福建省莆田市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

20232024學(xué)年福建省莆田市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義即可求解.【詳解】由題意及圖示可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以.故選：.2.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.【詳解】由題意得.故選：A.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】在上單調(diào)遞增，也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以，則在上無零點(diǎn).因?yàn)?，，，，所以，則根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，在上有零點(diǎn).故選：D4.計(jì)算：（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角差的余弦公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：A.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化弦為切即可求解.【詳解】由可得，解得：，故選：C.6.已知某種放射性元素在一升液體中的放射量（單位：）與時(shí)間（單位：年）近似滿足關(guān)系式且.已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則據(jù)此估計(jì)，這種放射性元素在一升液體中的放射量為10時(shí)，大約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.50 B.52 C.54 D.56【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知列方程組先求出的值，然后利用對數(shù)運(yùn)算可得.【詳解】由題知，，解得，所以，由，得.故選：B7.已知集合，集合，如果命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題命題“，”為真命題，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因?yàn)槊}“，”為假命題，所以，命題“，”為真命題，因?yàn)榧希纤?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，由“，”得，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：A.8.將函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位長度，再把所得函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象變換得的解析式，則利用函數(shù)單調(diào)性列不等式即可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位長度，得到再把所得函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，令，，整理得，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，，解得，，所以，．故選：B．二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，，故選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C，，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，，故選項(xiàng)D不正確.故選：AC.10.下列命題是真命題的有（）A.函數(shù)的值域?yàn)锽.的定義域?yàn)镃.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是D.對于命題，使得，則，均有【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的值域、函數(shù)的定義域、零點(diǎn)存在性定理、存在量詞命題的否定等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，令，則的開口向下，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為；當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以的值域?yàn)椋珹選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，對于函數(shù)，由得，解得，所以的定義域?yàn)?，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，命題，使得，其否定是，均有，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定的三角函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的解析式為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，可得，由，解得，所以，對于A中，當(dāng)，可得，所以不是函數(shù)的對稱中心，所以A錯(cuò)誤；對于B中，當(dāng)時(shí)，可得，即函數(shù)的最小值，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以B正確；對于C中，當(dāng)，可得，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在函數(shù)在先減后增，所以C不正確；對于D中，將函數(shù)該圖象向右平移個(gè)單位，可得的圖象，所以D正確.故選：BD.12.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)于y軸對稱，則（）A.的最小正周期為B.關(guān)于點(diǎn)對稱C.在是上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【答案】CD【解析】【分析】首先化簡函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求，并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以把的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，因?yàn)殛P(guān)于y軸對稱，所以，即，又因?yàn)?，所以，A.對于，故A錯(cuò)誤；B.，故B錯(cuò)誤；C，由，得，所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，又因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；D，若函數(shù)在上存在最大值，由選項(xiàng)C可知，在上單調(diào)遞增，且，即在時(shí)取得最大值，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故D正確．故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的最小正周期為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)最小正周期公式“”可求解.【詳解】由于，所以.故答案是：.14.已知，，則________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?，故答案?15.已知且，則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)“1”的代換，化簡整理可得，然后根據(jù)基本不等式，求解即可得出答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以，的最小值為.故答案為：.16.已知函數(shù)，且函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問題解決.【詳解】由得，即函數(shù)的零點(diǎn)是直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，函數(shù)值從1遞增到2(1不能取)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，函數(shù)值為一切實(shí)數(shù)，在坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）若，求；（2）若“”是“”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）用集合交集，補(bǔ)集的運(yùn)算可得；（2）由條件可得是Q的真子集，再分集合是否為空集討論求出結(jié)果即可【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，集合，可得或，因?yàn)?，所以【小?詳解】若“”是“”充分不必要條件，所以是Q的真子集，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，滿足是的真子集，當(dāng)時(shí)，則滿足且不能同時(shí)取等號，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知，，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合兩角差的正弦公式求解；（2）由二倍角公式，結(jié)合兩角和的余弦公式求解．【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則，，又因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】由（1）知，，，故，，所以．19.已知函數(shù).（1）若對一切實(shí)數(shù)都成立，求的值；（2）已知，令，求在上的最小值.【答案】（1）0（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)根判別式得到不等式，求出答案；（2）求出，利用基本不等式求出最值，得到答案.【小問1詳解】，即恒成立，，解得，所以的值為0【小問2詳解】由已知有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值，故在上最小值為.20.已知函數(shù)，且.（1）求的值及的定義域；（2）求不等式的解集.【答案】（1），定義域?yàn)椋?）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，直接利用，即可求得參數(shù)的值，繼而可求得函數(shù)的定義域；（2）變化不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，解出即可.【小問1詳解】因?yàn)椋獾茫?，由題意可得解得，故的定義域?yàn)椋拘?詳解】不等式等價(jià)于，即，由于在上單調(diào)遞增，則解得．故不等式的解集為．21.已知，求：（1）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間的公式求解出結(jié)果；（2）先求出在上的最小值，從而可知的最小值，再將問題轉(zhuǎn)化為“”，由此求解出的取值范圍.【小問1詳解】，的最小正周期，由，，可得，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【小問2詳解】，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，當(dāng)即，，要使恒成立，則，即，可得，故實(shí)數(shù)的范圍是．22.已知函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值，使得為偶函數(shù)；（2）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，設(shè)，若，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（