第14講專題探究3整式中的規(guī)律探索

第14講專題探究3整式中的規(guī)律探索（解析版）類型一遞推型規(guī)律探索1．（2023?祥云縣模擬）探索規(guī)律：觀察下面的一列單項式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個單項式是（）A．256x9 B．﹣256x9 C．﹣512x8 D．512x9【思路引領(lǐng)】根據(jù)符號的規(guī)律：n為奇數(shù)時，單項式為正號，n為偶數(shù)時，符號為負號；系數(shù)的絕對值的規(guī)律：第n個對應(yīng)的系數(shù)的絕對值是2n﹣1．指數(shù)的規(guī)律：第n個對應(yīng)的指數(shù)是n解答即可．【解答】解：根據(jù)題意得：第9個單項式是28x9＝256x9．故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了單項式的知識，確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時，把一個單項式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準單項式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵．分別找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關(guān)鍵．2．（2022秋?涪陵區(qū)期末）某校數(shù)學興趣小組設(shè)置了一個數(shù)字游戲：第一步：取一個自然數(shù)a1＝4，計算（a1+1）（a1﹣1）得到m1；第二步：算出m1的各位數(shù)字之和得到a2，計算（a2+1）（a2﹣1）得到m2；第三步：算出m2的各位數(shù)字之和得到a3，再計算（a3+1）（a3﹣1）得到m3；…；依此類推，則m2023的值是（）A．63 B．80 C．99 D．120【思路引領(lǐng)】先求出m1，m2，m3，m4，m5的值，找到數(shù)字的變化規(guī)律，再計算求值．【解答】解：∵m1＝15，m2＝35，m3＝63，m4＝80，m5＝63，……，∴m2023＝63，故選：A．【總結(jié)提升】本意考查了數(shù)字的變化類，掌握變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2023?沙坪壩區(qū)校級開學）有依次排列的3個整式：a，a﹣2，﹣2，將任意相鄰的兩個整式相加，所得之和寫在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生一個整式串：a，2a﹣2，a﹣2，a﹣4，﹣2，這稱為第1次“取和操作”；將第1次“取和操作”后的整式串按上述方式再做一次“取和操作”，可以得到第2次“取和操作”后的整式串；以此類推．下列說法：①當a＝3時，第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的積為正數(shù)；②第2次“取和操作”后，整式串中所有整式之和為14a﹣28；③第4次“取和操作”后，整式串中倒數(shù)第二個整式為a﹣8；其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路引領(lǐng)】利用“取和操作”的方法進行操作，對每個說法進行逐一判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：①當a＝3時，第1次“取和操作”后，整式串為：3，4，1，﹣1，﹣2，∵3×4×1×（﹣1）×（﹣2）＝24＞0，∴當a＝3時，第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的積為正數(shù)，∴①的說法正確；②∵第2次“取和操作”后，所得的整式串為：a，3a﹣2，2a﹣2，3a﹣4，a﹣2，2a﹣6，a﹣4，a﹣6，﹣2，∴整式串中所有整式之和為14a﹣28，∴②的說法正確；③由“取和操作”的規(guī)則可知：第1次“取和操作”后，整式串中倒數(shù)第二個整式為a﹣4，第2次“取和操作”后，整式串中倒數(shù)第二個整式為a﹣6，第3次“取和操作”后，整式串中倒數(shù)第二個整式為a﹣8，第4次“取和操作”后，整式串中倒數(shù)第二個整式為a﹣10，∴③的說法不正確．