2021-2022學(xué)年江蘇省常州市橫山橋某中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年江蘇省常州市橫山橋高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)

理期末試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共5（）分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.已知復(fù)數(shù)（l+'）z=l，i為虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

參考答案：

A

略

+五

2.函數(shù)X-1的定義域為（)

A.[0,+s）B.（L+00）c[O」)U(L+8)D.[0，D

參考答案：

c

試題分析：■:;‘。"。"》之。且xw】，所以此函數(shù)定義域為[O.DUa+8）,故c正確.

考點?函數(shù)的定義域.

3.若復(fù)數(shù)（^-3a+2）+（a-1），是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）

A.1B.2C.1或2D.-\

參考答案：

B

由〃一31+2=0且a-1。0得a=2,選B；

4.已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間【口，+0上滿足廣（*）》口，則滿足“其？-2x）<“x）的x的取值范圍

是

A.（-3.1）B.（一6-3）。（3,+0c（-3.3）D.（13）

參考答案：

D

5.設(shè)M是圓0：乂%2=9上動點，直線1過M且與圓0相切，若過A(-2,0),B(2,0)

兩點的拋物線以直線1為準(zhǔn)線，則拋物線焦點F的軌跡方程是()

Z￡z￡

A.9-5=1(y￥0)B.5-9=1(yWO)

xi￡z￡

C.9+5=1(yWO)D.5+9=1(yNO)

參考答案：

C

【考點】圓與圓錐曲線的綜合.

【分析】焦點到A和B的距離之和等于A和B分別到準(zhǔn)線的距離和，而距離之和為A和B

的中點0到準(zhǔn)線的距離的二倍是定值，結(jié)合橢圓的定義得焦點的軌跡方程C是以A和B為

焦點的橢圓.

【解答】解：設(shè)A,B兩點到直線1的距離分別為dz,

則di+d2=2d=6

又因為A,B兩點在拋物線上，

由定義可知|AF|+|BF|=6>|AB],所以由橢圓定義可知，動點F的軌跡是以A,B為焦點，

長軸為6的橢圓(除與x軸交點).

方程為9+5=1(yWO),

故選C.

【點評】本小題主要考查橢圓的定義、圓錐曲線的軌跡問題等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思

想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.

AD?BE=--

6.在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)及7=230，C4=ZB,若—4則人的

值為()

A.2C.3D.3

參考答案:

D

考點：平面向量數(shù)量積的運算.

專題：平面向量及應(yīng)用.

分析：由近=2而確定點D是BC的中點，根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘運算，用至、菽表

示出標(biāo)和,麗，由條件和數(shù)量積的運算化簡標(biāo)?標(biāo)=-4即可求出X的值.

解答：解：由題意畫出圖象如右圖：

VBC=2BD,

―?—(TR+AC)

??.D為BC的中點，則AI>2,

VCA=xCE,

-?-?-?-?-*—?（/1-1\J.—?

則BE=AE-AB=CE-CA-AB=X7Ab-AB,

一一工

,:AD*BE=-4,

.-.2（疝+正）?[（1-T）AB]=-{

（1AB-AC竊2（l-?。〢CTr

人-AD+A-AC*AB=2

,1、*■/1x.21

（X）研?AC_屈2.（1-工）AC12

（_.）xixixl-i+（1-1）=-{

解得入=3,

故選：D.

點評：本題考查向量的數(shù)量積的運算，以及向量加法、減法、數(shù)乘運算及其幾何意義，屬

于中檔題.

7.在各項不為零的等差數(shù)列｛〃,,｝中，20al7-?『+2^=°,數(shù)列｛仇｝是等比數(shù)列，且

則1°62（砥17-砥19）的值為（）

A.1B.2C.4D.8

參考答案：

C

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知代入方程可求出均?，再根據(jù)等比數(shù)列的

性質(zhì)/口-AmFof即可代入1嗚（砥口-砥19）求解.

【詳解】因為等差數(shù)列｛q｝中-口+?9=物018,所以

2°?17--J+%?=4aMU-aMU2=0,

因為各項不為零，所以%?=4,

因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以/口曰6

所以砥(**??)=|°8216=4,故選c.

【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列中，當(dāng)"》+”=「+[時，,+%=，+%,等比數(shù)列

中，當(dāng)稹+”=,+0時，，-，=%-%,屬于中檔題.

2T

Z---------分

8.已知復(fù)數(shù)1+1,則“在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

參考答案：

A

略

x

x-1

9.設(shè)f(x)=e,g(x)=ax+3-3a(a>0),若對于任意xy[O,2],總存在

xoe[O,2],使得g(xo)=f(xD成立，則a的取值范圍是()

A.[2,+8)B.[1,2]C.[0,2]D.[1,+~)

參考答案：

B

【考點】函數(shù)的值.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

X

x-1

【分析】求解當(dāng)X[E[0,2],f(x)=e的值域，xo￡[O,2],g(x)=ax+3-3a(a>

0)值域，根據(jù)題意可知f(x)的值域是g(x)的值域的子集.可得a的取值范圍.

