九年級初中數(shù)學 相似三角形中的動點問題 （典型題型）附答案

專題相似三角形中的動點問題

【典型例題】

1.（2020?銀川外國語實驗學校初三月考）如圖，在直角梯形ABCD中，NABC=90°,AB=S,AD=3,BC=4,

點P為邊AB上一動點，若△用。與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是（）

A.1個B.2個D.4個

2.（2020?寧夏大學附屬中學初三期中）如圖，在R/4ABC中，NB=90°,AC=10cm,BC=6cm,現(xiàn)有兩個

動點P、Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以2cm/s的速度沿AB向終點B移動；點Q以icm/s的

速度沿BC向終點C移動，其中一點到終點，另一點也隨之停止.連接PQ.設動點運動時間為x秒.

（I）含x的代數(shù)式表示BQ、PB的長度;

（2）x為何值時，△PBQ為等腰三角形？當和△CR4相似時，求此時x的值

3.（2019?江蘇海陵?泰州中學附屬初中初三月考）如圖，對入4灰;中，NACB=90°,AC=6an,8c=8cm.動

點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3c/n的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在C8邊上以每

秒2c,”的速度向點B運動，運動時間為，秒（0<r<此），連接MN.

（1）若△8MN與△ABC相似，求，的值;

（2）連接4MCM,若AMLCM,求，的值.

【專題訓練】

一、選擇題

1.（2020?全國初三課時練習）如圖所示，在AABC中，AB=6,AC=4,P是AC的中點，過P點的直

線交AB于點Q,若以A、P、Q為頂點的三角形和以A、B、C為頂點的三角形相似，則AQ的長為（）

A.3

2.（2019?山東中區(qū)?初三期中）如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm,AC=l2cm,動點。從A點出發(fā)

到B點止，動點E從C點出發(fā)到A點止.點。運動的速度為1c機/秒，點E運動的速度為2cm/秒.如果

兩點同時運動，那么當以點4、D、E為頂點的三角形與△4BC相似時，運動的時間是（）

4.3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

3.（2020?青海西寧?初三月考）如圖，在RfZiABC中，NC=90°,AC=BC=6cm,點尸從點A出發(fā)，沿

AB方向以每秒的速度向終點B運動；同時，動點。從點B出發(fā)沿BC方向以每秒lew的速度向終

點C運動，將沿BC翻折，點P的對應點為點P'.設點。運動的時間為f秒，若四邊形QPCP'

為菱形，則t的值為（

A.0C.20

4.（2019?四川南充?初三三模）如圖，nABC中，NC=90°，AC=3,BC=4,M是8c邊

上的動點，過M作MN〃AB交AC于點N,尸是MN的中點，當R4平分N84C時，BM=（）

5.（2020?桐柏縣新集一中初三月考）如圖1,在矩形A8CD中，點E在CD上，ZAEB=90°,點尸從

點4出發(fā)，沿的路徑勻速運動到點B停止，作PQ_LCD于點Q,設點P運動的路程為x,PQ長

為y,若y與x之間的函數(shù)關系圖象如圖2所示，當x=6時，PQ的值是（）

3

圖2

3

6.如圖，在矩形ABC。中，BC=6,E是BC的中點，連接AE,tanZBAE=~,P是AD邊上一動點,

4

沿過點P的直線將矩形折疊，使點。落在AE上的點處,當AAPD'是直角三角形時,PQ的值為（）

2一68-248-3010一18

A.一或一B.一或一C.一或—D.——或一

37373737

二、填空題

7.（2020?山東省泰安第六中學初二期中）如圖，在△ABC中，AB=9,AC=6,BC=12,點M在AB邊上,

且AM=3,過點”作直線MN與AC邊交于點N,使截得的三角形與原三角形相似，則MN=

8.（2020?江西吉安?初三其他）如圖，在矩形ABC。中，AO=2AB=2,E是8c邊上的一個動點，連接

AE,過點。作。FL4E于F,連接CF,當△CDF為等腰三角形時，則的長是一.

