高中數學選擇性必修一課件：2 5 1 第2課時 直線與圓的方程的實際應用(人教A版)

第2課時直線與圓的方程的實際應用第二章

2.5.1直線與圓的位置關系1.理解并掌握直線與圓的方程在實際生活中的應用.2.會用“數形結合”的數學思想解決問題.學習目標當前臺風中心P在某海濱城市O向東300km處生成，并以40km/h的速度向西偏北45°方向移動.已知距離臺風中心250km以內的地方都屬于臺風侵襲的范圍，那么經過多長時間后該城市開始受到臺風侵襲？受臺風侵襲大概持續(xù)多長時間？導語隨堂演練課時對點練一、圓的方程的實際應用二、直線與圓的方程的實際應用內容索引一、圓的方程的實際應用例1

如圖為一座圓拱橋的截面圖，當水面在某位置時，拱頂離水面2m，水面寬12m，當水面下降1m后，水面寬為________m.解析如圖，以圓拱橋頂為坐標原點，以過圓拱頂點的豎直直線為y軸，建立直角坐標系.設圓心為C，圓的方程設為x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端點為A，B，則A(6，－2).將A(6，－2)代入圓的方程，得r＝10，則圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.當水面下降1m后，可設點A′(x0，－3)(x0>0)，延伸探究某圓拱橋的水面跨度為20m，拱高為4m.現有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？解建立如圖所示的坐標系，使圓心C在y軸上.依題意，有B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0).設圓心C的坐標為(0，b)，圓的半徑為r，設這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2，把P，B兩點的坐標代入圓的方程，解建立如圖所示的坐標系，使圓心C在y軸上.依題意，有B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0).設圓心C的坐標為(0，b)，圓的半徑為r，設這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2，把P，B兩點的坐標代入圓的方程，所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把點D的橫坐標x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m,3<3.1，所以該船可以從橋下通過.反思感悟建立適當的直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何要素，通過代數運算，解決幾何問題.解析建立如圖所示的平面直角坐標系，設篷頂距地面的高度為h，則A(0.8，h)，半圓所在圓的方程為x2＋y2＝3.62，把點A的坐標代入上式可得，0.82＋h2＝3.62，跟蹤訓練1

一輛卡車寬1.6m，要經過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過A.1.4m B.3.5mC.3.6m D.2.0m√二、直線與圓的方程的實際應用例2

如圖，某海面上有O，A，B三個小島(面積大小忽略不計)，A島在O島的北偏東45°方向距O島

千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處.以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系.圓C經過O，A，B三點.(1)求圓C的方程；例2

如圖，某海面上有O，A，B三個小島(面積大小忽略不計)，A島在O島的北偏東45°方向距O島

千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處.以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系.圓C經過O，A，B三點.(1)求圓C的方程；解由題意，得A(40,40)，B(20,0)，設過O，A，B三點的圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴圓C的方程為x2＋y2－20x－60y＝0.(2)若圓C區(qū)域內有未知暗礁，現有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？解該船初始位置為點D，且該船航線所在直線l的斜率為1，故該船有觸礁的危險.反思感悟解決直線與圓的實際應用題的步驟(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知.(2)建系：建立適當的直角坐標系，用坐標和方程表示幾何模型中的基本元素.(3)求解：利用直線與圓的有關知識求出未知.(4)還原：將運算結果還原到實際問題中去.跟蹤訓練2

