高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第八章解析幾何第1課時直線的方程學(xué)案

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．?？键c：直線與圓、圓錐曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．(1)高考時直線與圓的位置關(guān)系考查多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等，重在考查學(xué)生的雙基．(2)圓錐曲線標準方程的求解一般出現(xiàn)在解答題的第1問，屬于容易題．(3)直線與圓錐曲線的綜合性問題常出現(xiàn)在解答題的第2問，常考的有定點、定值、定直線問題，范圍(最值)問題，探究性問題等，通常難度較大．2．輪考點：圓與圓、圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)．(1)對圓與圓位置關(guān)系的考查，一般以選擇、填空題為主，難度不大．(2)利用圓錐曲線的定義解題，重在考查雙基，難度不大．(3)橢圓、雙曲線的離心率，雙曲線的漸近線，拋物線的準線等幾何性質(zhì)也經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中，重在考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)學(xué)運算能力，難度中等或偏上．第1課時直線的方程[考試要求]1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式．2．根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)．考點一直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°．2．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．(2)過兩點的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y(tǒng)23．直線的斜率k和傾斜角α之間的函數(shù)關(guān)系如圖，當α∈0，π2時，斜率k∈[0，＋∞)；當α＝π2時，斜率不存在；當α∈π2，π[典例1](1)直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是()A．[0，π) B．0C．0，π4 (2)若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2(3)直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，3)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．(1)B(2)D(3)(－∞，－3]∪[1，＋∞)[(1)設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ＝－sinα.因為sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4(2)因為直線l2，l3的傾斜角為銳角，且直線l2的傾斜角大于直線l3的傾斜角，所以0<k3<k2.直線l1的傾斜角為鈍角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.(3)設(shè)PA與PB的傾斜角分別為α，β，直線PA的斜率是kPA＝1，直線PB的斜率是kPB＝－3，當直線l由PA變化到與y軸平行的位置PC時，它的傾斜角由α增至π2，斜率的取值范圍為[1，＋∞)．當直線l由PC變化到PB的位置時，它的傾斜角由π2增到β，斜率的變化范圍是(－∞，－故斜率的取值范圍是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．]斜率取值范圍的兩種求法數(shù)形結(jié)合法作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)圖象法根據(jù)正切函數(shù)的圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可提醒：求傾斜角時要注意斜率是否存在，必要時分0，π2跟進訓(xùn)練1(1)設(shè)直線l的斜率為k，且－1<k≤3，則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A．0，π3∪C．π3，3π(2)(2023·北京市東城區(qū)期末)在平面直角坐標系中，正三角形ABC的邊BC所在直線的斜率是0，則AC，AB所在直線的斜率之和為()A．－23B．0C．3D．23(1)D(2)B[(1)由－1<k≤3，得－1<tanα≤3，又α∈[0，π)，利用正切函數(shù)的性質(zhì)得傾斜角α的取值范圍是0，(2)由題意知，正三角形ABC的另外兩邊所在直線的傾斜角分別為60°，120°，所以直線的斜率之和為tan60°＋tan120°＝3＋(－3)＝0.]直線的方向向量與法向量1．直線的方向向量(1)一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的一個方向向量，記作a∥l．(2)設(shè)直線l的一個方向向量為a＝(u，v)，直線l的傾斜角為θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上不同的兩點，則①u＝0?x2－x1＝0?θ＝π2?②u≠0?k＝y(tǒng)2-y1x2-x1＝tanθ③a＝(u，v)＝λ(cosθ，sinθ)(λ≠0)．2．直線的法向量(1)一般地，如果表示非零向量v的有向線段所在直線與直線l垂直，則稱向量v為直線l的一個法向量，記作v⊥l．(2)若直線的一個方向向量a＝(u，v)，一個法向量v＝(x，y)，則①ux＋vy＝0；②v＝λ(－v，u)，λ≠0.