人教版八年級上冊數(shù)學(xué)全等三角形30道壓軸題（解析版）

八年級上冊數(shù)學(xué)《第十二章全等三角形》專題全等三角形壓軸題訓(xùn)練(30題)1.(忠縣期末)在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，設(shè)BE與CD相交于點F①②【分析】(1)在BC上截取BM=BD,連接FM,證明△BFD≌△BFM,△ECF≌△MCF,進(jìn)而可以解決(2)根據(jù)已知條件證明△BDF≌△CDA,進(jìn)而可以解決問題.【解答】證明：(1)如圖，在BC上截取BM=BD,連接FM,∴△BFD≌△BFM(SAS),又CF=CF,ADF=90°∠G=∠6,(1)求證：DF=EF.(2)過點F作FG⊥DE,交線段CE于點G,若CE⊥AC,CD=4,SAEFG=5,求EG的長.【分析】(1)過點D作DH//AB交BC于點H,HDF,∠DHC=∠DCH,則DH=CD,結(jié)合∠BFE=∠HFD,即可利用AAS判定△BEF≌△HDF,根據(jù)(2)根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【解答】(1)過點D作DH//AB交BC于點H,.AB=AC,DH//AB,在△BEF和△HDF中，∴△BEF≌△HDF(AAS),(2)連接DG,3.如圖1,在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,點P為BC邊上的一個動點，連接AP,以AP為直角邊，A為直角頂點，在AP右側(cè)作等腰直角三角形PAD,連接CD.圖1(2)當(dāng)點P在線段BC的延長線上時(如圖2),試猜想線段BP和CD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么?請給予證明.【分析】(1)證得∠BAP=∠CAD,根據(jù)SAS可證明△BAP≌△CAD;作邊AB的垂線AD,且CD//AG,EB=AD,AE=BC.(2)如圖②,連接DE,根據(jù)已知條件得到△ADE≌△BEC(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AED.AD=EB,AE=BC,(2)如圖②,連接DE,AD⊥AB,.AD=EB,AE=BC,BC=BE.【解答】證明：(1)在Rt△ACB和Rt△DEB中，(2)如圖：作BM平分∠ABD交AK于點M,在△ABM和△DBG中，.AK=AM+MK,【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△BMK≌△BGK.6.(市南區(qū)期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于點D,E為AC邊上一點，連接BE與AD交于點F,G為△ABC外一點，滿足∠ACG=∠ABE,∠FAG=∠BAC,連接EG.(1)求證：△ABF≌△ACG;(2)求證：BE=CG+EG.【分析】(1)根據(jù)已知條件可得∠BAD=∠CAG,然后利用ASA即可證明△ABF≌△ACG;(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，再證明△AEF≌△AEG,即可解決問題?！窘獯稹?1)證明：∵∠BAC=∠FAG,AF=AG,BF=CG,7.(新市區(qū)校級期中)已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC,E為BD延長線上的一點，BE求證：(1)AD=AE=EC.(2)BA+BC=2BF.∴BCD+/DCE=DAE+∠BEA,∴△BCD和△BEA為等腰三角形，.AD=EC=AE;(2)證明：如圖，過點E作EG⊥BC交BC的延長線于點G,在Rt△BFE與Rt△BGE中，(EA=EC’∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+B【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.8.(余江區(qū)期末)如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點重合在點C處，AC=BC,DC=EC,連接AE、BD,點A恰好在線段BD上.(2)當(dāng)AD=AB=4cm,則AE的長度為Cm.(3)猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由.【分析】(1)根據(jù)SAS證明△CBD≌△CAE即可；【解答】解：(1)△CBD≌△CAE,理由如【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS得出△CBD與△CAE全等解答.9.已知，△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,點E是BC上一點，連接AE(2)如圖2,延長BC至D,使DC=BC,將線段AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段AF,連接DF,過點B作BG⊥BC,交FC的延長線于點G,求證：BG=BE.【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=45°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=EH=BH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=AC,于是得到結(jié)論；(2)先連接AD,依據(jù)AAS判定△ADF≌△ABE,得到DF=BE,再判定△BCG≌△DCF,得出DF=BG,進(jìn)而得到BG=BE.【解答】解：(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,B=45°,∵△EHB的周長為10m,(2)如圖所示，連接AD,AC」BD,DC=BC,BAE=DAF,圖2【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出結(jié)論.10.