高考數(shù)學(xué)大題精做專題07點(diǎn)、線共面問(wèn)題的證明與探索(第三篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題07點(diǎn)、線共面問(wèn)題的證明與探索類(lèi)型對(duì)應(yīng)典例共面問(wèn)題典例1共線問(wèn)題典例2共點(diǎn)問(wèn)題典例3截面問(wèn)題典例4【典例1】【浙江省嘉興一中2020屆月考】如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為3，分別是棱、上的點(diǎn)，且.（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）求幾何體的體積.【典例2】【江蘇省蘇州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三月考】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線．【典例3】【安徽省合肥市廬陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)2020屆月考】在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點(diǎn)，且；求證：（1）點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；（2）直線EH，BD，F(xiàn)G相交于同一點(diǎn)．【典例4】【安徽省太和中學(xué)2020屆月考】如圖，是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，平面，.（1）證明：平面平面；（2）在上是否存在一點(diǎn)，使平面將幾何體分成上下兩部分的體積比為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【2020屆湖南省長(zhǎng)沙市一中高三月考試卷】如圖，已知三棱柱中，底面，，，，.，分別為棱，的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的大??；（2）若為線段的中點(diǎn)，試在圖中作出過(guò)、、三點(diǎn)的平面截該棱柱所得的多邊形，并求出以該多邊形為底，為頂點(diǎn)的棱錐的體積.2．【2020屆遼寧省大連市高三雙基測(cè)試】已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，過(guò)側(cè)面中線AE的一個(gè)平面與直線PD垂直，并與此四棱錐的面相交，交線圍成一個(gè)平面圖形。（Ⅰ）畫(huà)出這個(gè)平面圖形，并證明平面；（Ⅱ）平面將此四棱錐分成兩部分，求這兩部分的體積比.3．【浙江省寧波市慈溪市2020屆模擬】已知在平面外,（1）如圖1,若,,,求證:三點(diǎn)共線;（2）如圖2,若,,求證:.4．【2020屆山西省太原市第五中學(xué)高三月考】如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，RQ與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，RP與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K.（1）求證：直線平面PQR；（2）求證：點(diǎn)K在直線MN上.5．【重慶萬(wàn)州三中2020屆月考】已知，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：(1)D，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.(2)若A1C交平面BDEF于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線.6．【2020屆上海市楊浦區(qū)高三第一次模擬】如圖,四棱錐中,底面為矩形,底面,,,分別為棱的中點(diǎn).（1）求證:、、、四點(diǎn)共面；（2）求異面直線與所成的角余弦值.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題07點(diǎn)、線共面問(wèn)題的證明與探索類(lèi)型對(duì)應(yīng)典例共面問(wèn)題典例1共線問(wèn)題典例2共點(diǎn)問(wèn)題典例3截面問(wèn)題典例4【典例1】【浙江省嘉興一中2020屆月考】如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為3，分別是棱、上的點(diǎn)，且.（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）求幾何體的體積.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）欲證M，N，C，D1四點(diǎn)共面，轉(zhuǎn)證MN∥A1B即可；（Ⅱ）先證明幾何體是一個(gè)三棱臺(tái)，再求幾何體的體積．試題解析：（1）證明：∵，，又，，∴，且，連接，則四邊形是平行四邊形，所以在中，，，所以，所以所以，所以四點(diǎn)共面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，又四點(diǎn)共面，所以平面平面延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，因?yàn)樗?，即，解得，同理可得，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合所以三線相交于一點(diǎn)，所以幾何體是一個(gè)三棱臺(tái)所以.【典例2】【江蘇省蘇州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三月考】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線．【思路引導(dǎo)】如下圖所示，連接A1B，CD1．易證BD1?平面A1BCD1．BD1?平面ABC1D1．即平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1，下證Q∈平面A1BCD1．Q∈平面A1BCD1．即可.【詳解】如下圖所示，連接A1B，CD1．顯然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1．∴BD1?平面A1BCD1．同理BD1?平面ABC1D1．∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1．又∵A1C?平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1．∴Q∈BD1，即B，Q，D1三點(diǎn)共線．【典例3】【安徽省合肥市廬陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)2020屆月考】在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點(diǎn)，且；求證：（1）點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；（2）直線EH，BD，F(xiàn)G相交于同一點(diǎn)．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意利用中位線定理，平行線分線段成比例逆定理和平行公理，可得，再根據(jù)公理2的推論即得證；（2）由（1）知且，所以EH與FG交于一點(diǎn)P，只需再證明點(diǎn)P在直線BD上，即可證出．