2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題含答案

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖，拋物線y=-/+-+c與x軸交于點A(-1,0),B(3,0),與)，軸交于點C.點

D是直線BC上方拋物線上一動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,連接8。、CD,設(shè)點。的橫坐標(biāo)為m,△BC。的面積為s.試求出s與機

的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值；

(3)如圖2,設(shè)AB的中點為E,作OFLBC,垂足為F,連接8、CE,是否存在點。，

使得以C、D,尸三點為頂點的三角形與△CE。相似？若存在，請直接寫出點。的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

解：(1)?..拋物線了=-/+fer+c與x軸交于點A(-1,0),8(3,0)

.,.y--(x+1)(x-3)=-x2+2x+3

：.拋物線解析式為y=-f+2x+3

(2)過點。作。軸，交8c于點M

,當(dāng)x=0時，y--xi+2x+3—3

：.C(0,3)

直線BC解析式為y=-x+3

.,.D(m,-m2+2m+3),M(m,-m+3~)

J.DM--n^+2m+3-(-m+3)=-m2+3m

13,3,933,27

:?s=fOB*DM=可(-m~+3/n)=—亍"f+5/〃=一亍(加一亍)一+-5-(0</n<3),

LLLLLL<5

與m的函數(shù)關(guān)系式為s=5的最大值為日.

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（3）存在點。，使得以C、D,F三點為頂點的三角形與△CEO相似

如圖2,連接8。

設(shè)點D的橫坐標(biāo)為〃?,

?點E為AB中點，A(-1,0),B(3,0),C(0,3)

.E(1,0),OE=1,OC=3,CZ)2=〃?2+(2+2,"+3-3)2

.CE=yJOE2+OC2-Vl2+32-V10

0EOC_3_3/10

./℃“Ai而vio,

.sin/E=^=*=cosZOCE=CE=7TO=^LO-

，BC=y]OB2+OC2=3vLDFLBC

.由(2)知，面積s=一]m

cl2s—3m2-+9m-m2-}-3m

-DF=BC=-37T-=-f2-

?以C、D,尸三點為頂點的三角形與△CEO相似，NCFD=NCOE=90°

.△CFDs△COE或△CP"△EQC

①若△CF￡)s/\cOE,則/FCD=NOCE

.,.sin/FC￡>=^=需

10DF2=CD2

-m2+3m、

10(-------p-----)2=/H2+(-nr+2m)2

A/2

解得：，“1=4（舍去），，"2=搟

.**-in2+2m+3=一守+5+3=

57

:.D(一，一)

24

②若ACFDS/\E0C,則/尸￡>C=/OCE

./M_DF_3國

??cosN1F7DC==-]0

A10DF2=9CD2

-m2+3m、c、、

10(-----------)"=9[/W2+(-/w2+2/n)2J

V2

解得：如=0(舍去)，mi=1

o915

:.-n^+2m+3=-4+3+3=彳

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315

??D(一,—)

24

57315

???點。的坐標(biāo)為（?-）或（?V）.

（1）求拋物線的解析式

（2）點。為拋物線的頂點，軸于點E,點N是線段上一動點

①當(dāng)點N在何處時，△C4N的周長最??？

②若點0）是x軸上一個動點，且/MNC=90°,求巾的取值范圍.

解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（JT-2.r-3）,

故-3a=-3,解得：a=1,

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故函數(shù)的表達(dá)式為：y=/-2x-3；

(2)①過點C作x軸的平行線交拋物線于點C'(2,-3),連接4C'交OE于點N,

將點A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：尸履+8得：仁3=汽?幺解得：?二

,(0=-k+blb=

故直線AC'的表達(dá)式為：y=-x-l,

當(dāng)x=l時，y=-2,

故點N(l,-2)；

設(shè)NG=〃，貝ijNE=3-〃，

：NCNG+NGCN=90°,ZCNG+ZMNE=90°,

NNCG=NMNE,

Mf:

則tan/NCG=〃=tanNMNE=5——，

3—n

故ME=-后+3〃，

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.?.-1V0,故ME有最大值，當(dāng)"=|時，ME吟

則MI的最小值為:-1;

如下圖所示，當(dāng)點N與點。處時，取得最大值,

同理可得：m=5；

故：一工相《5.

