新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)分冊(cè)一專題三數(shù)列第一講等差數(shù)列與等比數(shù)列-小題備考微專題4數(shù)列的遞推

微專題4數(shù)列的遞推1.[2024·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬]數(shù)列{an}滿意an＋1＝，a3＝3，則a2024＝()A．－B．C．D．32．若an＝an－1＋n－1，a1＝1則a10＝()A．55B．56C．45D．463．[2024·江西贛州二模]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿意a1＝，an＋1＝Sn，則a9＝()A．1B．2C．4D．84.(1)[2024·安徽黃山三模]黃山市歙縣三陽(yáng)鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)疼惜項(xiàng)目，至今已有500多年的歷史，表演時(shí)由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光線刺眼，好看又壯麗．小明同學(xué)在探討數(shù)列{an}時(shí)，發(fā)覺(jué)其遞推公式an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)就可以利用“疊羅漢”的思想來(lái)處理，即a3＝a1＋a2，a4＝a3＋a2＝a1＋a2＋a2，a5＝a4＋a3＝a1＋a2＋a2＋a3，…，假如該數(shù)列{an}的前兩項(xiàng)分別為a1＝1，a2＝2，其前n項(xiàng)和記為Sn，若a2024＝m，則S2024＝()A．2mB．C．m＋2D．m－2(2)[2024·廣東梅州一模]某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列A＝{a1，a2，a3，…}重新編輯，編輯新序列為A*＝{，…}，它的第n項(xiàng)為，若序列(A*)*的全部項(xiàng)都是2，且a4＝1，a5＝32，則a1＝()A．B．C．D．技法領(lǐng)悟1．通過(guò)驗(yàn)證或者推理得出數(shù)列的周期性后求解．2．依據(jù)已知遞推關(guān)系式，變形后構(gòu)造出等差數(shù)列或等比數(shù)列，再依據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的學(xué)問(wèn)求解．3．三種簡(jiǎn)潔的遞推數(shù)列：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)，第一個(gè)運(yùn)用累加的方法，其次個(gè)運(yùn)用累乘的方法，第三個(gè)可以運(yùn)用待定系數(shù)法化為等比數(shù)列(設(shè)an＋1＋λ＝p(an＋λ)，綻開比較系數(shù)得出λ)．[鞏固訓(xùn)練4](1)[2024·湖南雅禮中學(xué)一模]已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1＝，若[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則[a10]＝()A．1B．2C．3D．5(2)[2024·河南洛陽(yáng)聯(lián)考]已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿意2Sn＝an(an＋1)，則a2024＝()A．2024B．2024C．2024D．2025微專題4數(shù)列的遞推保分題1．解析：因?yàn)閍n＋1＝，a3＝3，所以a3＝＝3，解得a2＝，又a2＝＝，解得a1＝－，又a4＝＝－，a5＝＝，a6＝＝3，明顯，接下去a7＝－，a8＝，a9＝3，…，所以數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，則a2024＝a1＋3×674＝a1＝－.故選A.答案：A2．解析：由an＝an－1＋n－1，得a2＝a1＋1，a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，…，an＝an－1＋n－1(n≥2)，累加得，an＝a1＋1＋2＋3＋…＋n－1＝n2－n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式成立，則an＝n2－n＋1，所以a10＝×100－×10＋1＝46.故選D.答案：D3．解析：因?yàn)閍n＋1＝Sn，則Sn＋1－Sn＝Sn，整理得Sn＋1＝2Sn，且S1＝a1＝≠0，所以數(shù)列{Sn}是以首項(xiàng)S1＝，公比q＝2的等比數(shù)列，則Sn＝×2n－1＝2n－6，所以a9＝S8＝22＝4.故選C.答案：C提分題[例4](1)解析：由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)得，an＝an＋2－an＋1(n∈N*)，所以S2024＝a2024＋a2024＋a2024＋…＋a3＋a2＋a1＝(a2024－a2024)＋(a2024－a2024)＋(a2024－a2024)＋…＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＝a2024－a2＝m－2.故選D.(2)解析：設(shè)＝t，由題意得A*＝{t，2t，22t，…}，第n項(xiàng)為＝2n－1t，則n≥2時(shí)，an＝···…··a1＝t·2t·22t·…·2n－2t·a1＝tn－1·a1，因?yàn)閍4＝1，a5＝32，所以23t3·a1＝1，26t4·a1＝32，解得t＝4，a1＝，故選B.答案：D答案：B[鞏固訓(xùn)練4](1)解析：因?yàn)閍1＝2，an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，a6＝＝，a7＝＝，a8＝＝，a9＝＝，a10＝＝，∴[a10]＝1.故選A.(2)解析：由題意，2Sn＝＋an，2Sn－1＝＋an－1(n≥2)，兩式相減，得2an＝＝an＋an－1.