上海市曹楊第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷【含答案】

曹楊二中2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期末一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，，則．2．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.3．在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）4．若隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則．5．一批種子，如果每1粒種子發(fā)芽的概率均為，那么播下5粒種子，發(fā)芽種子數(shù)量的方差是．6．將序號分別為的4張參觀券全部分給3人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是．7．某新能源汽車銷售公司統(tǒng)計(jì)了某款汽車行駛里程x（單位：萬千米）對應(yīng)維修保養(yǎng)費(fèi)用y（單位：萬元）的四組數(shù)據(jù)，這四組數(shù)據(jù)如下表：行駛里程萬千米/萬千米1245維修保養(yǎng)費(fèi)用萬元/萬元0.500.902.302.70若用最小二乘法求得回歸直線方程為，則估計(jì)該款汽車行駛里程為10萬千米時(shí)的維修保養(yǎng)費(fèi)是．8．已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），則．9．已知袋中有（為正整數(shù)）個(gè)大小相同的編號球，其中黃球8個(gè)，紅球個(gè)，從中任取兩個(gè)球，取出的兩球是一黃一紅的概率為，則的最大值為.10．采礦、采石或取土?xí)r，常用炸藥包進(jìn)行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R，若要使爆破體積最大，則炸藥包埋的深度為11．已知編號為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號球，一個(gè)2號球和一個(gè)3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號球，一個(gè)3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號球，兩個(gè)2號球.若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個(gè)球，則第二次抽到3號球的概率為.12．在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中．定義：在n維空間中兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為在5維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4小題，13，14每題4分，15，16每題5分13．調(diào)查某校高三學(xué)生的身高和體重得到如圖所示散點(diǎn)圖，其中身高和體重相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．學(xué)生身高和體重沒有相關(guān)性B．學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)C．學(xué)生身高和體重呈負(fù)相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是14．已知函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，則“在上嚴(yán)格增”是“在上嚴(yán)格增”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件15．設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（

）a則方差（

）A．既與有關(guān)，也與有關(guān) B．與有關(guān)，但與無關(guān)C．與有關(guān)，但與無關(guān) D．既與無關(guān)，也與無關(guān)16．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域?yàn)?；②?shù)列與函數(shù)均單調(diào)增；③存在正整數(shù)，使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”.給出下列兩個(gè)命題：（

）①與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個(gè)；②與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個(gè).A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題三、解答題（本大題滿分78分）17．袋中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中2個(gè)黑球，3個(gè)白球．從中隨機(jī)地摸出3個(gè)球，用X表示摸出的黑球個(gè)數(shù)．(1)采用不放回摸球，求X的分布；(2)采用有放回摸球，求X的分布、期望．18．設(shè)，已知函數(shù)．(1)若函數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為－1，求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．某校準(zhǔn)備在體育鍛煉時(shí)間提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇．為了解該校學(xué)生對“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，得到的反饋數(shù)據(jù)如下：（單位：人）男生女生合計(jì)同意7050120不同意305080合計(jì)100100200(1)能否有的把握認(rèn)為學(xué)生對“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)?(2)假設(shè)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩這三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇．①若甲、乙兩名學(xué)生從這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種假設(shè)他們選擇各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率相同并且相互獨(dú)立互不影響．記事件為“學(xué)生甲選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學(xué)生都沒有選擇籃球”，求，并判斷事件，是否獨(dú)立，請說明理由．②若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)．根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開始時(shí)個(gè)數(shù)均增加10個(gè)，若該校有1000名學(xué)生，請預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘跳169個(gè)以上的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．參考公式和數(shù)據(jù)：，其中，．若，，，．20．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，且．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，是否存在正整數(shù)m；使得成立，并說明理由．(3)設(shè)，數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列中剔除的項(xiàng)后、不改變其原來順序所組成的數(shù)列記為，求的值．21．已知，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為（其中）(1)設(shè)，，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，，集合，記，若在D上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求b的取值范圍；(3)當(dāng)，，時(shí)，記，其中n為正整數(shù)．求證：．

