“大觀念”視角下的單元素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)

“大觀念”視角下的單元素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)

《圓》是小學(xué)階段最后一個(gè)認(rèn)識(shí)平面圖形的單元。之前學(xué)的長方形、

正方形、三角形、平行四邊形和梯形都是直線圖形，而圓是曲線圖形，

研究曲線圖形的思想、方法相較直線圖形是有變化和提升的，學(xué)生不僅

需要掌握圓的基礎(chǔ)知識(shí)，還要感受"化曲為直""等積變形""極限"

等數(shù)學(xué)思想方法，聚焦數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，進(jìn)一步發(fā)

展問題解決的能力。具體的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖譜如下：

素養(yǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)理念

基于單元知識(shí)圖譜，將這單元置于"圖形與幾何"領(lǐng)域，以"大觀

念"提煉單元核心素養(yǎng)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出："圖形與幾何"領(lǐng)域

的內(nèi)容需從多角度刻畫圖形的特征、大小、運(yùn)動(dòng)和位置，發(fā)展學(xué)生空間

觀念和推理能力。《站在巨人的肩膀上》一書中指出：分類、分析和表

示是我們認(rèn)識(shí)圖形的主要工具?；谝陨险J(rèn)識(shí)，提煉如下《圓》單元的

核心大觀念：

/

單

將

元

知

識(shí)一f

進(jìn)行

梳

理

多

角'

體

會(huì)

，度&

的

靈

活

用

，知

運(yùn)識(shí)

解

向

合題

-

將

圓

和

各平

面圖

形

行

比進(jìn)

較

聯(lián)

系

'通

圖

形.過

變

，

換

《圓》單元等

積放

縮'大

小

等

方

式

實(shí)

現(xiàn)圖

之形

間

轉(zhuǎn)

化

大觀念多

形

式

感地

悟

圓，

的

征

特

;應(yīng)用、抽象于現(xiàn)實(shí)世界

單元素養(yǎng)作業(yè)目標(biāo)

基于"單元知識(shí)圖譜"以及單元"大觀念"，確定本單元素養(yǎng)作業(yè)目

標(biāo)如下：

?聚焦大觀念“表示”，通過數(shù)學(xué)繪本閱讀、數(shù)學(xué)史料的查閱等實(shí)踐探究，用

思維導(dǎo)圖、數(shù)學(xué)小論文等多種方式提煉研究成果，了解數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)

學(xué)的魅力，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的綜合能力。

單元作業(yè)設(shè)計(jì)及意圖說明

一、落實(shí)“知識(shí)技能”的基礎(chǔ)性作業(yè)

落實(shí)1:半餐、直徑與周長、面積的關(guān)系

1.用圓規(guī)畫一個(gè)直徑為10cm的圓，圓規(guī)兩腳間的距離應(yīng)是（）cm,畫

一個(gè)周長是15.7面的圓，圓規(guī)兩腳間的距離應(yīng)是（）dm,這個(gè)圓的面積是

（）dm2o

2.已知兩個(gè)圓的直徑之比是4：6,它們的半徑之比是（）：（），它

們的周長之比是（）：<）,它們的面積之比是（）：（）.

