2022-2023學年江蘇省姜堰區(qū)張甸、港口初級中學數(shù)學九年級上冊期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.方程W=4的解是（）

A.x=2B.x=-2C.Xi=l,X2=4D.XI=2,XZ=-2

2.圖2是圖1中長方體的三視圖，若用S表示面積，S主=/+2x,S左=/+x,則5俯=（）

主視圖左視圖

圖1圖2

A.%?+3x+2B.x~+2C.f+2x+1D.2x~+3x

3.在下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.圓C.等腰梯形D.直角三角形

4.如圖的AABC中，AB>AC>6C,且。為上一點.今打算在AB上找一點P,在AC上找一點Q,使得AAPQ

與APD。全等，以下是甲、乙兩人的作法：

（甲）連接AO,作AD的中垂線分別交A3、AC于P點、。點，則P、。兩點即為所求

（乙）過。作與AC平行的直線交A3于P點，過。作與A3平行的直線交AC于。點，則P、。兩點即為所求

A.兩人皆正確B.兩人皆錯誤

C.甲正確，乙錯誤D.甲錯誤，乙正確

5.在下列命題中，正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是平行四邊形

B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

6.計算4.JI]■的結(jié)果是（）

44

A.0B.2a2C.flD.-a

7.如何求tan75°的值？按下列方法作圖可解決問題，如圖，在RtZ\ABC中，AC=k,NACB=90°,NABC=30°,

延長CB至點M,在射線BM上截取線段BD,使BD=AB,連接AD,依據(jù)此圖可求得tan75°的值為（）

A.2-gB.2+73C.1+73D.73-1

2

8.已知某函數(shù)的圖象P與函數(shù)＞=--的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則以下各點一定在圖象P上的是（）

A.（2,-1）B.（1,-2）C.（0,-1）D.（2,-1）

9.下列幾何圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A.等腰三角形B.正三角形C.平行四邊形D.正方形

10.拋物線y=-（x+2）2-3的頂點坐標是（）

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（2,3）D.（-2,-3）

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.Q是半徑為3的。O上一點，點P與圓心O的距離OP=5,則PQ長的最小值是_____.

12.如圖，AABC的頂點A和C分別在x軸、V軸的正半軸上，且AB〃y軸，點3（2,6）,將AABC以點B為旋轉(zhuǎn)

k

中心順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到恰好有一反比例函數(shù)v=—圖象恰好過點。，則攵的值為___________.

X

a

13.如圖，NACD=120°，ZB=20.則NA的度數(shù)是.

14.方程（1一㈤（"3）=0和方程f-2x—3=0同解，機=.

15.已知m是方程x2-3x-1=0的一個根，則代數(shù)式2m2-6m-7的值等于.

16.如圖，在半徑為5的。。中，弦AB=8,P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點，連接AP,過點A作AP的垂線交射

線PB于點C,當AE43是以A8為腰的等腰三角形時，線段的長為.

17.已知AABC~ADEE,相似比為2,且AABC的面積為4,則AD防的面積為.

18.關(guān)于x的一元二次方程x2+nx-12=0的一個解為x=3,則n=.

三、解答題（共66分）

19.（10分）如圖，山頂有一塔AB,塔高33m.計劃在塔的正下方沿直線CD開通穿山隧道EF,從與E點相距80m

的C處測得A、B的仰角分別為27。、22°,從與F點相距50m的D處測得A的仰角為45°.求隧道EF的長度.（參

考數(shù)據(jù)：tan22°20.40,tan27°20.51）

20.（6分）如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線＞=/的對稱軸為直線/,將直線/繞著點P（0,2）順時針旋轉(zhuǎn)

的度數(shù)后與該拋物線交于A3兩點（點A在點3的左側(cè)），點。是該拋物線上一點

（2）若點。將線段分成2:3的兩部分，求點A的坐標

（3）如圖②，在（1）的條件下，若點。在，軸左側(cè)，過點P作直線〃/x軸，點/是直線/上一點，且位于軸左

側(cè)，當以尸，B,。為頂點的三角形與AEW相似時，求”的坐標

21.（6分）女本柔弱，為母則剛，說的是母親對子女無私的愛，母愛偉大，值此母親節(jié)來臨之際，某花店推出一款康

乃馨花束，經(jīng)過近幾年的市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該花束在母親節(jié)的銷售量y（束）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的

一次函數(shù)關(guān)系，已知該花束的成本是每束100元.

