高考數(shù)學(xué)微專題集專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)5阿波羅尼斯球(原卷版+解析)

專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)5阿波羅尼斯球?qū)ｎ}1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)5阿波羅尼斯球【微點(diǎn)綜述】對(duì)于立體幾何某些涉及距離比值的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，可轉(zhuǎn)化為在某個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，從而借助阿波羅尼斯球和阿波羅尼斯圓的定義及相關(guān)知識(shí)解決問題．對(duì)于這類問題也可以利用空間坐標(biāo)計(jì)算求解軌跡問題．【典例刨析】例1．(2023貴州貴陽(yáng)·模擬）1．在平面內(nèi)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)P的軌跡是圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.在空間中，也可得到類似結(jié)論.如圖，三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在三棱柱內(nèi)部或表面上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)P形成的曲面將三棱柱分成兩個(gè)部分，體積分別為，，則（

）A． B． C． D．2．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，，動(dòng)點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為________；若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為___________．3．已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為___________.4．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)、距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的表面(包括邊界)上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為______；若是的中點(diǎn)，且滿足，則三棱錐體積的最大值是______.阿波羅尼奧斯例5．(2023·湖南懷化·高二期末）5．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是—個(gè)圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點(diǎn)，則三棱錐體積的最小值為___________.6．棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之和為______，內(nèi)切球球面上有一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【針對(duì)訓(xùn)練】7．如圖，是平面的斜線段，為斜足，點(diǎn)滿足，且在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一條直線C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線拋物線8．如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點(diǎn)，C、D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，．P是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．1(2023·山西太原·二模（理））9．已知點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為3的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段上一點(diǎn)，，，則動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．(2023天津西青區(qū)楊柳青一中高二期中）10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的表面（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為___________；若是的中點(diǎn)，且正方體的表面（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則三棱錐體積的最大值是__________．11．已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)所形成的軌跡圖形長(zhǎng)度為_______________．(2023江西上饒·二模（理））12．點(diǎn)為正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，，若球的體積為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為___________.13．已知在棱長(zhǎng)為12的正四面體的內(nèi)切球球面上有一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______，的最小值為______．專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)5阿波羅尼斯球?qū)ｎ}1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)5阿波羅尼斯球【微點(diǎn)綜述】對(duì)于立體幾何某些涉及距離比值的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，可轉(zhuǎn)化為在某個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，從而借助阿波羅尼斯球和阿波羅尼斯圓的定義及相關(guān)知識(shí)解決問題．對(duì)于這類問題也可以利用空間坐標(biāo)計(jì)算求解軌跡問題．【典例刨析】例1．(2023貴州貴陽(yáng)·模擬）1．在平面內(nèi)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)P的軌跡是圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.在空間中，也可得到類似結(jié)論.如圖，三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在三棱柱內(nèi)部或表面上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)P形成的曲面將三棱柱分成兩個(gè)部分，體積分別為，，則（

）A． B． C． D．2．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，，動(dòng)點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為________；若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為___________．3．已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為___________.4．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)、距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的表面(包括邊界)上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為______；若是的中點(diǎn)，且滿足，則三棱錐體積的最大值是______.阿波羅尼奧斯例5．(2023·湖南懷化·高二期末）5．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是—個(gè)圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點(diǎn)，則三棱錐體積的最小值為___________.6．棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之和為______，內(nèi)切球球面上有一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【針對(duì)訓(xùn)練】7．如圖，是平面的斜線段，為斜足，點(diǎn)滿足，且在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一條直線C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線拋物線8．如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點(diǎn)，C、D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，．P是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．1(2023·山西太原·二模（理））9．已知點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為3的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段上一點(diǎn)，，，則動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．(2023天津西青區(qū)楊柳青一中高二期中）10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的表面（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為___________；若是的中點(diǎn)，且正方體的表面（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則三棱錐體積的最大值是__________．11．已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)所形成的軌跡圖形長(zhǎng)度為_______________．(2023江西上饒·二模（理））12．點(diǎn)為正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，，若球的體積為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為___________.13．已知在棱長(zhǎng)為12的正四面體的內(nèi)切球球面上有一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______，的最小值為______．參考答案：1．D分析：在平面PAB中，作,交AB于點(diǎn)N，從而得到，判斷出B、N重合，得到點(diǎn)P落在以B為球心，為半徑的球面上，求出，即可求出.【詳解】如圖，在平面PAB中，作,交AB于點(diǎn)N，則,又因，所以，所以，所以,所以.因?yàn)?，所?所以B、N重合且，所以點(diǎn)P落在以B為球心，為半徑的球面上.作于H，則，因?yàn)槊鍭BC，所以BH，又因?yàn)?，所以面，所以B到面的距離為，所以球面與面相切，而，所以球面不會(huì)與面相交，則，,所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型，有兩種處理方法：(1)很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義法)；(2)要么通過計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式．2．