[典例2]已知直線l的一個方向向量a＝(1，1)，且A(1，－2)，B(x，2)在直線l上．(1)求x的值；(2)求直線的斜率k與傾斜角θ.[解](1)由a∥AB，AB＝(x－1，4)知，1×(x－1)－1得x－1－4＝0，解得x＝5.(2)∵a＝(1，1)，∴k＝1，由tanθ＝k＝1得θ＝π4【教師備用】(1)(多選)(2023·浙江湖州模擬)已知直線l的一個方向向量為u＝1，A．k＝1時，直線l的斜率為1B．k>0時，直線l的傾斜角范圍為0C．對于任意的實數(shù)k，直線l都與直線y＝kx＋1平行D．向量u可以是平面直角坐標系中任意一條直線的方向向量(2)已知直線l經(jīng)過點P(3,m)和點Q(m，－2)，直線l的方向向量為(2，4)，則直線l的斜率為________，實數(shù)m的值為________.(1)AB(2)243[(1)由直線的方向向量定義可知，當直線與x軸不垂直時，若直線l的一個方向向量為u＝1，k，則直線l的斜率為k，所以kk>0時，直線l的傾斜角范圍為0，對于C，直線l有可能與y＝kx＋1重合，C錯誤；對于D，向量u不可以表示平面直角坐標系中斜率不存在的直線，D錯誤．故選AB.(2)由直線l的方向向量為(2，4)得，直線l的斜率為42＝2，因此m--23-跟進訓(xùn)練2(1)(多選)若直線的一個法向量a＝(－4，2)，則直線的方向向量可能是()A．(－2，4) B．(1，2)C．(3，6) D．(－1，－2)(2)若直線的一個方向向量a＝(0，－2023)，則直線的傾斜角為________．(1)BCD(2)90°[(1)1×(－4)＋2×2＝0，所以(1，2)是直線的方向向量；(3，6)＝3(1，2)，(－1，－2)＝－1(1，2)，所以(3，6)，(－1，－2)都是直線的方向向量．故選BCD.(2)a＝(0，－2023)，根據(jù)直線的方向向量的定義可知，直線的傾斜角為90°.]考點二直線方程的求法直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式y(tǒng)-y(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式xa不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用提醒：“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正、可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù)，截距不是距離．[常用結(jié)論]1．幾種特殊位置的直線方程(1)直線過點P1(x1，y1)，垂直于x軸的方程為x＝x1；(2)直線過點P1(x1，y1)，垂直于y軸的方程為y＝y(tǒng)1；(3)y軸的方程為x＝0；(4)x軸的方程為y＝0．2．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個法向量n＝(A，B)，一個方向向量u＝(－B，A)．[典例3]已知△ABC的三個頂點分別為A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程．[解](1)因為直線BC經(jīng)過B(2，1)和C(－2，3)兩點，得直線BC的方程為y-13-1＝x(2)設(shè)BC邊的中點D(x，y)，則x＝2-22＝0，yBC邊的中線AD過A(－3，0)，D(0，2)兩點，所在直線方程為x-3+y2(3)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－12，則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2.由(2)知，點D所求直線方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.求直線方程的兩種方法跟進訓(xùn)練3(1)經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點，且直線的一個方向向量v＝(－3，2)的直線方程為________．(2)過點(2，1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為________．(1)2x＋3y－5＝0(2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0[(1)聯(lián)立x+y=2，2x-y=1，∴直線過點(1，1)．∵直線的一個方向向量v＝(－3，2)，∴直線的斜率k＝－23則直線的方程為y－1＝－23(x－1)，即2x＋3y(2)由題意可設(shè)直線方程為xa則a+b=6，2a+1b=1，解得故所求直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.]考點三直線方程的綜合應(yīng)用[典例4]已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程．[解]法一：設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k<0)，則A2-1k，0S△AOB＝12(1－2k)·2-1k當且僅當－4k＝－1k，即k＝－1故直線l的方程為y－1＝－12(x－2)，即x＋2y法二：設(shè)直線l：xa+yb＝1，且因為直線l過點M(2，1)，所以2a則1＝2a+1b≥22故S△AOB的最小值為12×ab＝12當且僅當2a＝1b＝此時a＝4，b＝2，故直線l的方程為x4即x＋2y－4＝0.[拓展變式]1．在本例條件下，當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線l的方程．[解]由本例法二知，2a+1b＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a+1b＝3＋a當且僅當a＝2＋2，b＝1＋2時，等號成立，所以當|OA|＋|OB|取最小值時，直線l的方程為x＋2y－2－2＝0.2．本例中，當|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程．