（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫x的取值范圍）；

（2）設(shè)該花束在母親節(jié)盈利為W元，寫出W關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式：并求出當售價定為多少元時，利潤最大？最大值

是多少？

（3）花店開拓新的進貨渠道，以降低成本.預計在今后的銷售中，母親節(jié)期間該花束的銷售量與銷售單價仍存在（1）

中的關(guān)系.若想實現(xiàn)銷售單價為200元，且銷售利潤不低于9900元的銷售目標，該花束每束的成本應不超過多少元.

*束、

O]180220〃元

22.（8分）如圖，破殘的圓形輪片上，弦A3的垂直平分線交弧A3于C,交弦A3于。.求作此殘片所在的圓（不寫

作法，保留作圖痕跡）.

23.（8分）如圖，AC是。O的直徑，PA切。O于點A,PB切。O于點B,且NAPB=60。.

(1)求NBAC的度數(shù)；

(2)若PA=46，求點O到弦AB的距離.

24.(8分)如圖，在△A3C中，AB=AC,以A8為直徑作。。交5c于點。，過點。作AC的垂線交AC于點E,交

4B的延長線于點足

(1)求證：OE與。。相切；

(2)若CD=BF,AE=3,求。尸的長.

25.(10分)如圖，已知AB為。。的直徑，點E在。0上，NEAB的平分線交。0于點C,過點C作AE的垂線，垂足為

D,直線DC與AB的延長線交于點P.

(1)判斷直線PC與。0的位置關(guān)系，并說明理由;

3

(2)若tanNP=—，AD=6,求線段AE的長.

4

26.(10分)已知：如圖，在菱形ABCD中，E為BC邊上一點，NAED=NB.

(1)求證：AABES^DEA；

(2)若AB=4,求AE?DE的值.

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、D

【解析】x2=4,

x=±2.

故選D.

點睛：本題利用方程左右兩邊直接開平方求解.

2、A

【分析】由主視圖和左視圖的寬為結(jié)合兩者的面積得出俯視圖的長和寬，從而得出答案.

【詳解】主=/+1*=*(x+1),S左=3+x=x(x+1),二俯視圖的長為x+L寬為x+L則俯視圖的面積S.(x+D(x+1)

=x1+3x+l.

故選A.

【點睛】

本題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形

狀，以及幾何體的長、寬、高.

3、B

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可.

【詳解】解：A、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項正確；

C、等腰梯形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D、直角三角形不一定是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

故選B.

【點睛】

本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形，識別軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，

識別中心對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180。后與原圖重合.

4、A

【分析】如圖1,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到B4=PD,QA=QD,則根據(jù)“SSS”可判斷A4PQ也AOPQ,則

可對甲進行判斷；

如圖2,根據(jù)平行四邊形的判定方法先證明四邊形APDQ為平行四邊形，則根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PA=OQ,

PD=AQ,貝IJ根據(jù)“SSS”可判斷AAPgAPQP,則可對乙進行判斷.

【詳解】解：如圖1,丁。。垂直平分AD,

:.PA=PD,QA=QD,

而PQ=PQ,

.?.△APQ^ADPQ(SSS),所以甲正確；

如圖2,?.?PO//AQ,DQ//AP,

...四邊形AP0Q為平行四邊形，

:.PA=DQ,PD=AQ,

而PQ=QP,

：.^APQ^^DQP(SSS),所以乙正確.

圖1

【點睛】

本題考查作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖

方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步

操作.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)和三角形全等的判定.

5、C

【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐項分析解答即可.

【詳解】解：A、?.?等腰梯形的對角線相等，但不是平行四邊形，應對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，故

不正確；

B、?.?有一個角是直角的四邊形可能是矩形、直角梯形，.?.有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，故不正確；

C、?.?有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故正確；

D、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故不正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法的理解，熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定

方法的判定方法是解答本題的關(guān)鍵.

6,C

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)先化簡a?，再根據(jù)幕運算的公式計算即可得出結(jié)果.

【詳解】解：。力

故選C.

【點睛】

本題考查了二次根式的性質(zhì)和同底數(shù)塞的乘方，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和同底數(shù)幕的乘方進行化簡是解題的關(guān)鍵.

7、B

【解析】在直角三角形ABC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出AB的長，再利用勾股定理求出BC

的長，由CB+BD求出CD的長，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可.

