第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值-高考一輪復(fù)習(xí)人教A版(適用于新高考新教材)

第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀1.借助函數(shù)圖象,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性,掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法.2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念,理解它們的作用和實(shí)際意義,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的最值.3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問(wèn)題.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈Ix1,x2的取值具有任意性且屬于同一區(qū)間當(dāng)x1<x2時(shí),都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),就稱它是增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時(shí),都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),就稱它是減函數(shù)

f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的微點(diǎn)撥函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)形式

(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上

或

,那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的

.

微思考“函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是M”與“函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增”的含義相同嗎?提示

不相同.“函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是M”是指函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間恰好是M,在其他的區(qū)間上f(x)不是單調(diào)遞增的;而“函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增”是指函數(shù)f(x)在區(qū)間M以外的區(qū)間或包含M的更大區(qū)間上也可能是單調(diào)遞增的.單調(diào)遞增

單調(diào)遞減單調(diào)區(qū)間2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈D,都有

;

(2)?x0∈D,使得

函數(shù)的最值一定是某個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值(3)?x∈D,都有

;

(4)?x0∈D,使得

結(jié)論M是y=f(x)的最大值

最大值是所有函數(shù)值中最大的一個(gè)M是y=f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M微點(diǎn)撥1.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí),最值一定在端點(diǎn)處取到.2.開(kāi)區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.微思考已知函數(shù)f(x)=,對(duì)于?x∈{x|x≠0}都有f(x)>0,能否認(rèn)為f(x)=的最小值為0?提示

不能.盡管f(x)>0,但不存在x∈{x|x≠0}使得f(x)=0,所以不能說(shuō)f(x)=的最小值為0.常用結(jié)論1.若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性,則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì):(1)當(dāng)f(x),g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí),f(x)+g(x)是增(減)函數(shù);(2)若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反;(5)當(dāng)f(x),g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí),若兩者都恒大于0,則f(x)g(x)是增(減)函數(shù);若兩者都恒小于0,則f(x)g(x)是減(增)函數(shù).3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)),先將函數(shù)分解為y=f(u)和u=g(x),則有:u=g(x)增增減減y=f(u)增減增減y=f(g(x))增減減增自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,則f(1)>f(2).(

)2.若函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,4)上單調(diào)遞增,則f(1)<f(3).(

)3.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1)∪(1,+∞).(

)4.若函數(shù)f(x)在[1,6]上的最小值是f(6),則f(x)在[1,6]上單調(diào)遞減.(

)√×××題組二回源教材5.(人教A版必修第一冊(cè)3.2.1節(jié)例5改編)已知函數(shù)f(x)=,x∈[2,6],則函數(shù)的最大值是

,最小值是

.

20.4解析

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=在區(qū)間[2,6]上單調(diào)遞減,所以,函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,6]上的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值.在x=2時(shí)取得最大值,最大值是2;在x=6時(shí)取得最小值,最小值是0.4.6.(人教B版必修第一冊(cè)3.1.2節(jié)練習(xí)B第1題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,5],且在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[2,5]上單調(diào)遞減,那么下列說(shuō)法中,一定正確的是

.

(1)f(0)<f(2);(2)f(3)>f(2);(3)f(x)在區(qū)間[-1,5]上有最大值,而且f(2)是最大值;(4)f(0)與f(3)的大小關(guān)系不確定;(5)f(x)在區(qū)間[-1,5]上有最小值;(6)f(x)在區(qū)間[-1,5]上的最小值是f(5).(1)(3)(4)(5)解析

∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增,∴f(0)<f(2),故(1)正確.∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上單調(diào)遞減,∴f(3)<f(2),故(2)錯(cuò)誤.∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[2,5]上單調(diào)遞減,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,5]上有最大值,也有最小值,且f(2)是最大值,f(-1)或f(5)是最小值,故(3)(5)正確,(6)不一定正確.而f(0)與f(3)的大小不確定,故(4)正確.題組三連線高考7.(2023·新高考Ⅰ,4)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(

)A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)D8.(2020·新高考Ⅱ,7)已知函數(shù)f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.[5,+∞)D解析

由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函數(shù)定義域?yàn)?-∞,-1)∪(5,+∞),又因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-4x-5在(2,+∞)上單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(5,+∞),而f(x)在(a,+∞)單調(diào)遞增,所以a≥5,故選D.2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明例1利用單調(diào)性的定義證明:函數(shù)f(x)=+2x-1在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·山東德州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x>0時(shí),有f(x)<0,則不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0的解集為(

)B解析

由f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=2f(0),f(0)=0.由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù).任取x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0,f(x2-x1)<0,所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,即f(x1)>f(x2),因此函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù).由f(5-x2)+f(3x-x2)<0可得f(5-x2+3x-x2)<f(0),則5-x2+3x-x2>0,整理得2x2-3x-5<0,解得-1<x<,故選B.考點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2(1)(2024·四川成都模擬)已知函數(shù)f(x)=ax+1在R上單調(diào)遞減,則函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.(-2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,-2)C解析

由函數(shù)f(x)=ax+1在R上單調(diào)遞減,可知a<0,所以函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)圖象開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=2,因此g(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞增,故選C.(2)(2024·湖北宜昌模擬)函數(shù)f(x)=|x-2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A.[1,2] B.[-1,0]C.(0,2] D.[2,+∞)A解析

當(dāng)x≤2時(shí),f(x)=-x2+2x,則f(x)在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減;當(dāng)x>2時(shí),f(x)=x2-2x,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=|x-2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,2],故選A.(3)(2024·江蘇南通模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+2x+8,g(x)=logax(0<a<1),則函數(shù)y=g(f(x))的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(1,+∞) D.(1,4)B解析

依題意,g(f(x))=loga(-x2+2x+8),則-x2+2x+8>0得-2<x<4,即函數(shù)y=g(f(x))的定義域?yàn)?-2,4),顯然函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞減,而g(x)=logax(0<a<1)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,因此函數(shù)y=g(f(x))在區(qū)間(-2,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=g(f(x))的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,1),故選B.考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))考向1利用單調(diào)性比較大小例3(2024·黑龍江綏化模擬)若正數(shù)a,b滿足2a-4b=log2b-log2a,則a與2b大小關(guān)系為

.

a<2b

解析

因?yàn)?a-4b=log2b-log2a,所以2a+log2a=4b+log2b=22b+log2b+log22-1=22b+log22b-1.設(shè)f(x)=2x+log2x(x>0),則f(a)=f(2b)-1,所以f(a)<f(2b),又因?yàn)閥=2x與y=log2x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=2x+log2x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以a<2b.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·江蘇徐州模擬)已知函數(shù)f(x)=2x+x3,記a=f(log0.32),b=f(20.3),c=f(0.32),則(

)A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<bB解析

因?yàn)閥=2x,y=x3在x∈R上單調(diào)遞增,所以f(x)=2x+x3在x∈R上單調(diào)遞增,又log0.32<log0.31=0,1=20<20.3<21=2,0<0.32=0.09<1,所以f(log0.32)<f(0.32)<f(20.3),所以a<c<b,故選B.考向2利用單調(diào)性解函數(shù)不等式

A[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·山東濰坊模擬)已知函數(shù),若f(a-2)>3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(0,1)

考向3利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例5(1)(2024·湖北武漢模擬)已知f(2x)=|x-a|,