3.如右圖，一個(gè)大圓里面有兩個(gè)相同的小圓，大圓的直徑是12cm,

大圓的周長是（）厘米，小圓的面積是（）an?。

落實(shí)2：圓的周長、面枳公式的運(yùn)用

1.王阿姨為了給1周歲的寶寶創(chuàng)造安全、童趣的生活環(huán)境，打算給一張直徑

為1.5m的圓泉貼上安全條，并涂上漂亮的油漆。

<1）王阿姨需要準(zhǔn)備多長的安全條？

（2）需要油漆的桌面面積有多大？

2.把一個(gè)直徑是8cm的圓平均分成兩個(gè)半圓后，每個(gè)半圓的面積和周長分別

是多少？

落實(shí)3：圓環(huán)的面積公式運(yùn)用

一個(gè)圓形花壇的直徑是8m,在外圍修一條寬為2m的小路,

求小路的面積。

落實(shí)4：扇形的概念

下面圖形中的陰影部分是扇形的是（）o（可多選）

落實(shí)6：內(nèi)II外方、外■內(nèi)方

1.在一個(gè)邊長是2dm的正方形里，畫一個(gè)坡大的帆形,

圓的面枳和正方形的面枳分別是多少？

2.正方形的面積是20m2,求例的面積。

落實(shí)7：國圓

1.畫一個(gè)直徑為3懈米圓。

2.在邊長為4里米的正方形中?「一個(gè)最大的圓。

設(shè)計(jì)意圖

聚焦大觀念“分類”，梳理單元教學(xué)重難點(diǎn)，將知識(shí)進(jìn)行細(xì)化、分類，有效

落實(shí)概念的掌握、公式的基本運(yùn)用和畫圖技能。

_

二、指向"知識(shí)聯(lián)結(jié)”的探究性作業(yè)

1.根據(jù)圖中已有信息，你能間接得知什么信息？

設(shè)計(jì)意圖

(~聚焦大觀念''分析"，聯(lián)結(jié)平面圖形的整體知識(shí)，根據(jù)已知的半徑或直徑信、

息，孕伏了尋找組合圖形間接條件的知識(shí)點(diǎn)，訓(xùn)練學(xué)生尋找間接條件的能力，為

本單元的復(fù)雜組合圖形周長、面積的計(jì)算鋪墊基礎(chǔ)，同時(shí)感受各種平面圖形之間

、產(chǎn)聯(lián)系，使新知得到強(qiáng)化的同時(shí)豐富了學(xué)生的思維體驗(yàn)。,

設(shè)計(jì)意圖

聯(lián)結(jié)圓和等腰直角三角形的特性，將畫圓的技與

借助方格圖，在畫圓的過程中，直觀感悟“一中，f

3.“已知圓的直徑是10厘米，求這個(gè)圓的面積

（1）小樂根據(jù)圓的推導(dǎo)過程（如圖①），分步求結(jié)果，請補(bǔ)充他計(jì)算的步驟。

第一步：10+2=5厘米；第二步：3.14X5=15.7厘米；第三步：。

（2）如果把圓平均分成16份，不拼成長方形或平行四邊形，而是拼成三角

形或梯形（如圖②），你還能推導(dǎo)出圓的面積嗎？

圖①圖②

設(shè)計(jì)意圖

‘引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注公式的推導(dǎo)過程，并且理解推導(dǎo)過程，才能牢固掌握圓的周長、,

面積公式：對于圓面積的“再推導(dǎo)”，既是對平面圖形面積的梳理與融合，也是

產(chǎn)圓面積的再次探究，發(fā)散了數(shù)學(xué)的思維。,

4.你發(fā)現(xiàn)了什么？

（1）題組練習(xí)。

①從邊長為8厘米的正方形中剪下一個(gè)最大的圓，陰影部分

面積占整個(gè)正方形面積的百分之幾？

②從邊長為4厘米的正方形中剪下一個(gè)最大的圓，陰影部分

面積占整個(gè)正方形面積的百分之幾？

③從邊長為10厘米的正方形中剪下一個(gè)最大的圓，陰影部分面積占整個(gè)正

方形面積的百分之幾？

比較這組題日，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）將、」進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等圖形變換，你能想象下列圖形與它

之間的關(guān)系嗎？每個(gè)圖形的陰影部分面積分別占整個(gè)正方形面積的百分之幾？

（3）將1，進(jìn)行同比擴(kuò)大，你能算出每個(gè)圖形的陰影部分面積分別占整個(gè)

正方形面積的百分之幾？

1TT▼

?

xT?

tT?

