2023-2024學(xué)年山東省臨沂市羅莊區(qū)、經(jīng)開區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省臨沂市羅莊區(qū)、經(jīng)開區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．（3分）觀察如圖的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)，其中可以看成軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝5，AC＝7，則BD的取值范圍是（）A．BD＞1 B．BD＜5 C．1＜BD＜5 D．1＜BD＜63．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝8，AB＝15，則△ABD的面積是（）A．120 B．60 C．45 D．304．（3分）要使得一個(gè)多邊形具有穩(wěn)定性，從多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)化得到2022個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20255．（3分）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，沿EF折疊，使點(diǎn)A在BC邊上的點(diǎn)D位置．且ED⊥BC．則∠EFD＝（）A．45° B．50° C．40° D．55°6．（3分）如圖，有兩個(gè)三角錐ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分別表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．若∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，則下列敘述何者正確（）A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等 C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等7．（3分）如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB．若∠BA'C＝107°，則∠1+∠2＝（）A．44° B．82° C．88° D．68°8．（3分）如圖，已知△ABC的面積為28，AB＝AC＝16，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，若DF＝2DE，則DF長為（）A． B． C． D．69．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB﹣AC＝3，BC＝4，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，則S△BDC的值為（）A．12 B．6 C．3 D．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，BD是∠ABO的平分線，AD是∠CAO的平分線，BD與AD相交于點(diǎn)D，則∠ADB是（）A．15° B．30° C．45° D．60°11．（3分）如圖，在△ABC中，∠A+∠EOD＝180°，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，BD，CE交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥AC于點(diǎn)N．下列結(jié)論：①∠BOC＝100°；②OE＝OD；③AM＝AN；④EM＝DN．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)12．（3分）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB＝α，則∠AIB的大小為（）A．α B．α+90° C．α+90° D．180°+α二、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）13．（3分）已知在同一個(gè)平面內(nèi)，一個(gè)角的度數(shù)是60°，另一個(gè)角的兩邊分別與它的兩邊垂直，則另一個(gè)角的度數(shù)是．14．（3分）如圖，直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A，B分別在坐標(biāo)軸上，且∠ABC＝90°，AB＝BC，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（0，1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．15．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，D點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)（D與A、B不重合），設(shè)∠ACD＝α°，將△ACD沿CD翻折至△A′CD處，CA與AB邊相交于點(diǎn)E，若△A′DE是等腰三角形，則α的值為．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，分別延長CA，CB至點(diǎn)D，E，連接DE，DB，在AC取點(diǎn)F，使得EF＝BD，∠DBA＝∠FEC，過點(diǎn)F作FG⊥CE，垂足為點(diǎn)G．若，則BE＝．三、解答題（本大題共7小題，共72分）17．（8分）如圖所示，△ABC中AB＝BC，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：．18．（10分）閱讀小明和小紅的對(duì)話，解決下列問題．（1）通過列方程說明“多邊形的內(nèi)角和不可能是1470°”的理由；（2）求該多邊形的內(nèi)角和；（3）若這是個(gè)正多邊形，求該正多邊形的一個(gè)內(nèi)角比一個(gè)外角大多少？19．（10分）如圖，已知點(diǎn)P（3m﹣1，6m﹣7）在第一象限的平分線OC上，且AP⊥BP，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個(gè)定值．20．（10分）如圖，已知：點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP，CP分別平分∠ABC，∠ACB．（1）如圖①，若∠A＝70°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖①，求證：∠BPC大于∠A；（3）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的平分線，相交于點(diǎn)Q，試探索∠BQC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．