故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查了整式的加減，正數(shù)與負數(shù)，有理數(shù)的乘法，本題是新定義型，理解新定義并熟練運用是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?市中區(qū)期末）有依次排列的3個整式：x，x+7，x﹣2，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生一個新整式串：x，7，x+7，﹣9，x﹣2，則稱它為整式串1；將整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此類推通過實際操作，得出以下結(jié)論：①整式串2為：x，7﹣x，7，x，x+7，﹣x﹣16，﹣9，x+7，x﹣2；②整式串3的和為3x﹣1；③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；④整式串2022的所有整式的和為3x﹣4037；上述四個結(jié)論正確的有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【思路引領(lǐng)】根據(jù)整式的加減運算法則和整式的乘法運算法則進行計算，從而作出判斷．【解答】解：∵第一次操作后的整式串為：x，7，x+7，﹣9，x﹣2，共5個整式，第一次操作后的整式串的和為：x+7+x+7+（﹣9）+x﹣2＝3x+3，∴第二次操作后的整式串為x，7﹣x，7，x，x+7，﹣16﹣x，﹣9，x+7，x﹣2，共9個整式，故①的結(jié)論正確，符合題意；第二次操作后所有整式的和為：x+7﹣x+7+x+x+7+（﹣16﹣x）+（﹣9）+x+7+x﹣2＝3x+1＝3x+3﹣2＝3x+3﹣2×1＝3x+1，第三次操作后整式串的和為：x+7﹣2x+7﹣x+x+7+x﹣7+x+7+x+7+（﹣23﹣2x）+（﹣16﹣x）+7+x+（﹣9）+x+16+x+7+（﹣9）+x﹣2＝3x﹣1＝3x+3﹣2﹣2＝3x+3﹣2×2＝3x﹣1，故②的結(jié)論正確，符合題意；故第三次操作后的整式串的和與第二次操作后的整式和的差為：3x﹣1﹣（3x+1）＝﹣2，即整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③結(jié)論正確，符合題意；第n次操作后所有整式的和為3x+3﹣2（n﹣1）＝3x﹣2n+5，∴第2022次操作后，所有的整式的和為3x﹣2×2022+5＝3x﹣4039，故④的說法錯誤，不合題意；正確的說法有①②③，共3個．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查整式的加減，數(shù)字的規(guī)律型，從所給的式子分析出所存在的規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）有依次排列的3個整式：a，a﹣2，﹣2，將任意相鄰的兩個整式相加，所得之和寫在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生一個整式串：a，2a﹣2，a﹣2，a﹣4，﹣2，這稱為第1次“取和操作”；將第1次“取和操作”后的整式串按上述方式再做一次“取和操作”，可以得到第2次“取和操作”后的整式串；以此類推．下列說法：①當2＜a＜4時，第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的積為負數(shù)；②第3次“取和操作”后，整式串中倒數(shù)第二個整式為a﹣8；③第4次“取和操作”后，整式串中所有整式之和為120a﹣240；其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路引領(lǐng)】根據(jù)整式的加減運算法則和整式的乘法運算法則進行計算，從而作出判斷．