2021人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下《平行四邊形》常考題提高含答案

八年級(jí)下冊(cè)《平行四邊形》

常考題提高專練

1.如圖，在正方形為83中，AB=5cm,￡為對(duì)角線劭上一動(dòng)點(diǎn)，連接布、CE,過￡點(diǎn)作

EFLAE,交直線8c于點(diǎn)尸，￡點(diǎn)從8點(diǎn)出發(fā)，沿8〃方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)￡

與點(diǎn)。重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)△皮尸的面積為ya?/,￡■點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為*秒.

(1)點(diǎn)￡在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，試說明總有：CE=EF；

(2)求jz與x之間關(guān)系的表達(dá)式，并寫出x的取值范圍.

備用圖

2.如圖，。ABCD中,BE平分NABC交AD于E,CF平分/BCD交AD于F.

(1)求證：AF=DE;

(2)若￡為4)的三等分點(diǎn)(靠近4點(diǎn))，BE=B,CF=6,求直線47與8c之間的距離.

3.已知，在長(zhǎng)方形/仇切中，43=8,BC=6,AE,尸分別是邊48,8c上的點(diǎn)，連接?！?

DF,EF.

1

(1)如圖①，當(dāng)C尸=2維=2時(shí)，試說明△際是直角三角形：

(2)如圖②，若點(diǎn)￡是邊力8的中點(diǎn)，DE斗分ZADF,求6尸的長(zhǎng).

圖①圖②

4.四邊形〃是正方形"是仇?邊上的一點(diǎn)，E是面邊的中點(diǎn)，〃"平分

圖1圖2

(1)求證：AM=AD^MC.

(2)若四邊形是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2,試判斷力44＞雨

是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；

5.如圖，口ABCD中,DF平分NADC史AC于點(diǎn)H,G為力/的中點(diǎn).

(1)如圖①，若"為4)的中點(diǎn)，ABLAC,AC=9,CF=Q,C42遙，求G附：

(2)如圖②，的為線段48上一點(diǎn)，連接MF,滿足NMCD=NBCG,ZMFB=4BAC.求證:

MX2CG.

2

圖①圖②

6.如圖，矩形力&?〃的對(duì)角線交于點(diǎn)0,點(diǎn)F是矩形外的一點(diǎn)，其中〃劭，BE//AC.

(1)求證：四邊形4砥7是菱形；

(2)若N4?B=30°,連接CE交于做于點(diǎn)尸，連接力尸，求證：4F平分NBAO.

7.如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡、尸分別在48、BC上(AE<B$且，EOF=

90°,OE、，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)“，OF、48的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)乂連接做

(1)求證：OM=ON.

(2)若正方形483的邊長(zhǎng)為4,￡為的的中點(diǎn)，則麻=.

8.已知：平行四邊形力胸中，BD^CD,且N/8P=45°,過。作力」48于尸，點(diǎn)￡是

3

的中點(diǎn)，連接&F交。尸于點(diǎn)。，點(diǎn)G是熊的中點(diǎn)，過8作8”！劭交。G的延長(zhǎng)線于

(1)若48=2,求8的長(zhǎng)；

(2)求證：DP^BH.

9.如圖所示，在長(zhǎng)方形/口?〃中，4B=8cm,3C^12cm,￡為49的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)。在線段8c

上以4c勿/s的速度由點(diǎn)8向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。在線段切上由點(diǎn)C向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為t(5).

(1)當(dāng)t=2時(shí)，求△郎的面積；

(2)若動(dòng)點(diǎn)。以與動(dòng)點(diǎn)?不同的速度運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少秒，△商與全等？此時(shí)點(diǎn)0

的速度是多少？

(3)若動(dòng)點(diǎn)。以(2)中的速度從點(diǎn)C出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)。以原來的速度從點(diǎn)8同時(shí)出發(fā)，都

逆時(shí)針沿長(zhǎng)方形483的四邊形運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少秒，點(diǎn)。與點(diǎn)。第一次在長(zhǎng)方形48C〃的

哪條邊上相遇？

10.如圖，在四邊形力比》中，點(diǎn)G在8C的延長(zhǎng)線上，CE平分2BCD,CF斗分■匕GCD，過點(diǎn)

D作DELGE于點(diǎn)E,DFX.GF于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形史?6■尸是矩形；

4

(2)添加一個(gè)條件,使四邊形。燈尸是正方形(不用證明)

11.如圖，在正方形為83中，G是對(duì)角線做上的一點(diǎn)，GELCD,GFLBC,點(diǎn)E,尸分別為

垂足，連接4G,EF.