21．（10分）如圖，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝5，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2個(gè)單位長度的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以每秒a個(gè)單位長度的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0≤t＜4）．（1）用含t的代數(shù)式表示PC的長度：PC＝；（2）若△BPD與△CQP全等，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度a為多少？請(qǐng)說明理由．22．（12分）【問題提出】如圖①，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【問題解決】經(jīng)過組內(nèi)合作交流．小明給出了如下思路：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，經(jīng)過推理可知△ADC≌△EDB．（1）請(qǐng)根據(jù)小明提供的思路寫出詳細(xì)的過程并求出AD的取值范圍；【方法總結(jié)】解題時(shí)若條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”或“中線”，則可以考慮將中線加倍來構(gòu)造全等三角形，從而將分散的已知條件轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形中，我們稱這種添加輔助線的方法為“倍長中線法”．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，AD與CE相交于點(diǎn)F，EA＝EF，求證：AB＝CF；【拓展提升】（3）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AD，交AC于點(diǎn)F，交BA的延長線于點(diǎn)G，若AF＝2.5，CF＝5.5，則△ABC的面積為．23．（12分）【基本模型】：如圖1，ABCD是正方形，∠EAF＝45°，當(dāng)E在BC邊上，F(xiàn)在CD邊上時(shí)，請(qǐng)你探究BE、DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【模型運(yùn)用】：如圖2，ABCD是正方形，∠EAF＝45°，當(dāng)E在BC的延長線上，F(xiàn)在CD的延長線上時(shí)，請(qǐng)你探究BE、DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

2023-2024學(xué)年山東省臨沂市羅莊區(qū)、經(jīng)開區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．（3分）觀察如圖的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)，其中可以看成軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【解答】解：選項(xiàng)C的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)A、B、D的圖形均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝5，AC＝7，則BD的取值范圍是（）A．BD＞1 B．BD＜5 C．1＜BD＜5 D．1＜BD＜6【分析】由三角形的三邊關(guān)系可求解．【解答】解：∵AD為中線，∴BD＝CD，在△ABC中，7﹣5＜BC＜5+7，即2＜2BD＜12，∴1＜BD＜6，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，是基礎(chǔ)題．3．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝8，AB＝15，則△ABD的面積是（）A．120 B．60 C．45 D．30【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由作圖可知，AP為∠BAC的平分線，由角平分線的性質(zhì)可知DE＝CD＝8，再利用三角形的面積公式計(jì)算可得答案．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由作圖可知，AP為∠BAC的平分線，∵∠C＝90°，∴DE＝CD＝8，∴△ABD的面積是＝＝60．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)以及作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．4．（3分）要使得一個(gè)多邊形具有穩(wěn)定性，從多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)化得到2022個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，可根據(jù)多邊形的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到的三角形個(gè)數(shù)為n﹣1．【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則：n﹣1＝2022，解得n＝2023，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的對(duì)角線，熟練掌握多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到的三角形個(gè)數(shù)＝多邊形的邊數(shù)﹣1是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，沿EF折疊，使點(diǎn)A在BC邊上的點(diǎn)D位置．且ED⊥BC．則∠EFD＝（）A．45° B．50° C．40° D．55°【分析】由翻折的性質(zhì)可知∠AFE＝∠EFD，在Rt△EDC中，由三角形內(nèi)角和求解即可．【解答】解：由翻折的性質(zhì)可知；∠AFE＝∠EFD．∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．∵ED⊥BC，∴△EDC為直角三角形，∴∠FDB＝30°，∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，∴∠EFD＝45°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查是翻折的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)解答．