▲

比較這二組題目，你有什么新發(fā)現(xiàn)？

（4）如果將［，同比縮小，你還能算出每個(gè)圖形的陰影部分面積分別占整

個(gè)正方形面積的百分之幾？

完成所仃的題H，對比思考：你有什么收獲？

設(shè)計(jì)意圖

(這道習(xí)題進(jìn)行了四個(gè)層次的處理：先通過三道;

礎(chǔ)，掌握基本技能，通過不完全歸納發(fā)現(xiàn)陰影部分的

然后通過圖形變換，體會(huì)圖形的“形”散“神”聚

著借助分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)在圖形中的特殊作用，照“*

這樣的思路進(jìn)行同比縮放，數(shù)與形的完美結(jié)合，讓學(xué)

I奇”，不僅聚焦了大觀念，還培養(yǎng)了創(chuàng)新思維。

三、延伸“能力素養(yǎng)”的發(fā)展性作業(yè)

以下有三份材料，請選擇你喜歡的材料，通過查閱資料，動(dòng)手探究等方

式進(jìn)行深入研究，并用多種方式記錄你的研究成果。（如果有困難，可以查閱

老師提供的輔助錦囊。）

材料一：''圓，一中同長也?！边@是我國古代著名的思想家、教育家墨子在

2400多年前寫的一句話，你能讀懂這句話背后的數(shù)學(xué)知識(shí)嗎？用實(shí)證的方法

（實(shí)驗(yàn)動(dòng)畫或生活實(shí)例）來說明你對這句話的理解。

材料二：我國古代有沐著名的數(shù)學(xué)著作叫《周髀算經(jīng)》，它在表示圓的

周長和直徑間的倍數(shù)時(shí)，用了“周三徑一”這句話。查閱有關(guān)“圓周率”的知

識(shí)，思考古代數(shù)學(xué)家是怎么研究這個(gè)結(jié)論的，請作圖分析。

【轉(zhuǎn)助錦囊】

查找''祖沖之與圓周率”、“劉徽與四周率”、"阿基米德與圓周率”等資料,

用自己喜歡的方式描述“圓周率的歷史”吧！

材料三：數(shù)學(xué)繪本《咕嗜咕噌PK賽》中有很多關(guān)于-q叮？

圓的精彩內(nèi)容，繪本中提到了幾場PK賽。你能用繪本中靠?"

的方法或自己的想法進(jìn)行動(dòng)手實(shí)踐，來一次真正的知識(shí)C&Y,

PK賽嗎？"月

第一場：“找角”PK賽：郵才上真的沒有角嗎？能否想辦法把它找出來,

請拿出圓形紙片，成著折折看。

附學(xué)生的研究成果（范例）：

方圓之研

一、問題起源

一日，我見樂迷語：“古錢幣”，打成語。我苦思冥想未果，遂求助于度娘，

一查才知道是“外圓內(nèi)方”，我恍然大悟，原來這是根據(jù)古錢幣的形狀而來的呀。

方與圓是最基本的幾何圖形，方形是由一條折線，圓形則是由平滑的曲線組成,

它們的組合形成了內(nèi)正外圓的天鼬方形。世間萬物，有圓必直方:大到天體地

球，小到微塵原子都是圓的；而眼睛所見切方形器物的內(nèi)部構(gòu)造物質(zhì)即是圓的

原子電子……于是我對方圓的世界產(chǎn)生了濃厚的興趣：“外圓內(nèi)方”與“外方內(nèi)

圓”之畛亥如何畫呢?它們的面積又是怎樣計(jì)算的呢？稍復(fù)雜一點(diǎn)的方圓問題

又該如何解開？人們常說做人做事要“方圓”些，又蘊(yùn)藏著怎樣的人生哲理呢？

為此，我展開了一系列對于方與圓的研究。

二、探究思考

（-）研究內(nèi)容

1、研究外圓內(nèi)方與外方內(nèi)圓的畫法及基本面積問題

（1）外圓內(nèi)方的畫法及面積問題

（2）外方內(nèi)圓的畫法及面積問題

（3）方中圓，圓中方的面積之比的奧秘

2、研究外圓內(nèi)方與外方內(nèi)圓的復(fù)雜面積問題

3、研究圓與方的其他問題

（二）研究方法

1.計(jì)算測量

2.查找資料

（三）研究過程

1、研究外圓內(nèi)方與外方內(nèi)圓的畫法及基本面積問題

（1）外圓內(nèi)方的畫法、面積問題

外圓內(nèi)方就是在圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形，那么怎樣畫一個(gè)“外圓內(nèi)方”的

