八年級(jí)數(shù)學(xué)上 角平分線的作法

-.教學(xué)內(nèi)容：

1.角平分線的作法.

2.角平分線的性質(zhì)及判定.

3.角平分線的性質(zhì)及判定的應(yīng)用.

二.知識(shí)要點(diǎn)：

1.角平分線的作法（尺規(guī)作圖）

①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA、0B于C、D兩點(diǎn);

②分別以C、D為圓心，大于|CD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；

③過點(diǎn)P作射線0P,射線0P即為所求.

A

0

2.角平分線的性質(zhì)及判定

（1）角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

①推導(dǎo)

已知：OC平分NMON,P是OC上任意一點(diǎn)，PA±OM,PB1ON,

垂足分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B.

求證：PA=PB.

證明：VPA±OM,

...NPAO=/PBO=90"

VOC平分NMON

ZPAO=ZPBO

在△PAO和△PBO中,Z1=Z2

OP=OP

.'.△PAO0△PBO

，PA=PB

②幾何表達(dá)：（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）

M

如圖所示，:OP平分NMON（Z1=Z2）,PA1OM,PB±ON,

；.PA=PB.

（2）角平分線的判定：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

①推導(dǎo)

已知：點(diǎn)P是/MON內(nèi)一點(diǎn)，PA_LOM于A,PB_LON于B,且PA=PB.

求證：點(diǎn)P在NMON的平分線上.

證明：連結(jié)0P

（PA=PB

在RfZ\PAO和RfZ^PBO中，bp=op

ARrAPAO^RrAPBO（HL）

.?.Z1=Z2

，0P平分NMON

即點(diǎn)P在NMON的平分線上.

②幾何表達(dá)：（到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.）

如圖所示，VPA±OM,PB1ON,PA=PB

AZ1=Z2（OP平分/MON）

3.角平分線性質(zhì)及判定的應(yīng)用

①為推導(dǎo)線段相等、角相等提供依據(jù)和思路;

②實(shí)際生活中的應(yīng)用.

例：一個(gè)工廠，在公路西側(cè)，到公路的距離與到河岸的距離相等，并且到河上公路橋頭的

距離為300米.在下圖中標(biāo)出工廠的位置，并說明理由.

4.畫一個(gè)任意三角形并作出兩個(gè)角（內(nèi)角、外角）的平分線，觀察交點(diǎn)到這個(gè)三角形三條

邊所在直線的距離的關(guān)系.

（3）兩曲卜角的角平分線

三.重點(diǎn)難點(diǎn)：

1.重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)及判定

2.難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)及判定的應(yīng)用

【考點(diǎn)分析】

本講內(nèi)容作為基礎(chǔ)內(nèi)容來講，它在中考題中偶爾以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，但角平分

線的性質(zhì)及判定有時(shí)出現(xiàn)在綜合題題目當(dāng)中，因此還是比較重要的.

【典型例題】

例1.已知：如圖所示，NC=NC'=90°,AC=AC

求證：（1）ZABC=ZABC,；

（2）BC=BC'（要求：不用三角形全等判定）.

分析：由條件NC=NC'=90°,AC=AC',可以把點(diǎn)A看作是NCBC'平分線上的

點(diǎn)，由此可打開思路.

證明：（1）,.,ZC=ZC,=90°（已知）,

；.AC_LBC,AC'_LBC'（垂直的定義）.

又,.?AC=AC'（已知），

...點(diǎn)A在/CBC的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.

AZABC=ZABC\

（2）NABC=NABC,

...180°-（ZC+ZABC）=180°-（ZC+ZABC）（三角形內(nèi)角和定理）.

即NBAC=/BAC,

VAC±BC,AC,±BC,,

；.BC=BC（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）.

評(píng)析：利用三角形全等進(jìn)行問題證明對(duì)平面幾何的學(xué)習(xí)有一定的積極作用，但也會(huì)產(chǎn)生消

極作用，在解題時(shí)，要能打破思維定勢(shì)，尋求解題方法的多樣性.

例2.如圖所示，己知AABC中，PE〃AB交BC于E,PF〃AC交BC于F,P是AD上一

點(diǎn)，且D點(diǎn)到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分NBAC,并說明理由.

A

分析：判定一條射線是不是一個(gè)角的平分線，可用角平分線的定義和角平分線的判定定

理.根據(jù)題意，首先由角平分線的判定定理推導(dǎo)出Nl=/2,再利用平行線推得/3=N4,最

后用角平分線的定義得證.

