人教版高中數(shù)學必修五學案4：2.1數(shù)列的概念與簡單表示法

2.1數(shù)列的概念與簡單表示法

學習目標：

1.能根據(jù)通項公式確定數(shù)列的某一項.

2.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.

學習過程：

新知回顧：

1.從函數(shù)的觀點看數(shù)列

一方面，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時，要善于利用函數(shù)的知識、函

數(shù)的觀點、函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題.例如，類比單調函數(shù)的定義

得出單調數(shù)列的判斷方法.即：數(shù)列｛斯｝單調遞增=斯+1>如對任意〃（〃WN*）都成立；數(shù)列

｛斯｝單調遞減=%+1〈斯對任意n（〃GN*）都成立.

另一方面，還要注意數(shù)列的特殊性（離散型），由于它的定義域是N*或它的子集｛1,2,…，

〃｝,因而它的圖象是一系列孤立的點，而不像我們前面所研究過的初等函數(shù)一般都是連續(xù)的

曲線.

〃—A/98

例如：已知““=丁湍，則這個數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是（

A.a\,a30B.aj,的

C.Clio)的D.aio,的0

2.了解一點周期數(shù)列的知識

類比周期函數(shù)的概念可以得出周期數(shù)列的定義：對于數(shù)列｛斯｝,若存在一個大于1的自

然數(shù)7（7為常數(shù)），使%+7=斯，對一切"GN*恒成立，則稱數(shù)列｛%｝為周期數(shù)列，T就是它

的一個周期.易知，若7是｛““｝的一個周期，則AT（&GN*）也是它的周期，周期最小的那個

值叫最小正周期.

—1

例如：已知數(shù)列｛%｝中,3為正常數(shù)）,an+\=—（〃=123,則下列能使

斯=。的〃的數(shù)值是（）

A.15B.16

C.17D.18

3.數(shù)列的前〃項和S”與斯的關系

對所有數(shù)列都有：S?=a]+〃2+…+斯-i+斯，+做+…+斯-1（〃之2）.因此，當

n>2時，有：%=S〃-S"-].當n=1時，有：3=S].所以?！芭cS〃的關系為：斯=

5,n=\

危2.注意這一關系適用于所有數(shù)列.

—Sn-\,

例如:已知數(shù)列｛斯｝的前"項和&=(〃-1>2"+1,則斯=.

4.由簡單的遞推公式求通項公式

(1)形如斯+1—斯=./(〃)，且/(1)+?*2)+…+4〃)可求和,采用累加法求a”.

即：%=aI+(42—。1)+(的—42)+…+(斯—斯-1)

=%+,*1)+12)+…+大〃-1)

=?+%)

/=!

(2)形如〃“+]=/(〃)?a“，且犬1>人2)…貝〃)可化簡，采用累乘法求知.

〃一1

即即=。譚受…?廿-=4I7U)7(2)?…火"-1)=4「耶。

t?lc*2an-1/-1

(注：2為連加求和符號，ri為連乘求積符號)

(3)形如alt+]=Aan+B(AB^O且A^l).

設斯+i—x=4%一X)，則：

0rH=A〃〃+(1—A)x

由(1—A)x=3,

?-%+1_]__,=4（斯一

1—Ak

Ms一昌)

=...=A"

J.+A”

=（l—A"T）.g+A"-L.

1L\

方法突破：

一、觀察法寫數(shù)列的通項公式

方法鏈接：根據(jù)數(shù)列前幾項，要寫出它的一個通項公式，其關鍵在于觀察、分析數(shù)列的

前幾項的特征、特點，找到數(shù)列的一個構成規(guī)律.根據(jù)此規(guī)律便可寫出一個相應的通項公

式.注意以下幾點：

(1)為了突出顯現(xiàn)數(shù)列的構成規(guī)律，可把序號1,2,3,…標在相應項上，這樣便于突出第

〃項“與項數(shù)"的關系，即如何用〃表示.

(2)由于給出的數(shù)列的前幾項是一些特殊值，必然進行了化簡，因此我們要觀察出它的

構成規(guī)律，就必須要對它進行還原工作.如數(shù)列的前幾項中均用分數(shù)表示，但其中有幾項分

子或分母相同，不妨把這幾項的分子或分母都統(tǒng)一起來試一試.

(3)當一個數(shù)列出現(xiàn)“+”、“一”相間時，應先把符號分離出來，即用(一1)〃或(一I)"'表

示，然后再考慮各項絕對值的規(guī)律.

(4)熟記一些基本數(shù)列的前幾項以及它們的變化規(guī)律(如增減速度)，有利于我們寫出它的

通項公式.

例I：根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：

4142J-9c25

⑴不/，石，,，...；(2)2>2,2-8,2，...；

(3)1,3,6,10,15,...；(4)7,77,777,…；

(5)0,3,8,15,24,...；(6)1,專,yy,....

