八年級數(shù)學(xué)下冊：第十六章 二次根式教案

第十六章二次根式

16.1二次根式

第1課時二次根式的概念和性質(zhì)

1.二次根式的概念和應(yīng)用.

2.二次根式的非負性.

重點

二次根式的概念.

難點

二京根式的非負性.

一、情景導(dǎo)入

師：(多媒體展示)請同學(xué)們看屏幕，這是東方明珠電視塔.

電視節(jié)目信號的傳播半徑r/癡與電視塔高h/筋之間有近似關(guān)系r=d菊(R為地球半

徑).如果兩個電視塔的高分別為瓜km,h2km,那么它們的傳播半徑之比為多少？同學(xué)們

能化簡這個式子嗎？

由學(xué)生計算、討論后得出結(jié)果，并提問.

師：那么怎么去化簡它呢？這要用到二次根式的運算和化簡.如何進行二次根式的運

算？如何進行二次根式的化簡？這將是本章所學(xué)的主要內(nèi)容.

二、新課教授

活動1：知識遷移，歸納概念

(多媒體演示)用含根號的式子填空.

(1)17的算術(shù)平方根是.；

(2)如圖，要做一個兩條直角邊長分別為7腐和4金的三角形,斜邊長應(yīng)為________cm；

(3)一個長方形的圍欄，長是寬的2倍，面積為130方，則它的寬為俄

(4)面積為3的正方形的邊長為,面積為a的正方形的邊長為；

(5)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t(單位：s)與開始落下時的高度

h(單位：加滿足關(guān)系h=5/,如果用含有h的式子表示t,則弋=.

【答案】⑴而⑵相(3)^65⑷小乖

活動2：二次根式的非負性

(多媒體展示)

(1)式子、「表示的實際意義是什么？被開方數(shù)a滿足什么條件時，式子小才有意義?

⑵當a>0時，_0；當a=0時，_0;二次根式是一個—

【答案】(Da的算術(shù)平方根，被開方數(shù)a必須是非負數(shù)(2)>=非負數(shù)

老師結(jié)合學(xué)生的回答，強調(diào)二次根式的非負性.

當a>0時，^表示a的算術(shù)平方根，因此3>0；

當a=0時，J表示0的算術(shù)平方根，因此4=0.

也就是說，當a己0時，y/a^0.

三、例題講解

【例】當X是怎樣的實數(shù)時，，三在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解：由x—220,得x22.

所以當x22時，正三在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

四、鞏固練習(xí)

1.已知壽-2+[b+,=0,求一a2b的值.

【答案】在三與0,小十),又I?它們的和為0,；.a—2=0且b+/=0,解得a

—2,b=一;.

/.—a'b=—22X(―^)=2.

2.若x,y使5―1+^1—x—y=3有意義,求2x+y的值.

【答案】-1

五、課堂小結(jié)

1.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了二次根式的概念.形如函(a20)的式子叫做二次根式，“廠”

稱為二次根號.

2.二次根式的被開方數(shù)必須是什么數(shù)才有意義?/(a20)又是什么數(shù)？

致與反思

1.本節(jié)課的教學(xué)過程中，通過創(chuàng)設(shè)情境，給出實例，學(xué)生積極主動探索，教師引導(dǎo)與

啟發(fā)，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導(dǎo)者與合作者地位.

2.注重知識之間的銜接，在溫故知新的過程中引出新知，講練結(jié)合旨在鞏固學(xué)生對新

知的理解.

第2課時二次根式的化簡

教學(xué)目標＜：?<

1.理解(、辰)2=a(a20),并能利用它進行計算和化簡.

2.通過具體數(shù)據(jù)的解答探,究G=a(a20),并利用這個結(jié)論解決具體問題.

重Q難Q＜：?<

重點

理解并掌握(京)2=a(a20),,=a(a20)以及它們的運用.

難點

探究結(jié)論.

教與設(shè)計＜：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

教師復(fù)習(xí)口述上節(jié)課的重要內(nèi)容，并板書：

1.形如熊(a20)的式子叫做二次根式.

2.4(aN0)是一個非負數(shù).

那么，當a20時，(/)2等于什么呢？下面我們一起來探究這個問題.

二、新課教授

活動1：

(多媒體演示)根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空:

g)2=；(?三；

（Vo?ol）2=；（Vo）2=.

由學(xué)生計算、討論得出結(jié)果，并提問部分過程，教師進行點評.

老師點評：

#是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，市是一個平方等于4的非負數(shù)，因此

（皿）2=4.

同理：（蛆）2=2；（y$2=；；（y|）2='|；（"01）2=0.01；（，5尸=0.

所以歸納出：（、人）2=a（a20）.

【例1】教材第3頁例2

活動2：

根據(jù)算術(shù)平方根的意義，1們可以得到:

鉗=2；、o.?=（）.1；q

/FM；7嗎）t；價

所以歸納出：q/=a（ae0）.

【例2]教材第4頁例3

教師點評：_

當a20時，y[^=a；

當aWO時，-a.