解：AD平分NBAC.

；D至ljPE的距離與到PF的距離相等，

...點(diǎn)D在/EPF的平分線上.

.*.Z1=Z2.

又：PE〃AB,AZ1=Z3.

同理，Z2=Z4.

；./3=/4,；.AD平分NBAC.

評(píng)析：由角平分線的判定判斷出PD平分NEPF是解決本例的關(guān)鍵.“同理”是當(dāng)推理過

程相同，只是字母不同時(shí)為書寫簡(jiǎn)便可以使用“同理”.

例3.如圖所示，已知4ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,那么AP能否平分/BAC?

請(qǐng)說明理由.由此題你能得到一個(gè)什么結(jié)論？

分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質(zhì)及判定來解答，因此要作出點(diǎn)P

到三邊的垂線段.

解：AP平分NBAC.

結(jié)論：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.

理由：過點(diǎn)P分別作BC,AC,AB的垂線，垂足分別是E、F、D.

VBM是NABC的角平分線且點(diǎn)P在BM上，

/.PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等).

同理PF=PE,；.PD=PF.

AP平分NBAC(到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上).

例4.如圖所示的是互相垂直的一條公路與鐵路，學(xué)校位于公路與鐵路所夾角的平分線上的

P點(diǎn)處，距公路400m,現(xiàn)分別以公路、鐵路所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)學(xué)校距鐵路的距離是多少？

(2)請(qǐng)寫出學(xué)校所在位置的坐標(biāo).

分析：因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，所以點(diǎn)P到鐵路的距離與到公路的距離

相等，也是400m；點(diǎn)P在第四象限，求點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí)要注意符號(hào).

解：(1)?.?點(diǎn)P在公路與鐵路所夾角的平分線上，

...點(diǎn)P到公路的距離與它到鐵路的距離相等，

又；點(diǎn)P到公路的距離是400,

.?.點(diǎn)P(學(xué)校)到鐵路的距離是400,〃.

(2)學(xué)校所在位置的坐標(biāo)是(400,-400).

評(píng)析：角平分線的性質(zhì)的作用是通過角相等再結(jié)合垂直證明線段相等.

例5.如圖所示，在AABC中，ZC=90°,AC=BC,DA平分NCAB交BC于D,問能否

在AB上確定一點(diǎn)E,使4BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)？若能，請(qǐng)作出點(diǎn)E,并給出證明；若不

能，請(qǐng)說明理由.

分析：由于點(diǎn)D在NCAB的平分線上，若過點(diǎn)D作DE_LAB于E,則DE=DC.于是有

BD+DE=BD+DC=BC=AC,只要知道AC與AE的關(guān)系即可得出結(jié)論.

解：能.過點(diǎn)D作DEJ_AB于E,則4BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng).理由如下：

；AD平分/CAB,DC1AC,DE_LAB,

ADC=DE.

[DC=DE

在RfZXACD和RfZ\AED中，，

[AD=AD

.?.RrAACD^R/AAED(HL).

；.AC=AE.

又；AC=BC,.\AE=BC.

AABDE的周長(zhǎng)=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB.

評(píng)析：本題是一道探索題，要善于利用已知條件獲得新結(jié)論，尋找與要解決的問題之間的

聯(lián)系.本題利用角平分線的性質(zhì)將要探究的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這是初中幾何中常用的一種數(shù)學(xué)思

想.

【方法總結(jié)】

學(xué)過“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”與“到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的

平分線上”這兩個(gè)結(jié)論后，許多涉及角的平分線的問題用這兩個(gè)結(jié)論解決很方便，需要注意的

是有許多同學(xué)對(duì)證明兩個(gè)三角形全等的問題已經(jīng)很熟悉了，所以證題時(shí)，不習(xí)慣直接應(yīng)用這兩

個(gè)結(jié)論，仍然去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次這兩個(gè)結(jié)論.所以特別提醒大家，

能用簡(jiǎn)單方法的，就不要繞遠(yuǎn)路.