9.（2020?江蘇省錫山高級中學實驗學校初三期中）如圖，正方形ABCD中，BC=2,點M是邊AB的中點,

連接DM,DM與AC交于點P,點F為ZW中點，點E為DC上的動點.當NDFE=45°時，則DE=

10.（2020?合肥市第四十五中學初三期中）如圖，在矩形4BCD中，點E是線段CD上的一個動點，連接

AE,過A作A凡LAE交射線￡＞尸于點F,若AO=2AB=4,連接BD交AF于點G,連接EG,當CF=1時，

EG=.

11.（2020?全國初三專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC邊的中點，點P是線段

上的動點，過P作P凡LAE于F,當以點P、/、E為頂點的三角形與△ABE相似時，4P的長為

三、解答題

12.（2020?山東初三期中）如圖，在AABC中,AB=Scin,BC=\6cm,動點尸從點A開始沿4B邊運動,

速度為Icm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動,速度為2c，”/s；如果P、。兩動點同時運動，那么何時^

QBP與△ABC相似？

A

13.（2019?山東省濟南匯才學校初三期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是BC邊的中點，點P

在射線AD±,過P作PFVAE于F.

（1）請判斷以與AABE是否相似，并說明理由;

（2）當點P在射線A。上運動時，設PA=x,是否存在實數(shù)x,使以P,F,E為頂點的三角形也與

相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由.

14.（2020?寧夏永寧?初三月考）如圖，在R/ZV18C中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.動點M,N從

點C同時出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A,B移動，同時動點尸從點B出發(fā)，以每秒

2c,"的速度沿向終點A移動，連接PM,PN,設移動時間為f（單位：秒，0<r<2.5）.

（1）當，為何值時，以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似?

（2）是否存在某一時刻f,使四邊形4PNC的面積5有最小值？若存在,求S的最小值：若不存在，請說

明理由.

15.(2020?深圳市海濱中學初三期中)如圖，在矩形ABCD中，A8=6cm,BC=8c”動點P以2?n/s

的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點。以Icm/s的速度從點C出發(fā).沿CB向點B移動，設

P、Q兩點移動rs(0<r<5)后，Z\CQP的面積為Sc/1

(I)在P、Q兩點移動的過程中，ACOP的面積能否等于3.6c，”2?若能，求出此時r的值；若不能，請說

明理由；

(2)當運動時間為多少秒時，△CPQ與ACAB相似.

16.如圖，已知aABC是邊長為6c機的等邊三角形，動點P、。同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC

勻速運動，其中點P運動的速度是lc,"/s,點。運動的速度是2c/n/s,當點。到達點C時，P、。兩點都

停止運動，設運動時間為"s),解答下列問題：

(1)當尸2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；

(2)設4BP。的面積為S(CT?2),求S與，的函數(shù)關系式；

(3)作QR〃BA交AC于點R,連接PR,當，為何值時，"PRSAPRQ.

RC

17.(2019?遼寧昌圖?初三月考)已知：如圖①，在RrZXABC中，NC=90°,AC=3cm,BC=6cm,點

P由8出發(fā)沿BA方向向點4勻速運動，速度為Icm/s；點Q由4出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度

為2cm/s；連接PQ.若設運動的時間為f(s)(0<Z<4),解答下列問題：

(1)當r為何值時，PQ//BC-,

(2)設aAOP的面積為y(〃/),求y與f之間的函數(shù)關系式；

(3)是否存在某一時刻“使線段PQ恰好把R/ZXACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時，的值;

若不存在，說明理由；

(4)如圖②，連接PC,并把APOC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C,那么是否存在某一時刻，，使四邊

形PQP，C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由.