6．（3分）如圖，有兩個(gè)三角錐ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分別表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．若∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，則下列敘述何者正確（）A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等 C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等【分析】根據(jù)題意即是判斷甲、乙是否全等，丙丁是否全等．運(yùn)用判定定理解答．【解答】解：∵∠ACB＝CAD＝70°，∠BAC＝∠ACD＝50°，AC為公共邊，∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；△EHG中，∠EGH＝70°≠∠EHG＝50°，即EH≠EG，雖∠EFG＝∠EGH＝70°，∠EGF＝∠EHG＝50°，∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．綜上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正確，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空間想象能力．判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．找著∠EGH＝70°≠∠EHG＝50°，即EH≠EG是正確解決本題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB．若∠BA'C＝107°，則∠1+∠2＝（）A．44° B．82° C．88° D．68°【分析】在△A′BC中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出∠A′BC+∠A′CB的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義，可求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，結(jié)合內(nèi)角和定理，可求出∠ADE+∠AED的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)，可得出∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，再結(jié)合∠ADE+∠A′DE+∠1＝180°，∠AED+∠A′ED+∠2＝180°，即可求出∠1+∠2的度數(shù)．【解答】解：在△A′BC中，∠BA'C＝107°，∴∠A′BC+∠A′CB＝180°﹣∠BA′C＝180°﹣107°＝73°，∵BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠A′BC，∠ACB＝2∠A′CB，∴∠ABC+∠ACB＝2∠A′BC+2∠A′CB＝2（∠A′BC+∠A′CB）＝2×73°＝146°．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠ADE+∠AED＝∠ABC+∠ACB＝146°．由折疊的性質(zhì)，可知：∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，又∵∠ADE+∠A′DE+∠1＝180°，∠AED+∠A′ED+∠2＝180°，∴∠ADE+∠A′DE+∠1+∠AED+∠A′ED+∠2＝180°+180°，即2（∠ADE+∠AED）+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2×146°＝68°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及翻折變換（折疊問題），利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義，求出∠ADE+∠AED的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，已知△ABC的面積為28，AB＝AC＝16，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，若DF＝2DE，則DF長為（）A． B． C． D．6【分析】連接AD，根據(jù)題意可得S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝28，即有AB?DE+AC?DF＝28，再結(jié)合AB＝AC＝16、DF＝2DE即可獲得答案．【解答】解：連接AD，如下圖，∵△ABC的面積為28，AB＝AC＝16，DE⊥AB，DF⊥AC，S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ACD＝28，∴AB?DE+AC?DF＝28，∴8DE+8DF＝28，∴DE+DF＝，∵DF＝2DE，∴DE+2DE＝，解得DE＝，∴DF＝2DE＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形、與三角形的高有關(guān)的計(jì)算等知識(shí)，利用等面積法分析問題是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB﹣AC＝3，BC＝4，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，則S△BDC的值為（）A．12 B．6 C．3 D．【分析】先延長BD交AC的延長線于點(diǎn)E，然后根據(jù)ASA可以證明△ADB≌△ADE，從而可以得到AB＝AE，DB＝DE，再根據(jù)AB﹣AC＝3，即可得到CE的長，然后根據(jù)BD＝ED，即可得到S△BDC＝S△BCE，即可得到S△BDC的值．【解答】解：延長BD交AC的延長線于點(diǎn)E，如圖，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°，在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（ASA），∴AB＝AE，DB＝DE，∵AB﹣AC＝3，∴AE﹣AC＝3＝CE，∵∠ACB＝90°，BC＝4，∴∠BCE＝90°，∴S△ECB＝＝＝6，∴S△BDC＝S△BCE＝3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，BD是∠ABO的平分線，AD是∠CAO的平分線，BD與AD相交于點(diǎn)D，則∠ADB是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】先由角平分線定義得∠ABO＝2∠ABD，∠CAO＝2∠CAD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠CAO＝∠ABO+∠AOB＝2∠ABD+90°，∠CAD＝∠ABD+∠ADB，則有2∠ABD+90°＝2（∠ABD+∠ADB），即可求解．