期中復習（壓軸題50題特訓）-蘇科版八年級《數(shù)學》上冊重難點專題提優(yōu)訓練（解析版）

第第頁期中復習壓軸題精選50題特訓一．選擇題（共14小題）1．如圖，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是（）A．50 B．62 C．65 D．68【答案】A【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EFA和△AGB中，∵∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG，AE＝AB，∴△EFA≌△AGB（AAS），∴AF＝BG，AG＝EF．同理證得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故選：A．2．如圖是由4個相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，其中∠1+∠2等于（）A．150° B．180° C．210° D．225°【答案】B【解答】解：在△ABC與△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．故選：B．3．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.5【答案】B【解答】解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于點N，∵DE＝DG，∴DM＝DG，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，∴DF＝DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面積分別為50和39，∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，S△DNM＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．故選：B．4．如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N．若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2【答案】D【解答】解：過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM+∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四邊形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN＝S△EPM，∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，∵正方形ABCD的邊長為a，∴AC＝a，∵EC＝2AE，∴EC＝a，∴EP＝PC＝a，∴正方形PCQE的面積＝a×a＝a2，∴四邊形EMCN的面積＝a2，故選：D．5．如圖，點A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點M，P，CD交BE于點Q，連接PQ，BM，下面結(jié)論：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ為等邊三角形；④MB平分∠AMC，其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解答】解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正確；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，∴②正確；在△ABP和△DBQ中，，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP＝BQ，∴△BPQ為等邊三角形，∴③正確；∵∠DMA＝60°，∴∠AMC＝120°，∴∠AMC+∠PBQ＝180°，∴P、B、Q、M四點共圓，∵BP＝BQ，∴，∴∠BMP＝∠BMQ，即MB平分∠AMC；∴④正確；綜上所述：正確的結(jié)論有4個；故選：D．6．如圖，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個結(jié)論①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正確 B．僅①和②正確 C．僅①正確 D．僅①和③正確【答案】B【解答】解：∵PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP＝AP∴△ARP≌△ASP（HL）∴AS＝AR，∠RAP＝∠SAP∵AQ＝PQ∴∠QPA＝∠SAP∴∠RAP＝∠QPA∴QP∥AR而在△BPR和△QSP中，只滿足∠BRP＝∠QSP＝90°和PR＝PS，找不到第3個條件，所以無法得出△BPR≌△QSP故本題僅①和②正確．故選：B．7．如圖所示，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】A【解答】解：∵平角∠AOB三等分，∴∠O＝60°，∵90°﹣60°＝30°，∴剪出的直角三角形沿折痕展開一次得到底角是30°的等腰三角形，再沿另一折痕展開得到有一個角是30°的直角三角形，最后沿折痕AB展開得到等邊三角形，即正三角形．故選：A．8．如圖，已知：∠MON＝30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A6B6A7的邊長為（）A．6 B．12 C．32 D．64【答案】C【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此類推：A6B6＝32B1A2＝32．故選：C．9．圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉如圖正三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長為Pn，則Pn﹣Pn﹣1的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：P1＝1+1+1＝3，P2＝1+1+＝，P3＝1+++×3＝，P4＝1+++×2+×3＝，…∴P3﹣P2＝﹣＝＝，P4﹣P3＝﹣＝＝，則Pn﹣Pn﹣1＝＝．故選：C．10．如圖a是長方形紙帶，∠DEF＝20°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．140° D．150°【答案】B【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝20°，在圖b中∠GFC＝180°﹣2∠EFG＝140°，在圖c中∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝120°，故選：B．11．附加題：下圖是由九個等邊三角形組成的一個六邊形，當最小的等邊三角形邊長為2cm時，這個六邊形的周長為（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60【答案】D【解答】解：設AB＝x，∴等邊三角形的邊長依次為x，x，x，2，x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六邊形周長是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）＝7x+18，∵AF＝2AB，即x+6＝2x，∴x＝6cm，∴周長為7x+18＝60cm．故選：D．12．勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）A．90 B．100 C．110 D．121【答案】C【解答】解：如圖，延長AB交KF于點O，延長AC交GM于點P，易得△CAB≌△BOF≌△FLG，∴AB＝OF＝3，AC＝OB＝FL＝4，∴OA＝OL＝3+4＝7，∵∠CAB＝∠BOF＝∠L＝90°，所以四邊形AOLP是正方形，邊長AO＝AB+AC＝3+4＝7，所以KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，因此矩形KLMJ的面積為10×11＝110．故選：C．13．如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13【答案】A【解答】解：a的最小長度顯然是圓柱的高12，最大長度根據(jù)勾股定理，得：＝13．即a的取值范圍是12≤a≤13．故選：A．14．