專題02 復(fù)數(shù)的幾何意義-滬教版高一《數(shù)學(xué)》核心考點(diǎn)題型方法與技巧（解析版）

第第頁(yè)P(yáng)AGE【解析版】專題02復(fù)數(shù)的幾何意義在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上有一件有意思的事：數(shù)學(xué)家在研究三次方程求解的過程中，即使最終得到實(shí)根，過程中卻常常要對(duì)一些負(fù)數(shù)開平方，遇到了難以自圓其說的尷尬；于是，一種被稱作為“虛數(shù)”的新數(shù)于16世紀(jì)開始被引入了數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)與虛數(shù)合稱為復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)是人類理性思維的演繹成果，它的產(chǎn)生首先是因?yàn)閿?shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)自身問題的需要，在很長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，人們并不清楚它與現(xiàn)實(shí)世界到底有怎樣的聯(lián)系；后來，數(shù)學(xué)家建立了復(fù)數(shù)與向量，即復(fù)數(shù)與幾何的關(guān)聯(lián)，在大學(xué)學(xué)習(xí)力學(xué)和電磁學(xué)時(shí)，會(huì)看到復(fù)數(shù)在其中的重要作用，復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)及其他科學(xué)領(lǐng)域中也越來越體現(xiàn)出它的重要性；現(xiàn)在，復(fù)數(shù)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)工作者與許多領(lǐng)域的科技人員熟練掌握并廣泛應(yīng)用的基本數(shù)學(xué)工具；一、《必修第二冊(cè)》目錄與內(nèi)容提要【本章教材目錄】9.1復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算9.1.1復(fù)數(shù)的引入與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；9.1.2復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與共軛；9.2復(fù)數(shù)的幾何意義9.2.1復(fù)平面與復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示；9.2.2復(fù)數(shù)的向量表示；9.2.3復(fù)數(shù)加法的平行四邊形法則；9.2.4復(fù)數(shù)的模9.3實(shí)系數(shù)一元二次方程9.3.1實(shí)數(shù)的平方根；9.3.2實(shí)數(shù)系一元二次方程；*9.4復(fù)數(shù)的三角形式9.4.1復(fù)數(shù)的三角形式；9.4.2三角形式下復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算；9.4.3三角形式下復(fù)數(shù)的乘方與開方【本章內(nèi)容提要】復(fù)數(shù)是我們繼自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)之后，新認(rèn)識(shí)的一種數(shù).1、復(fù)數(shù)系與相關(guān)概念（1）虛數(shù)單位，滿足.（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：（）.（3）復(fù)數(shù)的相等：（）的充要條件是同時(shí)為；復(fù)數(shù)（）的充要條件是且.（4）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部：復(fù)數(shù)（）的實(shí)部是，虛部是；虛部為的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，虛部不為的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)，實(shí)部為的虛數(shù)稱為純虛數(shù).；（5）復(fù)數(shù)的共軛：復(fù)數(shù)（）的共軛復(fù)數(shù)是；（6）復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)（）的模是；復(fù)數(shù)的模有如下性質(zhì)：對(duì)、、，，；；；（復(fù)數(shù)的三角不等式）.2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行相加、相減或相乘時(shí)，仿照兩個(gè)二項(xiàng)式進(jìn)行相加、相減或相乘的規(guī)則計(jì)算，并用條件及合并同類項(xiàng)以化簡(jiǎn)結(jié)果：設(shè)；．（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行除法（除數(shù)不為）運(yùn)算時(shí)，將分子和分母同時(shí)乘分母的共軛復(fù)數(shù)，然后分子和分母分別做復(fù)數(shù)的乘法而得到運(yùn)算結(jié)果：設(shè)，.本質(zhì)：化簡(jiǎn)分式.（3）復(fù)數(shù)模對(duì)乘、除的分配性：復(fù)數(shù)積（商）的模等于模的積（商）：設(shè)；（）.3、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示（1）復(fù)平面：表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)平面叫做復(fù)平面，其中軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.（2）復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示與向量表示：復(fù)數(shù)（）可用復(fù)平面上坐標(biāo)為的點(diǎn)來表示，也可以用從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的向量來表示.（3）復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)（）的模等于點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，也等于向量的模.（4）兩個(gè)復(fù)數(shù)的和在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量就是兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按平行四邊形法則所得到的和向量.（5）兩復(fù)數(shù)差的模的幾何意義：兩復(fù)數(shù)、差的模是這兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)、之間的距離，即.4、實(shí)系數(shù)一元二次方程給定方程（，），并令為其判別式，則（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（二重根）（3）當(dāng)時(shí)，方程有一對(duì)共軛虛根*5、復(fù)數(shù)的三角形式（1）復(fù)數(shù)的輻角：設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，則以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、軸的正半軸為始邊、射線為終邊的角稱為的輻角，記作；滿足的輻角稱為的輻角主值，記為.