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全等三角形一、全等三角形1、定義:能夠完全重合得兩個(gè)三角形叫做全等三角形。特征:形狀相同、大小相等、完全重合。一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它得全等形。平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后得圖形全等。2、全等三角形得表示:“全等”用“≌”表示,“∽”表示兩圖形得形狀相同,“=”表示大小相等,讀作“全等于”。注意:記兩三角形全等時(shí),通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)得字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上。全等三角形得對(duì)應(yīng)元素:對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角3、全等三角形得性質(zhì)(1)全等三角形得對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。(2)全等三角形得周長(zhǎng)相等、面積相等。(3)全等三角形得對(duì)應(yīng)邊上得對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高線(xiàn)分別相等。4、全等三角形得判定(1)邊邊邊:三邊對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“SSS”)(2)邊角邊:兩邊與它們得夾角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“SAS”)(3)角邊角:兩角與它們得夾邊對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“ASA”)(4)角角邊:兩角與其中一角得對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“AAS”)(5)斜邊、直角邊:斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)直角三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”)5、證明兩個(gè)三角形全等得基本思路:二、角得平分線(xiàn)1、(性質(zhì))角得平分線(xiàn)上得點(diǎn)到角得兩邊得距離相等。2、(判定)角得內(nèi)部到角得兩邊得距離相等得點(diǎn)在角得平分線(xiàn)上。三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意得問(wèn)題(1)要正確區(qū)分“對(duì)應(yīng)邊”與“對(duì)邊”,“對(duì)應(yīng)角”與“對(duì)角”得不同含義;(2)表示兩個(gè)三角形全等時(shí),表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)得字母要寫(xiě)在對(duì)應(yīng)得位置上;(3)“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”或“有兩邊及其中一邊得對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”得兩個(gè)三角形不一定全等;(4)時(shí)刻注意圖形中得隱含條件,如“公共角”、“公共邊”、“對(duì)頂角”。
(一)三角形全等得判定一(SSS)1、如圖,AB=AD,CB=CD、△ABC與△ADC全等嗎?為什么?2、如圖,C就就是AB得中點(diǎn),AD=CE,CD=BE、求證△ACD≌△CBE、3、如圖,點(diǎn)B,E,C,F在一條直線(xiàn)上,AB=DE,AC=DF,BE=CF、求證∠A=∠D、ADCB4、已知,如圖,AB=AD,DC=CB、求證:∠B=ADCB5、如圖,AD=BC,AB=DC,DE=BF、求證:BE=DF、
(二)三角形全等得判定二(SAS)1、如圖,AC與BD相交于點(diǎn)O,OA=OC,OB=OD、求證DC∥AB、2、如圖,△ABC≌△,AD,分別就就是△ABC,△得對(duì)應(yīng)邊上得中線(xiàn),AD與有什么關(guān)系?證明您得結(jié)論、ACEDB3、如圖,已知ACACEDB4、已知:如圖,AD∥BC,AD=CB,求證:△ADC≌△CBA、AABCD5、已知:如圖AD∥BC,AD=CB,AE=CF。求證:△AFD≌△CEB、AAEBCFD22ACBHED16、△7、已知:如圖,點(diǎn)B、E、C、F在同一直線(xiàn)上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF、求證:AC∥DF、8、已知:如圖,AD就就是BC上得中線(xiàn),且DF=DE、求證:BE∥CF、9、如圖,在△ABC中,分別延長(zhǎng)中線(xiàn)BE、CD至F、H,使EF=BE,DH=CD,連結(jié)AF、AH、求證:(1)AF=AH;(2)點(diǎn)A、F、H三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上;(3)HF∥BC、10、如圖,在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,直線(xiàn)EF交AC于F,交AB于E,交BC得延長(zhǎng)線(xiàn)于D,連結(jié)AD、BF,CF=CD、求證:BF=AD,BF⊥AD、11、證明:如果兩個(gè)三角形有兩條邊與其中一邊上得中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等、(提示:首先分清已知與求證,然后畫(huà)出圖形,再結(jié)合圖形用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知與求證)12、證明:如果兩個(gè)三角形有兩條邊與第三邊上得中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等、13、已知:如圖,正方形ABCD,BE=CF,求證:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF、ABCDABCDEF15、如圖,△ABD與△ACE就就是△ABC外兩個(gè)等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900、(1)判斷CD與BE有怎樣得數(shù)量關(guān)系;(2)探索DC與BE得夾角得大小;(3)取BC得中點(diǎn)M,連MA,探討MA與DE得位置關(guān)系、?