么|z＋2eq\r(2)＋i|的最大值是()A．3 B．2eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．4【答案】D【解析】|z|＝1表示單位圓上的點，那么|z＋2eq\r(2)＋i|表示單位圓上的點到點(－2eq\r(2)，－1)的距離，求最大值轉(zhuǎn)化為點(－2eq\r(2)，－1)到原點的距離加上圓的半徑．因為點(－2eq\r(2)，－1)到原點的距離為3，所以所求最大值為4；（2）如果復數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1B．eq\f(1,2)C．2D．eq\r(5)【答案】A【解析】設復數(shù)z，－i，i，－1－i在復平面內(nèi)對應的點分別為Z，Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點Z的集合為線段Z1Z2.所以點Z在線段Z1Z2上移動，|ZZ3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1；【說明】兩個復數(shù)差的模的幾何意義1、|z－z0|表示復數(shù)z，z0對應的點之間的距離，在應用時，要把絕對值號內(nèi)變?yōu)閮蓮蛿?shù)差的形式．2、|z－z0|＝r表示以z0對應的點為圓心，r為半徑的圓．3、涉及復數(shù)模的最值問題以及點的集合所表示的圖形問題，均可從兩點間距離公式的復數(shù)表達形式入手進行分析判斷，然后通過幾何方法進行求解．題型10、利用復數(shù)模的幾何意義求最值例10、（1）△ABC的三個頂點所對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，復數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】A；【解析】設復數(shù)z與復平面內(nèi)的點Z相對應，由△ABC的三個頂點所對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，及由|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知點Z到△ABC的三個頂點的距離相等，由三角形外心的定義可知，點Z即為△ABC的外心．（2）已知復數(shù)z1＝eq\r(3)－i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.①求|eq\o(z1,\s\up6(－))|，|eq\o(z2,\s\up6(－))|的值并比較大小；②設z∈C，且z在復平面內(nèi)對應的點為Z，則滿足|z2|≤|z|≤|z1|的點Z組成的集合是什么圖形？并作圖表示．【解析】①|(zhì)eq\o(z1,\s\up6(－))|＝|eq\r(3)＋i|＝eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2，|eq\o(z2,\s\up6(－))|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1.所以|eq\o(z1,\s\up6(－))|＞|eq\o(z2,\s\up6(－))|.②由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.不等式1≤|z|≤2等價于不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|z|≤2，,|z|≥1.))因為滿足|z|≤2的點Z組成的集合是圓心在原點、半徑為2的圓及其內(nèi)部(包括邊界)，而滿足|z|≥1的點Z組成的集合是圓心在原點、半徑為1的圓的外部(包括邊界)，所以滿足條件的點Z組成的集合是一個圓環(huán)(包括邊界)，如圖中陰影部分所示；1、已知復平面內(nèi)的向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數(shù)分別是－2＋I，3＋2i，則|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝________.【答案】eq\r(10)【解析】∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數(shù)為(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，∴|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).2、若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，復數(shù)z2－z1所對應的點在第四象限內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－∞，2)【解析】z2－z1＝1＋(a－2)i，由題意知a－2<0，即a<2.3、若復數(shù)z對應的點在y＝2x的圖象上，且|z|＝eq\r(5)，則復數(shù)z＝________________.【答案】1＋2i或－1－2i【解析】依題意可設復數(shù)z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq\r(5)，得eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.4、已知復數(shù)z對應的向量為Oeq\o(Z,\s\up8(→))(O為坐標原點)，Oeq\o(Z,\s\up8(→))與實軸正向的夾角為120°，且復數(shù)z的模為2，則復數(shù)z為【答案】－1＋eq\r(3)i；【解析】設復數(shù)z對應的點為(x，y)，則x＝|z|·cos120°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，y＝|z|·sin120°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴復數(shù)z對應的點為(－1,eq\r(3))，∴z＝－1＋eq\r(3)i.5、已知O為坐標原點，eq\o(OZ,\s\up8(→))1對應的復數(shù)為－3＋4i，eq\o(OZ,\s\up8(→))2對應的復數(shù)為2a＋i(a∈R)．若eq\o(OZ,\s\up8(→))1與eq\o(OZ,\s\up8(→))2共線，則a的取值為【答案】－eq\f(3,8)；【解析】因為eq\o(OZ,\s\up8(→))1對應的復數(shù)為－3＋4i，eq\o(OZ,\s\up8(→))2對應的復數(shù)為2a＋i，所以eq\o(OZ,\s\up8(→))1＝(－3,4)，eq\o(OZ,\s\up8(→))2＝(2a,1)；因為eq\o(OZ,\s\up8(→))1與eq\o(OZ,\s\up8(→))2共線，所以存在實數(shù)k使eq\o(OZ,\s\up8(→))2＝keq\o(OZ,\s\up8(→))1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝－3k，,1＝4k，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,4)，,a＝－\f(3,8)，))即a的值為－eq\f(3,8)；6、已知集合M＝{z||z＋1|＝1}，集合N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，則M∩N＝【答案】{0，－2}【解析】利用復數(shù)的幾何意義解決問題．在復平面內(nèi)，|z＋1|＝1的幾何意義是以點(－1,0)為圓心，以1為半徑的圓．|z＋i|＝|z－i|的幾何意義是到點A(0,1)和點B(0，－1)距離相等的點的集合，是線段AB的垂直平分線，也就是x軸．M∩N的幾何意義是x軸