如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個說法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中說法正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【解答】解：①大正方形的面積是49，則其邊長是7，顯然，利用勾股定理可得x2+y2＝49，故選項①正確；②小正方形的面積是4，則其邊長是2，根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y+2＝x，即x﹣y＝2，故選項②正確；③根據(jù)圖形可得四個三角形的面積+小正方形的面積＝大正方形的面積，即4×xy+4＝49，化簡得2xy+4＝49，故選項③正確；④，則x+y＝，故此選項不正確．故選：B．二．填空題（共9小題）15．如圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直線AC或BC上取點M，使得△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有8個．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點M1，M2，交BC有一點M3，（此時AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點M5，M4，交AC有一點M6（此時BM＝BA）．③AB的垂直平分線交AC一點M7（MA＝MB），交直線BC于點M8；∴符合條件的點有8個．故答案為：8．16．如圖，AD，BE在AB的同側(cè)，AD＝2，BE＝2，AB＝4，點C為AB的中點，若∠DCE＝120°，則DE的最大值是6．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，作點A關于直線CD的對稱點M，作點B關于直線CE的對稱點N，連接DM，CM，CN，MN，NE．由題意AD＝EB＝2，AC＝CB＝2，DM＝CM＝CN＝EN＝2，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，∵∠DCE＝120°，∴∠ACD+∠BCE＝60°，∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，∴∠ACM+∠BCN＝120°，∴∠MCN＝60°，∵CM＝CN＝2，∴△CMN是等邊三角形，∴MN＝2，∵DE≤DM+MN+EN，∴DE≤6，∴當D，M，N，E共線時，DE的值最大，最大值為6，故答案為：6．17．如圖，∠BOC＝9°，點A在OB上，且OA＝1，按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3，得第3條線段A2A3；…這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n＝9．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，則∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n為整數(shù)，故n＝9．故答案為：9．18．如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則△AMN的周長為6．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°∴∠BCD＝∠DBC＝30°∵△ABC是邊長為3的等邊三角形∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°∴∠DBA＝∠DCA＝90°延長AB至F，使BF＝CN，連接DF，在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN∵∠MDN＝60°∴∠BDM+∠CDN＝60°∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM為公共邊∴△DMN≌△DMF，∴MN＝MF∴△AMN的周長是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．19．如圖，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC＝6，那么PD等于3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：過P作PE⊥OA于點E，則PD＝PE，∵PC∥OB，∠AOB＝30°，∴∠ECP＝∠AOB＝30°在Rt△ECP中，PE＝PC＝3∴PD＝PE＝3．20．如圖，OP＝1，過P作PP1⊥OP，得OP1＝；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法繼續(xù)作下去，得OP2012＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由勾股定理得：OP4＝＝，∵OP1＝；得OP2＝；OP3＝，依此類推可得OPn＝，∴OP2012＝，故答案為：．21．某校九年級學生準備畢業(yè)慶典，打算用橄欖枝花圈來裝飾大廳圓柱．已知大廳圓柱高4米，底面周長1米．由于在中學同學三年，他們打算精確地用花圈從上往下均勻纏繞圓柱3圈（如圖），那么螺旋形花圈的長至少5米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：將圓柱表面切開展開呈長方形，則有螺旋線長為三個長方形并排后的長方形的對角線長∵圓柱高4米，底面周長1米x2＝（1×3）2+42＝9+16＝25所以，花圈長至少是5m．22．我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝10，則S2的值是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：將四邊形MTKN的面積設為x，將其余八個全等的三角形面積一個設為y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，故答案為：．23．勾股定理是初等幾何中的一個基本定理．這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，我國古代三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)造的弦圖，是最早證明勾股定理的方法，所謂弦圖是指在正方形的每一邊上各取一個點，再連接四點構(gòu)成一個正方形，它可以驗證勾股定理．在如圖的弦圖中，已知：正方形EFGH的頂點E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面積＝16，AE＝1；則正方形EFGH的面積＝10．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，，∴△AEF≌△DHE，∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面積為16，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴AF＝DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，在Rt△AEF中，EF＝＝，故正方形EFGH的面積＝×＝10．故答案為：10．三．解答題（共24小題）24．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的結(jié)論EF＝BE+FD仍然成立．（3）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應當是EF＝BE﹣FD．證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．25．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關系為垂直，線段CF、BD的數(shù)量關系為相等；②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②當點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）當∠ACB＝45°時，CF⊥BD（如圖）．理由：過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，則∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．26．如圖，已知∠ABC＝90°，D是直線AB上的點，AD＝BC．