（2）復(fù)數(shù)的三角形式：設(shè)復(fù)數(shù)的模為，輻角為，則，復(fù)數(shù)的這種表示形式稱為它的三角形式.（3）三角形式下復(fù)數(shù)的乘法與除法公式：給定三角形式的復(fù)數(shù)與，則，（）.（4）三角形式下復(fù)數(shù)的乘方與開方公式：給定三角形式的復(fù)數(shù)，則對(duì)任何正整數(shù)，有：；的次方根，；1、復(fù)平面及其相關(guān)概念復(fù)平面的有關(guān)概念：在平面上建立直角坐標(biāo)系，以坐標(biāo)為的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，就可在平面上的點(diǎn)的集合與復(fù)數(shù)集合之間建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，這樣用來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面；在復(fù)平面上，軸上的點(diǎn)具有形式的坐標(biāo)，從而對(duì)應(yīng)的都是實(shí)數(shù)，所以把軸叫做實(shí)軸；同理，軸上的點(diǎn)（除坐標(biāo)原點(diǎn)外）都對(duì)應(yīng)純虛數(shù)，所以把軸叫做虛軸坐標(biāo)原點(diǎn)表示實(shí)數(shù)；【特別提醒】（1）虛軸上的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為，它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實(shí)數(shù)；故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；（2）復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義，也是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示法；2、共軛復(fù)數(shù)的“數(shù)、形”特征共軛復(fù)數(shù)和在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱；反之，如果復(fù)平面上的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，那么這兩個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)互為共軛；特別地，如果，即是實(shí)數(shù)，則，此時(shí)、在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是位于實(shí)軸上的同一點(diǎn)；【典例】3、復(fù)數(shù)、點(diǎn)與向量“三者”間的對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)；復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)平面向量；因此，復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和平面向量之間的關(guān)系可用右圖表示.為方便起見，常把復(fù)數(shù)說成點(diǎn)或向量；【規(guī)定】1、相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)；2、本質(zhì)：建立了復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn),復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系；3、應(yīng)用：通過兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立，可以直觀、有效地表示復(fù)數(shù)，便于理解復(fù)數(shù)的意義；4、復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義（1）幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行；設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為，四邊形為平行四邊形，則與對(duì)應(yīng)的向量是，與對(duì)應(yīng)的向量是;（2）實(shí)質(zhì):利用幾何圖形的變換解釋復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算(數(shù)形結(jié)合)；（3）應(yīng)用:廣泛應(yīng)用于復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及復(fù)數(shù)與三角形、四邊形等結(jié)合的題目；5、復(fù)數(shù)的模1、復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量為，則向量的模叫作復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)，2、記作：；3、由模的定義可知：；4、復(fù)數(shù)模的幾何意義是：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；5．復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形（1）a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；（2）|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．6、復(fù)數(shù)模的性質(zhì)①；②；③；④；⑤；⑥；7、復(fù)平面上兩點(diǎn)間距離公式設(shè)、是復(fù)平面上的兩個(gè)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)、，則由平面上兩點(diǎn)間距離公式可知：題型1、準(zhǔn)確把握復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)例1、（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m分別取何值時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件？①在x軸上方；②在實(shí)軸負(fù)半軸上；【解析】①∵點(diǎn)Z在x軸上方，∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2；②若點(diǎn)Z在實(shí)軸負(fù)半軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))解得m＝1；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：①在虛軸上；②在第二象限；③在y＝x的圖象上，分別求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍．【解析】復(fù)數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的實(shí)部為m2－2m－8，虛部為m2＋3m－10.