【模擬試題】(答題時(shí)間：90分鐘)

選擇題

1.如圖所示，OP平分NAOB,PCJ_OA于C,PDJ_OB于D,則PC與PD的大小關(guān)系是

()

A.POPDD.不能確定

2.在Rf^ABC中，ZC=90°,AD是角平分線，若BC=10,BD：CD=3：2,則點(diǎn)D到

AB的距離是()

A.4B.6C.8D.10

3.在AABC中,/C=90°,E是AB邊的中點(diǎn)，BD是角平分線，且DELAB,貝ij()

A.BOAEB.BC=AEC.BC<AED.以上都有可能

4.如圖所示，點(diǎn)P是/BAC的平分線AD上一點(diǎn)，PE1AC于點(diǎn)E,已知PE=3,則點(diǎn)P

到AB的距離是()

A.3B.4D.6

5.如圖所示，在AABC中，/C=90°,AD平分/BAC,AE=AC,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

)

A.DC=DEB.ZAED=90°C.NADE=/ADCD.DB=DC

6.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是()

A.三條高的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn)D,不能確定

7.如圖所示，^ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分NCAB交BC于D,DE_LAB于

E,且AB=6CTH,則4DEB的周長(zhǎng)為()

B

E

4A

A.4cmB.6cmC.\OcmD.以上都不對(duì)

8.如圖所示，三條公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C,現(xiàn)計(jì)劃修一個(gè)油庫(kù)，要求到三條

公路的距離相等，可供選擇的地址有（）

A

A.一■處B.一處C.二處D.四處

二.填空題

9.如圖所示，點(diǎn)P是NCAB的平分線上一點(diǎn)，PF±AB于點(diǎn)F,PE±AC于點(diǎn)E,如果PF

=3C7〃，那么PE=__________.

EC

10.如圖所示，DB_LAB,DC±AC,BD=DC,ZBAC=80°,則ZBAD=__________,

ZCDA=__________.

A

D

11.如圖所示，P在NAOB的平分線上,在利用角平分線性質(zhì)推證PD=PE時(shí)，必須滿足的

條件是_____________________.

A

12.如圖所示，NB=/C,AB=AC,BD=DC,則要證明AD是NBAC的線.需

要通過來證明.如果在已知條件中增加NB與NC互補(bǔ)后，就可以通過

來證明.因?yàn)榇藭r(shí)BD與DC已經(jīng)分別是的距離.

D

13.如圖所示，C為NDAB內(nèi)一點(diǎn)，CD_LAD于D,CB1.AB于B,且CD=CB,則點(diǎn)C

在.

14.如圖所示，在RfZXACB中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D.

(1)若BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是.

(2)若BD:DC=3：2,點(diǎn)D到AB的距離為6,則BC的長(zhǎng)為.

15.(1)：OP平分/AOB,點(diǎn)P在射線0C上，PDJLOA于D,PE_LOB于E,二

(依據(jù)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等).

(2)VPD10A,PE±OB,PD=PE,；.0P平分/AOB(依據(jù)：).

三.解答題

16.已知：如圖，在R/4ABC中，ZC=90°,D是AC上一點(diǎn)，DE_LAB于E,且DE=

DC.

(1)求證：BD平分NABC；

(2)若/A=36°,求/DBC的度數(shù).

17.如圖：^ABC中，AD是/BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且NEDF+

ZBAF=180°.

(1)求證：DE=DF；

(2)若把最后一個(gè)條件改為：AE>AF,且/AED+NAFD=180°,那么結(jié)論還成立嗎？

18.如圖，Z1=Z2,AE_LOB于E,BD±OA于D,AE與BD相交于點(diǎn)C.求證：AC=

BC.

19.如圖所示，某鐵路MN與公路PQ相交于點(diǎn)0,且夾角為90°,其倉(cāng)庫(kù)G在A區(qū)，到

公路和鐵路距離相等，且到鐵路圖上距離為1cm.

(1)在圖上標(biāo)出倉(cāng)庫(kù)G的位置.(比例尺為1：10000,用尺規(guī)作圖)

(2)求出倉(cāng)庫(kù)G到鐵路的實(shí)際距離.

3

四.探究題

20.有位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了“角平分線”的另一種尺規(guī)作法，其方法為:

(1)如圖所示，以0為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交OM、ON于點(diǎn)A、B；

(2)以O(shè)為圓心，不等于(1)中的半徑長(zhǎng)為半徑畫弧交OM、ON于點(diǎn)C、D；

(3)連接AD、BC相交于點(diǎn)E；

(4)作射線OE,則OE為NMON的平分線.

你認(rèn)為他這種作法對(duì)嗎？試說明理由.

試題答案

選擇題

1.B2.A3.B4.A5.D6.C7.B8.D

填空題

9.3cm10.40°,50°11.PD1OA,PE1OB

12.角平分，全等，角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)D到AB、AC兩邊

13.ZDAB的角平分線上

14.(1)3(2)15

15.(1)