圖形呢？

A、畫法如下：

先畫一個(gè)圓，再簸這個(gè)圓中兩條互相垂直的直徑，直徑與圓的四個(gè)交點(diǎn)就

是正方形的四個(gè)頂點(diǎn),最后把它們連接就畫成了圓中最大的正方形。

B、外圓內(nèi)方的基本面積問題(求陰影部分面積及圓方面積之比):

將圖中的正方形看成兩個(gè)三角形，則它的底和高分別是圓形的直徑和半徑。

我以"r=lcm,r=2cm,r=3cm,r=5cm”為例子進(jìn)行研究(TT取3.14)。

a、設(shè)：這個(gè)外圓的半徑為1cm

則,外圓的直徑為：1+1=2(cm)

S外圓=71><12=3.14X1=3.14(cm2)

S內(nèi)方=2義1+2*2=2(cm2)

S陰影;S外圓一S內(nèi)方=3.14-2=1.14(cm2)

b^設(shè)：這個(gè)外圓的半徑為2cm

則,外圓的直徑為:2+2=4(cm)

S外圓=71X22=3.14X4=12.56(cm2)

S內(nèi)方=4X2+2X2=8(cm2)

S陰影=S外圓一S內(nèi)方=12.56-8=4.56(cm2)

c、設(shè)：這個(gè)外圓的半徑為3cm

則,外圓的直徑為：3+3=6(cm)

S夕卜圓=TTX32=3.14X9=28.26(cm2)

S內(nèi)方=6X3+2X2=18(cm2)

S陰影=S外圓一S內(nèi)方=28.26-18=10.26(cm2)

d、設(shè)：這個(gè)外圓的半徑5cm

貝IJ,外圓的直徑為：5+5=10(cm)

S外圓二TTX52=3.14X25=78.5(cm2)

S內(nèi)方=10X5+2X2=50(cm2)

S陰影=S外圓一S內(nèi)方=78.5-50=28.5(cm2)

整理表格如下:

圓半徑1235r

外圓面積3.1412.5628.2678.5rrxr2

內(nèi)正面積2818502r2

陰影面積1.144.5610.2628.5nxr2-2r2

(1.14XI2)(1.14X22)(1.14X32)(1.14X42)(TT-2)H

在這些不同大小的圓中畫出最大的正方形，我除了發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積都可

以用（n-2）心來表示外，我還發(fā)現(xiàn)了外圓與內(nèi)正的面積比總是一定的:

外圓半徑1235r

外圓面積JI4冗9"25nnxr2

內(nèi)正面積2818502r2

外圓與內(nèi)正面積之比n：2“：2n：21：2￡：2

由此得出結(jié)論：

當(dāng)求外圓內(nèi)方陰影部分時(shí)，可以用（TT-2）H來計(jì)算（IT取3.14）,也可以簡

化成：（TT-2）r2=1.14r2o

S外圓：S內(nèi)正=n：2

（2）外方內(nèi)圓的畫法、面積問題

外方內(nèi)圓就是在正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，那么怎樣畫一個(gè)“外方內(nèi)圓”的

圖形呢？

A、畫法如下：

先畫出正方形的兩條對角線，再找到它們相交的地方就是內(nèi)圓的圓心，最后

以這個(gè)點(diǎn)為圓心用圓規(guī)畫一個(gè)圓。

B、外方內(nèi)圓的基本面積問題（求陰影部分面積及方圓面積之比）:

圖中的外正方形的邊長即為內(nèi)圓的直徑。我也以“r=lcin,r=2cm,廣

為例子進(jìn)行研究5取3.14)o

a、設(shè)：這個(gè)內(nèi)圓的半徑為1cm

則，內(nèi)圓的直徑為：1+1=2(cm)

???內(nèi)圓的直徑與外正方形邊長相等

/.S9卜方=2X2=4(cm2)

S內(nèi)圓二兀X=3.14X1=3.14(cm2)

S陰影二S外方—S內(nèi)圓二4-3.14=0.86(cm2)

b、設(shè)：