如圖是某主題公園的部分景觀平面示意圖，圓形池塘以O為圓心，以

為半徑，B為公園入口，道路AB為東西方向，道路AC經過點O且向正北方向延伸，OA＝10m，AB＝100m，現計劃從B處起修一條新路與道路AC相連，且新路在池塘的外圍，假設路寬忽略不計，則新路的最小長度為(單位：m)√解析以A為坐標原點建立平面直角坐標系(圖略)，設修建的新路所在直線方程為kx－y＋100k＝0(k>0)，則當該直線與圓O相切時，小路長度最小，1.知識清單：(1)直線與圓的方程的應用.(2)坐標法的應用.2.方法歸納：數學建模、坐標法.3.常見誤區(qū)：不能正確進行數學建模.課堂小結隨堂演練1.一涵洞的橫截面是半徑為5m的半圓，則該半圓的方程是A.x2＋y2＝25B.x2＋y2＝25(y≥0)C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D.隨建立直角坐標系的變化而變化√12342.y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4在x軸上方所圍成的圖形的面積是√12343.設某村莊外圍成圓形，其所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離是_________.1234解析從村莊外圍到小路的最短距離為圓心(2，－3)到直線x－y＋2＝0的距離減去圓的半徑2，解析如圖，以臺風中心為原點O，以東西方向為x軸，建立直角坐標系，其中，取10km為單位長度.則臺風影響的圓形區(qū)域所對應的圓心為O，圓的方程為x2＋y2＝9；輪船航線所在的直線l的方程為4x＋7y－28＝0.可知直線與圓相離，故輪船不會受到臺風的影響.4.一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它______(填“會”“不會”)受到臺風的影響.不會1234課時對點練1.如圖，圓弧形拱橋的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，則拱橋的直徑為A.15米 B.13米C.9米 D.6.5米√解析如圖，設圓心為O，半徑為r，則由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，基礎鞏固12345678910111213141516所以拱橋的直徑為13米.2.已知點A(－1,1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光線從點A經x軸反射到圓C上的最短路程是√∴所求最短路程為10－2＝8.123456789101112131415163.如圖所示，A，B是直線l上的兩點，且AB＝2.兩個半徑相等的動圓分別與l相切于A，B點，C是兩個圓的公共點，則圓弧AC，CB與線段AB圍成圖形面積S的取值范圍為√解析

如圖所示，由題意知，當兩動圓外切時，圍成圖形面積S取得最大值，此時四邊形ABO2O1為矩形，123456789101112131415164.為了適應市場需要，某地準備建一個圓形生豬儲備基地(如圖)，它的附近有一條公路，從基地中心O處向東走1km是儲備基地的邊界上的點A，接著向東再走7km到達公路上的點B；從基地中心O向正北走8km到達公路的另一點C.現準備在儲備基地的邊界上選一點D，修建一條由D通往公路BC的專用線DE，則DE的最短距離為√12345678910111213141516解析以O為坐標原點，過OB，OC的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則圓O的方程為x2＋y2＝1，因為點B(8,0)，C(0,8)，123456789101112131415165.設某公園外圍成圓形，其所在曲線的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公園外兩點A(－2,0)，B(0,2)與公園邊上任意一點修建一處舞臺，則舞臺面積的最小值為√123456789101112131415166.(多選)從點A(－3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射后，照射到圓C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，則下列結論正確的是A.若反射光線與圓C相切，則切線方程為3x－4y－3＝0B.若反射光線穿過圓C的圓心，則反射光線方程為x－y＝0C.若反射光線照射到圓上后被吸收，則光線經過的最短路程是D.若反射光線反射后被圓C遮擋，則在x軸上被擋住的范圍是√12345678910111213141516√√解析點A(－3,3)關于x軸的對稱點為A′(－3，－3).圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1，求題意知反射光線的斜率存在，設反射光線方程為y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.12345678910111213141516即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A錯誤.又A′(－3，－3)，C(2,2)的方程為y＝x，故B正確；123456789101112131415167.某圓弧形拱橋的水面跨度是20m，拱高為4m.現有一船寬9m，在水面以上部分高3m，通行無阻.近日水位暴漲了1.5m，為此，必須加重船載，降低船身，當船身至少降低________m時，船才能安全通過橋洞.(結果精確到0.01m)1.2212345678910111213141516解析以水位未漲前的水面AB的中點為原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，設圓拱所在圓的方程為x2＋(y－b)2＝r2，∵圓經過點B(10,0)，C(0,4)，12345678910111213141516∴圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，故當水位暴漲1.5m后，船身至少應降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通過橋洞.8.臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A地正東40km處，則城市B處于危險區(qū)的時間為____h.1解析如圖，以A地為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則臺風中心經過以B(40,0)為圓心，30為半徑的圓內時城市B處于危險區(qū)，12345678910111213141516即B處于危險區(qū)時，臺風中心在線段MN上，可求得|MN|＝20，所以時間為1h.9.設有半徑長為3km的圓形村落，甲、乙兩人同時從村落中心出發(fā)，甲向東前進而乙向北前進，甲離開村后不久，改變前進方向，斜著沿切于村落邊界的方向前進，后來恰好與乙相遇.設甲、乙兩人的速度都一定，且其速度比為3∶1，問：甲、乙兩人在何處相遇？12345678910111213141516解如圖所示，以村落中心為坐標原點，以東西方向為x軸，南北方向為y軸建立平面直角坐標系.設甲向東走到D轉向到C恰好與乙相遇，設D點坐標為(a，0)，C點坐標為(0，b)，12345678910111213141516所以乙向北前進3.75km時甲、乙兩人相遇.10.如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？(要求用坐標法)12345678910111213141516解如圖，以O為坐標原點，東西方向為x軸建立平面直角坐標系，則A(40,0)，B(0,30)，圓O的方程為x2＋y2＝252.12345678910111213141516即3x＋4y－120＝0.設點O到直線AB的距離為d，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到.設監(jiān)測時間為t，11.(多選)如圖所示，已知直線l的方程是y＝

