2024內蒙古中考數學一輪知識點復習 第14課時 二次函數的圖象與性質（課件）

第14課時

二次函數的圖象與性質

內蒙古中考真題及拓展3

考點精講1

重難點分層練2二次函數圖象與性質二次函數圖象的平移根據二次函數解析式判斷函數性質根據二次函數解析式判斷函數圖象二次函數的圖象與性質二次函數的概念概念特殊形式解析式的三種形式確定二次函數解析式的步驟二次函數解析式的確定考點精講【對接教材】北師：九下第二章P29～P45；

人教：九上第二十二章P28～P42.1考點二次函數的概念概念形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的函數特殊形式特別地，當a≠0，b＝c＝0時，y＝ax2是二次函數的特殊形式2考點二次函數的圖象與性質1.根據二次函數解析式判斷函數性質對稱軸1.直接利用公式x＝______求解；2.轉化為頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k，則對稱軸為直線_________注:還可利用x＝(其中x1、x2為關于對稱軸對稱的兩點的橫坐標)求解頂點坐標1.直接利用頂點坐標___________________求解；2.將一般式化為頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k，則頂點坐標為________；3.將對稱軸x＝x0代入函數解析式求解

x＝h(，)(h，k)增減性a>0時，在對稱軸左側，y隨x的增大而______；在對稱軸右側，y隨x的增大而______a<0時，在對稱軸左側，y隨x的增大而______；在對稱軸右側，y隨x的增大而______最值a>0時，y有最小值_________a<0時，y有最_____值減小增大減小增大大2.根據二次函數解析式判斷函數圖象a的正負(決定開口方向)a＞0開口________a＜0開口________a，b(決定對稱軸位置)b＝0對稱軸為y軸a、b同號對稱軸在y軸______側a、b異號對稱軸在y軸______側c(決定與y軸交點的位置)c＝0拋物線過原點c>0拋物線與y軸交于________c<0拋物線與y軸交于負半軸向上向下左右正半軸b2－4ac(決定拋物線與x軸交點個數)b2－4ac＝0與x軸有唯一交點(頂點)b2－4ac>0與x軸有________個交點b2－4ac<0與x軸沒有交點兩二次函數解析式的確定3考點1.解析式的三種形式一般式________________________頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，頂點坐標是__________交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2為拋物線與x軸交點的橫坐標y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(h，k)2.確定二次函數解析式的步驟方法待定系數法具體方法1.對于二次函數解析式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，若系數a，b，c中有一個未知，則代入二次函數圖象上任意一點坐標；若有兩個未知，則代入二次函數圖象上任意兩點坐標；2.對未給定二次函數解析式，根據所給點坐標選擇適當的解析式：(1)頂點在原點，可設為y＝ax2；(2)對稱軸是y軸(或頂點在y軸上)，可設為y＝ax2＋c；(3)頂點在x軸上，可設為y＝a(x－h(huán))2；(4)拋物線過原點，可設為y＝ax2＋bx；具體方法(5)已知頂點(h，k)時，可設為頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k；(6)已知拋物線與x軸的兩交點坐標為(x1，0)，(x2，0)時，或已知對稱軸及與x軸的一個交點(x1，0)，利用對稱軸可求出另外一個交點的坐標(x2，0)，可設為兩點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)；(7)已知二次函數圖象上任意三點坐標，可設為y＝ax2＋bx＋c；3.聯(lián)立一次方程(組)，求得系數或常數項；4.將所得系數或常數項代入解析式即可【滿分技法】若已知拋物線與x軸相交的其中一個交點是A(x1，0)，且其對稱軸是直線x＝h，則另一個交點B的橫坐標為x2＝2h－x14考點二次函數圖象的平移平移前解析式平移n個單位(n＞0)平移后解析式簡記y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)向左平移n個單位y＝a(x－h(huán))2＋k左“＋”右“－”向右平移n個單位y＝a(x－h(huán))2＋k向上平移n個單位y＝a(x－h(huán))2＋k上“＋”下“－”向下平移n個單位y＝a(x－h(huán))2＋k【滿分技法】在一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)平移過程中，先把拋物線的解析式化成頂點式，然后根據平移規(guī)律，左右平移給x加減平移單位，上下平移給等號右邊整體加減平移單位

＋n－n＋n－n重難點分層練一、二次函數圖象與性質例1已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的幾組對應值如下表：一題多設問x…－4－3－2－1012…y…－503430－5…回顧必備知識根據表格中的信息，解答下列問題：(1)觀察表格可得拋物線與x軸的交點坐標為___________________；與y軸的交點坐標為________；拋物線的對稱軸為直線____________；頂點坐標為____________；(0，3)(－3，0)、(1，0)x＝－1(－1，4)x…－4－3－2－1012…y…－503430－5…(2)根據描點法畫出該函數的大致圖象；例1題圖(3)拋物線的開口向________；(4)拋物線的表達式為_____________________，化為頂點式為_____________________；(5)拋物線上的點A(，

