數(shù)字高程模型內插

空間插值常用于將離散點的測量數(shù)據(jù)加密和擴展，以便與其他空間現(xiàn)象的分布模式進行比較，它包括：空間內插算法：通過已知點的數(shù)據(jù)推求同一區(qū)域其他未知點數(shù)據(jù)的計算方法；空間外推算法：通過已知區(qū)域的數(shù)據(jù)，推求其他區(qū)域數(shù)據(jù)的方法。第五講數(shù)字高程模型內插在以下幾種情況下必須作空間插值：1）現(xiàn)有的離散點的分辨率，像元大小或方向與所要求的不符，需要重新插值。例如將一個掃描影像（航空像片、遙感影像）從一種分辨率或方向轉換到另一種分辨率或方向的影像。2）現(xiàn)有的連續(xù)曲面的數(shù)據(jù)模型與所需的數(shù)據(jù)模型不符，需要重新插值。如將一個連續(xù)的曲面從一種空間切分方式變?yōu)榱硪环N空間切分方式，從TIN到柵格、柵格到TIN或矢量多邊形到柵格。3）現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不能完全覆蓋所要求的區(qū)域范圍，需要插值。

空間插值一、DEM內插概念介紹定義：根據(jù)相鄰若干參考點高程值求出待定點高程值；內插是DEM研究的核心問題，其滲透在DEM生產、質量控制、精度評定和分析應用等各個環(huán)節(jié)；其總的思想是：取地形表面一系列離散點構造連續(xù)函數(shù)來描述地形表面，利用該函數(shù)可以獲取地表任一點的高程，實質是插值逼近或曲面擬合；

按內插點的分布范圍，可將內插分為整體內插、分塊內插和逐點內插三類，按二元函數(shù)逼近數(shù)學面和參考點的關系，內插方法又可分為純二維內插（采樣點個數(shù)=多項式系數(shù)）和曲面擬合內插；二維內插要求曲面通過內插范圍的全部參考點，而曲面擬合則不要求曲面嚴格包括參考點，但要求遵從最小二乘法則；一、DEM內插概念介紹一、DEM內插概念介紹

DEM內插分類：分塊內插插值：多項式內插、雙線性內插擬合：多項式、樣條函數(shù)內插、多層疊加面內插、最小二乘配置法內插逐點內插加權均值法、移動擬合法、最小二乘法

整體內插高次多項式二、整體內插整體內插：就是在整個區(qū)域用一個數(shù)學函數(shù)來表達地形曲面。整體內插函數(shù)通常是高次多項式，要求地形采樣點的個數(shù)大于或等于多項式的系數(shù)數(shù)目。常用的二元多項式是：整體內插的缺點：盡管選擇高次多項式能使函數(shù)面更接近實際地面，但計算量大，且函數(shù)不穩(wěn)定，對于高次多項式而言，微小的測量誤差擾動會造成多項式參數(shù)的很大變化，從而難以得到穩(wěn)定解。具體包括：1）整體內插函數(shù)保凸性較差；2）不容易得到穩(wěn)定的數(shù)值解；3）多項式系數(shù)物理意義不明顯，這容易導致無意義的地形起伏現(xiàn)象；4）解算速度慢且對計算機容量要求較高；5）不能提供內插區(qū)域的局部地形特征。二、整體內插龍格現(xiàn)象二、整體內插優(yōu)點：整個區(qū)域上的內插函數(shù)唯一；能得到全局光滑連續(xù)的DEM；可充分反映宏觀地形特征；編程簡單。整體內插函數(shù)常用來揭示整個區(qū)域內的地形宏觀起伏態(tài)勢。在DEM內插中，整體插值方法通常不直接用于空間插值，而是用來檢測不同于總趨勢的最大偏離部分，在去除了宏觀地物特征后，可用剩余殘差來進行局部插值。三、分塊內插將地形區(qū)域按一定的方法進行分塊，對每一塊根據(jù)地形曲面特征單獨進行曲面擬合和高程內插，稱為DEM分塊內插。區(qū)域分塊簡化了地形的曲面形態(tài)，使得每一塊都可用不同的曲面進行表達。一般地，可按地形結構線或規(guī)則區(qū)域進行分塊，而分塊大小取決于地形的復雜程度、地形采樣點的密度和分布。三、分塊內插不同的分塊單元可用不同的內插函數(shù)，常用的內插函數(shù)有：線性內插法雙線性內插法Hardy多面函數(shù)法樣條函數(shù)內插法Kriging法最小二乘擬合推估法有限元法1、線性內插法使用最靠近內插點的3個已知數(shù)據(jù)點確定一個平面,繼而求出內插點的高程。其函數(shù)形式為：由于線性內插法屬于平面擬合,此方法不適于丘陵地區(qū)和山區(qū);1、線性內插法線性內插法當高程點近似一條線時，有可能難以得到穩(wěn)定解，此時常采用雙線性內插的方法；2、雙線性多項式內插是使用最靠近內插點的4個已知數(shù)據(jù)點確定出一個函數(shù)，這樣,由4個已知點構成的四邊形內任一點的內插高程值就能唯一確定。其函數(shù)形式為：當把4個已知點坐標代入上式，就可以確定一個唯一的多項式：