(1)求證：AG=EF\

(2)若N，430°,G￡=1,求正方形力成盟的面積.

12.如圖，已知平行四邊形力反步中，中垂直平分線段做，連接DF.

(1)求證：四邊形陽方是菱形；

(2)若AB=3近,4)=6,N仍。=135°,求然的長(zhǎng).

13.如圖，點(diǎn)8在線段力尸上，AB=8,BF=4,分別以48,8廠為邊在線段4尸的同側(cè)作正方

形ABCD和正方形8FGE,連接C￡DE.

(1)求證：CF=DE；

5

(2)連接。G,若〃是。G的中點(diǎn)，求仍的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下延長(zhǎng)8〃交緲于求。/的長(zhǎng).

14.如圖，在四邊形為8"中，AD//BC,NB=90°,4g16cm,DX13cm,BC^2\cm,動(dòng)點(diǎn)

戶從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2cm的速度在射線8c上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)4出發(fā)，在

線段47上，以每秒1cm的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,。分別從點(diǎn)8,4同時(shí)出發(fā).當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)。隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形以“C是平行四邊形.

(2)是否存在點(diǎn)。，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的大的值，

若不存在，請(qǐng)說明理由.

15.已知在線段48上有一點(diǎn)C(點(diǎn)C不與力、8重合且/4O8C),分別以AC、8c為邊作正

方形ACED和正方彩BCFG,其中點(diǎn)尸在邊CE上,連接AG.

6

(1)如圖1,若AX7,8G=5,則4;=;

(2)如圖2,若點(diǎn)C是線段48的三等分點(diǎn)，連接/!￡、EG,求證：△/!&?是直角三角形.

參考答案

1.證明：(1)如圖1,過E作椒〃力氏交4?于交仇?于乂

7

D

BN

圖1

???四邊形A8CD是正方形,

：.AD//BG,ABI.AD,

:.MN工AD,MNLBC,

:./AME=NFNE=9N=NNF日4FEN,

VAELEF,

:.ZAEF=/AE雌4FEN=9G,

:./AEM=/NFE,

VZDBC=45°,NBNE=9G,

：.BN=EN=AM,

：.^\AEM^/\EFN{AAS},

:.AE=EF,

???四邊形ABC。是正方形,

：.AD=CD,NADE=4CDE,

'：DE=DE,

:.XADEQXCDEQSAS),

：.AE=CE,

:.CE=EF,,

(2)在RtZ\8CZ?中，由勾股定理得：BD=452+52=鞏^,

由題意得：BE=x,

V2

:.BN=EN=^x,

2

由(1)知：AE=EF=EC,

分兩種情況：

8

①當(dāng)OWxW時(shí)，如圖1,

2

■:AB=MN=5,

：.BF=FN-BN=5-與一冬=5一屆,

?'?^yBF-EN^（5-V2x）,-y-x^^-x-yx2;

②當(dāng)22<XW5正時(shí)，如圖2,迂E岷ENLBC千N,

：.EN=BN=

：.FN=CN=5-

：.BF=BC-2CN=5-2（5-拳x）=心-5,

?',^yBF'EN^（亞x-5）?喙

綜上，v與x之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式為：y=.

會(huì)2學(xué)式平＜x。后)

2.(1)證明：???四邊形力8CZ?是平行四邊形,

:.AB=DC,AB//DC,AD//BC,

：.4AEB=NCBE,ADFC=ABCF,

‘：BE平分4ABC,CF^分/BCD.

：.4ABE=/CBE,4DCF=4BCF,

：?4AEB=/ABE,/DFg/DCF,

：.AE=AB,DF=DC,

:.AE=DF,

:.A日EF=DF+EF,

9

即AF=DE\

(2)解：作EM1BC于M,如圖所示：

由(1)得：AE=DF,

?：E為的三等分點(diǎn)，

：.AE=EF=DF,

過點(diǎn)E作EP"CF交仇?于P,

則NBPE=NBCF,四邊形。底是平行四邊形,

：.EP=CF=6,

?:AB〃DC,

:?NABa/DCB=\8G0,

■:BE斗分4ABC,CF?分/BCD.