①由題意，得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.②由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－8<0，,m2＋3m－10>0，))∴2<m<4.③由題意，得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝eq\f(2,5).【說明】1、復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義；2、利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系解題的步驟：①找對(duì)應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)來表示，是解決此類問題的依據(jù)；②列出方程(組)或不等式(組)：根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，建立方程(組)或不等式(組)，通過解方程(組)或不等式(組)求解；題型2、理解與會(huì)用復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)例2、（1）若O為復(fù)平面的原點(diǎn)，向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－5＋4i，則eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義，可得eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(5，－4)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(－5,4)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為0；（2）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)1＋i對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為___________【答案】－1－i【解析】復(fù)數(shù)1＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1)，對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－1)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－i；【說明】復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：1、根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量；2、解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化；題型3、復(fù)數(shù)的模及其計(jì)算例3、（1）求復(fù)數(shù)z1＝6＋8i及z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i的模，并比較它們模的大??；【提示】用求模的公式直接計(jì)算；【解析】因?yàn)閦1＝6＋8i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i，所以|z1|＝eq\r(62＋82)＝10，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋－\r(2)2)＝eq\f(3,2).因?yàn)?0>eq\f(3,2)，所以|z1|>|z2|；【說明】1、計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，再利用復(fù)數(shù)模的公式進(jìn)行計(jì)算；2、兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，但它們的模可以比較大小；（2）已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求：復(fù)數(shù)z；【解析】設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i；【說明】1、定義：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對(duì)值；2、記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|；3、公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)；題型4、復(fù)數(shù)的模與點(diǎn)的軌跡的交匯例4、（1）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形（）A．一個(gè)圓 B．線段C．兩點(diǎn) D．兩個(gè)圓【答案】A【解析】∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，3為半徑的一個(gè)圓；（2）已知復(fù)數(shù)z1＝eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.①求|z1|及|z2|并比較大??；②設(shè)z∈C，滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？【解析】①因?yàn)閦1＝eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，所以|z1|＝eq\r((\r(3))2＋12)＝2，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1，所以|z1|>|z2|;②由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可知|z|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以，|z|≥1表示|z|＝1所表示的圓及其外部所有點(diǎn)組成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圓及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，所以滿足條件的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1和2為半徑的兩圓之間的圓環(huán)(包括兩邊界)．題型5、共軛復(fù)數(shù)的幾何特征例5、（1）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）A．AB．BC．CD．D【答案】B；【解析】設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，且a<0，b>0，則z的共軛復(fù)數(shù)為a－bi，其中a<0，－b<0，故應(yīng)為B點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝1＋eq\r(3)i和z＝1－eq\r(3)i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于（）A．實(shí)軸對(duì)稱B．一、三象限的角平分線對(duì)稱C．虛軸對(duì)稱D．