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第二章函數(shù)第八節(jié)函數(shù)與方程·考試要求·1.借助函數(shù)圖象,會用數(shù)學(xué)語言表示函數(shù)的單調(diào)性、最值,理解實際意義.2.理解單調(diào)性、最值及其幾何意義.知識點一函數(shù)的零點1.判斷下列說法的正誤,正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)函數(shù)f(x)的零點,即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點.
(
)(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點. (
)(3)函數(shù)f(x)=lg
x的零點是(1,0).
(
)必備知識落實“四基”×√×2.(教材改編題)函數(shù)f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零點為________________.
1.定義:使f(x)=0的_______叫做函數(shù)y=f(x)的零點.2.三個等價關(guān)系:實數(shù)x注意點:函數(shù)的零點不是一個“點”,而是方程f(x)=0的實數(shù)解,是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點的橫坐標(biāo).知識點二函數(shù)零點存在定理1.(教材改編題)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求圖中的函數(shù)零點的是(
)√
√函數(shù)零點存在定理(1)條件:①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條__________的曲線.②f(a)·f(b)_____.(2)結(jié)論:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.連續(xù)不斷<0注意點:由函數(shù)y=f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a,b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0,如圖所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點的充分不必要條件.【常用結(jié)論】1.已知函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào),且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,若f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在(a,b)上有且只有一個零點.2.連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時,函數(shù)值可能變號,也可能不變號.3.周期函數(shù)如果存在零點,則必有無窮個零點.應(yīng)用
(多選題)有如下說法,其中正確的有(
)A.函數(shù)f(x)的零點為x0,則函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(x0,0)時,函數(shù)值一定變號B.連續(xù)不斷的函數(shù),相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若滿足f(a)·f(b)<0,則方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上一定有實根D.“二分法”對連續(xù)不斷的函數(shù)的所有零點都有效√BC
解析:由結(jié)論知A錯誤,B正確,由函數(shù)零點存在定理可得C正確.由于“二分法”是針對連續(xù)不斷的函數(shù)的變號零點而言的,所以D錯誤.故選BC.√1.函數(shù)f(x)=x+lnx-3的零點所在的區(qū)間為(
)A.(0,1)
B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)核心考點提升“四能”√判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間C
解析:(方法一)因為函數(shù)f(x)是增函數(shù),且f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,所以由函數(shù)零點存在定理,得函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)上.故選C.(方法二)函數(shù)f(x)=x+lnx-3的零點所在區(qū)間轉(zhuǎn)化為g(x)=lnx,h(x)=-x+3的圖象的交點橫坐標(biāo)所在的范圍.如圖所示,可知函數(shù)f(x)的零點在(2,3)內(nèi).2.(多選題)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線,則下列說法錯誤的有(
)A.若f(a)f(b)>0,則不存在實數(shù)c∈[a,b],使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,則存在且只存在一個實數(shù)c∈[a,b],使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,則可能存在實數(shù)c∈[a,b],使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,則可能不存在實數(shù)c∈[a,b],使得f(c)=0√√√
√反思感悟確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.
√確定函數(shù)零點的個數(shù)
(2)已知函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)=2|x|-1,則函數(shù)F(x)=f(x)-|lgx|的零點個數(shù)是(
)A.9 B.10C.11 D.18√B
解析:由題意,分別畫出函數(shù)y=f(x)和y=|lg
x|的圖象,如圖所示.由圖可知,y=f(x)與y=|lg
x|的圖象共有10個交點,故原函數(shù)有10個零點.反思感悟函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法(1)直接求零點:令f(x)=0,有幾個解就有幾個零點.(2)函數(shù)零點存在定理:要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)的零點個數(shù).(3)利用函數(shù)圖象:作出兩函數(shù)的圖象,觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).1.函數(shù)f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是(
)A.0 B.1C.2 D.3B
解析:(方法一)因為
f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函數(shù)
f(x)在R上單調(diào)遞增且連續(xù),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有1個零點.(方法二)設(shè)y1=2x,y2=2-x3,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可知,兩圖象在(0,1)內(nèi)的交點個數(shù)即f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù),故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有1個零點.√2.函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為(
)A.0 B.1C.2 D.3C
解析:由題意可知f(x)的定義域為(0,+∞).在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|x-2|(x>0),y=lnx(x>0)的圖象如圖所示.由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2.√
√函數(shù)零點的應(yīng)用
反思感悟根據(jù)函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)的步驟考向2根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)【例3】(2024·黃岡模擬)設(shè)min{m,n}表示m,n中的較小數(shù)(當(dāng)m=n時,min{m,n}=m=n).若函數(shù)f(x)=min{|x|-1,2x2-ax+a+6}至少有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(
)A.[12,+∞)B.(-∞,-4]∪(12,+∞)C.(-∞,-4)∪[12,+∞)D.(-∞,-4)√
反思感悟利用函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的方法由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題,可采用數(shù)形結(jié)合法,先對解析式變形,將其變?yōu)殛P(guān)于兩個函數(shù)的方程,再在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出兩個函數(shù)的圖象,通過數(shù)形結(jié)合求解.1.(2024·聊城模擬)函數(shù)f(x)=log2x+x2+m在區(qū)間(2,4)上存在零點,則實數(shù)m的取值范圍是(
)A.(-∞,-18) B.(5,+∞
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