【典型例題】

1.(2020?銀川外國語實驗學校初三月考)如圖，在直角梯形ABCD中，NABC=9O°,A8=8,AD=3,BC=4,

點P為邊AB上一動點，若△21。與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是()

A.1個B.2個￡).4個

2.(2020?寧夏大學附屬中學初三期中)如圖，在K/4ABC中，NB=90°,AC=Mem,BC=6cm,現(xiàn)有兩個

動點P、Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以2cm/s的速度沿AB向終點B移動；點。以\cm/s的

速度沿BC向終點C移動，其中一點到終點，另一點也隨之停止.連接PQ.設動點運動時間為x秒.

（I）含x的代數(shù)式表示B。、PB的長度;

（2）x為何值時，aPB。為等腰三角形？當和△CR4相似時，求此時x的值

3.（2019?江蘇海陵?泰州中學附屬初中初三月考）如圖，對入4灰;中，NACB=90°,AC=6an,8c=8cm.動

點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3c/n的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在C8邊上以每

秒2c,"的速度向點B運動，運動時間為f秒（0Vf<W）,連接MN.

3

（I）若△BMN與△ABC相似，求f的值;

（2）連接4MCM,若AN_LCM,求，的值.

【專題訓練】

四、選擇題

1.（2020?全國初三課時練習）如圖所示，在△ABC中，AB=f>,AC=4,P是4c的中點，過P點的直

線交AB于點Q,若以A、P、Q為頂點的三角形和以A、B、C為頂點的三角形相似，則AQ的長為（）

434

A.3B.3或一C.3或一D.—

343

2.（2019?山東中區(qū)?初三期中）如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm,AC=\2cm,動點。從A點出發(fā)

到8點止，動點E從C點出發(fā)到A點止.點D運動的速度為1c，”/秒，點E運動的速度為2cm/秒.如果

兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與aABC相似時，運動的時間是（）

4.3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

3.（2020?青海西寧?初三月考）如圖，在中，NC=90°,AC=BC=6cm,點P從點A出發(fā)，沿

A8方向以每秒0cM的速度向終點8運動；同時，動點。從點B出發(fā)沿8c方向以每秒的速度向終

點C運動，將沿BC翻折，點P的對應點為點P'.設點。運動的時間為r秒，若四邊形QPCP

為菱形，則t的值為（）

C.20D.3

4.（2019?四川南充?初三三模）如圖，DABC中，NC=90°，AC=3,8C=4,M是8c邊

上的動點，過〃作MN〃AB交AC于點N,尸是MN的中點，當FA平分N3AC時，BM=（）

20201525

A.B.—c.—

IT1311

5.（2020?桐柏縣新集一中初三月考）如圖1,在矩形ABCD中，點E在CD上，NAEB=90°,點P從

點A出發(fā)，沿的路徑勻速運動到點B停止，作PQ_LC。于點Q,設點P運動的路程為x,P。長

為y,若y與x之間的函數(shù)關系圖象如圖2所示，當x=6時，PQ的值是（）

A.2

3

6.如圖，在矩形A3CQ中，BC=6,E是3C的中點，連接A￡,tanZBAE=-,。是A。邊上一動點,

4

沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在AE上的點處，當AAP/y是直角三角形時,PD的值為（）

D.W或電

A.

3737

五、填空題

7.（2020?山東省泰安第六中學初二期中）如圖，在aABC中，AB=9,AC=6,BC=12,點M在A8邊上,

且4M=3,過點”作直線MN與AC邊交于點N,使截得的三角形與原三角形相似，則MN=.

8.（2020?江西吉安?初三其他）如圖，在矩形ABC7）中，AD=2AB=2,E是BC邊上的一個動點，連接

AE,過點。作。FL4E于F,連接CF,當△CDF為等腰三角形時，則8E的長是_

9.（2020?江蘇省錫山高級中學實驗學校初三期中）如圖，正方形4BCD中，BC=2,點M是邊43的中點,

連接。M,DM與AC交于點P,點F為。M中點，點E為DC上的動點.當NDFE=45°時，則。E—.