(三)(四)三角形全等得判定三、四(ASA、AAS)1、如圖,點(diǎn)B,F(xiàn),C,E在一條直線(xiàn)上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD、求證AB=DE,AC=DF、2、如圖,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2、5cm,DE=1、7cm、求BE得長(zhǎng)、3、已知,D就就是△ABC得邊AB上得一點(diǎn),DE交AC于點(diǎn)E,DE=FE,FC∥AB、ADBADBCFE4、已知:如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC、求證:△ABD≌△CDB、5、如圖,在△ABC中,AC⊥BC,CE⊥AB于E,AF平分∠CAB交CE于點(diǎn)F,過(guò)F作FD∥BC交AB于點(diǎn)D、求證:AC=AD、
6、如圖,AD∥BC,AB∥DC,MN=PQ、求證:DE=BE、7、如圖,在ABC中,∠A=90°,BD平分B,DE⊥BC于E,且BE=EC、(1)求∠ABC與∠C得度數(shù);(2)求證:BC=2AB、8、如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,E就就是CD上一點(diǎn),且AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC、(1)求證:AE⊥BE;BCBCEAD(3)求證:AD+BC=AB、ABCEDF9、已知,如圖Rt△ABC,∠BAC=90°,AD⊥ABCEDF
10、△ABC就就是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC、(1)若D為BC得中點(diǎn),過(guò)D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N,求證:DM=DN、(2)若DM⊥DN分別與BA、AC延長(zhǎng)線(xiàn)交于M、N、問(wèn)DM與DN有何數(shù)量關(guān)系?11、已知:C點(diǎn)得坐標(biāo)為(4,4),A為y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn),連CA,CB⊥CA交x軸于B、(1)求證:CA=CB;(2)問(wèn)OB-OA就就是否為定值,就就是定值并求其定值、12、已知A(-4,0),B(0,4),C(0,-4),過(guò)O作OM⊥ON分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)。(1)求證:OM=ON;(2)連MN,MN交x軸于Q,若M點(diǎn)得縱坐標(biāo)為3,求M與N得坐標(biāo)。?(五)三角形全等得判定五(HL)1、如圖,△ABC中,AB=AC,AD就就是高、求證:(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD、2、如圖,AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC、求證:∠ABD=∠ACD、ADECBFADECBF求證:(1);(2)、4、如圖,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求證:EB=FC5、如圖,在△ABC中,D就就是BC得中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別就就是E,F,BE=CF、求證:AD就就是△ABC得角平分線(xiàn)、?(六)角得平分線(xiàn)得性質(zhì)1、如圖,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D,E,BE,CD相交于點(diǎn)O,OB=OC、求證∠1=∠2、2、如圖,OC就就是∠AOB得平分線(xiàn),P就就是OC上得一點(diǎn),PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB于E、F就就是OC上得另一點(diǎn),連接DF,EF、求證DF=EF、3、如圖,在△ABC中,D就就是BC得中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別就就是E,F,BE=CF、求證:AD就就是△ABC得角平分線(xiàn)、4、如圖,在ABC中,∠A=90°,BD平分B,DE⊥BC于E,且BE=EC、(1)求∠ABC與∠C得度數(shù);(2)求證:BC=2AB、?(七)倍長(zhǎng)中線(xiàn)法與截長(zhǎng)補(bǔ)短法1、在△ABC中,AB=5,AC=3,AD為BC邊得中線(xiàn),則AD得長(zhǎng)得取值范圍就就是()、A、1<<4B、3<<5C、2<<3D、0<<52、AD就就是△ABC中BC邊上得中線(xiàn),AB=4,AC=6,則AD得取值范圍就就是、3、如圖,△ABD與△ACE就就是△ABC外兩個(gè)等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900、(1)判斷CD與BE有怎樣得數(shù)量關(guān)系;(2)探索DC與BE得夾角得大小;(3)取BC得中點(diǎn)M,連MA,探討MA與DE得位置關(guān)系、4、如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,E就就是CD上一點(diǎn),且AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC、BCEABCEAD(2)求證:E就就是CD得中點(diǎn);(3)求證:AD+BC=AB、5、如圖△ABC中,A=500,AB>AC,D、E分別在AB、AC上,且BD=CE,BCD=CBE,BE、CD相交于O點(diǎn),求6、△ABC中,D就就是BC中點(diǎn),DE⊥DF,E在AB邊上,F在AC邊上,判斷并證明BE+CF與EF得大小?、
