江蘇省南京市鼓樓區(qū)2023-2024學年高二下學期6月期末考試數(shù)學試題【含答案】

高二（下）期末試卷數(shù)學注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知隨機變量，且，那么的值為（

）A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.83．一批零件共有10個，其中有3個不合格品，從這批零件中隨機抽取2個進行檢測，則恰有1個不合格品的概率為（

）A． B． C． D．4．關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B． C． D．5．在的展開式中，含的系數(shù)為（

）A．1 B． C．6 D．6．“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．從0，1，2，，9這10個數(shù)字中選出3個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，其中大于130的共有（

）A．520個 B．631個 C．632個 D．647個8．三棱錐滿足，二面角的大小為，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分．9．若，，且，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．10．如圖，A，B為平面外的點，點A，B在平面上的射影分別為點，，點B不在直線上，為平面內(nèi)的向量，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若存在實數(shù)，使，則與共線D．若M是直線AB上不同于A，B的點，則存在有序?qū)崝?shù)組，使得11．某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個十位二進制數(shù)（例如1010101010），已知出現(xiàn)“0”的概率為，出現(xiàn)“1”的概率為，記，則當程序運行一次時（

）A．X服從二項分布 B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．“，”為真命題，請寫出一個滿足條件的實數(shù)a的值．13．在正方體中，F(xiàn)是BC的中點，點E在棱上，且，則直線與平面所成角的正弦值為．14．初等數(shù)論中的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個數(shù)是．（用數(shù)字作答）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1～6月份每月5日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期1月5日2月5日3月5日4月5日5月5日6月5日晝夜溫差1011131286就診人數(shù)y232529261613該興趣小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．(1)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2～5月份的數(shù)據(jù)（其中，，），求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，問：該小組所得線性回歸方程是否理想？附：，．16．已知函數(shù)，．(1)求的最小值m；(2)若，，且（m的值同（1）中的m值），求證：．17．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，是等腰直角三角形，且，，．(1)求證：平面平面；(2)求點C到平面的距離．18．某高校有A，B兩個餐廳為學生們提供午餐與晚餐服務(wù)，張同學、李同學兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）張同學6天9天13天2天李同學6天6天6天12天假設(shè)張同學，李同學選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．(1)計算某天張同學午餐去A餐廳用餐的情況下晚餐去B餐廳用餐的概率；(2)記X為張同學和李同學兩人在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，已知，且推出優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率大，求證：．19．在的展開式中，把，，，，叫做三項式系數(shù)．(1)當時，寫出三項式系數(shù)，，的值；(2)類比二項式系數(shù)性質(zhì)，探究，，，的等量關(guān)系，并給出證明；(3)求的值．1．B【分析】根據(jù)題意結(jié)合交集運算分析求解.【詳解】因為，，所以.故選：B.2．A【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求概率.【詳解】隨機變量，，則.故選：A.3．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布分析求解即可.【詳解】由題意可知：恰有1個不合格品的概率為.故選：C.4．C【分析】分析可知不等式的解集為，結(jié)合題意列式求解即可.【詳解】由解得，即關(guān)于x的不等式的解集為，由題意可得，解得.故選：C.5．D【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式分析求解即可.【詳解】的展開式的通項為，令，解得，所以含的系數(shù)為.故選：D.6．A【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)分析可知若函數(shù)在上單調(diào)遞減，等價于，根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合充分、必要條件分析求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，等價于，顯然是的真子集，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充分不必要條件.故選：A.7．B【分析】分類討論百位數(shù)、十位數(shù)的數(shù)字，結(jié)合組合數(shù)、排列數(shù)運算求解即可.【詳解】（1）若百位數(shù)大于1，此時三位數(shù)均符合題意，共有個；（2）若百位數(shù)為1，則有：①若十位數(shù)大于3，此時三位數(shù)均符合題意，共有個；②若十位數(shù)為3，符合題意的三位數(shù)共有個；綜上所述：共有個.故選：B.8．