3.若在某區(qū)間內(nèi)某函數(shù)的圖象均在x軸或x軸的上方，則該區(qū)間稱為這個函數(shù)的正能量區(qū)

間.如當(dāng)?時，函數(shù)y=2x-1的圖象均在x軸上或x軸的上方，則xNa叫做函數(shù)》=

2x-1的正能量區(qū)間.

（1）求反比例函數(shù)y=1的正能量區(qū)間；

（2）經(jīng)過點（2,3）的一次函數(shù)的正能量區(qū)間為x2l,求一次函數(shù)的解析式；

（3）如果拋物線）="+版+。（aWO）與x軸交于點A（xi,0）和點8（X2,0）,那么

我們把A、B兩點之間的距離叫做拋物線在x軸上的“截距”，設(shè)〃?，”為正整數(shù)，且〃?

K2,拋物線y=f+（3-M）x-3皿在x軸上的“截距”為拋物線y=--+⑵-物

x+2”f在x軸上的"截距”為"2,s=d：-強，試表示出s與f之間的函數(shù)關(guān)系式，若全

體實數(shù)為該函數(shù)的正能量區(qū)間，求“，”的值.

解：（1）①k>0時，y=［的正能量區(qū)間為：x>0；

②%<0H寸，y=?的正能量區(qū)間為：A<0；

（2）設(shè)一次函數(shù)的解析式為丫=履+兒

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?經(jīng)過點(2,3),

：.3=2k+b,則，=3-2怎

解析式為：y^kx+3-2k,

當(dāng)x2l時，恒有y'0,即日》2A-3,

2k—3

由題意得：x>0,----■=1,

k

解得：k=3,故人=-3,

則一次函數(shù)表達(dá)式為：y=3x-3；

(3)由題意得：y=/+(3-mt)x-3mt9

?\x\+x2=mt-3,x\xi=-3mt,

22

則(X1-x2)=(xi+%2)-4XIX2=(7m+3)2,

同理心2=(〃+2，)2,

s=(mt+3)2-(〃+2f)2,

?*2-4/0,

???要全體實數(shù)為該函數(shù)的正能量區(qū)間，即有：

則加2P+6/%什924尸+4〃?+及之，

即：(加之-4)P+(6m-4〃)f+(9-n2)20,

由題意得：m2-4>0,△=(6/H-4n)2-4(/M2-4)(9-H2)WO,

解得：m2>4,(mn-6)2^0,

'：m,〃為正整數(shù)，且加W2,

則〃2=3,九=2或m=6,n=\.

4.如圖，A8是。O的直徑，點C是。。上一點(與點A,8不重合)，過點。作直線PQ,

使得NACQ=NA3C

(1)求證：直線尸。是OO的切線.

(2)過點A作AD_LPQ于點。，交。0于點E,若。。的半徑為2,sin/D4C=求

圖中陰影部分的面積.

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o

是。。的直徑,

AZACB=90°,

"：OA=OC,

：.ZCAB=ZACO.

'：ZACQ^ZABC,

：.ZCAB+ZABC^ZACO+ZACQ^ZOCQ^9Q°,B|JOCVPQ,

直線P。是。。的切線.

(2)連接OE,

VsinZDAC=1,ADLPQ,

：.ZDAC=30°,ZACD=60°.

NA8C=/ACD=60°,

：.ZCAB=9Q°-60°=30°,

：.ZEAO=ZDAC+ZCAB^60°,

又；O4=OE,

.?.△AEO為等邊三角形，

AZAOE=60°.

?,?5陰影=S扇形-SMEO

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=S用彩一^OA?OE.sin60°

=HUX22-IX2X2XT

=^-V3.

，圖中陰影部分的面積為等-V3.

5.如圖，在△ABC中，/ACB=90°,將AABC沿直線AB翻折得到△A8D,連接CQ交

A8于點M.E是線段CM上的點，連接BE.F是△BOE的外接圓與A。的另一個交點，

連接所，BF.