A=X-1Z雙線性多項式內插常用于GridDEM中。2、雙線性多項式內插假設E為坐標原點，EF=a,EC=b。過A點作EC或FD的平行線，它們與EF、CD邊分別交于G、H。

(1)利用E、F、C、D四點的坐標線性內插出點G和H的高程值：

(2)利用點G和H的高程值再次進行線性內插，得到：

綜合以上兩式得：

3、Hardy多面函數(shù)法由美國Hardy教授于1977年提出，其基本思想是在每個數(shù)據(jù)點上同各個已知點分別建立函數(shù)關系(這種函數(shù)稱為核函數(shù)，它的圖形是一個規(guī)則數(shù)學曲面)，將這些規(guī)則數(shù)學曲面按一定比例疊加起來,就可擬合出任何不規(guī)則的曲面,且能達到較好的擬合效果。3、Hardy多面函數(shù)法其函數(shù)表達式為：為了簡單起見,核函數(shù)一般選用形式簡單的對稱函數(shù)，通常有如下幾種形式:3、Hardy多面函數(shù)法對Hardy多面函數(shù)法(1)的解算，主要是確定幾個待定系數(shù)ki(i=1…n)。設有m個已知三維坐標的數(shù)據(jù)點，當m>n時,由(1)式構成誤差方程式：3、Hardy多面函數(shù)法

關于此方法的幾點討論：如果希望對地形增加各種約束和限制，可以設計某一函數(shù)將其增加到多面疊加的函數(shù)體內，如希望在內插中考慮地面坡度信息，則可以設計具有坡度特性的函數(shù)；在DEM中，如果數(shù)據(jù)點密度較小且數(shù)據(jù)點精度很高的情況下，可采用多面函數(shù)法，但在地表特征復雜的情況下，難以確定某一特定函數(shù)嚴格表示地形變化，故不易采用；由于該方法在大范圍計算量大，選擇函數(shù)困難，故應用較少；但也有人認為：Hardy多面函數(shù)法的計算簡單、快捷，但是它要求參考點是地形表面的地形特征點,否則將導致計算失敗；4、樣條函數(shù)內插法該方法是將某一欲插值的區(qū)域分成若干塊，對每一分塊定義出一個不同的多項式曲面；為了保證各分塊曲面之間的光滑性，必須保證所確定的ｎ次多項式曲面與相鄰分塊的邊界上所有(n-1)次的導數(shù)都連續(xù)；這時的ｎ次多項式就稱為樣條函數(shù)；這種方法屬于曲面擬合范疇，對于規(guī)則網(wǎng)格數(shù)據(jù)，由該法可對每個點的高程重新插值；4、樣條函數(shù)內插法現(xiàn)以三次曲面法作為分塊單元加以說明；任一矩形ABCD可構成雙三次曲面方程：可根據(jù)ABCD四個角點高程在x和y方向上的一階導數(shù)和二階混合導數(shù),求解這個方程式;4、樣條函數(shù)內插法顯然，在ABCD四個角點為已知的情況下,問題的關鍵就是設法求得三次曲面的一階導數(shù)和二階混合導數(shù)；可使用導數(shù)一階差商中數(shù)求任一網(wǎng)格點Ａ(i,j)的導數(shù)值:4、樣條函數(shù)內插法將系數(shù)代入方程，即可根據(jù)具體要求，在該矩形格內插值任一點的高程；根據(jù)以上分析求得的曲面在相鄰邊上的一階導數(shù)是連續(xù)的，因此在整個區(qū)域的曲面連結是光滑的；樣條函數(shù)的理論嚴密,但計算量大,并且在平滑之后有時會大幅度改變已知點的高程值；樣條函數(shù)保留了微地形特征，擬和時僅使用較少的點，而且保證了塊之間連續(xù)，意味著這種方法可修改曲面的某一分塊而不必計算整個曲面；5、最小二乘配置法最小二乘配置法廣泛用于測量學科。在測量中，測量值包含三部分：與某些參數(shù)有關的值，即趨勢面；趨勢面不能表達的值，即系統(tǒng)的信號部分；觀測值的偶然誤差，即隨機噪聲。最小二乘配置法E(信號)+E(隨機噪聲)=0，且COV(信號，隨機噪聲)=0使用最小二乘法求解趨勢面參數(shù)。5、最小二乘配置法在數(shù)字地面模型內插中可以使用該方法：Hi

