2023-2024學(xué)年江西省九江市六校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年江西省九江市六校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列說法正確的是(

)A.通過圓臺側(cè)面一點，有無數(shù)條母線

B.棱柱的底面一定是平行四邊形

C.圓錐的所有過中心軸的截面都是等腰三角形

D.用一個平面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺2.sin?600°+tan?240°A.?32 B.32 3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z?i|=1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y)，則(

)A.(x+1)2+y2=1 B.(x?1)24.已知|a|=|b|=2，a?A.1 B.3 C.2 D.35.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l?⊥m，l?⊥n，l?α,l?β,則(

)A.α?//?β且l//?α B.α⊥β且l⊥β

C.α與β相交，且交線垂直于l D.α與β相交，且交線平行于l6.已知函數(shù)y=3sin(x+π5)圖象為C，為了得到函數(shù)y=3sinA.先向右平移π5個單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

B.先向右平移25π個單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

C.先將橫坐標(biāo)縮短到原來的12，縱坐標(biāo)不變，再向右平移π5個單位長度

D.7.已知A(1,2)，B(3,4)，C(?2,2)，D(?3,5)，則向量AB在向量CD上的投影向量的坐標(biāo)為(

)A.(25,65) B.(?8.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx?π3)(ω>0)在區(qū)間[0,π3]A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知集合M={m|m=in,n∈N}，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是A.(1?i)(1+i) B.1?i1+i C.1+i1?i 10.已知a≠e，|e|=1，滿足：對任意t∈R，恒有|A.a?e=0 B.e?(a?11.如圖，在棱長均相等的正四棱錐P?ABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，則下列結(jié)論中正確的是(

)

A.PC/?/平面OMN

B.平面PCD//平面OMN

C.OM⊥PA

D.直線PD與直線MN所成的角的大小為90三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1?2i)(a+i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為

．13.如圖所示為水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B的坐標(biāo)為(2,2)，用斜二測畫法畫出它的直觀圖A′B′C′O′，則點B′到x′軸的距離為

．

14.已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx+c的圖象過點(0,0)和(?π6,c)且當(dāng)x∈[0,π3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知復(fù)數(shù)z1=?2+i，z1(1)求復(fù)數(shù)z(2)若復(fù)數(shù)z3=(3?z216.(本小題15分)

如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點，∠APC=90°．

(1)證明：平面PAB⊥平面PAC;

(2)設(shè)DO=2，圓錐的側(cè)面積為3π17.(本小題15分)平面內(nèi)有向量OA=(1,7)，OB=(5,1)，OP=(2,1)，點Q(1)當(dāng)QA?QB取最小值時，求OQ(2)當(dāng)點Q滿足(1)的條件和結(jié)論時，求cos∠AQB的值．18.(本小題17分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A為單位圓與x軸正半軸的交點，點M為單位圓上的一點，且∠AOM=π3，點M沿單位圓按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角后到點N(a,b)．

(1)當(dāng)θ=54π時，求(2)設(shè)θ∈[π4,1319.(本小題17分)已知三棱錐P?ABC的棱AP、AB、AC兩兩互相垂直，且AP=AB=AC=4(1)若點M、N分別在線段AB、AC上，且AM=MB，AN=3NC，求二面角P?MN?A的余弦值;(2)若以頂點P為球心，8為半徑作一個球，球面與該三棱錐P?ABC的表面相交，試求交線長是多少?

答案解析1.C

【解析】解：對于A，經(jīng)過圓臺側(cè)面上一點只有一條母線，A錯誤；

對于B，棱柱的底面是多邊形，不一定是平行四邊形，B錯誤；

對于C，圓錐的所有過中心軸的截面都是等腰三角形，因為是軸截面，所以都是全等的

等腰三角形，三角形的底邊是圓錐的底面圓的直徑，三角形的兩腰是圓錐的母線，

∴C正確；

對于D，用一個平面平行于棱錐底面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺，

D錯誤；

故選：C．2.B

【解析】解：sin600°+tan240°

=sin(720°?120°)+tan(180°+60°)

=?sin120°+tan60°=?3.C

【解析】解：由已知z=x+yi，x，y∈R，

則由z?i=1，可得x+y?1i=1，即x2+4.C

【解析】解：|a?b|=|a5.D

【解析】解：由m⊥平面α，直線l滿足l⊥m，且l?α，所以l//α．

又n⊥平面β，l⊥n,l?β，所以l//β．

由直線m,n為異面直線，且m⊥平面α,n⊥平面β，

則α與β相交，否則，若α//β，則推出m//n，與m,n異面矛盾，

所以α,β相交，且交線平行于l．

故選D．6.C

【解析】解：先將函數(shù)y=3sin(x+π5)圖象上每點橫坐標(biāo)縮短到原來的12，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=3sin(2x+π5)的圖象，再將得到的圖象向右平移π5個單位長度，得到函數(shù)y=3sin?[2(x?π5)+π57.B