【解答】解：①第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的積為：a（2a﹣2）（a﹣2）（a﹣4）×（﹣2），∵2＜a＜4，∴2a﹣2＞0，a﹣2＞0，a﹣4＜0，∴a（2a﹣2）（a﹣2）（a﹣4）×（﹣2）＞0，故①說法錯誤；②第2次“取和操作”后，產(chǎn)生的整式串是：a，3a﹣2，2a﹣2，3a﹣4，a﹣2，2a﹣6，a﹣4，a﹣6，﹣2，第3次“取和操作”后，產(chǎn)生的整式串是：a，4a﹣2，3a﹣2，5a﹣4，2a﹣2，5a﹣6，3a﹣4，4a﹣6，a﹣2，3a﹣8，2a﹣6，3a﹣10，a﹣4，2a﹣10，a﹣6，a﹣8，﹣2，則倒數(shù)第二個整式為a﹣8，故②說法正確；③第4次“取和操作”后，產(chǎn)生的整式串是：a，5a﹣2，4a﹣2，7a﹣4，3a﹣2，8a﹣6，5a﹣4，7a﹣6，2a﹣2，7a﹣8，5a﹣6，8a﹣10，3a﹣4，7a﹣10，4a﹣6，5a﹣8，a﹣2，4a﹣10，3a﹣8，5a﹣14，2a﹣6，5a﹣16，3a﹣10，4a﹣14，a﹣4，3a﹣14，2a﹣10，3a﹣16，a﹣6，2a﹣14，a﹣8，a﹣10，﹣2，則所有整式的和為：a+5a﹣2+4a﹣2+7a﹣4+3a﹣2+8a﹣6+5a﹣4+7a﹣6+2a﹣2+7a﹣8+5a﹣6+8a﹣10+3a﹣4+7a﹣10+4a﹣6+5a﹣8+a﹣2+4a﹣10+3a﹣8+5a﹣14+2a﹣6+5a﹣16+3a﹣10+4a﹣14+a﹣4+3a﹣14+2a﹣10+3a﹣16+a﹣6+2a﹣14+a﹣8+a﹣10+（﹣2）＝122a﹣244，故③說法錯誤．綜上所述，正確的有1個．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查整式的加減，從所給的式子分析出所存在的規(guī)律是解題關(guān)鍵．6．（2023?西藏一模）下列表格中的四個數(shù)都是按照規(guī)律填寫的，則表中x的值是（）A．135 B．170 C．209 D．252【思路引領(lǐng)】根據(jù)表格找出方格中每個對應(yīng)數(shù)字的表示規(guī)律然后求解．【解答】解：根據(jù)表格可得規(guī)律：第n個表格中，左上數(shù)字為n，左下數(shù)字為n+1，右上數(shù)字為2（n+1），右下數(shù)字為2（n+1）（n+1）+n，∴20＝2（n+1），解得n＝9，∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是通過表格找出每個位置的數(shù)字表示方法．7．當x≠﹣1時，我們把?1x+1稱為x的“和1負倒數(shù)”．如：1的“和1負倒數(shù)”為?11+1=?12；﹣3的“和1負倒數(shù)”為?1?3+1=12．若x1=?34，x2是x1的“和1負倒數(shù)”，x3是x2的“和1負倒數(shù)”，…，依次類推，則x4＝?34【思路引領(lǐng)】通過計算發(fā)現(xiàn)每3次運算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，且x1?x2?x3＝1，又由2001÷3＝667，則x1?x2?x3?…?x2001＝1．【解答】解：x1=?3x2=?1x3=?1x4=?1…∴每3次運算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，且x1?x2?x3＝1，∵2001÷3＝667，∴x1?x2?x3?…?x2001＝1，故答案為：?3【總結(jié)提升】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過計算，找到結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?橋西區(qū)期中）現(xiàn)有一列整數(shù)，第一個數(shù)為1，第二個數(shù)為x（x正整數(shù)）．以后每一個數(shù)都由它前一個數(shù)與再前一個數(shù)差的絕對值得到．如第三個數(shù)是由x與1差的絕對值得到，即為|x﹣1|，第四個數(shù)是|x﹣1|與x差的絕對值得到，即為||x﹣1|﹣x|，…依此類推．①x＝2，則這列數(shù)的前5個數(shù)的和為5；②要使這列數(shù)的前40個數(shù)中恰好有10個0，則x＝6或7．【思路引領(lǐng)】①根據(jù)題意進行計算，列出前5個數(shù)，再相加計算即可；②先將x分為0、正整數(shù)、負整數(shù)三類情況判斷出x＝0時不符合題意，然后另外兩種情況中再分x為偶數(shù)和奇數(shù)時進行討論，找到規(guī)律即可求x的值．【解答】解：①∵x＝2，∴這列數(shù)前5個數(shù)是1，2，1，1，0．∴這列數(shù)的前5個數(shù)的和為5．