C【分析】設(shè)，根據(jù)對角線向量的性質(zhì)列方程求關(guān)系，從而可得線線垂直，過作，連接，結(jié)合勾股定理，得線線關(guān)系，從而可得二面角的平面角，可將三棱錐補充直棱柱，從而可確定外接球球心位置得外接球半徑，即可得球的體積.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，解得：，即，可知，過作，連接，則，可知，且二面角的平面角為，則為等邊三角形，即，設(shè)，因為，即，解得：或，可知點與點A重合或與點B重合，兩者是對稱結(jié)構(gòu)，不妨取點E與點A重合，則，，由，平面，則平面，且為二面的平面角，可知為等邊三角形，可將三棱錐補充直棱柱，如圖所示，為底面正的外心，即，為的外接球球心，可知，且，則三棱錐的外接球半徑，所以外接球的體積.故選：C.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.9．ABC【分析】對于AB：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析求解即可；對于CD：根據(jù)基本不等式分析求解即可.【詳解】因為，，且，即，對于選項A：可得，解得，故A正確；對于選項B：由選項B可知，所以，故B正確；對于選項C：因為，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于選項D：因為，當且僅當時，等號成立，故D錯誤；故選：ABC.10．ABD【分析】對于A，用射影概念和線面垂直性質(zhì)得到；對于B，將左邊向量轉(zhuǎn)化為右邊的向量，后根據(jù)線線垂直的向量數(shù)量積為0計算得到；對于C，直接用向量共線的性質(zhì)得到；對于D，用平面向量的基本定理可以得到．【詳解】對于A，根據(jù)射影概念，知道，，若，，則面，面，則成立，故A正確．對于B，，故B正確．對于C，若，則和共線，則與可能相交，故C錯誤．對于D，若M是直線AB上不同于A，B的點，則Ｍ與四個點都是共面的，且不共線，可以作為面的一組基底，則由平面的基本定理，可知存在有序?qū)崝?shù)組，使得，故D正確．故選：ABD.11．AC【分析】根據(jù)二項分布的定義可判斷A的正誤，利用二項分布可判斷B的正誤，利用公式計算出的期望和方差后可判斷CD的正誤.【詳解】由二進制數(shù)A的特點知，每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1且每個數(shù)位上的數(shù)字互不影響，故X的可能取值有，且的取值表示1出現(xiàn)的次數(shù)，由二項分布的定義可得：，故A正確.故，故B錯誤；因為，所以，，故C正確，D錯誤．故選：AC．12．5（答案不唯一）【分析】討論當時，即時，是否滿足條件；當時，由不等式的解集為，可得，解出即可得到實數(shù)a的取值范圍，然后從a的取值范圍取一個滿足條件的即可.【詳解】若，則，當時，不等式可化為，解得，此時不等式的解集為，不合題意，當時，不等式可化為，此時不等式的解集為，符合題意，當時，由不等式的解集為，可得，即，即，解得或，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是，所以一個滿足條件的實數(shù)a的值可以為：5.故答案為：5.13．##【分析】用向量法先求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法即可得答案.【詳解】以為坐標原點,分別以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的邊長為4，則，所以設(shè)平面的一個法向量為，所以，所以，解得,設(shè)直線與平面所成角為，因為，所以.14．36【分析】分類討論四個數(shù)的組成后，由排列數(shù)公式與計數(shù)原理求解即可．【詳解】顯然均為不超過5的自然數(shù)，下面進行討論，最大數(shù)為5的情況：，此時共有種情況，，此時共有種情況；最大數(shù)為4的情況：，此時共有種情況；當最大數(shù)為3時，，沒有滿足題意的情況；由分類加法計數(shù)原理，滿足條件的有序數(shù)組的個數(shù)是.故答案為：36．15．(1)(2)得到的線性回歸方程是理想的【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式運算求解即可；（2）根據(jù)（1）中回歸方程，令、，結(jié)合題意分析求解即可.【詳解】（1）因為，，則，可得，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.（2）由（1）可得：，當，，且；當，，且；可知由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，所以得到的線性回歸方程是理想的.16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）分類討論去掉中的絕對值號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最小值；（2）由（1）可，分析可得，利用“1”的代換和基本不等式分析證明.【詳解】（1）由題意可知：，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最小值.（2）由（1）可得，因為，，則，，可得，，由題意可知，因為，則，當且僅當即時等號成立，所以．17．(1)答案見詳解(2)【分析】（1）取的中點，連接，由已知可得，又，則得平面，則得，再由勾股定理的逆定理可得，則得平面，可得平面平面；（2）利用，即可得到點C到平面的距離．【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且，所以，又四邊形是邊長為2的菱形，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，又，則，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）由（1）可得，所以在中，為邊長是2的等邊三角形，則，，設(shè)點C到平面的距離為，由，得，所以，所以，即點C到平面的距離為.18．(1)(2)分布列見詳解，(3)證明見詳解【分析】（1）由頻率估計概率，按古典概型進行求解；（2）先確定隨機變量的可能取值，再求出各值所對應(yīng)的概率，列出分布列，根據(jù)期望的定義求期望；（3）根據(jù)題意用條件概率公式進行推理證明.【詳解】（1）設(shè)事件C為“某天張同學午餐去A餐廳用餐的情況下晚餐去B餐廳用餐”，因為30天中張同學午餐去A餐廳用餐的天數(shù)為，午餐去A餐廳用餐且晚餐去B餐廳用餐的天數(shù)為，所以．（2）由題意可知：X的所有可能取值為1和2，所以，，所以X的分布列為X12PX的數(shù)學期望．（3）由題知，則可知，可得，即，所以，即19．(1)(2)，證明見解