2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，且P(X<1.8)=0.47，則P(2<X≤2.2)=A.0.02 B.0.03 C.0.07 D.0.082.已知一個(gè)圓錐底面半徑為5cm，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為(

)A.1cm B.2.5cm C.5cm D.10cm3.已知函數(shù)f(x)=x2，則Δx→0limA.1 B.2 C.4 D.64.電視臺(tái)有6個(gè)不同的節(jié)目準(zhǔn)備當(dāng)天播出，每半天播出3個(gè)節(jié)目，其中某電視劇和某專題報(bào)道必須在上午播出，則不同播出方案的種數(shù)為(

)A.24 B.36 C.72 D.1445.函數(shù)f(x)=cosx+12x，x∈[?πA.[?π2,π6] B.[6.在三棱錐O?ABC中，已知BE=23BC，G是線段AE的中點(diǎn)，則A.12OA+13OB+167.已知函數(shù)f(x)=x3+mx2，若?x1，x2∈R，A.3 B.6 C.28.甲箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球.先從甲箱中等可能地取出2個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲械瓤赡艿厝〕?個(gè)球，記事件“從甲箱中取出的球恰有i個(gè)紅球”為Ai(i=0,1,2)，“從乙箱中取出的球是黑球”為B，則(

)A.P(A0)=13 B.P(B|A二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若(1?2x)5=aA.a0=1B.a1=?5

C.10.在空間中，l，m是不重合的直線，α，β是不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若l/?/m，m?β，則l/?/β

B.若m⊥l，m⊥α，l⊥β，則α⊥β

C.若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，則l⊥β

D.若m/?/α，m//β，α∩β=l，則m/?/l11.已知函數(shù)f(x)=x+a(1?ex)，則下列說(shuō)法正確的有A.曲線y=f(x)恒過(guò)定點(diǎn) B.若a=1，則f(x)的極小值為0

C.若a<0，則f(x)<f(x2+1) D.若a>2，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某小吃店的日盈利y(單位：百元)與當(dāng)天平均氣溫(單位：℃)之間有如下數(shù)據(jù)：x/℃?2?1012y/百元54221由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程y=ax+b中a=?1.試預(yù)測(cè)當(dāng)天平均氣溫為?3.2℃13.設(shè)隨機(jī)變量X～B(2,p)，且P(X=0)=116，則p=______；若Y=2X?1，則Y的方差為_(kāi)_____．14.已知六棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1正六邊形，且頂點(diǎn)均在同一球面上，若該棱錐體積的最大值為23，則其外接球的表面積為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1．

(1)求證：A1C⊥平面AB16.(本小題15分)

為調(diào)查喜歡山地自行車項(xiàng)目是否和性別有關(guān)，某自行車店隨機(jī)發(fā)放了30份問(wèn)卷，并全部收回，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到如下2×2列聯(lián)表：男性女性喜歡124不喜歡68(1)能否有99%的把握認(rèn)為喜歡山地自行車項(xiàng)目和性別有關(guān)？

(2)在上述喜歡山地自行車項(xiàng)目的受訪者中隨機(jī)抽取3人，記其中男性的人數(shù)為X，求X的分布列．

附：K2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?x，g(x)=ax2?2ax，a>0．

(1)設(shè)曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線為l，若l與曲線y=g(x)相切，求a；

(2)設(shè)函數(shù)?(x)=f(x)+g(x)，討論18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB⊥平面PAD，AD//BC，CD=AP，AD=3，PD=AB=BC=6.點(diǎn)E在棱PA上且與P，A不重合，平面BCE交棱PD于點(diǎn)F．

(1)求證：AD/?/EF；

(2)若E為棱PA的中點(diǎn)，求二面角A?BE?C的正弦值；

(3)記點(diǎn)A，P到平面BCE的距離分別為d1，d2，求d1219.(本小題17分)

箱子中有大小和質(zhì)地相同的紅球、白球和黑球共N個(gè)，其中紅球的個(gè)數(shù)為n(n>1)，現(xiàn)從箱子中不放回地隨機(jī)摸球，每次摸出一個(gè)球，并依次編號(hào)為1，2，3，…，N，直到箱子中的球被摸完為止．