1．3【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【詳解】等比數(shù)列中，因?yàn)?，所以，又為正?xiàng)的等比數(shù)列，所以.故答案為：3.2．【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，可知曲線在點(diǎn)處的切線斜率.故答案為：.3．10【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】設(shè)展開式的第項(xiàng)為含的項(xiàng)，則，由,所以的系數(shù)為.故答案為：104．##【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，所以.故答案為：.5．【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算即得.【詳解】每1粒種子發(fā)芽的概率為，發(fā)芽種子數(shù)量，所以發(fā)芽種子數(shù)量的方差是.故答案為：6．【分析】根據(jù)條件，將序號分別為的4張參觀券分成三組，，，每組分給人，有種分法，再利用分步計(jì)數(shù)原理，即可求出結(jié)果.【詳解】將序號分別為的4張參觀券分成三組，且2張參觀券連號在一組，有，，三種情況，每組分給人，有種，所以不同的分法種數(shù)為，故答案為：.7．5.66【分析】先利用線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，求出，再用回歸方程進(jìn)行估計(jì).【詳解】因?yàn)椋?，由利用線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，得：，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：5.668．【分析】已知式減去的遞推式可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，可得，綜上，.故答案為：.9．【分析】根據(jù)題意分別計(jì)算出任取兩個(gè)球和取出的兩球是一黃一紅的種類數(shù)，利用概率計(jì)算公式可得出的表達(dá)式，再利用基本不等式和為正整數(shù)即可求得的最大值.【詳解】根據(jù)題意可得，黃球8個(gè)，紅球個(gè)，從中任取兩個(gè)球總共有種，取出的兩球是一黃一紅總共有種；所以從袋中任取兩個(gè)球，取出的兩球是一黃一紅的概率；令，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，但為正整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)或時(shí)，的最小值為，所以，即的最大值為故答案為：10．【分析】根據(jù)題意，得到，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值點(diǎn)，即可求解.【詳解】由題意，圓錐的體積為因?yàn)?，可得，所以，可得，令，可得；令，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)處，函數(shù)取得極大值，也時(shí)最大值，所以炸藥包埋在深處.故答案為：.11．【分析】記第一次抽到第i號球的事件分別為，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，再利用全概率公式求解即可.【詳解】記第一次抽到第i號球的事件分別為，則有，，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，而，，兩兩互斥，和為，，，，記第二次抽到3號球的事件為B，．故答案為:12．【分析】確定樣本總點(diǎn)數(shù)，再求出的取值及其對應(yīng)的概率，即可求出的分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式求解即可.【詳解】對于5維坐標(biāo)有兩種選擇，故共有種選擇，即5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)頂點(diǎn)；對于的隨機(jī)變量，在坐標(biāo)與中有k個(gè)坐標(biāo)值不同，即，剩下個(gè)坐標(biāo)值滿足，此時(shí)所對應(yīng)情況數(shù)為種，即故分布列為：12345所以數(shù)學(xué)期望.故答案為：.13．B【分析】由散點(diǎn)圖的特點(diǎn)可分析相關(guān)性的問題，從而判斷選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可判斷選項(xiàng).【詳解】由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)的分布集中在一條直線附近，所以學(xué)生身高和體重具有相關(guān)性，不正確；又身高和體重的相關(guān)系數(shù)為，相關(guān)系數(shù)，所以學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)，正確，不正確；從樣本中抽取一部分，相關(guān)性可能變強(qiáng)，也可能變?nèi)?，所以這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是，不正確.故選：.14．D【分析】通過特例可得兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】取，則，而為上嚴(yán)格增函數(shù)，而不是上嚴(yán)格增函數(shù)，故“在上嚴(yán)格增”推不出“在上嚴(yán)格增”.取，，則是上嚴(yán)格增函數(shù)，而不是上嚴(yán)格增函數(shù)，故“在上嚴(yán)格增”推不出“在上嚴(yán)格增”.故“在上嚴(yán)格增”是“在上嚴(yán)格增”的非充分非必要條件，故選：D.15．B【分析】根據(jù)方差公式求出方差，再判斷即可.【詳解】由分布列可得，故.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握期望和方差的公式.16．C【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，再取一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，按給定的條件使方程有正整數(shù)解的函數(shù)個(gè)數(shù)即可判斷.【詳解】對于①，數(shù)列單調(diào)遞增，令函數(shù)，顯然，由，得，整理得，此方程有正整數(shù)解，如方程中取，則，即，對進(jìn)行不同的取值即可保證數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個(gè)，①錯(cuò)誤；對于②，數(shù)列單調(diào)遞增，，令，由，得，取，顯然對每一個(gè)正整數(shù)都有唯一的正數(shù)，并且不同的值，值不同，因此與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個(gè)，②正確，所以①是假命題，②是真命題.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.17．(1)分布列見解析(2)分布列見解析；【分析】（1）服從超幾何分布，依據(jù)超幾何分布的公式計(jì)算即可；（2），依據(jù)二項(xiàng)分布寫出分布列，計(jì)算期望和方差即可.【詳解】（1）各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，故X服從超幾何分布.，其中.X的分布為X012P（2）每次摸到黑球的概率為，且各次試驗(yàn)的結(jié)果是獨(dú)立的，故.，其中.X的分布為，X0123P期望.18．(1)；減區(qū)間是，增區(qū)間是(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，求出a的值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性討論a的范圍即得.【詳解】（1）由得，由曲線在處切線斜率為-1，可得，.,當(dāng)單調(diào)遞增；單調(diào)遞減.減區(qū)間是，增區(qū)間是.（2）由得：①