在△ABC中，∠ABC=45°,AM⊥MB,垂足為M,點C是BM延長線上一點，連接AC.F,且F為線段BC的中點，求證：∠BDF=∠CEF.②②【分析】(1)利用SAS即可證明△BMD≌△AMC.(2)延長EF到點G,使得FG=EF,證△BMD≌△AMC得AC=BD,再證△BFG≌△CFE可得BG=CE,∠G=∠E,從而得BD=BG=CE,即可得∠BDG=∠G=∠CEF.【解答】(1)證明：∵∠ABM=45°,AM⊥BM,在△BMD和△AMC中，(2)證明：延長EF到點G,使得FG=EF,連接BG.如圖所示：11.如圖1,在△ABC中，∠A=120°,∠C=20°,BD平分∠ABC,交AC于點D.(3)如圖3,若∠BAC的外角平分線AE交CB的延長線于點E,則(2)中的結(jié)論是否成立?若成立(2)如圖2,過點E作EF//BD交AC于點F,證明△ABE≌△AFE,可得BE=EF=FC,進(jìn)而可得AB+BE(3)如圖3,過點A作AF//BD交BE于點F,結(jié)合(1)和AE是∠BAC∴∠ABC=180°-120°-20°=40°,(2)證明：如圖2,過點E作EF//BD交AC于點F,(3)(2)中的結(jié)論不成立，正確的結(jié)論是BE-AB=AC.理由如下：【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì).12.(渝北區(qū)校級期末)已在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=CB,D為直線AB上一點，連接CD,過點C作CE⊥CD,且CE=CD,連接DE,交AC于點F.(1)如圖1,當(dāng)點D在線段AB上，且∠DCB=30°時，請?zhí)骄緿F,EF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明(2)如圖2,在(1)的條件下，在FC上任取一點G,連接DG,作射線GP使∠DGP=60°,交∠DFG的平分線于點Q,求證：FD+FG=FQ.【解答】在EF上找到G點使得FG=CF,如圖2,∴CG=CF=GF,FCG=60°,(2)證明：在FQ上找到H點，使得FH=FG,如圖3,.FG=FH,(2)若∠BAC=∠DAE=50°,請直接寫出∠BFC的度數(shù)。(3)過點A作AH⊥BD于點H,求證：EF+DH=HF.【分析】(1)可利用SAS證明結(jié)論；(2)由全等三角形的性質(zhì)可得∠AEC=∠ADB,結(jié)合平角的定義可得∠DAE+∠DFE=180°,根據(jù)∠BFC+∠DFE=180°,可求得∠BFC=∠DA(3)連接AF,過點A作AJLCF于點J.結(jié)合全等三角形的性質(zhì)利用HL證明Rt△AFJ≌Rt△AFH,Rt【解答】(1)證明：∵∠BAC=∠DAE.在△ACE和△ABD中，(2)解：∵△ACE≌△ABD,(3)證明：如圖，連接AF,過點A作AJLCF于點J.AJ=AH.在Rt△AFJ和Rt△AFH中，AF=AF,.∴Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL),在Rt△AJE和Rt△AHD中，AF=AD,∴EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.14.(沙坪壩區(qū)校級期中)如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點D,延長BD交AC于E,G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF,其中∠A=2∠BDF,GD=DE.(1)當(dāng)∠A=80°時，求∠EDC的度數(shù)；備用圖【分析】(1)方法一：先求∠ABC和∠ACB的和為100°,再根據(jù)角平分線求∠DBC+∠DCB=50°,再根據(jù)外角即可解決問題；方法二：在BC上取點M,使CM=CE,證明△CDE≌△CDM(SAS),可得DE=DM,∠DEC=∠DMC,∠EDC=∠MDC,證-∠AEB=∠A=80°,進(jìn)而可以解決問題.(2)結(jié)合(1)然后證明△DGF≌△DMF(SAS),可得GF=MF,進(jìn)而可以解決問題.【解答】(1)解：方法一：∵∠A=80°,方法二：如圖，在BC上取點M,使CM=CE,備用圖(2)證明：∵∠A=2∠BDF,【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意準(zhǔn)確作出輔助線得到△DGF≌△DMF.15.如圖，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的角平分線交BC于點D,過D作DE⊥BA于點E,點F在AC上，且BD=DF.(1)求證：AC=AE;(2)求證：∠BAC+∠FDB=180°(3)若AB=9.5,AF=1.5,求線段BE的長.【分析】(1)證△ACD≌△AED(AAS),即可得出結(jié)論；(2)設(shè)∠DAC=∠DAE=α,在AB上截取AM=AF,連接MD,證△FAD≌△MAD(SAS),得FD=MD,∠ADF=∠ADM,再證Rt△MDE≌Rt△BDE(HL),得∠DME=∠B,然后證∠FDB=90°+90°-2α=180°-2α,即可得出結(jié)論；(3)求出MB=AB-AM=8,由全等三角形的性質(zhì)得ME=BE,即可求解?！窘獯稹?1)證明：∵AD平分∠BAC,/C=∠DEA=90°,在Rt△MDE和Rt△BDE中，(DE=DEDME=B,即BM的長為4.【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線定義、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識；證明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解題的關(guān)鍵.16.在△ABC中，AB=AC,D是直線BC上一點，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,連接DE,CE.