二、數(shù)列的單調性及最值

方法鏈接：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此可用函數(shù)的單調性的研究方法來研究數(shù)列的單

調性.

例2：在數(shù)列｛&｝中，％=(”+l)G￥)"(〃CN*).

試問數(shù)列｛為｝的最大項是第幾項？

三、數(shù)列的周期性及運用

方法鏈接：通俗地講，數(shù)列中的項按一定規(guī)律重復出現(xiàn)，這樣的數(shù)列就應考慮是否具有

周期性，其周期性往往隱藏于數(shù)列的遞推公式中，解周期數(shù)列問題的關鍵在于利用遞推公式

算出前若干項或由遞推公式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出周期而獲解.

例3：已知數(shù)列｛%｝,4=1,。2=3,cin—an-\—。〃一2(論3),那么。2。10與S2009依次是()

A.1,3B.3,1

C.-2,2D.2,-2

四、已知前n項和Sn,求通項a,,

方法鏈接：已知數(shù)列｛知｝的前〃項和S“，求斯，先由〃=1時，田=5],求出a”再由

4〃=S"-S”-i（生2）求出％,最后驗證?與a”能否統(tǒng)一?,若能統(tǒng)一要統(tǒng)一成一個代數(shù)式,否

則分段表示.

例4：己知下列各數(shù)列｛%｝的前〃項和S,的公式，求｛斯｝的通項公式.

⑴&=（-1嚴小

（2）&=3"-2.

五、由遞推公式求通項

方法鏈接：由遞推公式求通項公式主要觀察遞推公式的特征，合理選擇方法.需要理解

一點，對以—斯-1="（，侖2）不僅僅是一個式子而是對任意的稔2恒成立的無數(shù)個式子，正是

因為這一點，在已知遞推公式求通項公式的題目中如何將無數(shù)個式子轉化為斯，就是解題

的關鍵所在.另外遞推公式具有遞推性，故由.再加上遞推公式可以遞推到時.

例5：由下列數(shù)列｛斯｝的遞推公式求數(shù)列｛四｝的通項公式：

（l）aj=l,a?—anf—n（n>2）；

an〃—1

（2）卬=1,廣=?。℉>2）.

4〃一1〃

六、數(shù)列在日常生活中的初步應用

方法鏈接：數(shù)列知識在日常生活中有著廣泛的應用.構建遞推關系是其中重要的方法之

利用遞推方法解決實際問題常分為三個環(huán)節(jié)：（1）求初始值；（2）建立遞推關系；（3）利用

遞推關系分析解決問題.其中構建遞推關系是關鍵.

例6：某商店的櫥窗里按照下圖的方式擺著第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”,

如圖（1）、（2）、（3）、（4）分別有1個、5個、13個、25個.如果按照同樣的方式接著擺下去,

記第〃個圖需用犬〃）個“福娃迎迎”，那么；逃6）=.

課堂檢測：

1.已知數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，且對于任意的〃GN*,即="2+M恒成立，則實數(shù)力的取

值范圍是.

2.已知數(shù)列｛斯｝的前n項和為5“=3"+2〃+1,求an.

3.設｛斯｝是首項為1的正項數(shù)列且（〃+1底+L，欣+即+「斯=0（"2柏，求斯.

4.已知數(shù)列｛“"｝滿足：。4"-3=1，"4"-|=0，。2"=4"，"GN*,則。2009=，。2014

5.由1,3,5,…，2〃-1,…構成數(shù)列數(shù)列回｝滿足仇=2,當論2時，bn=abn-x,

則尻的值是（）

A.9B.17

C.33D.65

參考答案

新知回顧：

………..〃一曬+酒一曬

1.例如：［解析］?.%"=—丫，二腕

V99-V98..?

=〃-啊+1

.?.點（〃，斯）在函數(shù)尸?或^+1的圖象上.

在直角坐標系中作出函數(shù)）=可譚+1的圖象.

由圖象易知

當X《（O,?。r，函數(shù)單調遞減.

**?。9<。8<。7<…1<1，

當X0郃+8）時，函數(shù)單調遞減.

所以，數(shù)列｛斯｝的前30項中最大的項是mo，最小的項是g

【答案】C

-1

2.例如：【解析】Cl\=Cl9。2=。+1,

-1-1

”5=E=RT'

。5=。2,…依次類推可得：斯+3=?！ǎ?/p>

，｛d｝為周期數(shù)列，周期為3.

?Cl{=Clf??=Cli=Cl.

【答案】B

3.例如：【解析】當〃=1時，.=51=1,

當n>2時，a?=S?—S?-i

=[(n-l)-2"+l]-[(n-2)-2"'+1]

=(n—1)-2"—(n-2)-2"1

=〃-2"T.

所以通項公式可以統(tǒng)一為斯=上2"7.