:參考點i的實測高程值；hi:i點投影到趨勢面上的點的高程值；zi

:從趨勢面起算的i點的高程值；si

:實際地面與趨勢面在i點的高程差；ri

:i點的測量誤差；5、最小二乘配置法目標：E(zi

)=E(si

)=E(ri

)=0，誤差方程：Z=S+R=H-AW5、最小二乘配置法最小二乘配置的前提，是處理對象屬于平穩(wěn)隨機過程，但地表起伏復雜，各種地貌形態(tài)未必都符合平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律，趨勢面起算高程未必僅和距離有關，所以前提條件不符合，難以保證內插質量；趨勢面和協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)確定，需要較長的迭代過程，當收斂速度較慢時，計算量較大。四、逐點內插法分塊內插的分塊范圍一經確定，其形狀大小和位置都保持不變，凡落在分塊上的待插點都用該分塊上的唯一數(shù)學模型面進行內插；而逐點內插是以待插點為中心，定義一個局部函數(shù)來擬合周圍的數(shù)據(jù)點，其范圍隨待插點位置變化而變化，故又稱為移動曲面法。四、逐點內插法逐點內插法主要有：移動擬合法加權平均法Voronoi圖法顧及地貌特征的逐點內插1、移動擬合法對每個待插點，選其鄰近的n個數(shù)據(jù)點擬合一個多項式曲面，如：移動曲面擬合法的關鍵是解決兩方面的問題：如何確定待插點的最小鄰域范圍以保證有足夠的參考點？如何確定各參考點的權重1、移動擬合法鄰域范圍的選擇：基于點數(shù)選點：以待插點為中心，選取距其最近的n個點(n≥6)來擬合多項式曲面。1、移動擬合法鄰域范圍的選擇：基于范圍選點：選取以待插點為圓心半徑為R的圓內的點。由于固定R值可能影響選點數(shù)目，可考慮采用動態(tài)圓半徑的方法，其思想是基于數(shù)據(jù)點的平均密度：先確定圓內數(shù)據(jù)點的數(shù)目，如R=10；再解求圓的半徑：πR2=10×(A/N)，N為總點數(shù)，A為總面積。1、移動擬合法鄰域范圍的選擇：按方位取點：以待插點為中心，在不同方位上選取距離最近的固定數(shù)目的點：以待插點為中心將平面分隔成n個扇面；在每個扇面選取距離最近的k個點數(shù)。1、移動擬合法現(xiàn)象：由于兩點相互位置越近，其相似性越強，距離越遠，則相似性越小。采樣點距離待插點的距離不同，對待插點的高程插值影響程度不同。因此，可以利用權來反映這種影響性質，權函數(shù)常使用距離來度量：2、加權平均法在移動擬合法中，往往要計算復雜的誤差方程組，故在實際應用中經常使用經過簡化的加權平均法。在解算待定點p的高程時，使用加權平均值代替誤差方程：2、加權平均法移動擬合法選點的一個缺陷：以距離為基礎進行選點和定義權重，難以很好地描述空間相鄰性；3、Voronoi圖法