【解答】解：∵BD是∠ABO的平分線，∴∠ABO＝2∠ABD，∵AD是∠CAO的平分線，∴∠CAO＝2∠CAD，∵∠CAO＝∠ABO+∠AOB＝2∠ABD+90°，∠CAD＝∠ABD+∠ADB，∴2∠ABD+90°＝2（∠ABD+∠ADB），∴∠ADB＝45°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線定義，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖，在△ABC中，∠A+∠EOD＝180°，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，BD，CE交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥AC于點(diǎn)N．下列結(jié)論：①∠BOC＝100°；②OE＝OD；③AM＝AN；④EM＝DN．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】由題意可知∠BOC不一定等于100°，故①不正確；過O點(diǎn)作OH⊥BC于點(diǎn)H，連接OA，證△OEM≌△ODN（AAS），得OE＝OD，EM＝DN，故②④正確；然后證Rt△AOM≌Rt△AON（HL），得AM＝AN，故③正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠A+∠EOD＝180°，∴只有∠A＝80°時(shí)，才有∠BOC＝∠EOD＝100°，而∠A不一定等于80°，∴∠BOC不一定等于100°，故①不正確；如圖，過O點(diǎn)作OH⊥BC于點(diǎn)H，連接OA，∵BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，OM⊥AB，ON⊥AC，OH⊥BC，∴OH＝OM，OH＝ON，∠OME＝∠OND＝∠AMO＝∠ANO＝90°，∴OM＝ON，∵∠A+∠EOD＝180°，∴∠AEO+∠ADO＝360°﹣180°＝180°，∵∠ADO+∠ODN＝180°，∴∠OEM＝∠ODN，在△OEM和△ODN中，，∴△OEM≌△ODN（AAS），∴OE＝OD，EM＝DN，故②④正確；在Rt△AOM和Rt△AON中，，∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL），∴AM＝AN，故③正確；綜上所述，正確的為②③④，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB＝α，則∠AIB的大小為（）A．α B．α+90° C．α+90° D．180°+α【分析】連接CO并延長至D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到（∠OCA+∠OCB）＝α．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA＝180°﹣∠AIB，根據(jù)角平分線的定義得到∠IAB+∠IBA＝90°﹣，求出∠AIB，【解答】解：連接CO并延長至D，∵點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一個(gè)外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝α，∴∠OCA+∠OCB＝，∴∠ACB＝，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝90°+，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）13．（3分）已知在同一個(gè)平面內(nèi)，一個(gè)角的度數(shù)是60°，另一個(gè)角的兩邊分別與它的兩邊垂直，則另一個(gè)角的度數(shù)是60°或120°．【分析】分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：分兩種情況：如圖：∠AOB＝60°，OC⊥OB，OD⊥OA，∵OC⊥OB，OD⊥OA，∴∠COB＝∠AOD＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠COD＝∠COB+∠AOD﹣∠AOB＝90°+90°﹣60°＝120°；如圖：∠AOB＝60°，OC⊥OB，OD⊥OA，∵OC⊥OB，OD⊥OA，∴∠COB＝∠AOD＝90°，∴∠COB﹣∠COA＝∠AOD﹣∠COA，∴∠AOB＝∠COD＝60°；綜上所述：另一個(gè)角的度數(shù)是60°或120°，故答案為：60°或120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，垂線，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A，B分別在坐標(biāo)軸上，且∠ABC＝90°，AB＝BC，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（0，1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，﹣3）．【分析】過點(diǎn)C作CH⊥y軸于H，由“AAS”可證△ABO≌△BCH，可得CH＝BO＝3，OA＝BH＝4，可求解．【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥y軸于H，∴∠BHC＝90°＝∠ABC，∴∠BCH+∠CBH＝∠ABH+∠CBH＝90°，∴∠BCH＝∠ABH，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（0，1），∴OA＝4，OB＝3，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH（AAS），∴CH＝BO＝3，OA＝BH＝4，∴OH＝1，∴C（1，﹣3），故答案為：（1，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，D點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)（D與A、B不重合），設(shè)∠ACD＝α°，將△ACD沿CD翻折至△A′CD處，CA與AB邊相交于點(diǎn)E，若△A′DE是等腰三角形，則α的值為15或7.5．【分析】由折疊的性質(zhì)可求∠A＝∠A'＝50°，∠ACD＝∠A'CD＝α°，∠ADC＝∠A'DC＝130°﹣α°，分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)列出等式，即可求解．