7、已知:如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠1=∠2,求證:BC=AB+AD、(分別用截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法各證一次)AA21CBD8、已知,如圖,在正方形ABCD中AB=AD,∠B=∠D=90°、(1)如果BE+DF=EF,求證:①∠EAF=45°;②FA平分∠DFE、(2)如果∠EAF=45°,求證:①BE+DF=EF、②FA平分∠DFE、(3)如果點(diǎn)F在DC得延長(zhǎng)線(xiàn)上,點(diǎn)E在CB得延長(zhǎng)線(xiàn)上,且DF-BE=EF,求證:①∠EAF=45°;②FA平分∠DFE、(畫(huà)圖并證明)
(八)全等三角形檢測(cè)一、選擇題:在△ABC、△DEF中如果C=D,B=E,要使△ABC≌△FED,還需要得條件就就是()A、AB=EDB、AB=FDC、AC=FDD、A=F2、如圖:AB∥CD,AD∥BC,AC、BD交于點(diǎn)O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F點(diǎn),那么圖中全等三角形共有()A、5對(duì)B、6對(duì)C、7對(duì)D、8對(duì)3、如圖,D在AB上,E在AC上且,那么補(bǔ)充下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定△ABE≌△ACD得就就是()A、AD=AEB、C、BE=CDD、AB=AC4、如圖:某同學(xué)把一塊三角形玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)有要到玻璃店去配一塊完全一樣得玻璃,那么最省事得辦法就就是()A、帶①去B、帶②去C、帶③去D、帶①與②去5、下列說(shuō)法中,正確得個(gè)數(shù)就就是()①兩邊及其中一邊上得中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)三角形全等;②兩角及第三角得平分線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)三角形全等;③兩邊及其中一邊上得高對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)三角形全等;④有兩邊相等得直角三角形全等;⑤腰與一個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等得兩等腰三角形全等。A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)6、在△ABC中,AB=5,AC=3,AD為BC邊得中線(xiàn),則AD得長(zhǎng)得取值范圍就就是()、A、1<<4B、3<<5C、2<<3D、0<<57、下列四個(gè)命題:①直角三角形只有一條高線(xiàn);②有兩邊對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)直角三角形一定全等;③兩內(nèi)角之差等于第三個(gè)內(nèi)角得三角形必為直角三角形;④腰與底角對(duì)應(yīng)相等得兩個(gè)等腰三角形一定全等、其中正確得命題有()、A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)8、等腰三角形周長(zhǎng)為,一腰得中線(xiàn)將周長(zhǎng)分成5:3兩部分,則它得底邊長(zhǎng)為()、A、B、C、或D、9、下列條件中,能判斷兩個(gè)等腰三角形全等得條件得個(gè)數(shù)就就是()、①頂角與一條腰對(duì)應(yīng)相等;②一條腰與底邊對(duì)應(yīng)相等;③頂角與底邊對(duì)應(yīng)相等;④兩條腰與底角對(duì)應(yīng)相等、A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)10、已知:如圖,BD為△ABC得得角平分線(xiàn),且BD=BC,E為BD延長(zhǎng)線(xiàn)上得一點(diǎn),BE=BA,過(guò)E作EF⊥AB,F為垂足、下列結(jié)論:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF、其中正確得就就是()、A、①②③B、①③④C、①②④D、①②③④11、如圖:已知AD⊥AB,AE⊥AC,AD=AB,AE=AC則下列結(jié)論:①DAC=BAE;②△DAC≌△BAE;③DC⊥BE;④MA平分DME;⑤△BMC≌△CEA;正確個(gè)數(shù)就就是()A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)12、如圖P就就是等腰Rt△ABC斜邊AC上任意一點(diǎn),PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,PG⊥EF于G,在GP得延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)D,使PD=PB,則BC與DC關(guān)系就就是()A、BC=DCB、BC=DC,且BC⊥DCC、BC>DCD、BC⊥DC二、填空題:13、AD就就是△ABC中BC邊上得中線(xiàn),AB=4,AC=6,則AD得取值范圍就就是、14、如圖△ABC中,A=500,AB>AC,D、E分別在AB、AC上,且BD=CE,BC
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