北師大版初中九年級數(shù)學(xué)上冊第一章特殊平行四邊形3正方形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)正方形的性質(zhì)課件

第一章特殊平行四邊形3正方形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)正方形的性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1正方形的定義1.下列條件可以利用定義說明平行四邊形ABCD是正方形的

是

(

)A.AB=CD,∠A=90°

B.AB=AD,∠A=90°C.AB∥CD,∠A=90°

D.以上均錯(cuò)B解析正方形定義中需要平行四邊形滿足的條件是有一個(gè)

角是直角,且有一組鄰邊相等,符合的只有B.2.(2021廣西玉林中考)一個(gè)四邊形順次添加下列條件中的三

個(gè)條件便得到正方形:a.兩組對邊分別相等

b.一組對邊平行且相等c.一組鄰邊相等

d.一個(gè)角是直角順次添加的條件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.則正確的

是

(

)

CA.僅①

B.僅③

C.①②

D.②③解析①添加a得到四邊形是平行四邊形,添加c得到平行四

邊形是菱形,再添加d得到菱形是正方形,故①正確;②添加b

得到四邊形是平行四邊形,添加d得到平行四邊形是矩形,再

添加c得到矩形是正方形,故②正確;③添加a得到四邊形是平

行四邊形,添加b得到平行四邊形仍是平行四邊形,再添加c得

到平行四邊形是菱形,不能得到四邊形是正方形,故③不正

確.故選C.知識點(diǎn)2正方形的性質(zhì)3.(2024福建三明三元期中)如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等

邊△ADE,則∠BAE=

(

)

A.145°

B.150°

C.155°

D.160°B解析∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,又∵△ADE是等邊三角形,∴∠DAE=60°,∴∠BAE=90°+60°=150°.故選B.4.(2023貴州貴陽期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形

OABC的頂點(diǎn)O,B的坐標(biāo)分別是(0,0),(4,0),則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是

(

)

A.(2,2)

B.(2,-2)

C.(-2,2)

D.(2

,-2)B解析連接AC,如圖:

∵四邊形OABC是正方形,O、B在x軸上,∴點(diǎn)A,C關(guān)于x軸對

稱,AC所在直線為OB的垂直平分線,即A,C的橫坐標(biāo)均為2,根

據(jù)正方形對角線相等的性質(zhì)可得AC=BO=4,又∵A,C關(guān)于x軸

對稱,∴A點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,C點(diǎn)縱坐標(biāo)為-2,故C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),故選B.5.(2023河北中考)如圖,在Rt△ABC中,AB=4,M是斜邊BC的中

點(diǎn),以AM為邊作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16,則S△ABC=

(

)

A.4

B.8

C.12

D.16B解析∵四邊形AMEF是正方形,S正方形AMEF=16,∴AM2=16,∴AM=4,在Rt△ABC中,M是斜邊BC的中點(diǎn),∴AM=

BC,即BC=2AM=8,在Rt△ABC中,AB=4,∴AC=

=

=4

,∴S△ABC=

AB·AC=

×4×4

=8

,故選B.6.(新獨(dú)家原創(chuàng))如圖,在菱形ABCD中,以AC為對角線作正方形AECF,若∠DAB=60°,AB=4,則正方形AECF的面積=

.

24解析如圖,連接DB,交AC于O,∵四邊形ABCD是菱形,∴DB

⊥AC,∵∠DAB=60°,∴∠OAB=

∠DAB=30°,∴OB=

AB=2,

在Rt△OAB中,AO=

=

=2

,∴正方形AECF的對角線AC=2AO=4

,∴正方形AECF的面積=

AC2=

×4

×4

=24.7.(十字模型)(教材變式·P21例1)(2023湖北黃石中考)如圖,正

方形ABCD中,點(diǎn)M,N分別在AB,BC上,且BM=CN,AN與DM相

交于點(diǎn)P.(1)求證:△ABN≌△DAM.(2)求∠APM的大小.

解析

(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°,∵BM=CN,∴AB-BM=BC-CN,即AM=BN,在△ABN和△DAM中,

∴△ABN≌△DAM(SAS).(2)由(1)知△ABN≌△DAM,∴∠MAP=∠ADM,∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°,∴∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90°.8.(2022湖北恩施州中考)如圖,已知四邊形ABCD是正方形,G

為線段AD上任意一點(diǎn),CE⊥BG于點(diǎn)E,DF⊥CE于點(diǎn)F.求證:

DF=BE+EF.

