第五節(jié)　古典概型與事件的相互獨立性-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第五節(jié)古典概型與事件的相互獨立性第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期課件使用說明01本課件使Office2016制作，請使用相應(yīng)軟件打開并使用使用軟件02本課件理科公式均采用微軟公式制作，如果您是Office2007或WPS

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1.結(jié)合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單

隨機事件的概率.

2.能夠結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性

的含義.

3.能夠結(jié)合古典概型，利用獨立性計算概率.必備知識自主梳理內(nèi)容索引關(guān)鍵能力重點探究課時作業(yè)鞏固提升必備知識自主梳理

有限可能性相等

P

(

A

)

P

(

B

)

P

(

B

)

P

(

A

)

P

(

B

)

3.與相互獨立事件

A

，

B

有關(guān)的概率的計算公式如下表：事件

A

，

B

相互獨立概率計算公式

A

，

B

同時發(fā)生

P

(

AB

)＝

P

(

A

)

P

(B)

A

，

B

同時不發(fā)生

A

，

B

至少有一個不發(fā)生

P

＝1－

P

(

AB

)＝1－

P

(

A

)

P

(B)

A

，

B

至少有一個發(fā)生事件

A

，

B

相互獨立概率計算公式

A

，

B

恰有一個發(fā)生[小題診斷]1.一個電路上裝有甲、乙兩根保險絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的

概率為0.74.甲、乙兩根保險絲熔斷與否相互獨立，則兩根保險絲都熔斷

的概率為(

B

)A.1B.0.629C.0D.0.74或0.85由題意知甲、乙兩根保險絲熔斷與否相互獨立，∴甲、乙兩根保險絲都

熔斷的概率為0.85×0.74＝0.629.B2.在8件同一型號的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回地從中

依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是

(

D

)

D3.一個盒子里裝有標(biāo)號為1，2，3，4的4張卡片，隨機地抽取2張，則取

出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是

?.

關(guān)鍵能力重點探究

考點一

古典概型

(1)(2021·全國甲卷)將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相

鄰的概率為(

C

)例1

C(2)(2019·全國Ⅰ卷)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一

“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻

“—

—”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰

有3個陽爻的概率是(

A

)A

方法總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1.(2020·全國Ⅰ卷)設(shè)

O

為正方形

ABCD

的中心，在

O

，

A

，

B

，

C

，

D

中

任取3點，則取到的3點共線的概率為(

A

)A

2.在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號后，再把卡片隨機分給這3位同

學(xué)，每人1張，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號卡片的概率為(

C

)法一：設(shè)三位同學(xué)分別為A，B，C，他們的學(xué)號分別為1，2，3.用有序?qū)崝?shù)列表示三人拿到的卡片種類，如(1，3，2)表示A同學(xué)拿到1

號，B同學(xué)拿到3號，C同學(xué)拿到2號.C三人可能拿到的卡片結(jié)果為(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，

1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6種，

考點二

事件獨立性的判斷

(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

B

)例2BA.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立依題意，有放回地隨機取兩次，共有36種不同結(jié)果：(1，1)，(1，2)，

(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，

5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，

(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，

4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).

丁事件包含(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)，共6個基

本事件.丙事件包含(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，共5個基本事件.易知“甲、丙同時發(fā)生”的基本事件為0個，“丙、丁同時發(fā)生”的基

本事件為0個，“乙、丙同時發(fā)生”的基本事件為(6，2)，共1個，

∴乙、丙不相互獨立.同理可知“甲、丁同時發(fā)生”的基本事件為(1，6)，

∴

P

(甲丁)＝

P

(甲)·

P

(丁)，∴甲與丁相互獨立.判斷兩個事件是否相互獨立的兩種方法1.根據(jù)問題的實質(zhì)，直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的

概率來判斷，若沒有影響，則兩個事件就是相互獨立事件.2.定義法：通過式子

P

(

AB

)＝

P(

A

)P

(B)來判斷兩個事件是否獨立，

若上式成立，則事件

A

，

B

相互獨立，這是定量判斷.方法總結(jié)跟蹤訓(xùn)練3.判斷下列事件是否為相互獨立事件.(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中

各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選

出1名女生”；解：(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選

出1名女生”這一事件是否發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨立事件.(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，

取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白

球”.

設(shè)“甲、乙兩球都落入盒子”為事件

A

，

設(shè)“甲、乙兩球至少有一個落入盒子”為事件

B

，

求相互獨立事件同時發(fā)生概率的步驟1.首先確定各事件之間是相互獨立的.2.確定這些事件可以同時發(fā)生.3.求出每個事件的概率，再求積.

特別提醒：使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公

式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們可同時發(fā)生.方法總結(jié)跟蹤訓(xùn)練4.(2024·山東煙臺模擬)某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問

題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.

