四川省遂寧市2024-2025學年高二數學上學期11月月考試題含解析

Page21高二上期其次次學月考試數學試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）留意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知復數滿意（i是虛數單位），則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數乘方運算法則和除法法則計算得到，得到虛部.【詳解】，則，則其虛部為．故選：D2.若，，三點共線，則（）A.4 B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】依據空間向量平行坐標關系計算求解即可.【詳解】因為，，所以，解得．故．故選：A.3.已知直三棱柱的全部棱長均為1，則直線與直線所成夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】直三棱柱的全部棱長均為1，以為坐標原點，在平面內過作的垂線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設直線與直線夾角為，則直線與直線夾角的余弦值為．故選：C．4.已知直線，則直線l的傾斜角為（）A.120° B.60° C.30° D.150°【答案】D【解析】【分析】依據直線方程得到，然后依據斜率與傾斜角的關系求傾斜角即可.【詳解】直線方程可整理為，即，所以直線的斜率，設傾斜角為，則，因為，所以.故選：D.5.若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據公式，即可求解.【詳解】由題意可知，，則，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：A6.從2024年6月起先，浙江省高考數學運用新高考全國數學I卷，與之前浙江高考數學卷相比最大的變更是出現了多選題.多選題規(guī)定：在每題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對且沒有選錯的得2分.若某題多選題正確答案是BCD，某同學不會做該題的狀況下準備隨機選1個到3個選項作為答案，每種答案都等可能（例如，選A，AB，ABC是等可能的），則該題得2分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用組合數求得隨機地填涂了1個或2個或3個選項，每種可能性都是相同的，然后列舉計數能得2分的涂法種數，求得所求概率．【詳解】隨機地填涂了1個或2個或3個選項，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14種涂法，