10.（2020?合肥市第四十五中學初三期中）如圖，在矩形ABCO中，點E是線段CD上的一個動點，連接

AE,過A作AF_LAE交射線OF于點廣，若4￡>=2AB=4,連接BO交AF于點G,連接EG,當CF=1時，

EG=.

11.（2020?全國初三專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是8c邊的中點，點P是線段

A。上的動點，過P作P凡LAE于F,當以點P、/、E為頂點的三角形與△ABE相似時，4P的長為

六、解答題

12.（2020?山東初三期中）如圖，在AABC中,AB=Scin,BC=\6cm,動點尸從點A開始沿4B邊運動,

速度為Icm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動,速度為2c，”/s；如果P、。兩動點同時運動，那么何時^

QBP與△ABC相似？

13.（2019?山東省濟南匯才學校初三期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是BC邊的中點，點P

在射線AD±,過尸作PFLAE于F.

（I）請判斷△PfiA與△ABE是否相似，并說明理由；

（2）當點P在射線AD上運動時，設PA=x,是否存在實數(shù)x,使以P,F,E為頂點的三角形也與

△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由.

14.（2020?寧夏永寧?初三月考）如圖，在RfZXABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.動點M,N從

點C同時出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿。、C8向終點A,B移動，同時動點尸從點B出發(fā)，以每秒

2c,"的速度沿BA向終點A移動，連接PM,PN,設移動時間為/（單位：秒，0</<2.5）.

(1)當r為何值時，以4P,"為頂點的三角形與aABC相似？

<2)是否存在某一時刻f,使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說

明理由.

15.(2020?深圳市海濱中學初三期中)如圖，在矩形ABCQ中，A8=6cm,BC=3cm,動點尸以2c，"/s

的速度從點4出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點。以Icvn/s的速度從點C出發(fā).沿CB向點B移動，設

P、。兩點移動fs(0<fV5)后，ZSCQP的面積為Sc小

(I)在P、Q兩點移動的過程中，ACOP的面積能否等于3.6。層？若能，求出此時r的值；若不能，請說

明理由;

(2)當運動時間為多少秒時，△CPQ與△CAB相似.

16.如圖，己知△ABC是邊長為6cM的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AS、BC

勻速運動，其中點P運動的速度是lcm/s,點。運動的速度是2c/n/s,當點。到達點C時，P、。兩點都

停止運動，設運動時間為"s),解答下列問題:

(1)當尸2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由;

⑵設aBP。的面積為S(c*,求S與，的函數(shù)關系式;

(3)作QR〃8A交AC于點R,連接PR,當f為何值時，△APRSAPRQ.

B

17.(2019?遼寧昌圖?初三月考)已知：如圖①，在氏△A8C中，ZC=90°,AC=Scm,BC=6cm,點

戶由8出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為lcm/s；點。由月出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度

為2c”,/s；連接PQ.若設運動的時間為f(s)(0<Z<4),解答下列問題：

(1)當，為何值時，PQ//BC,

<2)設aAOP的面積為y(c〃)，求y與r之間的函數(shù)關系式；

(3)是否存在某一時刻，，使線段PQ恰好把放AACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時f的值;

若不存在，說明理由；

(4)如圖②，連接PC,并把沿QC翻折，得到四邊形PQP'C,那么是否存在某一時刻r,使四邊

形「QP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由.

P'

分界線

答案

【典型例題】

1.（2020?銀川外國語實驗學校初三月考）如圖，在直角梯形ABCD中，NABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,

點P為邊AB上一動點，若△用。與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是（）

4.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

2.（2020?寧夏大學附屬中學初三期中）如圖，在RrzlABC中，ZB=90°,AC=10cw,BC=6cm,現(xiàn)有兩個

動點P、Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以2cm/s的速度沿AB向終點B移動；點Q以icm/s的

速度沿8c向終點C移動，其中一點到終點，另一點也隨之停止.連接PQ.設動點運動時間為x秒.