##2.25分析：建立空間直角坐標(biāo)系，由兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)后得軌跡方程，再由空間向量表示點(diǎn)到平面的距離公式求解最值【詳解】以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，由得，所以，所以若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為．若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)，由得，所以，由題得所以設(shè)平面的法向量為，所以，由題得，所以點(diǎn)P到平面的距離為，因?yàn)?，所以，又為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M到平面的最小距離為，由題得為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，所以三棱錐的體積的最小值為．故答案為：；3．分析：若E為與的交點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)可證面，在Rt△中有可得，再在面上構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，并寫出各點(diǎn)坐標(biāo)且令，結(jié)合已知條件列方程，即可得P的軌跡，進(jìn)而求軌跡長(zhǎng)度.【詳解】若E為與的交點(diǎn)，則，∵面，面，∴，又，∴面，∴連接PE，即在Rt△中有，又正方體的棱長(zhǎng)為4，∴在面上構(gòu)建如下平面直角坐標(biāo)系，若，，∴，，∴，又，∴，整理得，∴，故軌跡為半徑的圓，∴軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用正方體的性質(zhì)及勾股定理得，再在面上構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)結(jié)合已知條件可得方程，整理即有P的軌跡方程.4．

【解析】在上取點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，，則是題中阿氏圓上的點(diǎn)，則是阿氏圓的直徑，由此可求得半徑，由可得，，即在上述阿氏圓上，這樣當(dāng)是阿氏圓與交點(diǎn)時(shí)，到平面距離最大，三棱錐體積的最大，由體積公式計(jì)算可得．【詳解】在上取點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，，則是題中阿氏圓上的點(diǎn)，由題意是阿氏圓的直徑，，則，，所以，∴阿氏圓半徑為；正方體中，都與側(cè)面垂直，從而與側(cè)面內(nèi)的直線垂直，如圖，則，∴，即在上述阿氏圓上，∵的面積是2為定值，因此只要到平面距離最大，則三棱錐體積的最大，由于點(diǎn)在阿氏圓上，當(dāng)是阿氏圓與交點(diǎn)時(shí)，到平面距離最大，此時(shí)，因此，，三棱錐體積的最大值為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查棱錐的體積，考查新定義的理解與應(yīng)用．解題關(guān)鍵是正確理解新定義得出圓半徑，由已知角相等得出點(diǎn)就在新定義“阿氏圓”上，從而易得它到底面距離最大時(shí)的位置，從而得出最大體積．5．

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可得對(duì)應(yīng)的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點(diǎn)到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以為軸建系，設(shè)，而,,，,.由,有，化簡(jiǎn)得對(duì)應(yīng)的軌跡方程為.所以點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個(gè)邊即是邊長(zhǎng)為為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，可取平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)點(diǎn)的軌跡，可設(shè)，，所以點(diǎn)到平面的距離，所以故答案為：；6．