并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點，一個半徑為1.5的圓C，圓心C從點(0,1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動，當圓C與直線l相切時，該圓運動的時間可以為A.6秒 B.8秒

C.10秒 D.16秒√12345678910111213141516綜合運用√解析設當圓與直線l相切時，圓心坐標為(0，m)，1234567891011121314151612.某圓拱橋的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造時，每隔3m需用一個支柱支撐，則支柱A2P2的長為√12345678910111213141516解析如圖，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系，那么點A，B，P的坐標分別為(－18,0)，(18,0)，(0,6).設圓拱所在的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因為A，B，P在此圓上，12345678910111213141516故圓拱所在圓的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.將點P2的橫坐標x＝6代入上式，1234567891011121314151613.如圖是一公路隧道截面圖，下方ABCD是矩形，且AB＝4m，BC＝8m，隧道頂APD是一圓弧，拱高OP＝2m，隧道有兩車道EF和FG，每車道寬3.5m，車道兩邊留有0.5m人行道BE和GC，為了行駛安全，車頂與隧道頂端至少有0.6m的間隙，則此隧道允許通行車輛的限高是______m.(精確到0.01m，3.9712345678910111213141516解析建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，設弧APD所在圓的圓心坐標為O1(0，b)，半徑為r，則其方程為x2＋(y－b)2＝r2.將P(0,2)，D(4,0)的坐標代入以上方程，解得b＝－3，r＝5，故圓O1的方程為x2＋(y＋3)2＝25.過點E作AD的垂線交AD于點M，延長交弧AD于點N，將N(－3.5，h)代入圓O1的方程，解得h≈0.571，即|MN|≈0.571，則|EN|≈4＋0.571＝4.571，從而車輛的限高為4.571－0.6≈3.97(m).1234567891011121314151614.自圓外一點P作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線PM，PN(M，N為切點)，若∠MPN＝90°，則動點P的軌跡方程是___________.解析設點P的坐標為(x，y)，12345678910111213141516x2＋y2＝2∵∠MPN＝90°，∴四邊形OMPN為正方形，解析以半圓所在直徑為x軸，過圓心且與x軸垂直的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.易知半圓所在的圓的方程為x2＋y2＝3.62(y≥0)，由圖可知，當貨車恰好在隧道中間行走時車篷最高，此時x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(負值舍去).15.一輛貨車寬1.6米，要經過一個半徑為3.6米的半圓形單行隧道，則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度最高約為A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米√拓廣探究1234567891011121314151616.如圖所示，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝(1)求新橋BC的長；12345678910111213141516解如圖，以O為坐標原點，OC所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.由條件知，A(0,60)，C(170,0)，12345678910111213141516又因為AB⊥BC，設點B的坐標為(a，b)，聯立①②解得a＝80，b＝120.12345