(1)如圖，當(dāng)點D在BC延長線上移動時，求證：BD=CE.①當(dāng)點D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由.備用圖1備用圖2【分析】(1)根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE,可得結(jié)論；ii)當(dāng)點D在線段BC反向延長線上時，如圖3,α=β.如圖3,同理可證明：△ABD≌△ACE(SAS),ii)當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖1,α=β.綜上，當(dāng)點D在BC上移動時，α=β或α+β=180°.【點評】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識，解題的(1)若AB=AC,∠BAC=90°.(2)如圖③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,∠BCA=45°,點D在線段BC上運動，試探究CF與BD上BD.∵∠BAC=90°,△ADF是等腰直角三角形，AB=AC,即∠CAF=∠BAD,(3)如圖③,過點A作AE⊥AC交BC于E,(1)△ABC≌△ADE嗎?為什么?(3)延長BF到G,使得FG=FB,試說明CD=2BF+DE.45°,即可求解；(3)由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ADE,BC=DE,由線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AG=AD,∠ABG=∠AGB=∠ADC,由“AAS”可證△ACD≌△ACG,可得CD=CG,可得結(jié)論.【解答】證明：(1)△ABC≌△ADE,理由如下：【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，證明△ACD≌△ACG是解題的關(guān)鍵。19.Rt△ABC中，∠C=90°,點D在直線AC上，點E在直線AB上，∠ADE=∠ABC.(1)如圖1,當(dāng)點D、E分別在邊AC、AB上時，求證：DE⊥AB;角平分線AG交DF于點G,求證：∠D+2∠DGA=90°;(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BG交CD于點H,若DGA的度數(shù).圖1圖2圖3【分析】(1)根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到∠ABC+∠A=90°,等量代換得出∠ADE+∠A=90°,進(jìn)而得出∠AED=90°,根據(jù)垂直的定義即可得解；(2)過點G作GN//FB交CD于點N,根據(jù)平行線的性質(zhì)及垂直的定義推出∠AEG=∠ANG=90°,根據(jù)角平分線定義得出∠EAG=∠NAG,利用AAS證明△EAG≌△NAG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可得解；(3)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及對頂角相等得出9根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠o,則,進(jìn)而推出,貝o結(jié)合(2)求解即可.【解答】(1)證明：∵∠C=90°,(2)證明：如圖2,過點G作GN//FB交CD于點N,/DGN=2/DGA,(3)解：∵∠AGB=3∠CBH,由(2)知，∠D+2∠DGA=90°,20.(新市區(qū)期末)在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,D是直線AB上一點(點D不與點A、B重合),連接DC并延長到E,使得CE=CD,過點E作EF⊥直線BC,交直線BC于點F.(1)如圖1,當(dāng)點D為線段AB圖2圖2【分析】(1)過D作DH⊥CB于H,由“AAS”可證△FEC≌△HDC,可得CH=FC,DH=EF,可得(2)過D作DH⊥CB于H,由“AAS”可證△FEC≌△HDC,可得CH=FC,DH=EF,可得結(jié)論.可得結(jié)論.【解答】解：(1)結(jié)論：AC=EF+FC.理由如下：過D作DH⊥CB于H,EFLCF,.BC=CB+HB,(2)依題意補全圖形，結(jié)論：AC=EF-CF,過D作DH⊥CB交BC的延長線于H,.BC=HB-CH如圖3,過D作DH⊥CB交CB的延長線于H,同理可證△FEC≌△HDC(AAS),..AC=CF-EF.【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.21.如圖1,在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為;(2)如果AB≠AC,∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC(點C、F不重合),并說明理由.所以CF=BD,∠ACF=∠ABD.結(jié)合∠BAC=90°,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90∠AGC,所以AC=AG,由(1)①可知CF⊥BD.又∵AB=AC,.∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD.由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度.BAC=90°,又∵AB=AC,AC=AG,∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即CF⊥BC.22.(1)如圖1,∠B=∠D=90°,E是BD的中點，AE平分∠BAC,求證：CE平分∠ACD.