假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果

相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等

于

?.0.128

根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪為事件

A

，若該

選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第

三、四個問題回答正確，第一個問題可對可錯，由此分兩類，第一個答

錯與第一個答對；由相互獨立事件的概率乘法公式，可得

P

(

A

)＝0.8×0.2×0.8×0.8＋

0.2×0.2×0.8×0.8＝0.128.課時作業(yè)鞏固提升

[A組

基礎(chǔ)保分練]1.(多選)下列試驗是古典概型的是(

BD

)A.在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率B.口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取

一球為白球的概率C.向一個圓面內(nèi)部隨機地投一個點，該點落在圓心的概率D.老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人做典型發(fā)言，甲被選中的概率BD12345678910111213141516171819C項，向一個圓面內(nèi)部隨機地投一個點，該點落在圓心的概率，不符合

有限性；D項，老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人的事件有限，甲、乙、丙

被選中的概率是等可能的.A項，在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率，不符合等可能性；B項，從中任取一球的事件有限，且任取一球為白球或黑球的概率是等

可能的；123456789101112131415161718192.(多選)下列各對事件中，

M

，

N

是相互獨立事件的有(

CD

)A.擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件

M

＝“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事件

N

＝“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”B.袋中有5個紅球，5個黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩

次，事件

M

＝“第1次摸到紅球”，事件

N

＝“第2次摸到紅球”C.分別拋擲2枚相同的硬幣，事件

M

＝“第1枚為正面”，事件

N

＝“兩

枚結(jié)果相同”D.一枚硬幣擲兩次，事件

M

＝“第一次為正面”，事件

N

＝“第二次

為反面”CD12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718193.(2024·江蘇南京模擬)將3名男生1名女生共4名同學(xué)分配到甲、乙、丙

三個社區(qū)參加社會實踐，每個社區(qū)至少一名同學(xué)，則恰好一名女生和一

名男生分到甲社區(qū)的概率是(

D

)

D123456789101112131415161718194.(2024·浙江杭州模擬)已知事件

A

，

B

相互獨立，

P

(

A

)＝0.5，

P

(

B

)＝

0.4，則

P

(

A

＋

B

)＝(

C

)A.0.88B.0.9C.0.7D.0.72

C123456789101112131415161718195.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.

哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30

＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的

概率是(

C

)C12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718196.(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)

互質(zhì)的概率為(

D

)D12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718197.(多選)不透明的袋子中裝有6個大小質(zhì)地相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字

1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機抽取兩次，每次取一個球.

A

表示

事件“第二次取出的球上標(biāo)有的數(shù)字大于等于3”，

B

表示事件“兩次

取出的球上標(biāo)有的數(shù)字之和為5，則(

AC

)D.事件

A

與

B

相互獨立AC12345678910111213141516171819

對于選項B：

123456789101112131415161718198.(2024·河北石家莊模擬)大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)

鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進行支教.若每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，

則小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為(

C

)C12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718199.(2024·上海模擬)2023年杭州亞運會籃球比賽中，運動員甲、乙罰球時

命中的概率分別是0.6和0.5，兩人各投一次，每次結(jié)果相互獨立，則兩

人同時命中的概率是

?.運動員甲、乙罰球時命中的概率分別是0.6和0.5，兩人各投一次，每次

結(jié)果相互獨立，則兩人同時命中的概率是

P

＝0.6×0.5＝0.3.0.3

1234567891011121314151617181910.古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了“完全數(shù)”6和28，

后人進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)3個“完全數(shù)”分別為496，8128，33550

336，現(xiàn)將這5個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6

和28恰好在同一組的概率為

?.

1234567891011121314151617181911.(2022·上海卷)為了檢測學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項，球類3

項，田徑類4項共8項項目中隨機抽取4項進行檢測，則每一類都被抽到

的概率為

?.從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機抽取4項進行檢

測，

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819(2)現(xiàn)甲、乙兩人進行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊1次，環(huán)數(shù)高于

對方為勝，環(huán)數(shù)低于對方為負，環(huán)數(shù)相等為平局，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的

選手為最終的勝者，比賽結(jié)束，求恰好進行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率.

12345678910111213141516171819

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

A12345678910111213141516171819

B12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

因為

A

，

B

是相互獨立事件，設(shè)

A

不發(fā)生的概率為

x

，

B

不發(fā)生的概率為

y

，

D1234567891011121314151617181916.(多選)(2024·浙江杭州模擬)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件

A

表示：

“點數(shù)不大于2”，等件

B

表示：“點數(shù)大于2”，事件

C

表示：“點數(shù)

為奇數(shù)”，事件

D

表示：“點數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的有