故答案為：5；②1，當x＝0時，這列數(shù)為：1，0，1，1，0，1，1，0，1…每3個數(shù)一循環(huán)，且每3個數(shù)有1個0，前40個數(shù)有13個0，不符合題意；2，當x為正整數(shù)時：x為偶數(shù)：這列數(shù)為：1，x，x﹣1，1，x﹣2，x﹣3，…，1，2，1，1，0，1，1，0，1，…，觀察可得出，每3個為一組，每組第1個數(shù)均為1，第2個，第3個數(shù)從x開始依次﹣1，直至減到1，然后開始1，0，1循環(huán)，∵前40個數(shù)中恰好有10個0，∴40÷3＝13…1，則前3組不含0，即前3組的第2個、第3個數(shù)從x開始減到1，從第4組開始后30組均為1，0，1，∴2×3＝6，則x＝6；x為奇數(shù)時：這列數(shù)為：1，x，x﹣1，1，x﹣2，x﹣3，…，1，3，2，1，1，0，1，1，0，…，觀察可得出，每3個為一組，每組第1個數(shù)均為1，第2個，第3個數(shù)從x開始依次﹣1，直至減到2，然后開始1，1，0循環(huán)，∵前40個數(shù)中恰好有10個0，∴4÷3＝13…1，則前3組不含0，即前3組的第2個、第3個數(shù)從x開始減到2，從第4組開始后30組均為1，1，0，∴2×3＝6，則x＝6+1＝7；綜上所述：x的值為6、7．故答案為：6或7．【總結(jié)提升】本題考查了規(guī)律型﹣數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想尋找規(guī)律．9．（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）古希臘數(shù)學家把數(shù)1，3，6，10，15，21，28，……叫做三角形數(shù)，這列數(shù)具有一定的規(guī)律，若把第一個數(shù)記作a1，第二個數(shù)記作a2……，第n個數(shù)記作an；（1）a8＝36；a2﹣a1＝2；a3﹣a2＝3；a4﹣a3＝4．（2）an﹣an﹣1＝n（n≥2）；（3）a2022﹣a2020＝4043．（4）求a2022的值，請直接寫出答案．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以將表格中的數(shù)據(jù)補充完整；（2）根據(jù)題目中的數(shù)字，可以計算出所求項的差的值；（3）根據(jù)（2）進行求解即可；（4）根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)相鄰兩項差的變化特點，從而可以求得所求項的值．【解答】解：（1）∵一列數(shù)a1，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，…，記為1，3，6，10，15，21，28，…，∴a8＝28+8＝36，a2﹣a1＝3﹣1＝2，a3﹣a2＝6﹣3＝3，a4﹣a3＝10﹣6＝4，故答案為：36，2，3，4；（2）由（1）知，a2﹣a1＝3﹣1＝2，a3﹣a2＝6﹣3＝3，a4﹣a3＝10﹣6＝4，…，∴an﹣an﹣1＝n，故答案為：n；（3）∴a2022﹣a2020＝a2022﹣a2021+a2021﹣a2020＝（a2022﹣a2021）+（a2021﹣a2020）＝2022+2021＝4043，故答案為：4043；（4）（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）＝a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3+…+an﹣an﹣1＝an﹣a1，∵an﹣an﹣1＝n，∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）＝2+3+4+…+n=n(n+1)∴an﹣a1=n(n+1)∴an=n(n+1)2?1+∵a1＝1，∴a2022=2022×(2022+1)即a2022的值是2045253．【總結(jié)提升】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是總結(jié)出所給的數(shù)字的規(guī)律并靈活運用．10．（2021秋?義安區(qū)期末）按如圖所示的程序計算，若開始輸入x的值為3，看是否能使x(x+1)x＞100，如果“是”則得到輸出的結(jié)果，如“否”則將值給x，再次運算，以此類推，那么最后輸出的結(jié)果為【思路引領(lǐng)】利用題中的程序圖進行操作，運算，按要求得出結(jié)論．