（1）如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；（2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE＝BD，直線AE、CD相交于點P，∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，在△FAD與△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD＝DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，∵∠BDC+∠DCB＝90°，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF＝BD，連接DF，CF，如圖，∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，在△FAD與△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD＝DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，∵∠BDC+∠DCB＝90°，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD＝45°，∵AF∥CE，且AF＝CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AE∥CF，∴∠APD＝∠FCD＝45°．27．（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，其中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分．）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）①∵∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°．∴∠CAD＝∠BCE．∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．解：（2）∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE＝AD，CD＝BE．∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．（3）當MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，AD、DE、BE所滿足的等量關系是DE＝BE﹣AD（或AD＝BE﹣DE，BE＝AD+DE等）．∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．28．（1）如圖1，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，延長CD到點G，使DG＝BE，連接EF，AG．求證：EF＝FG．（2）如圖2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△FAE和△FAG中，，∴△FAE≌△FAG（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如圖，過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝29．如圖：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）圖中EC、BF有怎樣的數(shù)量和位置關系？試證明你的結(jié)論．（2）連接AM，求證：MA平分∠EMF．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：結(jié)論：EC＝BF，EC⊥BF．理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB＝∠CAF＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF．在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，∴∠ABF+∠BGM＝90°，∴∠EMB＝90°，∴EC⊥BF．∴EC＝BF，EC⊥BF．（2）證明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形對應邊上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．30．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點．（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP全等，理由如下：∵t＝1s，∴BP＝CQ＝3×1＝3cm，∵AB＝10cm，點D為AB的中點，∴BD＝5cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，∴PC＝8﹣3＝5cm，∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）．②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，則BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝5cm，∴點P，點Q運動的時間s，∴（cm/s）；（2）設經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇，由題意，得x＝3x+2×10，解得．∴點P共運動了×3＝80cm．△ABC周長為：10+10+8＝28cm，若是運動了三圈即為：28×3＝84cm，∵84﹣80＝4cm＜AB的長度，∴點P、點Q在AB邊上相遇，∴經(jīng)過s點P與點Q第一次在邊AB上相遇．31．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是C．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選C．（3）證明：延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，∵AD是△ABC中線，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．32．如圖，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于點H，連CH．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）求證：HC平分∠AHE；（3）求∠CHE的度數(shù)．（用含α的式子表示）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）證明：過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM＝∠CBN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（AAS），∴CM＝CN，∴HC平分∠AHE；（3）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∴∠AHB＝∠ACB＝α，∴∠AHE＝180°﹣α，∴∠CHE＝∠AHE＝90°﹣α．33．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝50°時，求∠DEF的度數(shù)；（3）若∠A＝∠DEF，判斷△DEF是否為等腰直角三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE和△CEF中，∵，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠DEC＝∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，∵△BDE≌△CEF，∴∠CEF＝∠BDE，∴∠DEF＝∠B，又∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝65°，∴∠DEF＝65°；（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE＝EF，由（2）知，∠DEF＝∠B，而∠B不可能為直角，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．34．