(1)求2號(hào)球?yàn)榧t球的概率(用N與n表示)；

(2)若N=11，n=5，記隨機(jī)變量X為最后一個(gè)紅球被摸出時(shí)的編號(hào)，求E(X)；

(3)若箱子中白球、黑球的個(gè)數(shù)分別為n，2n，求紅球先于白球和黑球被摸完(紅球被全部摸出，白球和黑球都有剩余)的概率．

參考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.A

6.D

7.B

8.D

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.6

13.34

314.289π1615.(1)證明：由直棱柱可得：平面ABC⊥平面A1C1CA，平面ABC∩平面A1C1CA=AC，

AB⊥AC，AB?平面ABC，

所以AB⊥平面A1C1CA，A1C?平面A1C1CA，

所以AB⊥A1C，

又因?yàn)锳C=AA1，即四邊形A1C1CA為正方形，

所以A1C⊥AC1，

又因?yàn)锳B∩AC1=A，

所以A1C⊥平面ABC1；

(2)由(1)可設(shè)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，

設(shè)AB=1，則AB=AC=AA1=1，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)16.解：(1)零假設(shè)H0：喜歡山地自行車項(xiàng)目和性別無(wú)關(guān)，

由題可得K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=30(12×8?6×4)2(12+4)(12+6)(4+8)(6+8)=4514≈3.214<6.635，

由小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷H0成立，

即沒(méi)有99%的把握認(rèn)為喜歡山地自行車項(xiàng)目和性別有關(guān)；

(2)由題可得男性的人數(shù)X可能取值為：0，1，2，3，X0123P193311

17.解：(1)f′(x)=1x?1，f′(1)=0，且f(1)=?1，

所以曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線為y=?1，

則y=?1y=ax2?2ax，得ax2?2ax+1=0，

因?yàn)閥=?1與g(x)=ax2?2ax相切，

所以Δ=4a2?4a=0，得a=0(舍)或a=1；

(2)?(x)=f(x)+g(x)=lnx?x+ax2?2ax=lnx+ax2?(2a+1)x的定義域?yàn)?0,+∞)，

則?′(x)=1x+2ax?(2a+1)=2ax2?(2a+1)x+1x=(2ax?1)(x?1)x，

因?yàn)閍>0，

令?(x)=0，得x=1或x=12a，

當(dāng)0<a<12時(shí)，12a>1，當(dāng)x∈(0,1和(12a,+∞)時(shí)，?′(x)>0，函數(shù)?(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1,12a)時(shí)，?′(x)<0，函數(shù)?(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)a>12時(shí)，12a<1，

所以當(dāng)x∈(0,12a)和(1,+∞)時(shí)，18.解：(1)因?yàn)锳D//BC，BC?平面BCEF，AD?平面BCEF，所以AD/?/平面BCEF．

又AD?平面PAD，平面PAD∩平面BCEF=EF，所以AD/?/EF．

(2)取BC中點(diǎn)M，連接DM，如圖所示：

因?yàn)锳B⊥平面PAD，AD?平面PAD，所以AB⊥AD．

在四邊形ABMD中，AD/?/BM，且AD=BM=3，

所以四邊形ABMD為矩形，DM⊥平面PAD．

又在△PDA和△DMC中，PD=DM=6，DA=MC=3，AP=CD．

所以△PDA?△DMC(SSS)，所以PD⊥AD，所以DA，DM，DP兩兩垂直．

以D為原點(diǎn)，分別以DA、DM、DP所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

當(dāng)E為PA中點(diǎn)時(shí)，A(3,0,0)，B(3,6,0)，C(?3,6,0)，P(0,0,6)，E(32,0,3)．

所以AB=(0,6,0)，CB=(6,0,0)，EB=(32,6,?3)．

設(shè)平面ABE的法向量為n=(x1,y1,z1)，

則n⊥ABn⊥EB，即(x1,y1,z1)?(0,6,0)=0(x1,y1,z1)?(32,6,?3)=0，化簡(jiǎn)得y1=0x1?2z1=0，取n=(2,0,1)．

設(shè)平面BEC的法向量為m=(x2,y2,z2)，

則n⊥CBn⊥EB，即(x2,y2,z2)?(6,0,0)=0(x2,y2,z2)?(32,6,?3)=0，化簡(jiǎn)得x19.解：(1)設(shè)事件Ai：第i號(hào)球?yàn)榧t球，

則P(A2)=P(A1A2)+P(A1?A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1?)P(A2|A1?)=nN?n?1N?1+N?nN?nN?1=nN；X567891011P1CCCCCCE(X)=5C115+6C54C115+7C64C115+8C74C115+9C84C115+10C94C11