聚焦核心素養(yǎng)培養(yǎng)數學思維

一、內容解析“球的表面積和體積”屬于“簡單幾何體的表面積與體積”的內容。“簡單幾何體的表面積與體積”這部分內容涉及圓柱、圓錐、圓臺，還有直棱柱、正棱錐、正棱臺以及球的表面積和體積，需要學生從度量的角度認識常見的空間幾何體?！扒虻谋砻娣e和體積”是這部分的難點，也是核心內容，球的表面積與體積計算與圓柱部分一脈相承，但是計算方法更加靈活，這部分知識對學生數學運算、模型認知、空間觀念都有非常高的要求。學生在了解了柱體、錐體、臺體的結構和相互關系后，要進一步認識球的表面積和體積，還需要深入感受極限思維，培養(yǎng)邏輯關聯(lián)意識。二、問題診斷“球的表面積和體積”涉及的參數并不多，學生對公式記憶的難度也不高，其難點在于球的表面積與體積公式推導過程，即需要學生在知其然的同時，知其所以然。只有學生真正理解了參數的含義，才能對內切球、棱切球、外切球有效區(qū)分，所以學習這部分知識的一個難點，就是對球體公式的推導，其中蘊含了極限的思想，在分割、近似替代、求和、取極限方面學生理解起來比較困難。所以，在本次課程教學中，重點是讓學生在理解棱柱、棱錐知識的基礎上，掌握球的表面積與體積公式求解推導方法，并指導學生解決一些實際問題，助力學生突破核心知識點。三、目標分析“球的表面積和體積”教學目標可簡要概括為讓學生了解球的表面積和體積公式，運用球的表面積公式及體積公式進行計算和解決有關實際問題；讓學生準確理解公式中的各參數及其含義，對球的表面積與體積公式進行結構化理解，培養(yǎng)學生的空間思維能力和空間想象能力，使其理解公式中蘊含的極限思維，學會一般性問題的解答方法；在這部分知識學習中，學生要結合小實驗掌握球體的表面積和體積公式，體會數學的美，結合對球的表面積和體積公式的推導發(fā)展理性思維。這是思維層面的綜合延伸，是核心素養(yǎng)育人的重要體現。四、教法研究本單元授課采用線上線下相結合的方式，對于一些回顧性內容，如圓柱的側面積計算、圓臺的側面積計算，主要通過線上教學，讓學生在課前學習鞏固，為新課學習做好準備。線下課堂以小組合作、實踐探究為主，需要學生進行公式的推導，理解參數的具體含義。同時，教師配合希沃白板及課件呈現內容，讓學生理解球的表面積與體積公式推導。課程教學的重點是借助直觀教具以及信息技術交互運用，在學生主體探究、展示研究成果的前提下，教師進行針對性指引，向學生滲透數學極限思維，發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)。在這部分知識學習過程中，對學生實踐探究有非常高的要求，需要學生動手制作球的模型進行實驗操作，并引導學生對照視頻進行創(chuàng)新探究，在課堂上小組之間、師生之間積極展開討論，以突破核心知識點。五、教學過程（一）情境預設，主題導入師：這節(jié)課我們要學習一個新的知識點——球體。在正式學習之前，我們先來聽一位數學家的演講片段，這位數學家名叫丘成桐，他是央視公開課《開講啦》的特邀嘉賓，同時還是清華大學丘成桐數學科學中心主任，清華大學求真書院院長，北京雁棲湖應用數學研究院院長。聽一聽丘成桐先生和他的數學故事，能夠讓我們知道數學的應用無處不在，而數學之美更吸引著人們不斷去探索。接著播放丘成桐先生的演講《因為數學》片段。其中涉及很多非常重要的科學家，還講到了數學與科學界的一些重要發(fā)展。譬如高斯和黎曼對電磁學深入研究發(fā)展了數學理論，并重點提到了黎曼球面，還有“莫比烏斯變換”這一概念。丘成桐先生的演講，可以讓學生認識到人類對科學技術探索的每一次突破，也伴隨著數學發(fā)展的一次大跳躍。同時，一般球面在現代工業(yè)以及腫瘤學研究領域都發(fā)揮了十分重要的作用。（設計意圖：結合數學家精彩的演講引出課程主題，可以有效吸引學生的目光，激發(fā)學生的學習興趣。）師：今天我們就研究簡單的球面知識，下面我們來看兩個問題。問題1：用相同厚度，相同顏色的顏料，分別給乒乓球、籃球涂色，哪種球需要用到的顏料更多？請說一說為什么。生：籃球需要用到的顏料更多，因為籃球表面積遠比乒乓球大，所以需要用到的顏料較多。問題2：如果要給足球和一個小皮球打氣，假設球內氣壓相同，忽略內部材料的厚度，那么哪個球需要充入的氣體較多？學生結合自身的生活經驗，很容易想到足球需要充入的氣體更多。教師繼續(xù)引導：球體沒有底面，也無法伸展成像棱柱、棱錐一樣的平面圖形，那么兩個不同的球體表面積究竟相差多少呢？