如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C點的坐標；（2）如圖2，P為y軸負半軸上一個動點，當P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP﹣DE的值；（3）如圖3，已知點F坐標為（﹣2，﹣2），當G在y軸的負半軸上沿負方向運動時，作Rt△FGH，始終保持∠GFH＝90°，F(xiàn)G與y軸負半軸交于點G（0，m），F(xiàn)H與x軸正半軸交于點H（n，0），當G點在y軸的負半軸上沿負方向運動時，以下兩個結(jié)論：①m﹣n為定值；②m+n為定值，其中只有一個結(jié)論是正確的，請找出正確的結(jié)論，并求出其值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）過C作CM⊥x軸于M點，如圖1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°則∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，則△MAC≌△OBA（AAS）則CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，則點C的坐標為（﹣6，﹣2）；（2）過D作DQ⊥OP于Q點，如圖2，則OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，則∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，則△AOP≌△PDQ（AAS）∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）結(jié)論②是正確的，m+n＝﹣4，如圖3，過點F分別作FS⊥x軸于S點，F(xiàn)T⊥y軸于T點，則FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，則△FSH≌△FTG（AAS）則GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），點F坐標為（﹣2，﹣2），∴OT＝OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，則﹣2﹣m＝n+2，則m+n＝﹣4．35．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D為AC的中點，連接BD，過點C作CF⊥BD交BD的延長線于點F，過點A作AE⊥AF于點A．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）過點A作AH⊥BF于點H，求證：CF＝EH．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）∵AE⊥AF，∠CAB＝90°，∴∠EAF＝∠CAB＝90°∴∠EAF﹣∠EAC＝∠CAB﹣∠EAC即∠BAE＝∠CAF，∵CF⊥BD，∴∠BFC＝90°＝∠CAB，∴∠BDA+∠ABD＝90°，∠DCF+∠FDC＝90°，∵∠ADB＝∠FDC，∴∠ABD＝∠DCF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），（2）∵由（1）知△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∵∠EAF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∵AH⊥BF，∴∠AHF＝∠AHE＝90°＝∠CFH，∴∠EAH＝180°﹣∠AHE﹣∠AEF＝45°＝∠AEF，∴AH＝EH，∵D為AC中點，∴AD＝CD，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH＝CF，∴EH＝CF．36．如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當t＝1時，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，，解得；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，，解得；綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等．37．如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，過點C作CD⊥AB于點D，過點B作BM⊥AC于點M，CD與BM相交于點E，且點E是CD的中點，連接MD，過點D作DN⊥MD，交BM于點N．（1）求證：△DBN≌△DCM；（2）請?zhí)骄烤€段NE、ME、CM之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∴BD＝DC，∵∠BDC＝∠MDN＝90°，∴∠BDN＝∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）結(jié)論：NE﹣ME＝CM．證明：由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN．作DF⊥MN于點F，又ND⊥MD，∴DF＝FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME＝EF，CM＝DF，∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME．38．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）當∠BQD＝30°時，求AP的長；（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，設AP＝x，則PC＝6﹣x，QB＝x，∴QC＝QB+BC＝6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，∴AP＝2；（2）解法一：當點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．理由如下：過P作PF∥QC，∴△AFP是等邊三角形，∵P、Q同時出發(fā)、速度相同，即BQ＝AP，∴BQ＝PF，∴△DBQ≌△DFP（AAS），∴BD＝DF，而△APF是等邊三角形，PE⊥AF，∵AE＝EF，又DE+（BD+AE）＝AB＝6，∴DE+（DF+EF）＝6，即DE+DE＝6∴DE＝3為定值，即DE的長不變．解法二：當點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．理由如下：作QF⊥AB，交直線AB于點F，連接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，∵點P、Q速度相同，∴AP＝BQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∴∠APE＝∠BQF，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∴四邊形PEQF是平行四邊形，∴DE＝EF，∵EB+AE＝BE+BF＝AB，∴DE＝AB，又∵等邊△ABC的邊長為6，∴DE＝3，∴點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．39．如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點，E是BC延長線上一點，CE＝DA，連接DE交AC于F，過D點作DG⊥AC于G點．證明下列結(jié)論：（1）AG＝AD；（2）DF＝EF；（3）S△DGF＝S△ADG+S△ECF．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵DG⊥AC，∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，∴AG＝AD；（2）過點D作DH∥BC交AC于點H，∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，∴△ADH是等邊三角形，∴DH＝AD，∵AD＝CE，∴DH＝CE，在△DHF和△ECF中，，∴△DHF≌△ECF（AAS），∴DF＝EF；（3）∵△ADH是等邊三角形，DG⊥AC，∴AG＝GH，∴S△ADG＝S△HDG，∵△DHF≌△ECF，∴S△DHF＝S△ECF，∴S△DGF＝S△DGH+S△DHF＝S△ADG+S△ECF．40．如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．（1）當A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），求證：M為AN的中點；（2）將圖1中的△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；（3）將圖1中△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：如圖1，∵EN∥AD，∴∠MAD＝∠MNE，∠ADM＝∠NEM．∵點M為DE的中點，∴DM＝EM．在△ADM和△NEM中，∴．∴△ADM≌△NEM．∴AM＝MN．∴M為AN的中點．（2）證明：如圖2，∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∴AB＝AD，CB＝CE，∠CBE＝∠CEB＝45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA＝180°．