:.NABE=NCBE,NDCF=4BCF,

:?/CBEMBCF=M,

:./CB3/BPE=9G,

:.NBEP=9G,

???BP=VBE2+EP2=VS2+62=10,

.?BEXEP_8X6

?.-----------=-----=-4-.8,

BP10

即AD巧8C之間的距離為4.8.

:,BE=1,

:?AE=AB-BE=7.

??,四邊形ABCD是短形,

:.NA=4B=4C=90°,CD=AB=8,AD=BC=6,

在Rt/\ADE中，。后=At+AC=6H=B5,

在Rt△仇正中，=D(f+=82+22=68,

10

在Rt△啊?中，左=8聲房=「+42=17,

:.D戶+E/=D后,

△詆是直角三角形，且NZVE=90°；

(2)解：作EHLDF于H,

就NA=NDHE=9G°.

'：DE平分NADF,

:./ADE=/HDE,

，ZA=ZDHE

在叢AED和叢HED中,<ZADE=ZHDE,

DE=DE

：./\AED^/\HED(加S),

:.DA=D46,EA=EH=4,

:.EH=EB=4,

(EF=EF

在RtZ\fi6F和Rt△斯中，i,

lEH=EB

...RtZ\￡7&Rt△新(也)，

:.BF=HF.

設(shè)BF=x,則HF=x,CF=6-x,

:.DF=D*HF=6+x,

在RtZXCZ?「中，De+Cf?=D戶,

82+(6-x)2=(6+x)2,

4.解：(1)如圖1,過點(diǎn)￡作日」4/于點(diǎn)尸，連接EM,

11

BMC

圖1

???四邊形ABC。是正方形,

：.ZD=ZC=9Q°,

:./D=/AFE,

?：AE平分NOAM,

：./DAE=4FAE,

AE=AE,

:?XAD恒IXAFE〈AAS),

：.AD=AF,DE=FE,

?:E是微邊的中點(diǎn)，

：.DE=EC,

:?FE=EC,

EM=EM,

:.RQEFMQRtAECM(HL),

：.FM=MC.

：.AM=AF+FM=AD^MC.

(2)成立，理由如下：

如圖2,過點(diǎn)E作日」4/于點(diǎn)打，連接W

???四邊形49切是矩形，

：.ZD=ZC=90°,

,4D=4AFE,

12

,?AE斗■超乙DAM,

：./DAE=/FAE、

AE=AE,

：.^ADE^/\AFE(A4S),

：.AD=AF,DE=FE,

?:E是CO邊的中點(diǎn)，

：.DE=EC,

:?FE=EC,

EM=EM,

：.Rt/\EFM^RSECM(HL),

：.FM=MC.

：.AM=AF+FM=Al>MC.

所以彳除=4>例成立.

5.M：(1)???□ABCD,ABLAG,

：.ZBAC=ZACD=9Q°,

?:G為ZW的中點(diǎn),

：.CG=HG=GD,

■:CG=2后,

:.HD=4炳,

■:DF斗分4ADC,

：.乙DFC=NADF=NCDF,

:.CF=CD,

、：CF=8,

:?CD=8,

在RtZ\//⑺中，HC=4,

?：AC=9,

:.AH=5,

?:M為4。的中點(diǎn),

15

：.MG=—AH=--.

22

13

(2)如圖②，過點(diǎn)。作ZW〃47,交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)乂

圖②

:,乙N=4ACN,/DAC=4ADN,

?:G為力/的中點(diǎn)，

：.DG=HG1且/N=NACG,NCGH=4DGA,

:.△CGH^RNGD(A4S)

：.GC=GN,

：.CN=2CG,

,?4MCD=4BCG,

:./FCM=/DCN,

??,四邊形力伙力是平行四邊形，

:?4B=/ADC,AD//BC,

：.NDAC=ZACB=NADN,

■：NMFB=NBAC,NB=NB,且NBMF=W-/B-NBFM,NACB=、8G-￡B-￡BAC,

：./BMF=4ACB,

：.4BMF=4ADN,

J4BMR4B=4AD24ADC,

:?/MFG=/NDC,且CF=CD,/FCM=4DCN,

???△林g△也?C{ASA}

：.CM=CN,

：.CM=2CG.

