上海市浦東新區(qū)2024屆高三下學期三模 數(shù)學試卷【含答案】

浦東新區(qū)高三三模數(shù)學試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)填寫結(jié)果，14題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1．已知全集，集合，則.2．復數(shù)（為虛數(shù)單位），則.3．設正數(shù)滿足，則的最小值為．4．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則.5．3名男生和2名女生排成一排，則女生互不相鄰的排法的概率為.6．若，則的值為.7．已知，則（用表示）8．已知為偶函數(shù)，若，則．9．一袋中裝有大小與質(zhì)地相同的2個白球和3個黑球，從中不放回地摸出2個球，記2球中白球的個數(shù)為X，則.10．如圖，某體育公園廣場放置著一塊高為3米的大屏幕滾動播放各項體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應在距離大屏幕所在的平面米處觀看?（精確到0.1米）.11．已知點A、B位于拋物線上，，點M為線段的中點，記點M到y(tǒng)軸的距離為d.若d的最小值為7，則當d取該最小值時，直線的斜率為.12．已知實數(shù)、、、滿足，，，則.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共4題，每題有且只有一個正確答案考生必在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分.13．“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要14．給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和15．邊長都是為1的正方形和正方形所在的兩個半平面所成的二面角為，、分別是對角線、上的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．16．有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球k個，黑球.甲、乙兩人約定一種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上一局的負者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第局甲獲勝的概率為，則關(guān)于以下兩個命題判斷正確的是（

）①，且；②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9，則不小于1992.A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的相應編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．已知，其中，.(1)若，函數(shù)的最小正周期T為，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)設函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，求函數(shù)的最小正周期T，并求的解析式.18．如圖，在圓柱中，底面直徑等于母線，點在底面的圓周上，且，是垂足．(1)求證：；(2)若圓柱與三棱錐的體積的比等于，求直線與平面所成角的大?。?9．某校準備在體育鍛煉時間提供三項體育活動供學生選擇．為了解該校學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機調(diào)查了200名學生，得到的反饋數(shù)據(jù)如下：（單位：人）男生女生合計同意7050120不同意305080合計100100200(1)能否有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度與性別有關(guān)?(2)假設現(xiàn)有足球、籃球、跳繩這三項體育活動供學生選擇．①若甲、乙兩名學生從這三項運動中隨機選一種假設他們選擇各項運動的概率相同并且相互獨立互不影響．記事件為“學生甲選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學生都沒有選擇籃球”，求，并判斷事件，是否獨立，請說明理由．②若該校所有學生每分鐘跳繩個數(shù)．根據(jù)往年經(jīng)驗，該校學生經(jīng)過訓練后，跳繩個數(shù)都有明顯進步．假設經(jīng)過訓練后每人每分鐘跳繩個數(shù)比開始時個數(shù)均增加10個，若該校有1000名學生，請預估經(jīng)過訓練后該校每分鐘跳169個以上的學生人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．參考公式和數(shù)據(jù)：，其中，．若，，，．20．已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，、為雙曲線上的點.(1)求右焦點到雙曲線的漸近線的距離；(2)若，求直線的方程；(3)若，其中A、B兩點均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍.21．已知函數(shù)，其中，.若點在函數(shù)的圖像上，且經(jīng)過點的切線與函數(shù)圖像的另一個交點為點，則稱點為點的一個“上位點”，現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點列，，…，，…，使得對任意正整數(shù)，點都是點的一個“上位點”.(1)若，請判斷原點是否存在“上位點”，并說明理由；(2)若點的坐標為，請分別求出點、的坐標；(3)若的坐標為，記點到直線的距離為.問是否存在實數(shù)和正整數(shù)，使得無窮數(shù)列、、…、…嚴格減？若存在，求出實數(shù)的所有可能值；若不存在，請說明理由.1．【分析】先求出集合，然后結(jié)合集合的補集運算即可求解.【詳解】,，則.故答案為：.2．【分析】先對化簡，然后可求出其共軛復數(shù)【詳解】，所以共軛復數(shù)是.故答案為：3．【詳解】，則，則的最小值為.點睛:本題主要考查基本不等式，解決本題的關(guān)鍵是由，有，在用基本不等式求最值時，應具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項均相等，取得最值.4．255【分析】根據(jù)題意結(jié)合通項公式求，進而結(jié)合等比數(shù)列求和公式運算求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由題意可得，解得，所以.故答案為：255.5．##0.6【分析】利用插空法求出女生互不相鄰的排法，進而得到概率.【詳解】先排男生共有種，男生排好后共有4個空隙，再把2個女生排進去共有種排法，所以符合條件的共有種排法，故女生互不相鄰的排法的概率為.故答案為：6．【分析】利用賦值法求解.【詳解】根據(jù)題意，，令，得，令，得，所以.故答案為：.7．##【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】由，得.故答案為：8．或【分析】由導數(shù)判斷出的單調(diào)性，當，求解方程，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的值．【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，若，，解得，由為偶函數(shù)得，當時，，故的值為或，故答案為：或．9．##【分析】分析可知隨機變量的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，即可計算出和的值.【詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、，則，，，所以，，.故答案為：.10．