證明∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°,∵CE⊥BG,DF⊥CE,∴∠BEC=∠DFC=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,∴∠CBE=∠DCF,在△CBE和△DCF中,

∴△CBE≌△DCF(AAS),∴CF=BE,CE=DF,∵CE=EF+CF,∴DF=BE+EF.能力提升全練9.(2023湖南常德中考,7,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,對角

線AC、BD相交于點(diǎn)O,E,F分別為AO,DO上的點(diǎn),且EF∥AD,

連接AF,DE.若∠FAC=15°,則∠AED的度數(shù)為

(

)

A.80°

B.90°

C.105°

D.115°C解析∵四邊形ABCD為正方形,∴AD∥BC,OA=OD,∠OBC

=∠OCB=∠OAD=∠ODA=45°,∵EF∥AD,∴EF∥BC,∴∠OEF=∠OCB=45°,∠OFE=∠OBC=45°,∴∠OEF=∠OFE=45°,∴∠AEF=∠DFE=135°,OE=OF,∵OA=OD,∴AE=DF,在△AEF和△DFE中,AE=DF,∠AEF=∠DFE=135°,EF=FE,∴△AEF≌△DFE(SAS),∴∠FAE=∠FDE=15°,∴∠ADE=∠ODA-∠FDE=45°-15°=30°,∴∠AED=180°-∠OAD-∠ADE=180°-45°-30°=105°.故選C.10.(2024河南鄭州二中期中,9,★★☆)如圖,正方形ABCD的

邊長為8cm,M是對角線BD上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E在邊AD上,且AE=2cm,則AM+EM的最小值為

(

)

A.4cm

B.6cm

C.8cm

D.10cmD解析如圖,連接CM,CE,

∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=CD=8cm,∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB,∵DM=DM,∴△ADM≌△CDM(SAS),∴AM=

CM,∴AM+EM=CM+EM≥CE,即AM+EM的最小值為CE的長,

∵AE=2cm,∴DE=6cm,∴CE=

=10cm,即AM+EM的最小值為10cm.故選D.11.(2023四川攀枝花中考,11,★★☆)如圖,已知正方形ABCD

的邊長為3,P是對角線BD上的一點(diǎn),PF⊥AD于點(diǎn)F,PE⊥AB

于點(diǎn)E,連接PC,當(dāng)PE∶PF=1∶2時(shí),PC=

(

)

A.

B.2

C.

D.

C解析如圖,連接AP,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD=3,

∠ADB=∠ABD=∠CBD=45°,∠BAD=90°,∵PF⊥AD,PE⊥

AB,∴四邊形AEPF是矩形,∴PE=AF,∠PFD=90°,∴△PFD是等腰直角三角形,∴PF=DF,∵PE∶PF=1∶2,∴AF∶DF=1∶2,∴AF=1,DF=PF=2,∴AP=

=

,∵AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°,BP=BP,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PC=AP=

,故選C.12.(2024浙江溫州二中月考,9,★★☆)如圖,在正方形ABCD

中,點(diǎn)E,N,P,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,點(diǎn)M,F,Q在對角線

BD上,且四邊形MNPQ和四邊形AEFG均為正方形,則

等于

(

)

A.

B.

C.

D.

D解析∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠CBD=45°,∵四

邊形MNPQ和四邊形AEFG均為正方形,∴∠BEF=∠AEF=90°,∠BMN=∠QMN=90°,∴△BEF和△BMN都是等腰直角三角

形,∴FE=BE=AE=

AB,BM=MN=QM,同理可得DQ=MQ,∴MN=

BD=

AB,∴

=

=

=

,故選D.13.(2023浙江紹興中考,22,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,G

是對角線BD上的一點(diǎn)(與點(diǎn)B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,

F分別為垂足.連接EF,AG,并延長AG交EF于點(diǎn)H.(1)求證:∠DAG=∠EGH.(2)判斷AH與EF是否垂直,并說明理由.

解析

(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,∴∠ADE=90°,∵GE⊥CD,∴∠GEC=90°,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.(2)AH⊥EF.理由如下,連接GC交EF于點(diǎn)O,如圖,

∵BD為正方形ABCD的對角線,∴∠ADG=∠CDG=45°,又∵DG=DG,A