二、四象限的角平分線對(duì)稱【答案】A；【解析】復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝1＋eq\r(3)i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z1(1，eq\r(3))，復(fù)數(shù)z＝1－eq\r(3)i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z2(1，－eq\r(3))，點(diǎn)Z1與Z2關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故選A，【說明】共軛復(fù)數(shù)和在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱；反之，如果復(fù)平面上的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，那么這兩個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)互為共軛；特別地，如果，即是實(shí)數(shù)，則，此時(shí)、在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是位于實(shí)軸上的同一點(diǎn)；題型6、共軛復(fù)數(shù)模的性質(zhì)及其應(yīng)用例6、（1）設(shè)，則=（）A．2 B． C． D．1【答案】C；【解析】解法1：；解法2：；（2）若，則________.【答案】【解析】解法1：.解法2：，所以.【說明】復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：①；②；③；④；⑤；⑥；【重要結(jié)論】（1）一個(gè)重要的復(fù)數(shù)等式：;（想一想：如何推導(dǎo)）（2）一個(gè)重要的復(fù)數(shù)不等式：;（想一想：等號(hào)成立條件）題型7、復(fù)數(shù)加法（減法）的幾何意義例7、如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i；求：（1）eq\o(AO,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）eq\o(CA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（3）eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)及|eq\o(OB,\s\up6(→))|的長(zhǎng)度；【解析】（1）因?yàn)閑q\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3－2i；（2）因?yàn)閑q\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因?yàn)閑q\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37)；【說明】復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)：（1）復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與以原點(diǎn)為起點(diǎn)，Z(a，b)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)；（2）一個(gè)向量可以平移，其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)不變，但是其起點(diǎn)與終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)發(fā)生改變；題型8、利用代數(shù)方法求復(fù)數(shù)模的最值例8、（1）已知復(fù)數(shù)z＝a＋(a－1)i(a∈R)，則|z|的最小值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2) C．eq\f(\r(3),2) D．1【答案】B【解析】因?yàn)閦＝a＋(a－1)i，所以|z|＝eq\r(a2＋（a－1）2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))≥eq\f(\r(2),2)，所以|z|的最小值為eq\f(\r(2),2)；（2）已知復(fù)數(shù)z滿足eq\f(z－1,z＋1)是純虛數(shù)，則|z2＋z＋3|的最小值為________.【答案】eq\f(\r(33),3)【解析】設(shè)z＝a＋bi，則eq\f(z－1,z＋1)＝eq\f(a2＋b2－1＋2bi,（a＋1）2＋b2).因?yàn)閑q\f(z－1,z＋1)為純虛數(shù)，所以a2＋b2＝1(b≠0)，所以a2＝1－b2，所以－1＜a＜1.所以|z2＋z＋3|＝|a2－b2＋2abi＋a＋bi＋3|＝|a2－b2＋a＋3＋(2ab＋b)i|＝eq\r(（a2－b2＋a＋3）2＋b2（2a＋1）2)＝eq\r(12a2＋8a＋5)＝eq\r(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)))\s\up12(2)＋\f(11,3)).當(dāng)a＝－eq\f(1,3)時(shí)，|z2＋z＋3|取得最小值，最小值為eq\f(\r(33),3).題型9、利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求最值例9、（1）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z|＝1，那么|z＋2eq\r(2)＋i|的最大值是()A．3 B．2eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．4【答案】D【解析】|z|＝1表示單位圓上的點(diǎn)，那么|z＋2eq\r(2)＋i|表示單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(－2eq\r(2)，－1)的距離，求最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(－2eq\r(2)，－1)到原點(diǎn)的距離加上圓的半徑．因?yàn)辄c(diǎn)(－2eq\r(2)，－1)到原點(diǎn)的距離為3，所以所求最大值為4；（2）如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1B．eq\f(1,2)C．2D．eq\r(5)【答案】A【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z，－i，i，－1－i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z，Z1，Z2，Z3，因?yàn)閨z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2.所以點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動(dòng)，|ZZ3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1；【說明】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)差的模的幾何意義1、|z－z0|表示復(fù)數(shù)z，z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，在應(yīng)用時(shí)，要把絕對(duì)值號(hào)內(nèi)變?yōu)閮蓮?fù)數(shù)差的形式．2、|z－z0|＝r表示以z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓．3、涉及復(fù)數(shù)模的最值問題以及點(diǎn)的集合所表示的圖形問題，均可從兩點(diǎn)間距離公式的復(fù)數(shù)表達(dá)形式入手進(jìn)行分析判斷，然后通過幾何方法進(jìn)行求解．題型10、利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求最值例10、（1）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】A；【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z相對(duì)應(yīng)，由△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，及由|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知點(diǎn)Z到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，由三角形外心的定義可知，點(diǎn)Z即為△ABC的外心．（2）已知復(fù)數(shù)z1＝eq\r(3)－i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.①求|eq\o(z1,\s\up6(－))|，|eq\o(z2,\s\up6(－))|的值并比較大??；②設(shè)z∈C，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則滿足|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z組成的集合是什么圖形？并作圖表示．【解析】①|(zhì)eq\o(z1,\s\up6(－))|＝|eq\r(3)＋i|＝eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2，|eq\o(z2,\s\up6(－))|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1.所以|eq\o(z1,\s\up6(－))|＞|eq\o(z2,\s\up6(－))|.②由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.不等式1≤|z|≤2等價(jià)于不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|z|≤2，,|z|≥1.))因?yàn)闈M足|z|≤2的點(diǎn)Z組成的集合是圓心在原點(diǎn)、半徑為2的圓及其內(nèi)部(包括邊界)，而滿足|z|≥1的點(diǎn)Z組成的集合是圓心在原點(diǎn)、半徑為1的圓的外部(包括邊界)，所以滿足條件的點(diǎn)Z組成的集合是一個(gè)圓環(huán)(包括邊界)，如圖中陰影部分所示；1、已知復(fù)平面內(nèi)的向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是－2＋I(xiàn)，3＋2i，則|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝________.【答案】eq\r(10)【解析】∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，∴|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).2、若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，復(fù)數(shù)z2－z1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－∞，2)【解析】z2－z1＝1＋(a－2)i，由題意知a－2<0，即a<2.3、若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y＝2x的圖象上，且|z|＝eq\r(5)，則復(fù)數(shù)z＝________________.【答案】1＋2i或－1－2i【解析】依題意可設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq\r(5)，得eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.4、已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為Oeq\o(Z,\s\up8(→))(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，Oeq\o(Z,\s\up8(→))與實(shí)軸正向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，則復(fù)數(shù)z為【答案】－1＋eq\r(3)i；【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則x＝|z|·cos120°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，y＝|z|·sin120°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－1,eq\r(3))，∴z＝－1＋eq\r(3)i.5、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OZ,\s\up8(→))1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3＋4i，eq\o(OZ,\s\up8(→))2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a＋i(a∈R)．若eq\o(OZ,\s\up8(→))1與eq\o(OZ,\s\up8(→))2共線，則a的取值為【答案】－eq\f(3,8)；【解析】因?yàn)閑q\o(OZ,\s\up8(→))1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3＋4i，eq\o(OZ,\s\up8(→))2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a＋i，所以eq\o(OZ,\s\up8(→))1＝(－3,4)，eq\o(OZ,\s\up8(→))2＝(2a,1)；因?yàn)閑q\o(OZ,\s\up8(→))1與eq\o(OZ,\s\up8(→))2共線，所以存在實(shí)數(shù)k使eq\o(OZ,\s\up8(→))2＝keq\o(OZ,\s\up8(→))1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝－3k，,1＝4k，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,4)，,a＝－\f(3,8)，))即a的值為－eq\f(3,8)；6、已知集合M＝{z||z＋1|＝1}，集合N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，則M∩N＝【答案】{0，－2}【解析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義解決問題．在復(fù)平面內(nèi)，|z＋1|＝1的幾何意義是以點(diǎn)(－1,0)為圓心，以1為半徑的圓．|z＋i|＝|z－i|的幾何意義是到點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(0，－1)距離相等的點(diǎn)的集合，是線段AB的垂直平分線，也就是x軸．M∩N的幾何意義是x軸