三、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)理解并掌握（4尸=@匕、0）和,=a（a2O）及其運用，同時應(yīng)理解[￡=一

a（a^O）.

教學(xué)反思＜

1.注意前后知識之間的聯(lián)系，在復(fù)習(xí)舊知的過程中導(dǎo)入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.按照由特

殊到一般的規(guī)律，降低學(xué)生理解的難度.

2.在總結(jié)二次根式性質(zhì)的過程中，由學(xué)生經(jīng)過觀察、分析的過程，讓學(xué)生在交流活動

中體會成功.

16.2二次根式的乘除

第1課時二次根式的乘法

教學(xué)目標＜

理解并掌握熊?4=d^（a20,b20）,y/a?b=y[a?^/b（a^O,bNO）,會利用它們

進行計算和化簡.,

重Q難后＜

重點

y[a?y[b=yfab(a^O,b20),y]a?b=/?/(a》0,b20)及它們的運用.

難點，

利用逆向思維，導(dǎo)出必?m(a20,b20).

教學(xué)設(shè)計〈

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

活動1:發(fā)現(xiàn)探究

(多媒體展示)填空：

(1)X

^4X9

(2)^25X

425X16=

(3)X=

(4)yflOOX雨

#100X0

生：(1)皿義m=6,.4X9=6；(2)正乂m=20,^25X16=20；⑶yj9標二

2,-\JfX36=2;(4)VT00XA/0=0,^100X0=0.

試一試，參考上面的結(jié)果，比較四組等式的大小關(guān)系.

生：上面各組中兩個算式的結(jié)果相等.

二、新課教授

活動2：總結(jié)規(guī)律

結(jié)合剛才的計算，學(xué)生分組討論，教師提問部分學(xué)生，最后教師綜合學(xué)生的答案，加以

點評，歸納出二次根式的乘法法則.

教師點評：

1.被開方數(shù)都是非負數(shù).

2.兩個非負數(shù)算術(shù)平方根的積等于它們積的算術(shù)平方根.

一般地，二次根式的乘法法則為：

,y/b=y[ab(a^0,b20)

由等式的對稱性，反過來：

■\[ab—y[a,\[b(a^0,b20)

活動3：講練結(jié)合

教材第6?7頁例題

三、鞏固練習(xí)

完成課本$7頁的練習(xí).

【答案】_

課本練習(xí)第1題：⑴班;(2)6；(3)24；(4)2.

第2題：(1)77；(2)15；⑶2電;(4)4bc^.

第3題：4群.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：而（a，0,b20）,，而=4?4（a20,b，0）及其應(yīng)用.

教竽反思<

1.創(chuàng)設(shè)情境，給出實例.學(xué)生積極主動探索，教師引導(dǎo)啟發(fā)，按照由特殊到一般的規(guī)

律，降低學(xué)生理解的難度.

2.在二次根式乘法法則的形成過程中，由學(xué)生大膽猜測，經(jīng)過思考、分析、討論的過

程，讓學(xué)生在交流中體會成功.第2課時二次根

式的除法

制與目標<：?<

Va

|(a^0,b>0)和（a>0,b>0）,會利用它們進行計算和化簡.

sats：，，?，人H，?，?：?<

重點

理解并掌握東=

己(a》0,b>0),Va

一乖（a20,b>0）,利用它們進行計算和化

簡.

難點

歸向二次根式的除法法則.

教與設(shè)計：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

活動1:

1.由學(xué)生回答二次根式的乘法法則及逆向等式.

2.填空（多媒體展示）.

⑴

⑵一

二、新課教授

活動2：

先由學(xué)生對上面的結(jié)果進行比較，觀察每組兩個算式結(jié)果的大小關(guān)系，并總結(jié)規(guī)律.

教師點評：

一個不負數(shù)的算術(shù)平方根除以一個正數(shù)的算術(shù)平方根，等于它們商的算術(shù)平方根.

一般地，二次根式的除法法則是：

~(a^0,b>0)

由等式的對稱性，反過來:

y]a

(a20,b>0)

【例】教材第8?9頁例題

三、鞏固練習(xí)

課本第10頁練習(xí)第1題.

【答案】（1）3（2）273（3）乎（4）2a

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握

(a20,b>0)及其應(yīng)用.

教學(xué)反思＜

1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)二次根式的乘法，旨在類比學(xué)習(xí)二次根式的除法，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探

究的興趣.

2.二次根式除法的學(xué)習(xí)過程，按照由特殊到一般的規(guī)律，由學(xué)生經(jīng)歷思考、討論、分

析的過程，讓學(xué)生大膽猜測，使學(xué)生在交流中體會成功.

第3課時最簡二次根式

教學(xué)目標＜：?<

最簡二次根式的概念、利用最簡二次根式的概念和性質(zhì)進行二次根式的化簡和運算.

重Q難Q＜：?<

重點

最簡二次根式的運用.

難點

會,斷這個二次根式是否是最簡二次根式.