∵∠DAE＝90°，∴∠NEA＝90°．∴∠NEC＝135°．∵A，B，E三點在同一直線上，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝135°．∴∠ABC＝∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD＝NE．∵AD＝AB，∴AB＝NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE．∴∠ACN＝∠BCE＝90°．∴△ACN為等腰直角三角形．（3）△ACN仍為等腰直角三角形．證明：如圖3，延長AB交NE于點F，∵AD∥NE，M為中點，∴易得△ADM≌△NEM，∴AD＝NE．∵AD＝AB，∴AB＝NE．∵AD∥NE，∴AF⊥NE，在四邊形BCEF中，∵∠BCE＝∠BFE＝90°∴∠FBC+∠FEC＝360°﹣180°＝180°∵∠FBC+∠ABC＝180°∴∠ABC＝∠FEC在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE．∴∠ACN＝∠BCE＝90°．∴△ACN為等腰直角三角形．41．在學習勾股定理時，我們學會運用圖（Ⅰ）驗證它的正確性；圖中大正方形的面積可表示為：（a+b）2，也可表示為：c2+4?（ab），即（a+b）2＝c2+4?（ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．（1）請你用圖（II）（2002年國際數(shù)字家大會會標）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形全等）；（2）請你用（III）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證（x+y）2＝x2+2xy+y2；（3）請你自己設計圖形的組合，用其面積表達式驗證：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）大正方形的面積為：c2，中間空白部分正方形面積為：（b﹣a）2；四個陰影部分直角三角形面積和為：4×ab；由圖形關系可知：大正方形面積＝空白正方形面積+四直角三角形面積，即有：c2＝（b﹣a）2+4×ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2；（2）如圖示：大正方形邊長為（x+y）所以面積為：（x+y）2，它的面積也等于兩個邊長分別為x，y和兩個長為x寬為y的矩形面積之和，即x2+2xy+y2所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立；（3）如圖示：大矩形的長、寬分別為（x+p），（x+q），則其面積為：（x+p）?（x+q），從圖形關系上可得大矩形為一個邊長為x的正方形和三個小矩形構(gòu)成的則其面積又可表示為：x2+px+qx+pq，則有：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．42．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直線AB上兩點．∠DCE＝45°（1）當CE⊥AB時，點D與點A重合，求證：DE2＝AD2+BE2；（2）如圖，當點D不與點A重合時，求證：DE2＝AD2+BE2；（3）當點D在BA的延長線上時，（2）中的結(jié)論是否成立？畫出圖形，說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：∵CE⊥AB，∴AE＝BE，∵點D與點A重合，∴AD＝0，∴DE2＝AD2+BE2；（2）證明：過點A作AF⊥AB，使AF＝BE，連接DF，CF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠FAC＝45°，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，∵∠ACF＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACF＝45°，即∠DCF＝45°，∴∠DCF＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DF＝DE，∵AD2+AF2＝DF2，∴AD2+BE2＝DE2；（3）結(jié)論仍然成立；如圖，證明：過點A作AF⊥AB，使AF＝BE，連接DF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠FAC＝45°，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠ACF+∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，∵∠DCE＝45°，∴∠DCF＝45°，∴∠DCF＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DF＝DE，∵AD2+AF2＝DF2，∴AD2+BE2＝DE2．43．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒．（1）求BC邊的長；（2）當△ABP為直角三角形時，求t的值；（3）當△ABP為等腰三角形時，求t的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由題意知BP＝tcm，①當∠APB為直角時，點P與點C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②當∠BAP為直角時，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故當△ABP為直角三角形時，t＝4或t＝；（3）①當AB＝BP時，t＝5；②當AB＝AP時，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③當BP＝AP時，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，綜上所述：當△ABP為等腰三角形時，t＝5或t＝8或t＝．44．如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域．（1）A城是否受到這次臺風的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由A點向BF作垂線，垂足為C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，則AC＝160km，因為160＜200，所以A城要受臺風影響；（2）設BF上點D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分線，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，則DG＝2DC＝240千米，遭受臺風影響的時間是：t＝240÷40＝6（小時）．45．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；（2）當點Q在邊BC上運動時，通過計算說明PQ能否把△ABC的周長平分？（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，∴PQ＝＝＝2；（2）由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），根據(jù)題意得：BQ＝2tcm，CQ＝（6﹣2t）cm，PA＝tcm，BP＝（8﹣t）cm，若PQ能把△ABC的周長平分，則BQ+BP＝CQ+PA+AC，即2t+8﹣t＝6﹣2t+t+10，解得：t＝4，此時CQ＝6﹣2t＝﹣2，∴t＝4不合題意，∴點Q在邊BC上運動時，通過計算PQ不能把△ABC的周長平分；（3）①當CQ＝BQ時，如圖1所示：則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②當CQ＝BC時，如圖2所示：則BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③當BC＝BQ時，如圖3所示：過B點作BE⊥AC于點E，則BE＝＝＝4.8（cm）∴CE＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，△BCQ為等腰三角形．46．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小明以靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當四個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來推導明a2+b2＝c2．請你寫出推導過程．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵S五邊形面積＝S梯形面積1+S