得2分的涂法為BC，BD，CD，B，C，D，共6種，

故能得2分的概率為．

故選：B．7.已知點是直線：和：的交點，點是圓：上的動點，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據題意分析可知點的軌跡是以的中點，半徑的圓，結合圓的性質運算求解.【詳解】因為直線：，即，令，解得，可知直線過定點，同理可知：直線過定點，又因為，可知，所以直線與直線的交點的軌跡是以的中點，半徑的圓，因為圓的圓心，半徑，所以的最大值是.故選：B.8.設是雙曲線的左?右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據題意，先求得焦點到漸近線的距離為，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，結合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，漸近線方程為，如圖所示，則焦點到漸近線的距離為，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，即，所以，又由，所以，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.關于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量確定共面B.若對空間中隨意一點，有，則四點共面C.已知向量組是空間的一個基底，則也是空間的一個基底D.若，則是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】依據向量共面的定義可推斷A，依據共面定理可推斷B，依據基底的定義可推斷C，利用向量夾角的取值范圍推斷D.【詳解】對于A，因為有兩個向量共線，所以這三個向量確定共面，A正確；對于B，因為且，所以P，A，B，C四點共面，B正確；對于C，因為是空間中的一組基底，所以不共面且都不為，假設共面，則，即，則，與其為基底沖突，所以不共面，所以也是空間的一組基底，C正確；對于D，若，則鈍角或是，D錯誤；故選：ABC10.下列說法正確的有（）A.擲一枚質地勻整的骰子兩次，事務“點數之和為奇數”，事務“出現3點”，則B.袋中有大小質地相同的3個白球和2個紅球.從中依次不放回取出2個球，則“兩球不同色”的概率是C.甲，乙兩名射擊運動員進行射擊競賽，甲的中靶率為0.8，乙的中靬率為0.9，則“至少一人中靶”的概率為0.98D.某學生在上學的路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為【答案】BC【解析】【分析】計算古典概率推斷A；利用列舉法結合古典概型計算推斷B；利用對立事務及相互獨立事務求出概率可推斷CD.【詳解】對于A，擲一枚質地勻整的骰子兩次，共有種不同的結果，事務“點數之和為奇數且出現3點”有共6種不同的結果，則，故A錯誤；對于B，記3個白球為，2個紅球為，從5個球中任取2個的不同結果有：，共10個，其中兩球不同色的結果有：共6個，所以“兩球不同色”的概率是，故B正確；對于C，依題意，“至少一人中靶”的概率為，故C正確；對于D，該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈，即在前兩個路口都沒有遇到紅燈，第3個路口遇到紅燈，所以到第3個路口首次遇到紅燈概率為，故D錯誤.故選：BC.11.已知橢圓，若在橢圓上，是橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的有（）A.若，則 B.面積的最大值為2C.的最大值為 D.的最大值為4【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理可推斷A選項；利用三角形的面積公式可推斷B選項；利用橢圓的定義可推斷C選項；利用基本不等式可推斷D選項．【詳解】在橢圓中，，且，對于A選項，當時，則為橢圓的上下頂點，故，由余弦定理可得，因為，所以，，A對；對于B選項，當點為橢圓的短軸頂點時，點到軸的距離最大，所以，△面積的最大值為，B錯誤；對于C選項，因為，即，所以，C對；對于D選項，由橢圓定義可知，所以，當且僅當時取等號．故選：ACD．12.已知正方體棱長為為棱中點，為正方形上的動點，則（）A.滿意的點的軌跡長度為B.滿意平面的點的軌跡長度為C.存在點，使得平面經過點D.存在點滿意【答案】AB【解析】【分析】對于A，建立空間直角坐標系，找出的坐標，設，進而對B進行計算驗證即可；對于B，利用線面平行的判定定理找出的軌跡，進而求解推斷即可；對于C，連接，取的中點，連接，，得到平面截正方體所得截面與正方形沒有交點，進而即可推斷；對于D，借助空間直角坐標系，求得的最小值及處于邊界處的的值，進而推斷即可.【詳解】如圖，以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，設，且，，所以，，，對于A，由，得，即，因為，，所以點的軌跡為線段，且，，則，即點的軌跡長度為，故A正確；對于B，取的中點，的中點，如圖，因為點為的中點，由正方體的性質知，，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，，所以平面平面，又平面，所以平面，所以點的軌跡為線段，故B正確；對于C，如圖，連接，取的中點，連接，，則平面截正方體所得截面為，與正方形沒有交點，所以不存在點，使得平面經過點，故C錯誤；對于D，由A知，點關于平面的對稱點為，所以當三點共線時最小，即，且當與重合時，，當與重合時，，當與重合時，，當與重合時，，綜上所述，不存在點滿意，故D錯誤.故選：AB.【點睛】方法點睛：立體幾何中關于動點軌跡問題，經常結合線、面判定定理及性質尋求，或借助空間直角坐標系進行幫助計算求解.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.橢圓的四個頂點所圍成的四邊形的面積是__________.【答案】40【解析】【分析】利用橢圓方程可寫出四個頂點的坐標，即可求出圍成的四邊形的面積.【詳解】由橢圓方程可得橢圓的四個頂點分別為，故這四個頂點圍成的四邊形為菱形，所以面積.故答案為：4014.已知直線，直線，若，則=_________.【答案】2【解析】【分析】依據直線的平行可得出關于m的方程，求得m的值，檢驗后即得答案.【詳解】由題意直線，直線，若，則有，即，解得或，當時，，直線，兩直線重合，不合題意，當時，，直線，則，故故答案為：215.已知雙曲線C：，偶函數，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】依據函數的奇偶性可以求得的值，再依據所給條件求得的取值范圍，代入離心率的計算公式求解即可.【詳解】因為函數為偶函數，所以即，解得，故函數解析式為，因為，即，解得，雙曲線離心率為，則，，所以離心率的取值范圍是.故答案為：16.已知橢圓的右焦點是，直線交橢圓于兩點﹐直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為____________．【答案】##【解析】【分析】設橢圓的左焦點為，利用已知條件結合橢圓的對稱性可得四邊形為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.【詳解】設橢圓的左焦點為，連接，，，，由直線交橢圓于兩點﹐及，結合橢圓的對稱性可得，所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，設，則，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，將代入①得，即，所以，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓，點，直線（1）若直線與相交于A、B兩點，求．（2）求過點且與相切的直線方程．【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）依據弦長公式，即可求解；（2）依據直線與圓相切的幾何意義，列式求解.小問1詳解】圓的圓心為，圓心到直線的距離，弦長；【小問2詳解】過點的直線的斜率不存在時，直線與圓相切，滿意條件；當過點的直線的斜率存在時，設切線方程為，圓心到直線的距離，得，此時切線方程為.綜上可知，切線方程為和.18.依據世行2024年標準，人均GDP低于1035美元為低收入國家；人均GDP為美元為中等偏下收入國家；人均GDP為美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低于美元為高收入國家．某城市有5個行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下表：行政區(qū)區(qū)人口占城市人口比例區(qū)人均GDP（單位：美元）A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000（1）推斷該城市人均GDP是否達到中等偏上收入國家標準；（2）現從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，求抽到的2個行政區(qū)人均GDP至少一個沒達到中等偏上收入國家標準的概率．【答案】（1）該城市人均GDP達到了中等偏上收入國家標準（2）【解析】【分析】（1）計算該城市該城市人均GDP，比較即可得結論；（2）利用列舉法，依據古典概型的概率公式，即可求得答案.【小問1詳解】設該城市人口總數為a，則該城市人均GDP為（美元）．因為，所以該城市人均GDP達到了中等偏上收入國家標準．【小問2詳解】“從5個行政區(qū)中隨機抽取2個”的全部的基本領件是：，，，，，，，，，，共10個．設事務M為“抽到的2個行政區(qū)人均GDP至少一個沒達到中等偏上收入國家標準”，則事務M包含的基本領件是：，，，，，，，共7個，所以所求概率為．19.雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線上．（1）求的最小值（2）若，求【答案】（1）2（2）13【解析】【分析】（1）利用兩點間的距離公式，結合雙曲線的取值范圍，即可求解；（2）依據雙曲線的定義，結合（1）的結果，即可求解.【小問1詳解】設，，左焦點，，或，當時，取得最小值2，所以的最小值為2；【小問2詳解】由方程可知，，所以，即，解得：或,依據對稱性，以及（1）的結果可知，的最小值為2，所以舍去，，所以的值為.20.已知橢圓：的離心率為，是橢圓上一點．（1）求橢圓的方程；（2）若，是橢圓上兩點，且線段的中點坐標為M，①求直線的方程．②求的面積．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由離心率，過點，及橢圓的定義列方程組求解即可；（2）設，利用點差法即可求出直線的方程；再利用弦長公式，點到直線的距離公式即可求得面積．【小問1詳解】由題意得，，解得，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】設，由，是橢圓上兩點得，，兩式相減得，即，因為線段的中點坐標為M，所以，所以，即，所以直線的方程為，即；由得，，則，所以，點到直線的距離，所以．21.在四棱錐中，底面為直角梯形，，側面底面，且分別為的中點．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見