【解答】解：當x＝3時，x(x+1)2當x＝6時，x(x+1)2當x＝21時，x(x+1)2故答案為：231．【總結(jié)提升】本題主要考查了求代數(shù)式的值，本題是操作型，利用程序圖進行運算是解題的關(guān)鍵．類型二累加型規(guī)律探索11．（2021秋?西城區(qū)校級期中）下列圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，依此規(guī)律，第10個圖形中白色正方形的個數(shù)為32，第n個圖形中白色正方形的個數(shù)為3n+2．（用含n的式子表示）【思路引領(lǐng)】根據(jù)圖形的變化規(guī)律得出每個圖形都比前一個多3個白色正方形，歸納出第n個圖形有3n+2個白色正方形即可．【解答】解：由題知，第1個圖形中白色正方形的個數(shù)為5＝3+2，第2個圖形中白色正方形的個數(shù)為8＝3×2+2，第3個圖形中白色正方形的個數(shù)為11＝3×3+2，…，第10個圖形中白色正方形的個數(shù)為3×10+2＝32，…，第n個圖形中白色正方形的個數(shù)為3n+2，故答案為：32，3n+2．【總結(jié)提升】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化歸納出第n個圖形有3n+2個白色正方形是解題的關(guān)鍵．12．如圖，第1個圖形需要3個棋子，第2個圖形需要8個棋子，第3個圖形需要15個棋子，…，按照這樣規(guī)律第n個圖形需要（n2+2n）個棋子（用含n的代數(shù)式表示）．【思路引領(lǐng)】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：以此類推，則第n（n是正整數(shù)）個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是n（n+2）個．【解答】解：結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：第1個圖形中的棋子數(shù)是2×3﹣3＝1×3＝3（個）；第2個圖形中的棋子數(shù)是3×4﹣4＝2×4＝8（個）；第3個圖形中的棋子數(shù)是4×5﹣5＝3×5＝15（個），第n（n是正整數(shù)）個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是n（n+2）＝（n2+2n）個．故答案為：（n2+2n）．【總結(jié)提升】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律．13．（2023?孟村縣二模）如圖，學校準備新建一個長度為Lm．（1）按圖示規(guī)律，第一圖案的長度L1＝1.5m；第二個圖案的長度L2＝2.5m；（2）用代數(shù)式表示帶有花紋的地面磚塊數(shù)n與走廊的長度Ln（m）之間的關(guān)系L＝0.5（2n+1）．【思路引領(lǐng)】（1）觀察題目中的已知圖形，可得前兩個圖案中有花紋的地面磚分別有：1，2個，第二個圖案比第一個圖案多1個有花紋的地面磚，所以可得第n個圖案有花紋的地面磚有n塊；第一個圖案邊長3×0.5＝L1，第二個圖案邊長5×0.5＝L2，（2）由（1）得出則第n個圖案邊長為L＝（2n+1）×0.5．【解答】解：（1）第一圖案的長度L1＝0.5×3＝1.5，第二個圖案的長度L2＝0.5×5＝2.5；（2）觀察可得：第1個圖案中有花紋的地面磚有1塊，第2個圖案中有花紋的地面磚有2塊，…故第n個圖案中有花紋的地面磚有n塊；第一個圖案邊長L＝3×0.5，第二個圖案邊長L＝5×0.5，則第n個圖案邊長為Ln＝0.5（2n+1）．故答案為：0.9，1.5；0.5（2n+1）．【總結(jié)提升】此題考查列代數(shù)式，找出圖形之間的聯(lián)系得出運算規(guī)律，利用規(guī)律得出一般性的結(jié)論即可．14．（2023?龍巖開學）用小棒按下面的規(guī)律拼擺八邊形．萌萌、亮亮、樂樂、歡歡通過觀察圖形，找出了拼擺成的八邊形的數(shù)量n和需要小棒的數(shù)量a之間的關(guān)系．下面說法正確的是（）A．萌萌：a＝16+16n（n＞3） B．亮亮：a＝7n+1 C．樂樂：a＝8n﹣1 D．歡歡：a＝7n+n【思路引領(lǐng)】根據(jù)給定的拼擺規(guī)律，可知第1個八邊形需要八個小棒，后面每增加一個八邊形需要七根小棒，進一步可得拼擺成n個八邊形需要小棒的數(shù)量．【解答】解：根據(jù)題意，