【解答】解：∵將△ACD沿CD翻折至△A′CD處，∴∠A＝∠A'＝50°，∠ACD＝∠A'CD＝α°，∠ADC＝∠A'DC＝130°﹣α°，∴∠AEA'＝2α°+50°，∠A'DE＝80°﹣2α°，當(dāng)A'E＝A'D，則∠A'ED＝∠AEA'，∴2α°+50°＝80°﹣2α°，∴α＝7.5；當(dāng)A'E＝DE，則∠A'DE＝∠A'，∴80°﹣2α＝50°，∴α＝15，當(dāng)A'D＝DE，則∠A'ED＝∠A＝50°，這種情況不存在，故答案為：15或7.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，分別延長CA，CB至點(diǎn)D，E，連接DE，DB，在AC取點(diǎn)F，使得EF＝BD，∠DBA＝∠FEC，過點(diǎn)F作FG⊥CE，垂足為點(diǎn)G．若，則BE＝．【分析】過點(diǎn)的作DM⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)M，先證明△BMD≌△EGF可得DM＝FG，BM＝EG，，再證明△AMD≌△CGF可證得BE＝2CG，進(jìn)而可求得結(jié)果．【解答】解：過點(diǎn)的作DM⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)M，∴∠BMD＝90°，∵FG⊥CE，∴∠EGF＝∠FGC＝90°，∴∠BMD＝∠EGF，在△BMD和△EGF中，，∴△BMD≌△EGF（AAS），∴DM＝FG，BM＝EG，∵AB＝BC，∴∠C＝∠BAC＝∠DAM，在△AMD和△CGF中，，∴△AMD≌△CGF（AAS），∴AM＝CG，∴BE+BG＝EG＝BM＝AB+AM＝BC+AM＝BG+2CG，∴BE＝2CG＝2×＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△AMD≌△CGF是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，共72分）17．（8分）如圖所示，△ABC中AB＝BC，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：．【分析】連接FB，根據(jù)AB＝BC，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，證得∠CFD＝∠CBF后即可證得∠CFD＝∠B．【解答】證明：連接BF∵AB＝BC，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，∴∠CFD+∠BFD＝90°，∠CBF+∠BFD＝90°，∴∠CFD＝∠CBF，∴∠CFD＝∠ABC，即∠CFD＝∠B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的圖形中找到相等的線段，這是利用等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)．18．（10分）閱讀小明和小紅的對(duì)話，解決下列問題．（1）通過列方程說明“多邊形的內(nèi)角和不可能是1470°”的理由；（2）求該多邊形的內(nèi)角和；（3）若這是個(gè)正多邊形，求該正多邊形的一個(gè)內(nèi)角比一個(gè)外角大多少？【分析】（1）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和列方程求解即可；（2）首先得到該多邊形的邊數(shù)為10，然后利用多邊形內(nèi)角和定理求解即可；（3）根據(jù)正多邊形內(nèi)角和外角的關(guān)系列式求解即可．【解答】解：（1）理由：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n．180°（n﹣2）＝1470°，解得．∵n為正整數(shù)，∴多邊形內(nèi)角和不可能為1470°；（2）由題意可知，該多邊形的邊數(shù)為10，∴180°×（10﹣2）＝1440°；（3）1440°÷10﹣360°÷10＝144°﹣36°＝108°．答：該正多邊形的一個(gè)內(nèi)角比一個(gè)外角大108°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和和外角和，掌握多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法以及多邊形的性質(zhì)是正確解答的前提．19．（10分）如圖，已知點(diǎn)P（3m﹣1，6m﹣7）在第一象限的平分線OC上，且AP⊥BP，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個(gè)定值．【分析】（1）根據(jù)在第一象限的角平分線OC上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，構(gòu)建方程求出m即可．（2）過點(diǎn)P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．證明四邊形OMPN是正方形，再證明△PMB≌△PNA（ASA），推出BM＝AN，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，∴3m﹣1＝6m﹣7，∴m＝2，∴P（5，5）；（2）不變．過點(diǎn)P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝5，∴∠MPB＝∠NPA．在△PMB和△PNA中，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA（ASA），∴BM＝AN，∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．20．（10分）如圖，已知：點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP，CP分別平分∠ABC，∠ACB．