【解答】解：當(dāng)心￡[0,2],

x

x-1

函數(shù)f(x)=e,

1-X

x—1

則f'(x)=e,

令f'(x)=0,解得：x=l,

當(dāng)x在(0,1)時，f'(x)>0,二函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x在(1,2)時，f'(x)<0,.?.函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞減；

所以：當(dāng)x=l時，f(x)取得最大值為1.

當(dāng)x=0時，f(x)取得最小值為0.

故得函數(shù)f(x)的值域MG[0,1].

當(dāng)XoG[0,2],

Va>0

函數(shù)g(x)=ax+3-3a在其定義域內(nèi)是增函數(shù)

當(dāng)x=0時，函數(shù)g(x)取得取得最小值為：3-3a.

當(dāng)x=2時，函數(shù)g(x)取得取得最大值為：3-a.

故得函數(shù)f(x)的值域NW[3-3a,3-a].

VM?N,

(3~3a40

解得：lWaW2.

故選B.

【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的運用求函數(shù)的值域問題，恒成立問題轉(zhuǎn)化為不等式問

題.屬于中檔題.

10.已知命題p：?xoeR,sinx()>l,則()

A.?p：?xo^R,sinxo<lB.?p：?x￡R,sinx>l

C.?p：?x()￡R,sinx()>1D.?p：?x￡R,sinx<l

參考答案：

D

【考點】命題的否定.

【分析】本題中所給的命題是一個特稱命題，其否定是一個全稱命題，按規(guī)則寫出其否定

即可.

【解答】解：?命題p”?xo6R,sinxo>l"是一個特稱命題

它的否定是:"?xGR,sinx<l"

故選D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

3+2i_

11.2^=_______________

參考答案：

i

12.函數(shù)〃力=2lsin吊+3的最小正周期是

參考答案：

打

13.在銳角^ABC中，已知AB=2J5,BC=3,其面積SAABC=M,則aABC的外接圓面積

為-.

參考答案：

27K

8

【考點】正弦定理.

【分析】由題意和三角形的面積公式求出sinB,由銳角三角形的條件和平方關(guān)系求出

cosB,由余弦定理求出AC,由正弦定理求出aABC的外接圓的半徑，代入圓的面積公式求

出答案.

【解答】解：?.?AB=2心BC=3,其面積二班，

貝》X2g3XsinB=3”得出空

「△ABC是銳角三角形，

I~—2/3

AcosB=V1-sin2B=3,

由余弦定理得，AC2=AB2+BC--2AB?BC?cosB

=12+9-、33=9,則AC=3,

AC3_

sinB3>/63^6

/.~=^2~,則^ABC的外接圓半徑是一F,

1rx空1

...△ABC的外接圓面積S=4=8,

27幾

故答案為：~8~.

【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，以及三角形的面積公式，考查化

簡、變形能力.

14.直線L：(3+a)x+4y=5-3a和直線1”2x+(5+a)y=8平行，則a=.

參考答案：

-7

【考點】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系.

【專題】直線與圓.

【分析】根據(jù)兩直線平行的條件可知，(3+a)(5+a)-4X2=0,且5-3aW8.進(jìn)而可求

出a的值.

【解答】解：直線L：(3+a)x+4y=5-3a和直線k：2x+(5+a)y=8平行，

則(3+a)(5+a)-4X2=0,

即a2+8a+7=0.

解得，a=-1或a=-7.

又；5-3aW8,

.'.a#-1.

a=-7.

故答案為：-7.

【點評】本題考查兩直線平行的條件，其中5-3a關(guān)8是本題的易錯點.屬于基礎(chǔ)題.

6(5“一萬”的展開式中天的系數(shù)是.(用數(shù)值作答)

參考答案:

525

32

77-rr

(5x-\)Tr+l=C^5x)(-y)=5^?尚?G-xR

二項式彳展開式的通項為2^2J'，令r5得

52525525

F'。故展開式中x2>‘的系數(shù)為f。

16.已知正方形ABC。，AB=2,若將沿正方形的對角線5。所在的直線進(jìn)行翻折，

則在翻折的過程中，四面體工-BCD的體積的最大值是一.

參考答案：

20

亍

略

17.拋物線丁=T/的準(zhǔn)線方程為.

參考答案：

1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題滿分12分）

某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家4AA3和3個歐洲國家BiBB中選擇2個國家去旅

游。

（I）若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；

（II）若從亞洲國家和歐洲國家中個任選1個，求這2個國家包括人但不包括田的概

率。

參考答案：

解：（I）由題意知，從6個國家里任選兩個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：

（44）,（44），（44），（4鳴），耳）,（4，⑷，

（4,叫）乂44），（4,4），（4%），（4罵共15個，

所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：

31

(44)乂44)，(4,4)，共3個,則所求事件的概率為：「⑷一15一

(H)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：

(4,叫M4耳),(4,鳴),(44)乂44)，(4,4)哄9個

包括4但不包括號的事件所包含的基本事件有：(4㈤乂4㈤，共2個.

p=2

則所求事件的概率為：9.