)關于拋物線對稱軸對稱的點B的坐標為_______________；下y＝－x2－2x＋3y＝－(x＋1)2＋4(－

，

)例1題圖(6)若點C為拋物線上一點，且到對稱軸的距離為1，則點C的坐標為__________________________；(7)若B(－5，y1)，C(－2，y2)，D(4，y3)三點在拋物線上，則y1，y2，y3的大小關系為_________________；(8)當－1≤x≤3時，y的最小值為________，y的最大值為________．y3＜y1＜y2－124(－2，3)或(0，3)例1題圖二、二次函數解析式的確定形式一解析式未給出例2(1)已知拋物線以A(－1，4)為頂點，且過點B(2，－5)，求拋物線的解析式；解：(1)∵拋物線以A(－1，4)為頂點，∴設拋物線的解析式為y＝a(x＋1)2＋4，將點B(2，－5)代入，得－5＝a(2＋1)2＋4，解得a＝－1，∴拋物線的解析式為y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3(2)若拋物線經過(2，0)、(－1，0)、(1，－4)三點，求拋物線的解析式；(2)∵拋物線經過點(2，0)，(－1，0)，∴設拋物線的解析式為y＝a(x－2)(x＋1)，將點(1，－4)代入，得－4＝a(1－2)(1＋1)，解得a＝2，∴拋物線的解析式為y＝2(x－2)(x＋1)＝2x2－2x－4；(3)若拋物線過原點，且經過點(－1，－4)、(2，2)，求拋物線的解析式.(3)∵拋物線過原點，∴設拋物線的解析式為y＝ax2＋bx，將點(－1，－4)、(2，2)分別代入，

得

解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋3x.形式二解析式已給出例3已知拋物線y＝ax2＋bx＋1.(1)當拋物線經過(1，－2)和(3，－2)兩點時，求拋物線的解析式；一題多設問解：(1)將點(1，－2)，(3，－2)代入y＝ax2＋bx＋1，

得

解得∴拋物線的解析式為y＝x2－4x＋1；(2)當拋物線的頂點坐標為(2，－1)時，求拋物線的解析式；(2)由題意得

解得

或(不合題意，舍去)

∴拋物線的解析式為y＝

x2－2x＋1；(3)當拋物線的對稱軸為直線x＝－1，且經過點(2，0)時，求拋物線的解析式；(3)∵拋物線的對稱軸為直線x＝－1，∴－

＝－1，∴b＝2a，∴y＝ax2＋2ax＋1.將點(2，0)代入，得4a＋4a＋1＝0，解得a＝－

，∴拋物線的解析式為y＝－

x2－

x＋1；(4)若拋物線經過A(2，3)，B(4，5)，C(4，3)三點中的兩點，求拋物線的解析式．(4)由題意可知，拋物線經過點(0，1)，∵過點(0，1)和A(2，3)的直線解析式為y＝x＋1，且點B(4，5)也在該直線上，∴拋物線經過A(2，3)，B(4，5)兩點中的一點．∵B(4，5)，C(4，3)兩點的橫坐標相同，∴拋物線經過B(4，5)，C(4，3)兩點中的一點，∴拋物線經過A(2，3)，C(4，3)兩點．將A(2，3)，C(4，3)兩點代入，

得

解得

∴拋物線的解析式為y＝－

x2＋

x＋1.形式三二次函數圖象的平移確定解析式例4已知拋物線y＝－x2＋4x－3.(1)將拋物線先向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，求平移后的拋物線的解析式；解：(1)由題意可知，平移后的拋物線的解析式為y＝－(x＋1)2＋4(x＋1)－3＋2，即y＝－x2＋2x＋2；(2)將拋物線沿x軸平移，若平移后的拋物線過點(0，1)，求平移后的拋物線的解析式．(2)拋物線y＝－x2＋4x－3可化為y＝－(x－2)2＋1，設拋物線沿x軸平移h個單位長度，則平移后的解析式為y＝－(x－2＋h)2＋1，∵平移后的拋物線過點(0，1)，∴－(－2＋h)2＋1＝1，解得h＝2，∴平移后的拋物線的解析式為y＝－x2＋1.例5已知拋物線y＝x2＋2mx＋2m2－m.(1)若拋物線過點P(－2，t)、Q(4，t)，則m的值為___________；(2)若x＜3時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍為________；(3)若拋物線經過第一、二、三象限，則m的取值范圍為___________；一題多設問－1m≤－3≤m＜1提升關鍵能力(4)若點B(2，yB)，C(5，yC)在拋物線上，且yB＞yC，求m的取值范圍；(4)∵點B(2，yB)，C(5，yC)在拋物線y＝x2＋2mx＋2m2－m上，∵yB＝4＋4m＋2m2－m，yC＝25＋10m＋2m2－m，∵yB＞yC，∴4＋4m＋2m2－m＞25＋10m＋2m2－m，解得m<－