3.2【分析】作于，設，根據(jù)兩角差的正切公式，結(jié)合不等式求的最大值，并確定對應的即可.【詳解】如圖：作于，設，則，.所以（當且僅當時取“”）又，故（米），故答案為：3.211．##【分析】首先證明當三點共線，到軸的距離最小，進而求出拋物線方程，然后拋物線方程和直線聯(lián)立運用韋達定理即可求出.【詳解】如圖：分別從作準線的垂線，垂足為,設，中點，,則到軸的距離為，當?shù)捷S的距離最小時，最小，等號為三點共線時取得，所以，解得.故拋物線方程為，當三點共線時，設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消去得：，所以，所以，解得（負根舍去）.故答案為：12．1【分析】先應用三角換元，再結(jié)合兩角和差公式及同角三角函數(shù)關(guān)系計算即可.【詳解】因為設,因為設,所以可得，因為,所以,所以.故答案為：1.13．A【分析】求出的解集，根據(jù)充要條件的定義即可得到結(jié)論.【詳解】令，所以的解集為：，所以“”能推出“，而“不能推出“”即“”，是“”的充分不必要條件；故選：A14．C【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項，進行逐一分析即可.【詳解】對A：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對B：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對C：對和，因為是不共線的兩個非零向量，且存在實數(shù)，使得，故和共線，不可作基底；對D：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底.故選：C.15．D【分析】由二面角的平面角定義，可得為平面和平面所在的兩個半平面所成的二面角的平面角，設，，利用相似三角形得出和，再利用余弦定理求得的表達式，進而求得取值范圍．【詳解】設，，則，由題意，，在上的投影是同一點，設為，連接，，則為平面和平面所在的兩個半平面所成的二面角的平面角，則，由，可得，由，可得，在中，由余弦定理可得：，因為，所以，則．故選：D．16．A【分析】分別計算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲獲勝概率，可得，從而求得，由于第局甲獲勝包括兩種情況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，可得，利用數(shù)列求通項公式的構(gòu)造法，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，求出，解不等式即可求解.【詳解】第一局：摸1次甲獲勝概率為：，摸3次甲獲勝概率為：，摸5次甲獲勝概率：，摸7次甲獲勝概率：，，摸次甲獲勝概率：，所以，所以，第局甲獲勝包括兩種情況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，則，故①正確；由，設，解得，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，即，所以，即，即，即，即，則，即，解得，所以不小于1992，所以②正確.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲獲勝概率，可得其概率是等比數(shù)列，從而得到，利用數(shù)列求和和極限的知識進行求解.17．(1)(2)，.【分析】（1）根據(jù)求出，求出的解析式，利用整體代換法計算即可求解；（2）由圖可知，，利用平面向量數(shù)量積的定義和坐標表示求出，進而求，將點D代入解析式計算即可求解.【詳解】（1）由題，，解得，故.令，所以的單調(diào)減區(qū)間為.（2）由題，可得，，因此，，又，得.由，得.再將代入，即.由，解得.因此的解析式為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，得到，結(jié)合，證得平面，進而證得；（2）過點作，證得平面，得到是與平面所成的角，設圓柱的底面半徑為，求得，進而求得的值．【詳解】（1）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面，因為平面，所以，又因為是圓柱底面的直徑，點在圓周上，所以，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，且，且平面，所以平面，又因為平面，所以．（2）解：過點作，是垂足，連接，根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面平面，且平面平面,且平面，所以平面，因為平面，所以是在平面上的射影，從而是與平面所成的角，設圓柱的底面半徑為，則，所以圓柱的體積為，且，由，可得，可知是圓柱底面的圓心，且，且，在直角中，可得，所以．19．(1)有關(guān)(2)①，不獨立，理由見解析；②977【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；（2）①求出，，，再由條件概率公式求出，由相互獨立事件的定義即可判斷；②由已知，經(jīng)過訓練后每人每分鐘跳繩個數(shù)，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，從而估計出人數(shù).【詳解】（1）提出假設：學生對該問題的態(tài)度與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得，．因為當成立時，的概率約為，所以有的把握認為，學生對該觀點的態(tài)度與性別有關(guān)．（2）①因為事件為“學生甲選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學生都沒有選擇籃球”，所以事件為“學生甲選擇足球，學生乙不選擇籃球”，所以，，，所以，因為，所以事件、不獨立．②記經(jīng)過訓練后每人每分鐘跳繩個數(shù)為，由已知，經(jīng)過訓練后每人每分鐘跳繩個數(shù)．因為，所以．所以（人）．所以經(jīng)過訓練后該校每分鐘跳個以上人數(shù)約為．20．(1)(2)(3).【分析】（1）由題意，求出點的坐標和漸近線方程，根據(jù)點到直線的距離公式計算即可求解；（2）易知直線不與x軸重合，設其方程為，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理表示，結(jié)合計算求得即可；（3）如圖，由（2），利用弦長公式求出，利用平行線之間的距離公式求出平行線與之間的距離，進而表示，結(jié)合換元法計算即可求解.【詳解】（1）由題，右焦點，漸近線方程為，因此焦點到漸近線的距離為.（2）顯然，直線不與x軸重合，設直線方程為，由，得，由，得，其中，恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直線的方程為.（3）延長交雙曲線于點P，延長交雙曲線于點Q.則由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.由題，設，直線程為，直線方程，由第（2）問，易得，因為，得，因而，平行線與之間的距離為，因此，.令，則，得在上是嚴格增函數(shù)，故（等號當且僅當時成立），所以，四邊形面積的取值范圍為.21．(1)原點不存在“上位點”，理由見解析(2)點的坐標為，點的坐標為(3)存在，【分析】（1）先求得函數(shù)經(jīng)過點的切線方程，再根據(jù)“上位點”的定義判斷即可；（2）設點的橫坐標為，為正整數(shù)，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義結(jié)合“上位點”的定義化簡可得，進而可得、的坐標；（3）由（2），構(gòu)造等比數(shù)列可得，由題意，再根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析判斷即可.【詳解】（1）已知，則，得，故函數(shù)經(jīng)過點的切線方程為，其與函數(shù)圖像無其他交點，所以原點不存在“上位點”.（2）設