【解析】解：AB=2,2，CD=?1,3，CD=10，AB?CD=?2+6=4，

則向量8.B

【解析】解：∵函數(shù)f(x)=sin(ωx?π3)(ω>0)在區(qū)間[0,π3]上的最大值為ω3，

∴0<ω3≤1，解得：0<ω≤3，

∵0≤x≤π3，

∴ωx?π3∈[?π3,π3ω?π3]，

?①若π3ω?π3≤π2，即0<ω≤52時，f(x)在[0,π3]單調(diào)遞增，f(x)max=f(π3)=sin(π3ω?π3)=ω3，

令r(x)=sin(π39.BC

【解析】解：根據(jù)題意，M={m|m=in,n∈N}，

當(dāng)n=4k(k∈N)時，in=1;

當(dāng)n=4k+1(k∈N)時，in=i;

當(dāng)n=4k+2(k∈N)時，in=?1;

當(dāng)n=4k+3(k∈N)時，in=?i，∴M={?1,1,i,?i}．

選項A中，(1?i)?(1+i)=2?M;

選項B中，10.BC

【解析】解：∵對任意t∈R，恒有a?te≥a?e，

∴|a|2?2ta·e+t2≥|a|2?2a·e+1恒成立，

即t2?2t11.ABC

【解析】解：連接AC，則O為AC中點，

因為M為PA中點，所以MO//PC，

因為MO?平面OMN,PC?平面OMN，

則PC//平面OMN，故A正確；

由已知MN/?/DC，MN?平面OMN,DC?平面OMN，

則DC//平面OMN，

又因為PC∩CD=C，PC,CD?平面PCD，

所以平面PDC//平面OMN，故B正確；

設(shè)棱長為a，因為底面為正方形，

則AC=2a，則PA2+PC2=AC2，

所以PA⊥PC，因為MO//PC，所以O(shè)M⊥PA，故C正確；

由于M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，∴MN/?/AB，又四邊形ABCD為正方形，∴AB/?/CD，

∴直線PD與直線MN所成的角即為直線PD與直線CD所成的角，即∠PDC，又12.?2

【解析】解：由(1?2i)(a+i)=(a+2)+(1?2a)i是純虛數(shù)，

得a+2=0且1?2a≠0，解得a=?2．13.2【解析】解：在直觀圖A′B′C′O′中，B′C′=1，∠B′C′x′=45°，

故點B′到x′軸的距離為14.?2【解析】解：由f(0)=0，f(?π6)=c，知，b=?c，a=3b=?3c，

∴f(x)=?3csinx?ccosx+c=?2csin(x+π6)+c，

當(dāng)x∈[0,π3]時，sin(x+π6)∈[12,1]，

當(dāng)c<0時，0≤f(x)≤?c，只需?c≤215.解：(1)∵z1z2=?5+5i，

∴z2=?5+5iz1=?5+5i?2+i=(?5+5i)(?2?i)(?2+i)(?2?i)=3?i．

(2)z3【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，復(fù)數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題．

1根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則直接計算即可．

2根據(jù)復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可．16.解：(1)由題設(shè)可知，PA=PB=PC，由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC．

又∠APC=90°，故∠APB=90°，∠BPC=90°．

從而PB⊥PA，PB⊥PC，

又PA∩PC=P，PA,PC?平面PAC，

故PB⊥平面PAC，PB?平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PAC．

(2)設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l.由題設(shè)可得rl=3，l2?r2=2.解得r=1，l=3.從而AB=【解析】本題考查面面垂直的判定，棱錐的體積，圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．17.解：(1)設(shè)OQ=(x,y)，

∵點Q在直線OP上，

∴向量OQ與OP共線．

又OP=(2,1)，

∴x?2y=0，即x=2y．

∴OQ=(2y,y)．

又QA=OA?OQ，OA=(1,7)，

∴QA=(1?2y,7?y)．

同樣QB=OB?OQ=(5?2y,1?y)．

于是QA·QB=1?2y5?2y+7?y1?y

=5y2?20y+12=5y?22?8．

【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積，向量的坐標(biāo)運算，二次函數(shù)的最值．

(1)因為點Q在直線OP上，向量OQ與OP共線，可以得到關(guān)于OQ坐標(biāo)的一個關(guān)系式，再根據(jù)QA·QB的最小值，求得OQ的坐標(biāo)；

(2)cos∠AQB是18.解：(1)由三角函數(shù)的定義可得M(cosπ3,sinπ3)，N(cos(π3+θ),sin(π3+θ))，

當(dāng)θ=54π時，N(cos1912π,sin1912π)，

即a=cos1912π，b=sin1912【解析】本題考查任意角三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的恒等變換，以及三角函數(shù)的求值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡可得a+b的值；(2)逆用兩角差的正弦公式可得b?a=2sin(θ+π19.(1)∵AP、AB、AC兩兩垂直，AP=AB=AC=43，

∴PA⊥面ABC，AN=33，AM=23，MN=39，

過A作AD⊥MN于D，連PD，則∠ADP即為P?MN?A的平面角，

在Rt△PAD中，AD=AM?ANMN=639