【詳解】在RfAABC中4c=A,NAC5=90o,NA3C=30。，

；.AB=BD=2k,NBAD=NBDA=15。,BC=百k,

：.ZCAD=ZCAB+ZBAD=75°,

在R3ACD^p,CD=CB+BD=73k+2k,

貝！Itan75°=tanZCAD=—=9k+2k=2+73,

ACk

故選3

【點睛】

本題考查了解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8、A

2

【分析】分別求出各選項點關(guān)于直線x=2對稱點的坐標，代入函數(shù)）=--驗證是否在其圖象上，從而得出答案.

x

【詳解】解：A.:點（2,-1）關(guān)于x=2對稱的點為點（2,-1）,

9

而（2,-1）在函數(shù)v=-一上，

X

.??點（2,-1）在圖象p上；

B.???點（1,—2）關(guān)于x=2對稱的點為點（3,—2）,

2

而（3,-2）不在函數(shù)丁=一一上，

.??點（1,一2）不在圖象p上；

同理可C（O,-1）、D（2,—l）不在圖象p上.

故選：A.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)關(guān)于直線的對稱時，對應點關(guān)于直線對稱是解題的關(guān)鍵.

9、D

【分析】在一個平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形;

在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個圖形重合，這樣的圖形叫做中心對稱圖形.

【詳解】根據(jù)定義可得A、B為軸對稱圖形；

C為中心對稱圖形；

D既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.

故選：D.

考點：軸對稱圖形與中心對稱圖形

10、D

【解析】試題分析：?.?拋物線y=-（X+2）2-3為拋物線解析式的頂點式，.?.拋物線頂點坐標是（-2,-3）.故選D.

考點：二次函數(shù)的性質(zhì).

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、1

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???（？是半徑為3的OO上一點，點P與圓心O的距離OP=5,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，PQ^OP-OQ（注：當O、P、Q共線時，取等號）

.,.PQ長的最小值=5-3=1,

故答案為：1.

【點睛】

此題考查的是點與圓的位置關(guān)系，掌握三角形的三邊關(guān)系求最值是解決此題的關(guān)鍵.

12、-24

【分析】先根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BD=BA,NDBA=90。，再得出軸，然后求得點D的坐標，最后利用待定系

數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式即可.

【詳解】設(shè)DB與y軸的交點為F,如圖所示：

；AABC以點8為旋轉(zhuǎn)中心順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到&D3E,點B（2,6）,AB〃），軸

；.BD=BA=6,ZDBA=90°

:.軸

.*.DF=6-2=4

.?.點D的坐標為（-4,6）

?.?反比例函數(shù)V=-圖象恰好過點D

x

k

.*.6=—,解得：k=-24

故填：一24

【點睛】

本題主要考查坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點D的坐標是關(guān)鍵.

13、100°

【分析】根據(jù)三角形外角定理求解即可.

【詳解】ZACD=N8+ZA=120°，且NB=20°

:.ZA=120°-NB=120°-20°=100°

故填：100°.

【點睛】

本題主要考查三角形外角定理，熟練掌握定理是關(guān)鍵.

14、-1

【解析】分別求解兩個方程的根即可.

【詳解】解：(x-w)(x-3)=0,解得x=3或m；r2-2x-3=(x-3)(x+l)=O,解得X=3或-1,則m=-l,

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查了運用因式分解法解一元二次方程.

15、-1.

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的概念可得關(guān)于機的方程，變形后整體代入所求式子即得答案.

【詳解】解：〃是方程d-3x-1=0的一個根，.,.w?-3/n-1=0,.\m2-3m=l,

：.2m2-6m-7=2Cm2-3/n)-7=2x1-7=-1.

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解的概念和代數(shù)式求值，熟練掌握整體代入的數(shù)學思想和一元二次方程的解的概念是解題

關(guān)鍵.

-56

16、8或一

15

【解析】根據(jù)題意，以A3為腰的等腰三角形有兩種情況，當AB=AP時，利用垂徑定理及相似三角形的性質(zhì)列出比

例關(guān)系求解即可，當AB=BP時，通過角度運算，得出BC=AB=8即可.

【詳解】解：①當AB=AP時，如圖，連接OA、OB,延長AO交BP于點G,故AGJLBP,過點O作OH_LAB于

點H,

?.?在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，

：.ZAPB^-ZAOB,

2

由垂徑定理可知AH=BH」AB=4,ZAOH=ZBOH=-ZAOB

22

:.ZAPB=ZAOH,

在RtaOAH中，OH=yJOA2-AH2=3

在RtZkCAP中，cosZAPC^—,ncosNAPC=cosAAOH

PCOA5

在RtZkPAG與R3PCA中，ZGPA=ZAPC,NPGA=NPAC,

.,.RtAPAG-^RtAPCA

②當AB=BP時，如下圖所示，ZBAP=ZBPA,

.,.在RtAPAC中，ZC=90°-ZBPA=90°-ZBAP=ZCAB,

，BC=AB=8

本題考查了圓的性質(zhì)及圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識點，綜合性較強，難度較大，解題

的關(guān)鍵是靈活運用上述知識進行推理論證.