教學(xué)設(shè)計：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

（學(xué)習(xí)活動）請同學(xué)們完成下列各題.（請四位同學(xué)上臺板書）

計算：（1(4)

教師點評:

2m2#m23

⑴；(3)

小一3；⑵標―3a

二、新課教授

教師點評：上面這些式子的結(jié)果具有如下兩個特點：

1.被開方數(shù)不含分母.

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

師：我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.（教師板書）

教師強調(diào)：在二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式.

【例1】判斷下列式子是不是最簡二次根式，為什么？

(l)3x(2)253^3？；(3);⑷出石

解：（1）被開方數(shù)中有因數(shù)因此它不是最簡二次根式；（2）被開方數(shù)中有開得盡方的

因式a?,因此它不是最簡二次根式；（3）被開方數(shù)中有分母，因此它不是最簡二次根式；（4）

被開方數(shù)中有因數(shù)0.2,它不是整數(shù)，所以它不是最簡二次根式.

【例2】化簡:

(1)A/-^；⑵N12x：'y"(x》0)；(3)yja2b1+a'b2(ab>0).

27X2

解：⑴

（3）A/a2b'+a'b2="\/a2b2（b2+a2）=abyja'+b'.

【例3】教材第9頁例7

三、課堂小結(jié)

1.本節(jié)課應(yīng)掌握最簡二次根式的特點及其運用.

2.二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式.

敢與反思＜

1.注重知識的前后聯(lián)系，溫故而知新.讓學(xué)生積極主動地探索，教師引導(dǎo)和啟發(fā)，使

學(xué)生在經(jīng)過思考、討論和分析的過程后，獲得新知，體會學(xué)習(xí)的樂趣.

2.前兩個例題旨在加強對最簡二次根式的理解，第三個例題讓學(xué)生靈活運用二次根式

解決實際問題.

16.3二次根式的加減

第1課時二次根式的加減

教學(xué)目標＜

理解并掌握二次根式加減的方法，并能用二次根式加減法法則進行二次根式的加減運

算.

重白難QV

重點

理露并掌握二次根式加減計算的方法.

難點

二/根式的化簡、合并被開方數(shù)相同的最簡二次根式.

教學(xué)設(shè)計

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

(學(xué)生活動)

1.計算：

(1)x+2x；(2)3a-2a+4a；(3)2x2—3x2+5x2；(4)2a2-4a2+3a.

2.教師點評：上面的運算實際上就是以前所學(xué)習(xí)的合并同類項，合并同類項就是字母

連同指數(shù)不變，系數(shù)相加減.

二、新課教授

(學(xué)生活動)

1.類比計算，說明理由.

⑴/+2隹⑵3m-2m+44；

(3)3^2+^8；(4)273-3^3+712.

2.教師點評：

⑴啦+2*=(1+2)*=3位；

(2)3乖一2m+4m=(3—2+4)，§=5m=1咪；

(3)雖然表面上市與乖的被開方數(shù)不同，不能當作被開方數(shù)相同，但乖可化為2班，

3m+m=3小+2/=(3+2)小=/;

(4)同樣也可化為2鎘，

2^3—3^3+"\/72=2^3-+2^3=(2—3+2),\y3—,\^3.

所以在用二次根式進行加減運算時，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并，因此可將二次

根式先化為最簡二次根式，比較被開方數(shù)是否相同.

因此可得：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同

的二次根式進行合并.

【例1］教材第13頁例1

【例2】教材第13頁例2

三、鞏固練習(xí)

教材第13頁練習(xí)第1,2題.

【答案】第1題：(1)不正確，兩邊不相等；(2)不正確，兩邊不相等；(3)正確.

第2題：(1)—4姨；(2)3^5;(3)Kh/2-373；(4)3乖+矩

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握進行二次根式加減運算時，先把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式，

再把相同被開方數(shù)的最簡二次根式進行合并.

致與反思

1.創(chuàng)設(shè)情境，給出實例.由學(xué)生主動參與，經(jīng)過思考、討論、分析的過程，老師加以

啟發(fā)和引導(dǎo)，類比得出二次根式的加減運算法則.

2.兩個例題，旨在幫助學(xué)生理解并掌握二次根式的加減運算法則.尤其是例2,要按

照兩個步驟進行計算，培養(yǎng)了學(xué)生利用概念、法則進行計算和化簡的嚴謹態(tài)度和科學(xué)精神.

第2課時二次根式的加減乘除混合運算

敦字目標＜：?<

含有二次根式的式子進行加減乘除混合運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應(yīng)用.

事(5難占

?，??人H?，：?<

重點

二次根式的加減乘除混合運算.

難點

由整式運算知識遷移到含二次根式的運算.

教學(xué)設(shè)計＜：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

(學(xué)生活動)：請同學(xué)們完成下列各題.

計算：

⑴(3x'+2x+2),4x；

(2)(4x2—2xy)4-(—2xy)；

(3)(3a+2b)(3a-2b)；

(4)(2X+1)2+(2X-1)2.

二、新課教授

由于整式運算中的x,y,a,b是字母，它的意義十分廣