（1）如圖①，若∠A＝70°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖①，求證：∠BPC大于∠A；（3）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的平分線，相交于點(diǎn)Q，試探索∠BQC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，再根據(jù)角平分線的定義得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，進(jìn)而得出∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出∠BPC的度數(shù)；（2）延長BP交AC于點(diǎn)D，根據(jù)三角形的外角定理的推論得∠BPC＞∠CDP，∠CDP＞∠A，由此可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理得出∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，再根據(jù)角平分線的定義得∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝90°+∠A，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出∠BQC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，∵BP，CP分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣55°＝125°；（2）證明：延長BP交AC于點(diǎn)D，如圖所示：∵∠BPC為△CPD的一個(gè)外角，∴∠BPC＞∠CDP，又∵∠CDP是△ABD的一個(gè)外角，∴∠CDP＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（3）解：∠BQC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系是：∠BQC＝90°﹣∠A，理由如下：∵∠MBC＝180°﹣∠ABC，∠NCB＝180°﹣∠ACB，∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，∵BQ，CQ為∠MBC，∠NCB的平分線，∴∠QBC＝∠MBC，∠QCB＝∠NCB，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝90°+∠A，∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝90°﹣∠A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理及其推論，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理及其推論是解決問題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝5，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2個(gè)單位長度的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以每秒a個(gè)單位長度的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0≤t＜4）．（1）用含t的代數(shù)式表示PC的長度：PC＝5﹣2t；（2）若△BPD與△CQP全等，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度a為多少？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由題意得：PB＝2t，即可表示出PC；（2）分兩種情況，由全等三角形的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）由題意得：PB＝2t，∴PC＝5﹣2t，故答案為：5﹣2t；（2）△BPD與△CQP全等時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度a為2或，理由如下：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC＝8∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)∴BD＝AD＝4經(jīng)分析，當(dāng)△BPD與△CQP全等，存在兩種情況：①若△BPD≌△CQP，∴BP＝CQ，∴Q和P的速度相同，∴a＝2；②若△BPD≌△CPQ，∴CQ＝BD，CP＝BP，∴PB＝BC＝，∴2t＝，∴t＝，∴a＝4，∴a＝．∴△BPD與△CQP全等，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度a為2或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，列代數(shù)式，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．22．（12分）【問題提出】如圖①，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【問題解決】經(jīng)過組內(nèi)合作交流．小明給出了如下思路：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，經(jīng)過推理可知△ADC≌△EDB．（1）請(qǐng)根據(jù)小明提供的思路寫出詳細(xì)的過程并求出AD的取值范圍；【方法總結(jié)】解題時(shí)若條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”或“中線”，則可以考慮將中線加倍來構(gòu)造全等三角形，從而將分散的已知條件轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形中，我們稱這種添加輔助線的方法為“倍長中線法”．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，AD與CE相交于點(diǎn)F，EA＝EF，求證：AB＝CF；【拓展提升】（3）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AD，交AC于點(diǎn)F，交BA的延長線于點(diǎn)G，若AF＝2.5，CF＝5.5，則△ABC的面積為12．【分析】（1）延長AD到點(diǎn)E，使ED＝AD，連接BE，證明△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝3，在△ABE中，可得1＜AE＜7，即1＜2AD＜7；故0.5＜AD＜3.5；（2）延長AD至點(diǎn)H，使AD＝DH，連接CH，證明△ABD≌△HCD（SAS），得AB＝CH，∠BAD＝∠H，又EA＝EF，有∠EAF＝∠EFA，故∠EFA＝∠H；從而∠CFH＝∠H，CF＝CH，即得AB＝CF；（3）延長FE至點(diǎn)M，使EF＝EM，連接BM，證明△BEM≌△CEF（SAS），得∠M＝∠CFE，BM＝CF＝5.5，由∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，得∠BAD＝∠CAD＝45°，而EF∥AD，有∠G＝∠BAD＝45°，∠CFE＝∠CAD＝45°，可得∠CFE＝∠G，故∠G＝∠M，BG＝BM＝5.5，因∠CFE＝∠AFG＝∠G，故AG＝AF＝2.5，可得AB＝BG﹣AG＝3，又AC＝AF+CF＝8，∠BAC＝90°，從而△ABC的面積為AB?AC＝×3×8＝12．【解答】（1）解：延長AD到點(diǎn)E，使ED＝AD，連接BE，