【詳解】（1）如圖所示，連接EF，HG，空間四邊形ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，∴且．又，∴且．故，即E、F、G、H四點(diǎn)共面．（2）由（1）知且，∴設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，∵平面ABD，P在平面ABD內(nèi)，同理P在平面BCD內(nèi)，且平面平面，∴點(diǎn)P在直線BD上，∴直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．【典例4】【安徽省太和中學(xué)2020屆月考】如圖，是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，平面，.（1）證明：平面平面；（2）在上是否存在一點(diǎn)，使平面將幾何體分成上下兩部分的體積比為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)，結(jié)合面面平行的判定定理可知兩個(gè)平面平行；（2）先求出整個(gè)幾何體的體積.假設(shè)存在一點(diǎn)，過(guò)作交于，連接，設(shè)，求得幾何體的體積，將其分割成兩個(gè)三棱錐，利用表示出兩個(gè)三棱錐的高，再利用體積建立方程，解方程組求得的值.解：（1）∵平面，平面，∴，∴平面，∵是正方形，，∴平面，∵，平面，平面，∴平面平面.（2）假設(shè)存在一點(diǎn)，過(guò)作交于，連接，，設(shè)，則，設(shè)到的距離為，則，，∴，解得，即存在點(diǎn)且滿足條件.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【2020屆湖南省長(zhǎng)沙市一中高三月考試卷】如圖，已知三棱柱中，底面，，，，.，分別為棱，的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的大??；（2）若為線段的中點(diǎn)，試在圖中作出過(guò)、、三點(diǎn)的平面截該棱柱所得的多邊形，并求出以該多邊形為底，為頂點(diǎn)的棱錐的體積.【思路引導(dǎo)】（1）連接交于點(diǎn)，根據(jù)中位線定理找到與的平行線，并找到異面直線與所成角，計(jì)算長(zhǎng)度，根據(jù)余弦定理，可得結(jié)果.（2）畫(huà)出截面，計(jì)算四邊形的面積，根據(jù)//面，可得到面的距離，結(jié)合椎體體積公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接如圖由底面，面，所以，又所以，面所以面，故四邊形為矩形，所以共線為的中點(diǎn)，所以//，故異面直線與所成角為，，，且，分別為棱，的中點(diǎn)所以所以又且所以為等腰直角三角形，故（2）取的中點(diǎn)連接，又為線段的中點(diǎn)，所以//則//，且過(guò)、、三點(diǎn)的平面截該棱柱所得的多邊形為四邊形由（1）可知，//且所以四邊形為直角梯形，所以又平面，面，所以//平面，作所以且到截面的距離即所以2．【2020屆遼寧省大連市高三雙基測(cè)試】已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，過(guò)側(cè)面中線AE的一個(gè)平面與直線PD垂直，并與此四棱錐的面相交，交線圍成一個(gè)平面圖形。（Ⅰ）畫(huà)出這個(gè)平面圖形，并證明平面；（Ⅱ）平面將此四棱錐分成兩部分，求這兩部分的體積比.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）連接,即為所求的平面.根據(jù)線段相等關(guān)系和三線合一,可證明,,即可證明.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐與四棱錐的體積求法,結(jié)合為PD中點(diǎn),即可由線段關(guān)系求得與,進(jìn)而求得,即可得兩個(gè)部分的體積比.【詳解】（Ⅰ）連接,即為所求的平面是菱形又E為PD中點(diǎn),同理又平面平面,即（Ⅱ）是菱形,E為PD中點(diǎn),兩部分體積比為或3．【浙江省寧波市慈溪市2020屆模擬】已知在平面外,（1）如圖1,若,,,求證:三點(diǎn)共線;（2）如圖2,若,,求證:.【思路引導(dǎo)】（1）要證三點(diǎn)共線,只需證平面與有且只有一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)的公共直線,,是平面與的公共點(diǎn),即可求證三點(diǎn)共線;（2）要證,只需證平面,將證線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行,即可求得答案.【詳解】（1）,,平面,,平面與有一個(gè)公共點(diǎn),且平面與不重合,平面與有且只有一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)的公共直線即平面,.又,,平面,即是平面與的一個(gè)公共點(diǎn),.同理,故三點(diǎn)共線.（2）顯然,平面,平面,且,,,平面.平面,.4．【2020屆山西省太原市第五中學(xué)高三月考】如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，RQ與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，RP與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K.（1）求證：直線平面PQR；（2）求證：點(diǎn)K在直線MN上.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)公理一，證明直線上有兩點(diǎn)在平面PQR上；（2）根據(jù)公理二，證明都是平面PQR與平面BCD的公共點(diǎn)即可．【詳解】證明（1）平面PQR，直線PQ，平面PQR.平面PQR，直線RQ，平面PQR.直線平面PQR.（2）直線CB，平面BCD，平面BCD.由（1）知平面PQR，在平面PQR與平面BCD的交線上，同理，可知N，K也在平面PQR與平面BCD的交線上，，N，K三點(diǎn)共線，點(diǎn)K在直線MN上.5．【重慶萬(wàn)州三中2020屆月考】已知，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：(1)D，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.(2)若A1C交平面BDEF于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線.【思路引導(dǎo)】試題分析：(1)利用EF∥BD確定平面即可；（2）利用公理2說(shuō)明三點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上即可.試題解析：(1)連接B1D1.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，所以EF∥B1D1，又因?yàn)锽1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF與BD共面，所以E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面.(2)因?yàn)锳C∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，因?yàn)锳1C∩平面DBFE=R，所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，所以P，Q，R三點(diǎn)共線.6．【2020屆上海市楊浦區(qū)高三第一次模擬】如圖,四棱錐中,底