Voronoi圖將平面分成N個區(qū)域，每區(qū)域包括一個點，該區(qū)域是離該點最近的點的集合；Voronoi圖對散點空間的剖分是唯一的，每個voronoi區(qū)域是一個凸多邊形；利用Voronoi圖可以找到最佳的鄰近點，也可以非常方便地定出鄰近點的權；3、Voronoi圖法具體的解決方案是：設插入點x后其所在的voronoi多邊形為Vx,設點x的相鄰點集為p1,p2,p3,pn,設pi所在的Voronoi多邊形為Vp，顯然點p越接近x，其權越重，否則越輕；將鄰接點Vp與Vx的相交區(qū)域記為Vi(I=1,…,n),則每個點的權重為Vi,設每點的高程為Hi，則插值點x的高程可由下式求出；4、考慮地貌特征的逐點內插在擬合曲面的插值過程中，由于使用光滑曲面表達地面，因而難以反映地性線（如山脊、山谷等），從而造成插值后的地形失真；解決方法是在插值前，判斷擬合面內是否有地性線穿過，對含地性線的擬合面，按地性線將其分割，直到不含地性線為止，分割后的曲面如參考點個數(shù)不夠，可擴展選點范圍；4、考慮地貌特征的逐點內插如圖，圓形曲面有山谷線穿過，內插點分布于山谷線兩側，如果不考慮山谷線的存在，前述擬合曲面方法均不能有效地逼近地表，但如采用加權平均內插，按距離反比取權，則與位于山脊另一側的點反而取重權，造成插值地形失真，因此必須對山脊線兩側分割處理。五、等高線內插據(jù)規(guī)則格網(wǎng)DEM自動繪制等高線，主要包括以下兩個步驟：利用DEM的矩形格網(wǎng)點的高程內插出格網(wǎng)邊上的等高線點，并將這些點按順序排列（即等高線跟蹤）；利用這些排列后的等高線點的平面坐標進行插補，即進一步加密等高線點并繪制成光滑的曲線（即等高線光滑）；1、等高線跟蹤等高線跟蹤主要有兩種方法：(1)對每條等高線內插邊排序；(2)對同一高程等高線內插出所有點，再逐一排列每條等高線點；1、等高線跟蹤

1）確定等高線高程按最低點高程與最高點高程計算最低等高線高程和最高等高線高程：由上式算得各等高線的高程為：由上式算得各等高線的高程為：1、等高線跟蹤2）計算狀態(tài)矩陣為了記錄等高線通過DEM格網(wǎng)的情況，可設置兩個狀態(tài)矩陣H(K)與V(K)序列，分別表示等高線穿過DEM格網(wǎng)水平邊與豎直邊的狀態(tài)：1、等高線跟蹤格網(wǎng)（i,j）水平邊有高程為Zk的等高線通過的條件是：等高線高程介于DEM格網(wǎng)水平邊兩端點高程之間，即：格網(wǎng)（i,j）豎直邊有高程為Zk的等高線通過的條件:1、等高線跟蹤狀態(tài)矩陣H(K)與V(K)的元素為：1、等高線跟蹤3）搜索等高線的起點與邊界相交的等高線為開曲線，不與邊界相交的等高線為閉曲線，通常首先跟蹤開曲線，即沿DEM的四邊搜索所有狀態(tài)矩陣元素為1的格網(wǎng)邊；處理完開曲線后，再處理閉曲線，可按先列后行或先行后列的順序搜索DEM內部格網(wǎng)的水平邊或垂直邊；1、等高線跟蹤4）內插等高線點

等高線點一般采用線性內插，格網(wǎng)（i,j）水平邊與垂直邊等高線插值點的坐標計算如右所示：1、等高線跟蹤5）搜索下一個等高線點對任一格網(wǎng)，當已知進入邊時，可按該格網(wǎng)狀態(tài)矩陣中的值判斷其離去邊，方法是：1、等高線跟蹤如格網(wǎng)中有兩條高程為Zk的等高線通過，即該格網(wǎng)的四條邊均有等高線通過，此時可按上述方法搜索，也可借助格網(wǎng)中心點高程Zc判斷離去邊，Zc

值取(Zi,j+Zi+1,j+Zi,j+1+Zi+1,j+1)/4，進入邊仍為IN=1：當（

Zi