大小又是何種關系，應該如何來表述呢？這節(jié)課我們將圍繞這一問題展開探究。（設計意圖：從直觀上學生能發(fā)現不同的球體，其表面積和體積都會有差別，而從直觀印象向具體數據比對有效分析，就要讓學生掌握球體表面積和體積計算的公式。）（二）理實結合，實踐探究教師讓學生拿出在課前制作的球體道具，想一想如何用最簡單的方式測出球的體積。很快，學生想到了物理課堂上所學的方法，利用排開水的體積來測量球體的體積。學生以小組為單位進行探究，看看兩個不同的球體排開水的體積有何差別，它們之間的差別主要由哪個因素來決定。結合平面圖形部分所學圓的相關知識，學生很容易就能聯(lián)想到球體的體積差異決定球體的半徑。那么，球體的半徑和球體體積之間究竟有什么樣的函數關系，需要學生進一步來探究。這時候教師拿出提前為學生準備的細沙，讓學生以小組為單位，針對一組底面半徑和高均為R的圓柱、圓錐、半球進行體積變化規(guī)律的探索。各個小組反復嘗試，最終得到：圓錐容納的沙量+半球容納的沙量=圓柱容納的沙量。套入學生前期所學的圓柱、圓錐體積推導公式，讓學生試著算一下，半球的體積應該如何表示，得到結果如下：V半球=V柱-V圓錐=πR2·R-πR2·R=πR2·RV球=πR3（設計意圖：將空間關系向數據運算有效轉變，可以進一步啟發(fā)學生數學思維，并為下一步理論證明奠定良好基礎。）理論證明部分，需要借助學生前期所學的平面幾何的相關知識，在球體證明中有效運用。將半球面用相互平行的線段平分成n份，讓學生求解每一份的體積，最終累加得到球體體積公式。在這部分計算過程中，涉及球面分割，還有近似替代求和與取極限的重要數學思想。整個推導過程難度不大，重在讓學生理解極限思想，并應用到球體體積公式推導中。突破了球的體積這一難點知識后，教師可進一步追問球的表面積和球的體積之間有什么樣的關系。這時候，教師引導學生借助前面錐體的面積求解公式，將球體想象為無數個錐體緊密排布在一起，所形成無數個半徑為R的錐體緊密排布在一起，組成一個組合球體，這些錐體所有底面積相加即得到球的表面積。再次應用極限思維，即得到球的表面積：S球=4πR2這兩個公式，既類似又相互關聯(lián)，可以反復推導。教師可讓學生在小組內部想一想，如果將半徑為R的球面橫向切為n份，每份等高，并將每份看作一個圓臺，讓學生想一想，從上到下這些圓臺的側面積之和為多少？同樣應用極限思維可以得到球的表面積，而最終這個值所得結果乘以2就是整個球體的表面積，進一步驗證前期表面積公式推導的方法。（設計意圖：讓學生用兩種方法來推導，進一步驗證所得結論，也能增強學生對極限思想的理解。）（三）當堂學習，加深理解在掌握了球體表面積和體積公式后，教師可直接給出題目，讓學生求解。（1）已知球體半徑R=5厘米，求它的體積和表面積。（2）已知球的表面積為64π，求它的體積。（3）已知球的體積為π，求它的表面積。（4）已知一種浮標由兩個半球和圓柱黏合而成（見圖1），已知半球的直徑為0.3米，圓柱的高為0.6米。現需在該浮標外層涂防水材料，如果每平方米需0.5千克涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要用多少千克涂料？在學生完成上述幾道題目后，教師進一步引出問題，讓學生對這部分知識理解實現螺旋上升。教師在大屏幕上出示三個球（見圖2），第一個正切于正方體的各個面，第二個正切于正方體的各側棱，第三個過正方體的各頂點，請學生對比這三個球，分別確定球體的半徑、體積和表面積是多少。（設計意圖：通過對三個球的特點進行分析，求解三個球的表面積和體積之比，可以讓學生理解幾何體的結構特征，并進一步理清其內切球、棱切球、外切球與半徑之間的關系。）類題訓練還可以讓學生計算下面的問題：圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑（見圖3），求解球與圓柱的體積之比。這樣就將這部分所學內容前后串聯(lián)，可以讓學生進一步熟練公式，并對簡單幾何體和球的半徑關系、體積關系有效捋清?？傊?，鑒于這節(jié)課是在學生學習了解圓柱、圓錐、圓臺、直棱柱、正棱錐基礎上進行的綜合性教學，所以這部分需結合實踐操作，讓學生學會推算球的體積，再用極限思想來證明體積計算的方式，進一步與平面幾何部分相關聯(lián)，讓學生理解球的表面積計算。這部分反復用到極限思想，還涉及了數與形的綜合轉化，最后再結合例題進行拓展延伸，讓學生數學思維實