6.解：(1)證明：,:AE"BD、BEUAG.

???四邊形力的是平行四邊形,

???四邊形ABCD是矩形,

14

:,AC=BD,

：.0A=OB,

???四邊形力砥?是菱形；

(2),??四邊形彳皈是菱形，

：.AO=BE,AO//EB,

：.4C0F=4EBF,

???四邊形49切是矩形，

：.AO=OC=OB=OD,

：.EB=OC9

在尸和△砌7中，

<ZCFO=ZEFB

<ZCOF=ZEBF,

CO=EB

:?△COFQXEBFQAAS),

：.OF=BF,

VZADB=30°,AO=OD,

:.NADB=/DA0=3G,

:.NA0B=NAD訃NDAO=,

???△478是等邊三南形，

?：OF=BF,

???力廠平分/%0.

7.(1)-：ZEOF=90°,ZAOB=90°

：.4A0M=/BON,

在△4。的和△80”中，

NAOM=4B0N,

OA=OB,

/OAM=/OBN

：.^AOM^/\BON(ASA)

：.OM=ON.

(2)如圖，過點(diǎn)。作0H1AD于點(diǎn)、H,

15

:正方形的邊長(zhǎng)為4,

：.0H=HA=2,

?:E為掰的中點(diǎn)，

則OM^A/2+42VB,

.?.麻=20"=2X(2代)2=40.

故答案為:40.

8.(1)解：如圖，過.P作PMLBD千M,

:四邊形483是平行四邊形，

:.CXAA2,

'：BMCD,

：.AB=BD=2,

是4〃的中點(diǎn),

NDBE=/.ABE,

■:PFLAB,PM'BD,

：.PF=PM,

:NABD=45°,

：.△劭尸是等腰直角三角形，

:.DF=BF=M，NBDF=A5°,

：.DM=PM,PD=y[2PM,

柱叢BFP和叢BMP中，

,.fPF=PM

,lBP=BP，

:.Rt/XBFP^RSBMP(HD,

."仁8尸=&,

16

???加2-&,

????！┘?。仁2祀-2；

(2)證明：連接4戶，

VZDEP=ZPFB=90°,NEPD=4FPB,

:?/EDP=/FBP,

在叢ADF和APBF中，

<ZADF=ZPBF

；DF=BF,

lZAFD=ZBFP=90"

:.XADFQXPBF〈AS4,

:?PF=AF,

???NW=45°,

；BD±BH,

：.^DBH=9Q°,

■:4DBF=45°,

:./HBG=9G-45°=45°,

:./PAF=/HBG,

在和△8〃G中，

'/PAF=ZHBG

???<AG=BG,

ZPGA=ZHGB

:?△APG^ABHGQASQ,

:?BH=AP,

?:AB=BD,N480=45°,

JN%8=N4〃8=67.5°,

RtZkXZ7「中，ZADP=ZDAP=22.5°,

：.AP=DP,

：.DP=BH.

17

D

9.解：(1)當(dāng)/'=2時(shí)，BP=2X4cm=8cm

■:E為48的中點(diǎn),

BE=^AB=^X8cm=4cm,

:長(zhǎng)方形ABCD

：.NB=90°

：.S^CBP=^BE'8「春X4X8=16(COT).

(2)設(shè)點(diǎn)。的速度是acm/s,則BP^4t(COT),CQ=at(.cm),

:.PX(12-4t)(cm),

?：AEBPg叢CQP生等,ZB=40=90。

：.△EBP^△0C0或△EBP^△QCP

當(dāng)△砥儂△夕C0時(shí)，PC=EB,CQ=BP

.?.12-41=4,解得亡=2,

：.2a=4X2

；.a=4,與動(dòng)點(diǎn)。以與動(dòng)點(diǎn)夕不同的速度運(yùn)動(dòng)矛盾.