[解]法一：由本例法一知A2k-1k，0，B所以|MA|·|MB|＝1k2+1·4+4k2當且僅當－k＝－1k，即k此時直線l的方程為x＋y－3＝0.法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a+1b＝1.所以|MA|·|MB|＝|MA|·|MB|＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a+1b當且僅當a＝b＝3時取等號，此時直線l的方程為x＋y－3＝0.處理直線方程綜合應(yīng)用的兩大策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．特別注意斜率不存在的情況．(2)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點(或平行)的直線系，即能夠看出“動中有定”．跟進訓(xùn)練4已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過定點；(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程．[解](1)證明：法一：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x+2=0，1∴無論k取何值，直線l總經(jīng)過定點(－2，1)．法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化為y－1＝k(x＋2)，顯然直線l恒過定點(－2，1)．(2)法一：由方程知，當k≠0時，直線l在x軸上的截距為－1+2kk，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則必須有解得k＞0；當k＝0時，直線l為y＝1，符合題意．故k的取值范圍是[0，＋∞)．法二：直線l的方程可化為y＝kx＋1＋2k，∴k＞0，1+2k∴k∈[0，＋∞)．(3)由題意可知k≠0，再由l的方程，得A-1+2kk，0，依題意得-1+2kk＜0∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1+2kk·|1＋2≥12×(2ד＝”成立的條件是k＞0且4k＝1k即k＝12∴Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.課后習題(四十二)直線的方程1．(人教A版選擇性必修第一冊P55練習T5改編)過A(4，y)，B(2，－3)兩點的直線的一個方向向量為(－1，－1)，則y＝()A．－32B．3C[法一：由直線上的兩點A(4，y)，B(2，－3)，得AB＝(－2，－3－y)，又直線AB的一個方向向量為(－1，－1)，因此(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1，故選C.法二：由直線的方向向量為(－1，－1)得，直線的斜率為-1-1＝1，所以y2．(人教A版選擇性必修第一冊P67習題2.2T10改編)如果AC<0，且BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C[由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－CA>0，在y軸上的截距－C3．(人教B版選擇性必修第一冊P89練習AT2改編)已知點(a，－2)，(－1，b)確定的直線方程是y＝－3x＋1，則當x>0時，ax＋bx的最小值是________4[由條件知－2＝－3a＋1，b＝－3×(－1)＋1，分別解得a＝1，b＝4，∴ax＋bx＝1x＋4x≥2當且僅當1x＝4x，即x＝1∴1x＋4x4．(人教A版選擇性必修第一冊P67習題2.2T7改編)經(jīng)過點P(1，9)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為________.9x－y＝0或x＋y－10＝0[當縱、橫截距為0時，直線方程為9x－y＝0；當截距不為0時，設(shè)直線方程為xa+ya＝1，則1a+95．(2024·湖北省黃岡市紅安一中月考)在△ABC中，A(4，－1)，AB的中點M(3，2)，重心P(4，2)，則BC邊所在直線的斜率為()A．34B．－34C．2B[因為A(4，－1)，AB的中點M(3，2)，所以點B的坐標為(2，5)．又重心P(4，2)，所以根據(jù)重心坐標公式可得點C的坐標為(6，2)，所以BC邊所在直線的斜率為5-226．(2024·四川省成都市期中)已知點A(－2，3)，B(3，2)，過點P(0，－2)的直線l與線段AB有公共點，若點Q(m，3)在直線l上，則實數(shù)m的取值范圍為()A．-∞，-154B．-C．2D．-D[由題意可求得kPA＝－52，kPB＝4設(shè)直線l的斜率為k.因為過點P(0，－2)的直線l與線段AB有公共點，所以k≥43或k≤－5因為點Q(m，3)在直線l上，所以m＝0或5m≥43或5m≤－52故選D.]7．(2024·山東省濰坊高三開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，當x<0時，f(x)>1，則方程y＝ax＋1aABCDC[∵f(x)＝ax且x<0時，f(x)>1，∴0<a<1，1a對于y＝ax＋1a，令x＝0得y＝1a，令y＝0得x＝－∵-1a2>18．數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點A(2，0)，B(0，1)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為()A．2x＋4y－3＝0 B．x－2y－3＝0C．2x－y－3＝0 D．4x－2y－3＝0D[由AC＝BC及題意可知△ABC的歐拉線即為線段AB的垂直平分線，AB的中點為M1，12，斜率kAB＝－12，則AB垂直平分線的斜率k＝2，則△ABC的歐拉線的方程為y－12＝2(x9．在平面直角坐標系中，經(jīng)過點P(1，1)的直線l與x軸交于點A，與y軸交于點B.若PA＝－2PB，則