（1）含x的代數(shù)式表示BQ、PB的長度；

（2）x為何值時，△PBQ為等腰三角形？當和ACB4相似時，求此時x的值

【答案】

解：(1)?：ZB=9(y,4c=10cm,BC=6cm,

由運動知，BQ=x(cm),AP=2x(cm),

：.PB=(8-2x)(cm),

故答案為：X,(8-2x)；

(2)由題意，得

8-2x=x,

8

Ax=—.

3

8

工當齊一時，△PB。為等腰三角形；

3

設經(jīng)過x秒，貝i]AP=2x,RQ=x,

：.PB=S-2x,

?；NPBQ=NABC=90°,

...當NBPe=NA時，XPBQs^ABC,貝ij

PBBQ8-2xx

----------,h|--------....,

ABBC86

解得x=2.4.

當N8Pfi=NC時，尸QS2\8C4,

BPBQ8-2xx

----——----,即a-------——―,

BCBA68

32

解得x=--.

11

32

所以，經(jīng)過2.4或——秒△P8Q和△C84相似.

11

3.(2019?江蘇海陵?泰州中學附屬初中初三月考)如圖，RrZkABC中,ZACB=90°,AO6cm,BC=8cm.動

點M從點B出發(fā)，在84邊上以每秒3°n的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每

10

秒2c，”的速度向點B運動，運動時間為f秒(0<7<—),連接

3

(I)若△BMN與△ABC相似，求f的值；

(2)連接AN,CM,若AN_LCM,求，的值.

XI圖2

【答案】

22=1(CW)>

(1)由題意知，BM=3lcm,CN=2lcm,：.BN=(8-2z)cm,BA=A/6+8°當

BMBN3/8—2，20

時,一，?.—,解得：t~；

BABC10811

BMBN3t8-2r*,32

當ABMNSABCA時，---=-A—=-----,解得：尸—

BCBA81023

2032

ABMN與△ABC相似時，/的值為一或一：

1123

(2)過點“作"D_LC8于點。，由題意得：DM^BMsinB-3t-—-t(CM),BDBMCOSB-3t-——t

105105

012

(cm),BM^3tcin,CN=2tcm,：.CD=(8-------1)cm,'：ANLCM,N4C8=90°,：.ZCAN+ZACM~90°,

5

NMCD+N4cM=90°,：.4CAN=NMCD,"MDLCB,：.ZMDC=ZACB-90°,：.ACAN^^DCM,：.

ACCD6

解得尸—.

~CN~~DM2t912

-t

5

【專題訓練】

七、選擇題

1.（2020?全國初三課時練習）如圖所示，在AASC中，AB=6,AC=4,P是AC的中點，過P點的直

線交AB于點Q,若以A、P、Q為頂點的三角形和以A、B、C為頂點的三角形相似，則4。的長為（）

-4_34

A.3B.3或一C.3或一D.一

343

【答案】B

2.（2019?山東中區(qū)?初三期中）如圖，在鈍角三角形4BC中，AB=（＞cm,AC=\2cm,動點。從4點出發(fā)

到B點止，動點E從C點出發(fā)到A點止.點。運動的速度為1c,”/秒，點E運動的速度為2c加/秒.如果

兩點同時運動，那么當以點A、。、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是（）

A.3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

【答案】A

3.（2020?青海西寧?初三月考）如圖，在中，ZC=90°,AC=BC=6?n,點尸從點A出發(fā)，沿

48方向以每秒J5c切的速度向終點8運動；同時，動點。從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終

點C運動，將△PQC沿8c翻折，點P的對應點為點P'.設點Q運動的時間為，秒，若四邊形QPCP'

為菱形，則t的值為（）

A.五B.2C.25/2D.3

【答案】B

4.（2019?四川南充?初三三模）如圖，nASC中，NC=90°，AC=3,BC=4,M是邊

上的動點，過M作MN〃AB交AC于點N,尸是MN的中點，當D4平分N8AC時，BM=（）

A

N

CMB

20201525

A.——B.—c.—D.