當(dāng)△砥儂△仇火時(shí)，CP=BP,CQ=BE

A12-4t=4t,解得t=),

a=4,解得a=&(.cm/s');

23

答：經(jīng)過3秒，XEBPW4CQP全等:此時(shí)點(diǎn)。的速度是出■cWs;

23

(3)設(shè)經(jīng)過X秒，點(diǎn)。與點(diǎn)。第一次在長(zhǎng)方形4及Q的邊上相遇;

則：4x=12+—x,解得：x=9

3

此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程為：4X9=36{cm),.二點(diǎn)夕在48的中點(diǎn)處，

18

答：設(shè)經(jīng)過9秒，點(diǎn)夕與點(diǎn)。第一次在長(zhǎng)方形為8CD的邊48上相遇.

10.(1)證明：DEI.CE,DFLCF,

二CE4分/BCD、C尸平分NGCR

AZ.DCE=^BCD,ADCF=^^DCG,

:.NDCB~NDCF=g(BCNZDCG=90°,

即NFC尸=90°,

四邊形DECF是矩形;

(2)解：添加條件：DE=CE,理由如下：

:四邊形巫C尸是矩形，DE=CE,

四邊形DECF是正方形;

故答案為：〃￡=龍(答案不唯一).

11.證明：(1)連接GC,

'：GE±CD,GFLBC,

AZGEC=ZGFC=90Q=4ECF,

四邊形GFCE是矩形.

：.EF=GC.

?.?四邊形483是正方形，

:.NADG=NCDG=45°,AD=CD.

又DG=DG,

:.XAD（運(yùn)2CDG（弘S）.

**.AG=CG.

：.AG=EF,

19

(2)?/GE±DE,NGDE=45°,

：.DE=GE=}.

■：△ADG^XCDG,

:.NGCE=NDAG=3Q°,

.?.在RtZ\GC￡中，仇?=2G￡=2,

利用勾股定理可得CE=，GC2_GE2={22_]1=yf2-

則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為CD=C日DE=.

正方形ABCD的面枳=C/f=(7y-D2=4+2。5.

12.(1)證明：?.?四邊形49CZ?是平行四邊形，

：.AD//BC,OB^OD,OA=OC,AABC,

NODE=ZOBF,

在△口把和△08尸中，

"ZODE=ZOBF

,OD=OB,

ZDOE=ZBOF

：./\ODE^/\OBF(.ASA),

：.DE=BF,

又,：ADHBC,

...四邊形陽方是平行四邊形，

叉,：EF'BD,

四邊形跖9廠是菱形；

(2)如圖，過點(diǎn)8作8MLAD于M,

外445°,且8優(yōu)L47,AB=3近,

：.BM=AM=3,

;四邊形陽尸是菱形，

：.BE=DE,

20

於=8"+或

(62=(X￡+3)2+9,

：.AE=\

故答案為：1

13.(1)證明：?.?四邊形力成步與四邊形8尸GE都是正方形，

：.AD=AB=CD=BC=Q,BE=BF=FG=4,4DCE=NCBF=9Q°,AF//EG//CD,

:.CE=BC-8￡=8-4=4,

：.CE=BF,

'CD=BC

在△。維和△斯中，，ZDCE=ZCBF.

CE=BF

:.△DCEQXCBF〈SAS'),

：.CF=DE-,

(2)解：過點(diǎn)、H作HNLAB于N,如圖1所示：

則HN//AD//GF,

?.?〃是一的中點(diǎn),

枷是梯形ADGF的中位線，

：.NH=—(AMF&=—X(8+4)=6,NF=—(A濟(jì)BQ=—X(8+4)=6,

2222

：.BN=NF-8尸=6-4=2,

22=22=2

BH=VNH+BNV6+2VIO：

(3)解：延長(zhǎng)G￡交8〃于點(diǎn)花如圖2所示：

則EN//CD,

?.?〃是0G的中點(diǎn)，

：.DH=GH,

'：EG//CD,

：.4MDH=ZNGH,

，ZMDH=ZNGH

在△加仰和△GM/中，,DH=GH,

,ZDHM=ZGHN

:.△DMgAGNH〈ASA),

：.DM=GN,

21

■:CE=BE=4,EN//CD,

...日V是△仇》的中位線，

：.CM^2EN,

設(shè)EN=x,則加2x,DM=Q-2x,

?：DM^GN,

.*.8-2x=4+x