，即m的取值范圍為m<－

；(5)當1≤x≤3時，函數y的最小值等于6，求m的值；(5)①當－m≤1，即m≥－1時，當x＝1時y有最小值6，∴1＋2m＋2m2－m＝6，即2m2＋m－5＝0，解得m＝

或m＝(不合題意，舍去)；②當1<－m<3，即－3≤m＜－1，當x＝－m時，y有最小值6，∴當m2－m＝6，即m2－m－6＝0，解得m＝－2或m＝3(不合題意，舍去)；③當－m≥3，即m≤－3，當x＝3時，y有最小值6，∴9＋6m＋2m2－m＝6，即2m2＋5m＋3＝0，解得m＝－(不合題意，舍去)或m＝－1(不合題意，舍去)．

綜上所述，m的值為

或－2；(6)該拋物線的頂點隨m的變化而移動，當頂點移到最低處時，求該拋物線的頂點坐標；(6)拋物線y＝x2＋2mx＋2m2－m的頂點為(－m，m2－m)，頂點移動到最低處，即頂點縱坐標最小，∵m2－m＝(m－)2－

，∴當m＝

時，縱坐標最小，即頂點移到最低處，當m＝

時，－m＝－

，m2－m＝－

，∴當頂點移到最低處時，該拋物線的頂點坐標為(－

，－)；(7)當m＝2時，平移該拋物線，使其頂點恰好落在原點，請寫出一種平移方法及平移后的拋物線的解析式．(7)當m＝2時，該拋物線解析式為y＝x2＋4x＋6＝(x＋2)2＋2，將該拋物線向右平移2個單位，向下平移2個單位，可使其頂點恰好落在原點，平移后的拋物線的解析式為y＝x2.內蒙古中考真題及拓展1命題點二次函數的圖象與性質1.(2021呼和浩特3題3分)二次函數y＝ax2與一次函數y＝ax＋a在同一坐標系中的大致圖象可能是(

)D2.(2023包頭10題3分)已知二次函數y＝ax2－bx＋c(a≠0)的圖象經過第一象限的點(1，－b)，則一次函數y＝bx－ac的圖象不經過(

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C3.(2023赤峰12題3分)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c上的部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表：以下結論正確的是(

)A.拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下B.當x<3時，y隨x增大而增大C.方程ax2＋bx＋c＝0的根為0和2D.當y>0時，x的取值范圍是0<x<2x…－10123…y…30－1m3…C4.(2023呼和浩特10題3分)已知二次項系數等于1的一個二次函數，其圖象與x軸交于兩點(m，0)，(n，0)，且過A(0，b)，B(3，a)兩點(b，a是實數)，若0<m<n<2，則ab的取值范圍是(

)

A.0＜ab＜

B.0＜ab＜

C.0＜ab＜

D.0＜ab＜C5.(2023包頭20題3分)已知拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，點D(4，y)在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點．當BE＋DE的值最小時，△ACE的面積為________．4二次函數圖象的平移(包頭2022.19，呼和浩特2022.7)2命題點6.(2022呼和浩特7題3分)關于二次函數y＝

x2－6x＋a＋27，下列說法錯誤的是(

)A.若將圖象向上平移10個單位，再向左平移2個單位后過點(4，5)，則a＝－5B.當x＝12時，y有最小值a－9C.x＝2對應的函數值比最小值大7D.當a<0時，圖象與x軸有兩個不同的交點C7.(2022包頭19題3分)在平面直角坐標系中，已知A(－1，m)和B(5，m)是拋物線y＝x2＋bx＋1上的兩點，將拋物線y＝x2＋bx＋1的圖象向上平移n(n是正整數)個單位，使平移后的圖象與x軸沒有交點，則n的最小值為________．48.(2023山西)拋物線的函數表達式為y＝3(x－2)2＋1,若將x軸向上平移2個單位長度，將y軸向左平移3個單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標系中的函數表達式為(

)A.y＝3(x＋1)2＋3B.y＝3(x－5)2＋3C.y＝3(x－5)2－1D.y＝3(x＋1)2－1創(chuàng)新考法C9．(2023麗水)如圖，已知拋物線L：y＝x2＋bx＋c經過點A(0，－5)，B(5，0)．(1)求b，c的值；第9題圖解：(1)把點A(0，－5)，B(5，0)分別代入y＝x2＋bx＋c中，

得

解得∴b，c的值分別為－4，－5；(2)連接AB，交拋物線L的對稱軸于點M.①求點M的坐標；(2)①設AB所在直線的函數解析式為y＝kx＋n(k≠0)，把A(0，－5)，B(5，0)分別代入y＝kx＋n，

得

解得

∴AB所在直線的函數解析式為y＝x－5.由(1)得，拋物線L的解析式為y＝x2－4x－5，第9題圖∴拋物線L的對稱軸是直線x＝2，當x＝2時，y＝x－5＝－3.∴點M的坐標是(2，－3)；第9題圖②將拋物線L向左平移m(m＞0)個單位得到拋物線L1，過點M作MN∥y軸，交拋物線L1于點N，P是拋物線L1上一點，橫坐標為