時(shí)，，∴在遞增，滿足函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增，②

時(shí)，時(shí)，，在遞增，若函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增，綜上可得19．(1)有關(guān)(2)①，不獨(dú)立，理由見解析；②977【分析】（1）計(jì)算出卡方，即可判斷；（2）①求出，，，再由條件概率公式求出，由相互獨(dú)立事件的定義即可判斷；②由已知，經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，從而估計(jì)出人數(shù).【詳解】（1）提出假設(shè)：學(xué)生對該問題的態(tài)度與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得，．因?yàn)楫?dāng)成立時(shí)，的概率約為，所以有的把握認(rèn)為，學(xué)生對該觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)．（2）①因?yàn)槭录椤皩W(xué)生甲選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學(xué)生都沒有選擇籃球”，所以事件為“學(xué)生甲選擇足球，學(xué)生乙不選擇籃球”，所以，，，所以，因?yàn)椋允录?、不?dú)立．②記經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)為，由已知，經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)．因?yàn)?，所以．所以（人）．所以?jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘跳個(gè)以上人數(shù)約為．20．(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題中遞推公式結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；（2）由（1）可得，，列不等式組求數(shù)列的最大項(xiàng)，進(jìn)而分析判斷；（3）由題意可得：，，分析可知數(shù)列的前2024項(xiàng)是在數(shù)列的前3034項(xiàng)的基礎(chǔ)上去掉數(shù)列的前10項(xiàng)，結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正數(shù)，，且，則，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列．（2）不存在，理由如下：由（1）可得：，則，令，即，解得，且，可得，可知數(shù)列的最大項(xiàng)為，所以不存在正整數(shù)m，使得成立.（3）由（2）可得：，其前n項(xiàng)和為；由題意可知：，其前n項(xiàng)和為；因?yàn)椋?，且，對于?shù)列可知：其前2024項(xiàng)是在數(shù)列的前3034項(xiàng)的基礎(chǔ)上去掉數(shù)列的前10項(xiàng)，所以.21．(1)(2)(3)證明見解析【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程即可；(2)利用極值點(diǎn)等價(jià)于導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)，且導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的左右兩側(cè)有正負(fù)，通過對導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行分析即可得解；(3)利用換元思想，把，即知