19.(12分)甲、乙二人各有6張撲克牌，每人都是3張紅心，2張草花，1張方片。

每次兩人從自己的6張牌中任意抽取一張進(jìn)行比較，規(guī)定：兩人花色相同時甲勝,

花色不同時乙勝。

(I)此規(guī)定是否公平?為什么？

(II)若又規(guī)定：當(dāng)甲取紅心、草花、方片而獲勝所得的分?jǐn)?shù)分別為3、2、

1，否則得0分，求甲得分的期望.

參考答案：

解析：(I)設(shè)甲取紅心、草花、方片的事件分別為A、B、C,乙取紅心、

草花、方片的事件分劃、,則事件A、4、B、*、C、U相互獨

立，而事件44,BB',CC兩兩互斥，

尸⑷=尸⑷二尸(8)=尸?')=?產(chǎn)(C)=P(C,)=!

由題知2,3,6,

則甲取勝的概率：尸(44+B㈤+CC)=R4M+尸(以的+尸(CC)

1117

=尸(勾尸(4)+尸(B)尸(3)+尸(C)尸(C)=-+-+—=-

，乙取勝的概率為：1818..........................................................................6分

?.?甲取勝的概率#乙取勝的概率，

.?.此規(guī)定不公平...........................................................8

分

(II)設(shè)甲得分?jǐn)?shù)為隨機變量九則4取值為0,1,2,3.則外勺分布列為

40123

P111J

183694

￡(^)=0x—+lx—+2xl+3xl=l

二甲得分的期望183694..............................12分

32

-A4-ax(x<1)9

"')=<%=0,x=-

20.已知函數(shù)心3在3處存在極值.

(1)求實數(shù)4法的值；

(2)函數(shù)丁=/W的圖像上存在兩點使得小4OB是以坐標(biāo)原點。為直角頂點的直

角三角形，且斜邊上3的中點在沙軸上，求實數(shù)c的取值范圍；

(3)當(dāng)。=2[]寸，討論關(guān)于x的方程/0)=以(比6及)的實根的個數(shù).

參考答案：

解(1)當(dāng)x<l時，fXx)=-3x2+2ax+b

力0)=0，

因為函數(shù)在3處存在極值，所以I3解得”=1/=0

一/4-X2,(X<1),

(2)由⑴得[c(e*-

根據(jù)條件知A,B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)/(T,/+d),B(Zj&)),(Z>0).

若￡<1,則％)=-5+￡、

由乙406是直角得，0405=0,即-￡2+(/+/)(一/+1)=0,即+1=0此時

無解；

若￡三1,則/(￡)=c(e'"-D.由于AB的中點在V軸上，且/工08是直角，所以B點不

可能在x軸上，即1.由刀礪=0,即一￡?+(/+d)c(e'T—I)、。，即

1

c=?+D(eJ)

因為函數(shù)丁="+1電"、I)在￡>1上的值域是3+8),所以實數(shù)c的取值范圍是(°，田).

1)

(3)由方程,5)二日，知l「-e,(xND,可知o一定是方程的根,

-X2+X,(x<1且XHO),

ke*—e

——,(x>l).

所以僅就xwO時進(jìn)行研究：方程等價于x

-x2+X,(x0),

g(x)=<

構(gòu)造函數(shù)X

對于X<1且XW0部分，函數(shù)g(x)=-―+X的圖像是開口向下的拋物線的一部分,

^=——(-co,0)U(0?-]

當(dāng)2時取得最大值4,其值域是4；

8'—8t。"(工-1)+C

對于X，]部分，函數(shù)gX-X，由gX?>,知函數(shù)g(X)在(L+8)

上單調(diào)遞增.

人」

所以，①當(dāng)W或上工0時，方程/(x)=H有兩個實根；

②當(dāng)牙時，方程'")=依有三個實根；

③當(dāng)°<*<K時，方程,(x)=H有四個實根.

略

21.某校從參加某次知識競賽的同學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績（百分制）（均為整數(shù)）

分成6組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題.

（I）求分?jǐn)?shù)在［70,80）內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（II）從頻率分布直方圖中，估計本次考試的平均分；

（III）若從60名學(xué)生中隨機抽取2人，抽到的學(xué)生成績在［40,70）記0分，在［70,100］

記1分，用X表示抽取結(jié)束后的總記分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案：

考點：離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其分布列.

專題：計算題；圖表型.

分析：（I）由題意及頻率分布直方圖，設(shè)分?jǐn)?shù)在［70,80）內(nèi)的頻率為x,建立方程解出

即可；

（II）有圖及平均數(shù)的定義即可求估計本次考試的平均分；

（III）由題意若從60名學(xué)生中隨機抽取2人，抽到的學(xué)生成績在［40,70）記0分，在

［70,100］記1分，用X表示抽取結(jié)束后的總記分，得到X的分布列，在有期望的定義即

可求得.

解答：解：（I）設(shè)分?jǐn)?shù)在［70,80）內(nèi)的頻率為x,根據(jù)頻率分布直方圖，則有

(0.01+0.015X2+0.025+0.005)X10+x=l,可得x=0.3,

所以頻率分布直方圖如圖所示.