(1)求證：4BEF是直角三角形；

(2)求證：ABEFs4BCA；

(3)當(dāng)AB=6,8C=機時，在線段CM上存在點E,使得EF和A8互相平分，求機的

值.

備用圖

(1)證明：VZACB=90°,將△ABC沿直線AB翻折得到

，NAD8=N4CB=90°,

■:NEFB=NEDB,NEBF=NEDF,

：.ZEFB+ZEBF=ZEDB+ZEDF=/ADB=90°,

：.NBEF=9Q°,

.?.△BE尸是直角三角形.

(2)證明：,:BC=BD,

：.NBDC=NBCD,

；NEFB=NEDB,

:"EFB=NBCD,

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'：AC=ADfBC=BD,

C.ABLCD,

：.ZAMC=90Q,

ZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

:?NBCD=NCAB,

；?/BFE=/CAB,

VZACB=ZFEB=90Q,

:?△BEFsXBCA.

(3)解：設(shè)EF交AB于J.連接

???后尸與48互相平分，

???四邊形4尸8石是平行四邊形，

；?/EFA=NFEB=90°,即政_LAD,

VBD±AZ),

：.EF//BD,

：.AF=DF,

'rn

：.FJ=^BD=y,

；.EF=m,

???△ABCs^CBM,

ABC：MB=AB：BC,

7712

；?BM=吟,

o

?：/\BEJS/\BME,

:.BE：BM=BJ：BE,

?,延修

,：/\BEF^/\BCA,

.ACBC

?.=,

EFBE

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V36-m2m

l!|J=~rn?

mV?

解得加=2次(負(fù)根已經(jīng)舍棄).

6.如圖1,已知四邊形ABC。是菱形，G是線段上的任意一點時，連接8G交AC于凡

FHFG

過尸作FH//C。交8c于H,可以證明結(jié)論方=而成立.(考生不必證明)

(1)探究：如圖2,上述條件中，若G在C。的延長線上，其它條件不變時，其結(jié)論是

否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由:

(2)計算：若菱形ABCZ)中A2=6,ZADC=60Q,G在直線C￡)上，且CG=16,連

接8G交AC所在的直線于凡過F作尸”〃CO交8C所在的直線于H,求BG與尸G的

長.

FHFG

(3)發(fā)現(xiàn)：通過上述過程,你發(fā)現(xiàn)G在直線CO上時'結(jié)論方=茄還成立嗎？

pHF「

【解答】解：⑴結(jié)論方=耘成立

證明：由已知易得FH〃A3,

.FHHC

AB~BC

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HCFG

?:FH〃GC,

BC一BG

.FHFG

，aAB~BG

(2)〈G在直線CD上，

，分兩種情況討論如下：

①G在的延長線上時，0G=10,

如圖1,過B作3Q_LCZ)于Q,

由于四邊形A8CD是菱形，ZADC=60°,

：.BC=AB=6,N5CQ=60°,

:?BQ=3?CQ=3,

：.BG=J1924-(3V3)2=2V97.

,―FHBH

又由FH//GC,可得一=—,

GCBC

而是等邊三角形，

:?BH=BC-HC=BC-FH=6-FH,

.FH6-FH

?.=t

166

?rrj_48

??rri—]],

,°FHFG

由(1)知----=-----,

ABBG

,FHBG4816y16r^=

..FG==五%?92聞=五回.

②G在。。的延長線上時，CG=16,

如圖2,過8作8QJ_CG于。，

???四邊形A3CO是菱形，ZADC=60°,

：.BC=AB=6fN3CQ=60°.

:?BQ=3?CQ=3.

：.BG=J132+(3V3)2=14.

_,iJ"BH

又由FH//CG,可得—=—,

GCBC

.FHBH

-16.6,

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?:BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,

48

：.FH=V-

，：FH〃CG,

.BFFH

…BG一CG'

W14x等+16=3

42112

AFG=14+T=-

FH488

(3)G在OC的延長線上時'方=m+6=g,

FG1128

—=---+14=一,

BG55

—=”成立.

ABBG

FHPC

結(jié)合上述過程，發(fā)現(xiàn)G在直線。上時，結(jié)論方=而還成立.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB_LOA,且08=204,點4的坐標(biāo)是(-1,2)