17、1

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】VAABC~\DEF，相似比為2，

:.MBC與\DEF,的面積比等于4：1,

AABC的面積為4,

:.ADEF的面積為1.

故答案是：1.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的性質(zhì)定理，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關(guān)鍵.

18、1

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=3代入*2+"*-12=0中可得到關(guān)于〃的方程，然后解此方程即可.

【詳解】把X=3代入x2+〃x-12=0,得9+3"-12=0,解得〃=1.故答案是：1.

【點睛】

本題考查一元二次方程解得概念，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

三、解答題（共66分）

19、隧道所的長度約為323m.

【分析】延長AB交CD于H,利用正切的定義用CH表示出AH、BH,根據(jù)題意列式求出CH,計算即可.

【詳解】解：如圖，延長交CO于點H，則

在RAAC”中，AACH=27°,

AH

Vtan27=——

CH

,AH=CH-tan27°.

在RMBCH中,NBC”=22°,

..cc。BH

tan22---

CH

BH=CHtim22".

,:AB=AH-BH,

ACH-tan270-CHtan22°=33.

"々300.

AAH=CHtan21a153.

在RAADH中,ND=45°，

—AH

Vtan45-----,

HD

HD=AH=153.

：.EF=CD-CE-FD

=CH+HD-CE-FD

=300+153-80-50

=323.

因此，隧道爐的長度約為323m.

【點睛】

本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

20、(1)y=x+2；(2)f—或(-6,3)；(3)(—1,2),(-2,2),(―]—石,2),(1-石⑵

【分析】(1)根據(jù)題意易得點M、P的坐標，利用待定系數(shù)法來求直線AB的解析式；

(2)分AP:依=2:3和AP:P8=3：2兩種情況根據(jù)點A、點B在直線y=x+2上列式求解即可；

(3)分NQ8P=45。和N8QP=45。兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)列式求解即可.

【詳解】(1)如圖①，設(shè)直線AB與x軸的交點為M.

VZOPA=45",

.-.0M=0P=2,即M(-2,0).

設(shè)直線AB的解析式為尸kx+b(kWO),將M(-2,0),P(0,2)兩點坐標代入，得

2=kx0+b

Q=kx(-2)+b

k=\

解得,

b=2

故直線AB的解析式為y=x+2；

(2)①AP:PB=2:3

設(shè)A(—2a,4〃)B(3a,9a2)(a>0)

?.?點A、點B在直線y=x+2上和拋物線y=x2的圖象上,

*'?4/=-2a+2，9a1=3。+2

.4-cr—29cr—2

??-------=1,--------1

-2a3。

?4a2-2_9Q2-2

-2a3a

解得，.=—，a=~—(舍去)

a1323

/2641

\337

②":尸3=3:2

設(shè)A(-3a,9a2)B(2a,4a](a>0)

?.?點A、點B在直線y=x+2上和拋物線y=x2的圖象上,

**?9a2——3a+2,4a2=2a+2

.9a2-2,4a2—2一

-3a2a

.9a2—24/—2

-3a2a

解得：a.=—.a,=一昱(舍去)

'3-3

4-百,3)

(3)ZMPA=45°,NQPBH45°

>4(-1,1),8(2,4)

①NQ8P=45°

此時B,。關(guān)于)'軸對稱，AP8Q為等腰直角三角形

Af,(-1,2)M2(-2,2)

②ZBQP=45°

此時。(-2,4)滿足，左側(cè)還有Q'也滿足

QZBQP=ZBQ'P

Q',B,P,Q四點共圓，易得圓心為8。中點。(0,4)

設(shè)Q'(X,X2),(X<0)

Q'D=BD

：.(X-0)2+(X2-4)2=22

(%2-4)(%2-3)=0

Qx<0且不與。重合

x=_Vs

.?.Q4百,3),Q'P=2

-.Q'P=DQ'=DP=2

??.△OPQ'為正三角形,

ZPBQ'=-x60°=3Q°

過p作PE_LBQ',則PE=Q'E=&,BE=E

Q'B=近+瓜

V\QPB?"MA

?PQ'_Q'B

''1PA~~PM

.2:叵+瓜

"V2-PM

解得，PM=1+y5

：.M(-1-A/3,2)

???AQ'PB?APMA

?PQ'Q'B

"~PM~~PA

.2V2+V6

PM~V2

解得，PM=6-1

:.M(l-瓜2)

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為：(一1,2),(-2,2),(-1-73,2),(1-73,2).