【答案】〃?2"T

方法突破：

44A4

為-

即-^"

例1：解：(1)注意前四項中有兩項的分子為4,不妨把分子統(tǒng)一為4,V0"

4

于是它們的分母相差3,因而有為=￡^.

3〃十2

(2)把分母統(tǒng)一為2,則有：

1491625士"2

2-2'T~2'~2'…'因而有0"='?

(3)注意6=2x3,10=2x5,15=3x5,規(guī)律還不明顯，再把各項的分子和分母都乘以2,即

1x22x33x44x55x6中而右〃(〃+1)

2，2，2，2，29'??fIKIfWnJa”1?

(4)把各項除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999........

因而有1).

(5)觀察數(shù)列遞增速度較快，有點像成平方地遞增，不妨用平方數(shù)列對照看一看，即

1,22,32,42,52,則有斯=〃2一］

(6)顯然各項的分子均為1,其關鍵在于分母，而分母的規(guī)律不是很明顯，注意到分母組

成的數(shù)列1,3,7,13,21,…，遞增速度也有點像平方數(shù)列，不妨從每一?項對應減去平方數(shù)列的

項組成數(shù)列0,1,2,3,4,…，其規(guī)律也就明顯了.

故a,,=ir-n+V

例2：解：方法一?.&=(〃+l)Gf)"(〃GN*),

an+t-an=(n+2)(￥)""一(〃+1)(幫"

當於8時,卬＜斯+|,｛斯｝遞增,

即a\<a2<...<a^<ag.

當〃=9時，〃9=〃10.

當論10時，〃〃>斯+1，｛〃〃｝遞減，即〃]0>Q]]>4]2>….

T710,0

乂〃9-〃10=][9.

二數(shù)列｛4｝的最大項是第9項和第10項.

方法二令’](〃22),

a〃一1

即

整理得*解得區(qū)1°.

小

(〃+1

即F”■>1.

整理得%空，解得佗》

所以從第I項到第9項遞增，從第10項起遞減.

因此數(shù)列｛為｝先遞增，后遞減.

,1O10

…，且。9=〃10=u"?

，數(shù)列｛斯｝中的最大項是第9項和第10項.

例3【解析】-1一2，

%+1=斯一冊-1=(斯-1-4〃-2)—a〃-1=―%-2?

由“士尸—a〃-2,

???！?3——斯,

??斯+6=-%+3=—(—"〃)=斯?

???｛〃〃｝為周期數(shù)列，且周期T=6.

???〃2010=〃6=-。3=〃1—。2=-2.

/.<7|+。2+。3+。4+〃5+〃6

=31+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)

=0+0+0=0,且2010是6的倍數(shù)，

??520l0=0-

，S2009=S20K)-“2010=。―“2010=?！?-2)=2.

【答案】C

例4：解：(1)當”=1時,”1=6=1；

當ri>2時,

a?=5?-n)—(—l)n-(n—l)

=(-1)"?(一2"+1).

由于伯也適合此等式，

因此a“=(-l)”(—2〃+l)(〃WN*).

(2)當〃=1時，“i=$=l；

=

當w>2時,anSn—S"-i=2-3"

[1("=D，

所以4,尸T

12-32).

例5：解：(1)由題意得，當這2時，

%-「%-幾

an-an-\=ny2=-1，…，6一做=3,

(12-Cl\=2.

將上述各式累加得，

an-a\=〃+(〃-1)+…+3+2,

即〃“=〃+(/?—1)+…+3+2+1=(2

由于勾也適合此等式.

故an=—2—?

(2)由題意得，當n>2時，

ann-\an-\n-2色_2?2_1

an-\n'an-21'…'他3'冉2'

將上述各式累乘得，言*即斯=5

由于0也適合此等式，故

例6：【解析】:/2)=5,火3)=13,負4)=25,…,

.?.丸2)—/(1)=4,共3)一負2)=8,

X4)-A3)=12)...

.?.加+1)—A〃)=4兒

???人6)=<1)+1/(2)-/1)]+伏3)—犬2)]+伏4)-式3)]+伏5)—44)]+伏6)—犬5)]

=1+4+8+12+16+20=61.

【答案】4〃61

課堂檢測:

1.【解析】方法1因為為=〃2+加，其圖象的對稱軸為"=一多由數(shù)列｛為｝是單調遞

增數(shù)列有一%，得念一2；

如圖所示，當2—(一§>—彳-1,即2>—3時，數(shù)列｛斯｝也是單調遞增的.

故工的取值范圍為｛4fe-2｝U｛羽>—3｝=｛卯>-3｝.

即A—3為所求的范圍.

方法2因為數(shù)列｛斯｝是單調遞增數(shù)列，

所以恁+1一即>0(〃￡N*)恒成立.

又an=rr-\-kn(〃WN"),

所以(〃+1尸+2(〃+1)—(?72+ZW)>0恒成立