11131113

【答案】A

5.（2020?桐柏縣新集一中初三月考）如圖1,在矩形A8C。中，點后在8上，NAEB=90°,點尸從

點A出發(fā)，沿A~E~B的路徑勻速運動到點B停止，作PQ_LC￡＞于點Q,設點P運動的路程為x,PQ長

為），，若y與X之間的函數(shù)關系圖象如圖2所示，當x=6時，PQ的值是（）

96

4.2B.

55

【答案】B

3

6.如圖，在矩形A8C。中，BC=6,E是BC的中點，連接4E,tanZBAE=-,P是AD邊上一動點,

4

沿過點p的直線將矩形折疊，使點。落在AE上的點處，當AAPZ）'是直角三角形時,PD的值為（）

2或9D.W或更

A.

3737

【答案】B

八、填空題

7.（2020?山東省泰安第六中學初二期中）如圖，在△ABC中，AB=9,4c=6,BC=12,點M在AB邊上,

且AM=3,過點M作直線MN與4c邊交于點N,使截得的三角形與原三角形相似，則MN=_____.

【答案】4域6

8.（2020?江西吉安?初三其他）如圖，在矩形ABCO中，AD=2AB=2,E是BC邊上的一個動點，連接

AE,過點。作。￡LAE于尸，連接CF,當△CD尸為等腰三角形時，則8E的長是—.

【答案】I或百或2-也.

9.（2020?江蘇省錫山高級中學實驗學校初三期中）如圖，正方形ABCD中，8c=2,點M是邊A8的中點,

連接DM,ZJM與AC交于點P,點F為DM中點，點E為。C上的動點.當NOFE=45°時，則。尺.

5

【答案】一.

6

10.（2020?合肥市第四十五中學初三期中）如圖，在矩形ABC。中，點E是線段C。上的一個動點，連接

AE,過A作AELAE交射線D尸于點F,若AD=2AB=4,連接交4F于點G,連接EG,當CF=1時,

EG=

11.（2020?全國初三專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC邊的中點，點P是線段

AD上的動點，過P作PF1AETF,當以點P、F、E為頂點的三角形與AABE相似時，AP的長為______.

【答案】3或—

6

九、解答題

12.（2020?山東初三期中）如圖，在△ABC中,AB=&cm,BC=\6cm,動點P從點A開始沿AB邊運動,

速度為lcm/s；動點Q從點B開始沿RC邊運動,速度為2cm/s；如果P、。兩動點同時運動，那么何時^

QBP與△ABC相似?

【答案】

解：設經(jīng)過，秒時，以△QBC與△ABC相似,

則AP=2r,BP=8-2t,BQ=4t.

?：ZPBQ=ZABC,

BPBQ

.,.當——=-^時，△BPQS4BAC,

ABBC

即胃哈解得:心

當空=些時，△BPQs2BCA,

BCBA

8-2/4r…

------——，解得：尸0.8s；

168

即經(jīng)過2秒或0.8秒時，4QBC與AABC相似.

13.(2019?山東省濟南匯才學校初三期中)如圖，正方形A8CD的邊長為8,E是BC邊的中點，點P

在射線AD上，過戶作PF1AE于F.

(1)請判斷必與aABE是否相似，并說明理由;

<2)當點P在射線AD上運動時，設PA=x,是否存在實數(shù)x,使以P,F,E為頂點的三角形也與

△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由.

【答案】

(1)證明；

ZPAF^ZAEB.

?.?NPA4=N48E=90°,

:.RPFNsRABE.

若△EFPSAABE,則NPEF:NEAB.