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題.其中涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，方程思想,

難度比較大.另外，解答(2)、(3)題時，一定要分類討論，做到不重不漏.

11,

21、(1)^=--^+190；(2)w=--(x-240)2+9800,240,9800；(3)1.

【分析】(D根據(jù)題目中所給的圖象，確定一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(180/(X)),(220,80),再利用待定系數(shù)法求出y關(guān)

于x的函數(shù)關(guān)系式即可；

(2)根據(jù)“總利潤=單件的利潤x銷售量”列出W與x的二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(3)根據(jù)題意可以列出相應的不等式，從而可以解得該花束每束的成本.

【詳解】解：(1)設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為.丫="+"

由題圖知該函數(shù)圖象過點(180,100),(220,80),

180Z+b=100

則《，

[220k+8=80

,k=-L

解得，2,

A=190

...y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-gx+190

(2)由題知w=(x-100)(-L+190]=-+240%-19000=--(%-240)2+9800,

I2J22

.?.當x=240時，w有最大值，最大值為9800元；

(3)設(shè)該花束每束的成本為m元，

由題意知(200-mj-gx200+19()].9900,

解得機,90.

答：該花束每束的成本應不超過1元.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的應用、不等式的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用函數(shù)和數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

22、見解析

【分析】由垂徑定理知，垂直于弦的直徑是弦的中垂線，故作AC的中垂線交直線于點O,則點。是弧ACB所在

圓的圓心.

【詳解】作弦AC的垂直平分線交直線CO于。點，以。為圓心OA長為半徑作圓。就是此殘片所在的圓，如圖.

【點睛】

本題考查的是垂徑定理的應用，熟知“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”是解答此題的

關(guān)鍵.

23、(1)30°；(1)1

【分析】(D根據(jù)切線長定理及切線的性質(zhì)可得PA=PB,NOAP=90。，由NPAB=60。可證明aABP是等邊三角形，可

得NBAP=60。，即可求出NBAC的度數(shù)；

(D連接OP,交AB于點D,根據(jù)切線長定理可得NAPO=NBPO=30。，即可得OP_LAB,根據(jù)垂徑定理可求出AD

的長，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得OA=1OD,利用勾股定理列方程求出OD的長即可得答案.

【詳解】(1)??.PA,PB分別是OO的切線

；.PA=PB,ZOAP=90°,

TNAPB=60°

/.△ABP為等邊三角形

.,.ZBAP=60°

...NBAC=90°-60°=30°

(1)連接OP,交AB于點D.

?.,△ABP為等邊三角形

；.BA=PB=PA=4G，

?.,PA,PB分別是。。的切線，

.,.ZAPO=ZBPO=30°,

.?.OP±AB,

，AD=；AB=25

VZODA=90°,ZBAC=30°,

/.OA=1OD,

'：OD2+AD2=0^,

：.OD?+Q百＞=（2.0D）2,

解得：OD=1,即點O到弦AB的距離為1.

【點睛】

本題考查切線的性質(zhì)、切線長定理及含30。角的直角三角形的性質(zhì)，圓的切線垂直于過切點的直徑；從圓外可以引圓

的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角；30。角所對的直角邊等于斜邊的一半；熟

練掌握相關(guān)定理及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

24、（1）見解析；（2）DF=2y/j.

【分析】（1）連接OD,求出AC〃OD,求出OD_LDE,根據(jù)切線的判定得出即可；

（2）求出Nl=N2=NF=30。，求出AD=DF,解直角三角形求出AD,即可求出答案.

【詳解】（D證明：連接

???A3是。。的直徑，

：.ZAI)B=90°,

：.AD±BC,

5L'：AB=AC,

，N1=N2,

'：OA=OD,

：.Z2=ZAD0,

：.Z1=ZADO,

：.OD//AC,

,：DE1.AC,

：.N0DF=ZAED=90°,

：.OD±ED,

?.,0。過O,

.?.OE與。O相切；

(2)解：'：AB=AC,AD1.BC,

.,.Z1=Z2,CD=BD,

'：CD=BF,

：.BF=BD,

.?.N3=N尸，

.?.N4=N3+NF=2N3,

'：OB=OD,

；.NODB=N4=2N3,

,：ZODF=90°,

.?.Z3=ZF=30