圖2圖3(2)如圖2,過E作EF⊥AC于F,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BD⊥CD,由角平分線的性質(zhì)得到BE=(3)成立，如圖3,在AC上截取AF=AB,根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE=∠FAE,推出△ABE≌△【解答】解：(1)如圖1,過E作EF⊥AC于F,(2)如圖2,過E作EF⊥AC于F,.AM//CN,BDLAM,..BDLCD,在Rt△AEF與Rt△ABE中，.AC=AF+CF,(3)成立，如圖3,在AC上截取AF=AB,在△ABE與△AFE中，AC=AF+CF,..AC=AB+CD.圖1圖2圖3(1)求證：AF+EF=DE;(2)若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α,且0°<a<60°,其它條件不變，請在圖②圖1∴(1)中的結(jié)論AF+EF=DE仍然成立；(3)不成立.結(jié)論：AF=DE+EF.證明：連接BF,在Rt△BCF和Rt△BEF中，.AF=AC+FC=DE+EF.圖2圖124.(沙坪壩區(qū)校級期中)如圖，在△ABC和△DCE中，∠ACB=90°,CA=CB,∠DCE=90°,CD=CE.(1)如圖1,當(dāng)點D在BC上時，CB=10,AE=4,則S(2)如圖2,當(dāng)B、C、E三點共線時，D在AC上，連接BD、AE,F是AD的中點，過點A作AG//(2)如圖2中，延長BD交AE于T.證明△BCD≌△ACE(SAS),推出BD=AE,∠CBD=∠CAE,推出BD⊥AE,證明△AFG≌△DFB(AAS),推出AG=BD,可得結(jié)論.圖1故答案為：32.(2)證明：如圖2中，延長BD交AE于T.圖2AF=FD,AFG=∠DFB,.AG⊥AE.(3)由題意，第一次平行時，10t=75°-20t,解得第一次垂直時，10t+20t-75°=90°,解得第二次平行時，20t-75°+10t=180°.解得第三次平行時，105°-(20t-180°)+10t=180°,解得綜上所述，滿足條件的t的值為【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.(2)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎?若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.∵BM⊥直線a于點M,CN⊥直線a于點N,∠MBP=∠ECP,又∵P為BC邊中點，在△BPM和△CPE中，..PM=PE.9∴在Rt△MNE中，(2)成立，如圖3.延長MP與NC的延長線相交于點E,∵BM⊥直線a于點M,CN⊥.BM//CN..∠MBP=∠ECP,又∵P為BC中點，直線a于點N,在△BPM和△CPE中，【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BPM≌△CPE是解題的關(guān)鍵.26.已知∠BAM+∠MDC=180°,AB=AM,DC=DM,連接BC,N為BC的中點.≌△HCN,可得AB=CH,AN=HN,由等腰三角形的性質(zhì)可求解。(2)延長DN至I使，NI=DN,連接AI,AD,由“SAS”可證△DNC≌△INB,可得DC=IB=MD,∠由等腰三角形的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可求解.【解答】解：(1)∵在△ABC中，AB=AC,故答案為：ACB;(2)如圖1,連接AN,并延長交DC的延長線于H,AM+MD=CH+DC,27.(將樂縣校級期中)如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE,其中AB=AC,AD=AE.(1)如圖1,若∠BAC=90°,當(dāng)C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點F,則∠ACE — (2)如圖2,連接CD、BE,延長ED交BC于點F,若點F是BC的中點，∠BAC=∠DAE,證明：ADLCD;(3)如圖3,延長DC到點M,連接BM,使得∠ABM+∠ACM=180°,延長ED、BM交于點N,連接AN,若∠BAC=2∠NAD,請寫出∠ADM、∠DAE之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.=BE,∠ADC=∠AEB,證明△DFC≌△QFB(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出DC=QB,∠CDF=∠AED=/ADE,AF⊥BC,(2)證明：延長DF至Q,使FQ=DF,連接BQ,∵F為BC的中點，AE=AD,(3)解：∠DAE+2∠ADM=180°證明：在BN上截取BH=CD,連接AH,∠ABM+∠ACM=180°,∠ACM+∠ACD=180°,又∵AB=AC,.∠BAH=∠CAD,AD=AH,AHB=∠ADC,HAD,∴∠BAC=∠BAH+∠HAC=∠CAD+∠HAD,∠AHN+∠AHB=180°,∠ADE+∠ADN=180°,.AHB=ADE,AD=AE,【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。28.在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(3,3),AB=BC,AB⊥BC,點B(1)如圖1,AC交x軸于點D,若∠DBC=10°,則∠ADB=;(3)如圖2,若點B在x軸負(fù)半軸上，AE⊥x軸于點E,AF⊥y軸于點F,∠BFM=45°,MF交直線【分析】(1)利用三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和判定；(2)過A作AD⊥x軸，CE⊥x軸，垂足分別為D、E,在△ADB與△BEC中，利用角角邊相等來判定(3)在AM上截取AN=OB,連接FN,在△BOF與△NAF中，利用邊角邊關(guān)系判定△BOF≌△NAF,【解答】解：(1)∠ADB=55°;軸，垂足分別為D、E,.AB⊥BC,.A(3,3),C(1,-1),∴OB=OD+BD=OD+CE=3+1=4,(3)解：如圖2,在AM上截取AN=OB,連接F