如圖，連接尸反。￡

：.PE//AB,

???四邊形A8律為矩形.

???必二四=2,即x=2.

如圖，延長AO至點尸,作尸F(xiàn)J_AE于點尸，連接PE,

若APFESAABE,貝ijNPEb=NAE8

???NR4F二乙4￡8,

ZPZTF=ZB4F.

：.PE=RA,

?；PF1AE,

???點尸為AE的中點.

?；AE=1AB?+BE?=2亞,

：.EF=萬心6

???三變，即隼好

AEEB25/52

：.PE=5,即戶5.

...滿足條件的x的值為2或5.

14.(2020?寧夏永寧?初三月考)如圖，在知△ABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.動點M,N從

點C同時出發(fā)，均以每秒lc/n的速度分別沿C4、CB向終點A,B移動，同時動點P從點B出發(fā)，以每秒

2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM,PN,設移動時間為r(單位：秒，0<r<2.5).

(1)當，為何值時，以A,P,"為頂點的三角形與△ABC相似？

(2)是否存在某一時刻,,使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說

明理由.

【答案】

解：?.?如圖，在RfZXABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.

.?.根據(jù)勾股定理，得AB=JAC?+BC?=5cm.

(1)以A,尸，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：

APAM5—2，4-r,3

①當△AMPs/XABC時，----=-----,即------=-----,解得z￡=—：

ACAB452

AMAP4-t5-2t

②當時，----=——，即-----=------,解得片0(不合題意，舍去).

ACAB45

3

綜上所述，當，=一時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似.

2

(2)存在某一時刻/,使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下:

假設存在某?時刻/,使四邊形4PNC的面積S有最小值.

如圖，過點P作8c于點則PH〃AC,

...s有最小值.

3、21

當f=一時,S"小",=—.

25

321

答：當，=一時，四邊形4PM7的面積5有最小值，其最小值是一.

25

15.（2020?深圳市海濱中學初三期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm,動點P以2cm/s

的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點。以Icm/s的速度從點C出發(fā).沿CB向點B移動，設

P、。兩點移動IS（0<r<5）后，ACOP的面積為Sc〃?2

51--------------

（1）在P、Q兩點移動的過程中，4002的面積能否等于3.60〃2?若能,求出此時，的值；若不能，請說

明理由；

（2）當運動時間為多少秒時，△CPQ與△C48相似.

【答案】

解：（1）如圖1,過點P作P〃于點〃，

B\---------?——

H。=°

圖1

在矩形ABCD中,

AB=6cm,BC=8cm,

.,.AC=10cm,

當運動fs(0V/V5)時，AP=2tcm,PC=(10-2/)cm,CQ=tcm,

,:NACB=NHCP,NB=/PHC,

:APHCSAABC,

,PHCP

~AB~~~CA

/.PH=—(10-2/)cm,

5

根據(jù)題意，得—（10-2/）=3.6,

25

解得：A=2,,2=3.

答：當,的值為2s或3s時，△CQP的面積等于3.6”小時.

(2)如圖2,當NPQC=90°時，PQLBC,

?：AB1BC,AB=6,BC=8,QC=t,PC=\0-21,

.PCCQ

,7cBC

10—2f

即-------

108

40.

解得，=(秒);

13

如圖3,當NCP0=90°時，PQA.AC,

■:NACB=4QCP,NB=NQPC,

,CP_CQ

"SCAC'

即號

10

解得/=（秒）.

7

綜上所述，f為一秒與——秒時，△CPQ與△C48相似.

137

16.如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、。同時從4、B兩點出發(fā)，分別沿4B、BC

勻速運動，其中點P運動的速度是lc,”/s,點Q運動的速度是2c/n/s,當點。到達點C時，P、Q兩點都

停止運動，設運動時間為“S),解答下列問題：

(1)當匚2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；

(2)設ABP。的面積為5(“泳)，求S與，的函數(shù)關系式;

(