2023-2024學年浙江省杭州市高一（下）期末數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年浙江省杭州市高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z=1+i1?i(i是虛數(shù)單位，i2=?1)A.1 B.±1 C.2 D.2.已知向量a=(k?1,1)，b=(k+3,k).若a/?/b，則實數(shù)kA.3 B.?1 C.3或?1 D.?3±3.已知α，β表示兩個不同的平面，a，b，c表示三條不同的直線，(

)A.若b/?/a，a?α，則b/?/α

B.若a?α，b?α，c⊥a，c⊥b，則c⊥α

C.若a?α，b?α，a/?/β，b/?/β，則α/?/β

D.若a⊥α，a/?/b，b?β，則α⊥β4.已知a>0，b∈R，則a>b是a>|b|的(

)A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.在△ABC中，角A，BC，的對邊分別為a，b，c.若b=2，A=45°，C=75°，則a的值為(

)A.22 B.236 6.為了得到函數(shù)y=sin2x的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象(

)A.向右平移π4個單位長度 B.向右平移π2個單位長度

C.向左平移π4個單位長度 D.7.在某種藥物實驗中，規(guī)定100ml血液中藥物含量低于20mg為“藥物失效”.現(xiàn)測得實驗動物血液中藥物含量為0.8mg/ml，若血液中藥物含量會以每小時20%的速度減少，那么至少經(jīng)過(????)個小時才會“藥物失效”.(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010)A.4 B.5 C.6 D.78.已知sinθ，cosθ是方程x2?2sinα?x+sinA.4 B.3 C.2 D.1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a>b，則(

)A.0.1a>0.1b B.10a>10.如圖的“弦圖”由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形.設(shè)直角三角形的兩個銳角分別為α，β(α<β)，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為5，則(

)A.每一個直角三角形的面積為1

B.sinα=2sinβ

C.cosα=2cosβ

D.cos11.在平面直角坐標系xOy中，角θ以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點P(a,b)，|OP|=m(m≠0)，定義函數(shù)f(θ)=a+bm，則(

)A.x=π2是函數(shù)y=f(θ)的一條對稱軸 B.函數(shù)y=f(θ)f(?θ)是周期為π的函數(shù)

C.f(θ)+f2(θ)≤2+三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合A={1,2}，B={?a,a2+3}，若A∪B={1,2,4}，則實數(shù)a13.已知x+lny=1，則ex+y的最小值為______．14.一個呈直三棱柱的密閉容器，底面是邊長為63的正三角形，高為6，有一個半徑為1的小球在這個容器內(nèi)可以向各個方向自由滾動，則小球能接觸到的容器內(nèi)壁的最大面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)函數(shù)f(x)=xx2+1．

(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[?1,1]上的單調(diào)性，并用定義證明結(jié)論；

(2)若x∈[16.(本小題15分)

如圖，點P，Q分別是矩形ABCD的邊DC，BC上的點，AB=2,AD=3．

(1)若DP=λDC,BQ=λBC,0≤λ≤1，求AP?AQ的取值范圍；

(2)若P是DC的中點，M1，M2，17.(本小題15分)

已知實數(shù)a<0，設(shè)函數(shù)f(x)=cos2x+asin2x?a2，且f(π6)=?34．

(1)求實數(shù)a，并寫出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；18.(本小題17分)

在三棱錐A?BCD中，AB=9，其余各棱的長均為6，點E在棱AC上，AE=2EC，過點E的平面與直線CD垂直，且與BC，CD分別交于點F，G．

(1)求線段FG的長度；

(2)求二面角A?CD?B的余弦值；

(3)求點C到平面DEF的距離．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)，g(x)，?(x)的定義域均為R．

定義：①若存在n個互不相同的實數(shù)x1，x2，…，xn，使得f(g(xi))=?(f(xi))(i=1,2,3,…,n)，則稱g(x)與?(x)關(guān)于f(x)“n維交換”；

②若對任意x∈R，恒有f(g(x))=?(f(x))，則稱g(x)與?(x)關(guān)于f(x)“任意交換”．

(1)判斷函數(shù)g(x)=x+1與?(x)=x?1是否關(guān)于f(x)=x2“n維交換”，并說明理由；

(2)設(shè)f(x)=a(x2+2)(a≠0)，g(x)=x2+bx?1，若存在函數(shù)?(x)，使得g(x)與?(x)關(guān)于f(x)“任意交換”，求b的值；

(3)設(shè)參考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.B

6.A

7.D

8.C

9.BD

10.ACD

11.BCD

12.?1

13.214.7215.解：(1)函數(shù)f(x)在[?1,1]上單調(diào)遞增，

證明：任取x1<x2∈[?1,1]，

則f(x1)?f(x2)=x11+x12?x21+x22=x1(1+x22)?x2(1+x12)(1+x12)(1+x22)

=(x1?x2)(1?x1x2)(1+x12)(1+x22)，

因為?1≤x1<x2≤1，

所以x1?x2<0，1?x16.解：(1)由題意，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，

DP=λDC,BQ=λBC,0≤λ≤1，

則AP?AQ=(AD+DP)?(AB+BQ)

=AD?λBC+λDC?17.解：(1)由題f(π6)=34+a?32?a2=?34，

即a2?32a?32=0，解得a=?32，

所以f(x)=1+cos2x2?32sin2x?34=?sin(2x?π6)?14，

令2kπ?π2≤2x?π18.解：(1)因為過點E的平面與直線CD垂直，且與BC，CD分別交于點F，G，

故CD⊥EF，CD⊥EG，CD⊥FG，

在平面ACD內(nèi)，過E作CD的垂線，垂足為G，

由AE=2EC，可知EC=2，結(jié)合△ACD為等邊三角形，可知CG=1，

過G作CD的垂線，交BC于F，

結(jié)合∠DCB=60°，可知CF=2，F(xiàn)G=3；

(2)取CD中點M，則CD⊥AM，CD⊥BM，

故∠AMB為二面角A?CD?B的平面角，

易知AM=BM=33，

由余弦定理得cos∠AMB=?12；

(3)設(shè)C到平面DEF的距離為?，則由VC?DEF=VE?CDF，

可得S△DEF??=S△CDF?EG?sin2π3，

由余弦定理得DE2=CD2+CE2?2CD?CEcosπ3=2819.解：(1)g(x)與?(x)關(guān)于f(x)是“1維交換”，

理由如下：因為f(g(x))=(x+1)2，?(f(x))=x2?1，

令f(g(x))=?(f(x))，

所以(x+1)2=x2?1，

解得x=?1，所以f(g(x))=?(f(x))有唯一解x=?1，

所以g(x)與?(x)關(guān)于f(x)“1維交換”．

(2)由題意可知，對任意的x∈R，f(g(x))=?(f(x))成立，

即對任意的x∈R，a[(x2+bx?1)2+2]=?(a(x2+2))因為?(x)為函數(shù)，

且?(a(?x)2+2)=?(a(x2+2))，

故b=0，

故a[(x2?1)2+2]=?(a(x2+2))，

即a[(a(x2+2)a?3)2+2]=?(a(x2+2))，

所以?(x)=a[(xa?3)2+2]=x2a?6x+11a，

綜上所述，b=0．

(3)由題意知，令F(x)=f(g(x))??(f(x))