分析：(1)將正四面體放入正方體可求得外接球半徑,利用等體積法可求得內(nèi)切球的半徑.(2)根據(jù)阿波羅尼斯球的性質(zhì)找到阿波羅尼斯球中的兩個(gè)定點(diǎn),再將轉(zhuǎn)換,從而得出取最小值時(shí)的線段,再根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】(1)將正四面體放入如圖正方體,則正四面體的外接球與該正方體的外接球?yàn)橥磺?半徑為.設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為,根據(jù)等體積法有,解得.故外接球與內(nèi)切球的半徑之和為.(2)由阿波羅尼斯球得內(nèi)切球球心是線段上以為定點(diǎn),空間中滿足的點(diǎn)的集合,連接并延長(zhǎng)交平面于,交內(nèi)切球上方的點(diǎn)設(shè)為,過作,交于,連接,設(shè).由(1)空得.所以,解得,,所以,所以.所以,在中,,,,所以.所以的最小值為故答案為：(1)；(2)【點(diǎn)睛】本題主要考查了正四面體外接球與內(nèi)切球的半徑計(jì)算,同時(shí)也考查了利用阿波羅尼斯球中的比例關(guān)系求解線段最值的問題,需要根據(jù)題意找到球中的定點(diǎn),根據(jù)阿波羅尼斯球的性質(zhì)轉(zhuǎn)換所求的線段之和求解.屬于難題.7．B【解析】當(dāng)時(shí)，，故的軌跡為線段的中垂面與的交線，當(dāng)時(shí)，，在平面內(nèi)建立坐標(biāo)系，設(shè)，求出的軌跡方程得出結(jié)論．【詳解】在中，∵，由正弦定理可得：，當(dāng)時(shí)，，過的中點(diǎn)作線段的垂面，則點(diǎn)在與的交線上，即點(diǎn)的軌跡是一條直線，當(dāng)時(shí)，，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，連接，，設(shè)，，則，在平面內(nèi)，以所在直線為軸，以的中點(diǎn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，∴，化簡(jiǎn)可得.∴的軌跡是圓．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求解與判斷，分類討論思想，屬于中檔題．8．B分析：根據(jù)題目條件得到，進(jìn)而建立平面直角坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)軌跡方程，點(diǎn)P在內(nèi)的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓，從而求出當(dāng)PB與圓相切時(shí)，二面角的平面角最大，求出相應(yīng)的余弦值最小值.【詳解】由題意易得PD與平面所成角為，PC與平面所成角為，∵，∴，∴，∴，∴P點(diǎn)軌跡為阿氏圓．在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，整理得：，所以點(diǎn)P在內(nèi)的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓，因?yàn)槠矫妫?，，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以二面角的平面角為，由圖可知，當(dāng)PB與圓相切時(shí)，最大，余弦值最小，此時(shí)，故.故選：B．9．B分析：根據(jù)給定條件探求出過點(diǎn)D垂直于直線BN的平面，可得此平面截球O的截面小圓即為M的運(yùn)動(dòng)路線，求出點(diǎn)O到此截面距離即可計(jì)算作答.【詳解】在正方體中，在BB1上取點(diǎn)P，使B1P=2BP，連接CP，DP，如圖，因N在B1C上，有，即，則，，于是得，而平面BCC1B1，平面BCC1B1，則，又，平面CDP，則有平面CDP，因動(dòng)點(diǎn)M滿足，則有點(diǎn)M在平面CDP內(nèi)，依題意，平面CDP截球O的截面小圓即為M的運(yùn)動(dòng)路線，令正方形BCC1B1與正方形ADD1A1的中心分別為E，F(xiàn)，連接EF，則正方體內(nèi)切球球心O必為線段EF中點(diǎn)，顯然，EF//CD，平面CDP，平面CDP，于是得EF//平面CDP，則點(diǎn)O到平面CDP距離等于點(diǎn)E到平面CDP的距離h，取BC中點(diǎn)G，連接EG，CE，PE，而平面CDP⊥平面BCC1B1，平面CDP平面BCC1B1=CP，則的邊CP上的高等于h，EG⊥BC，，則，直角梯形BGEP中，，則，中，，由余弦定理得，，由得：，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的小圓半徑為r，而球O的半徑，由得，，所以動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為.故選：B10．

分析：根據(jù)題意以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），利用PA＝2PD，求出點(diǎn)P的軌跡方程，即可得到點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑，利用tan∠APB＝，tan∠DPE＝，結(jié)合已知條件∠APB＝∠EPD，從而得到AP＝2DP，結(jié)合圖像利用1空中的結(jié)論求解DP3即為三棱錐P﹣ACD最大的高，然后利用三棱錐的體積公式求解即可．【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），D（0，0），設(shè)P（x，y），因?yàn)镻A＝2PD，所以，整理得，故點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為；因?yàn)锳B⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，所以∠PAB＝90°，∠PDE＝90°，所以tan∠APB＝，tan∠DPE，又∠APB＝∠DPE，則，因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以AP＝2DP，由1空的結(jié)論可知，點(diǎn)P的軌跡為的一部分，則當(dāng)P在DD1上時(shí)，三棱錐P﹣ACD的體積最大，圖2中的DP3即為三棱錐P﹣ACD最大的高，所以，則三棱錐P﹣ACD體積的最大值是.故答案為：；．11．分析：由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合線段等量關(guān)系，整理軌跡方程，可得答案.【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為，設(shè)，則，，化簡(jiǎn)整理得，當(dāng)時(shí)，該方程表示在平面內(nèi)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，點(diǎn)所形成的軌跡圖形為圖中，其長(zhǎng)度為：．故答案為：.12．分析：在取點(diǎn)，使