高一數(shù)學(xué)課堂抄重點(diǎn)講義(人教A版2019必修第二冊(cè))6.2.2向量的減法運(yùn)算(講義+例題+小練)(原卷版+解析)

6.2.2向量的減法運(yùn)算一、向量減法概念向量的減法運(yùn)算也可定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算.可類比數(shù)的減法運(yùn)算,我們定義向量的減法運(yùn)算,也應(yīng)引進(jìn)一個(gè)新的概念：相反向量。我們把與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量。記作-a，a和-a互為相反向量。于是-(-a)=a規(guī)定,零向量的相反向量仍是0向量.任一向量與其相反向量的和是0向量,即a+(-a)=(-a)+a=0。所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0向量a加上b的相反向量，叫作a與b的向量的差即a-b=a+（-b）。求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫作向量的向量的減法運(yùn)算例1．與向量的模相等，方向相反的向量叫做向量的負(fù)向量，記作：___________.舉一反三相反向量及其表示（1）與非零向量長(zhǎng)度___，方向____的向量稱為的相反向量，記為___，的相反向量為__.（2）規(guī)定：零向量的相反向量是___.（3）_______.二、向量減法運(yùn)算的三角形法則如圖,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=a-b,即a-b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量,這是向量減法的幾何意義。注：共起點(diǎn)，指向被減數(shù)例2．如圖，已知向量，，求作向量．三、向量減法的平行四邊形法則如圖，設(shè)向量=b,=a,則=-b,由向量減法的定義,知=a+(-b)=a-b。又b+=a,所以=a-b。由此,我們得到a-b的作圖方法.特殊情況1.共線同向2.共線反向例3．如圖，在各小題中，已知，分別求作．例4．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，，，，試作向量:（1）；（2）.2．如圖，質(zhì)點(diǎn)A受到力和的作用，已知，與正東北方向的夾角為30°；，與正東方向的夾角為60°，求下列兩個(gè)向量的大小和方向：（1）；（2）.3．如圖，解答下列各題．（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示．4．如圖，點(diǎn)O是的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，求證：．鞏固提升一、單選題1．在正方形中，（）A． B． C． D．2．在五邊形中（如圖），下列運(yùn)算結(jié)果為的是（）A． B．C． D．3．如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A． B． C． D．4．已知六邊形ABCDEF是一個(gè)正六邊形，O是它的中心，其中，則=（）A． B． C． D．二、多選題5．下列能化簡(jiǎn)為的是（）A． B．C． D．6．已知三角形為等腰直角三角形，且，則有（）A．B．C．D．三、填空題7．如圖，在正六邊形ABCDEF中，記向量，，則向量______．（用，表示）8．在平行四邊形中，若，則四邊形的形狀為__________.四、解答題9．如圖，O為內(nèi)一點(diǎn)，，，.求作：(1)+-；(2)--.10．證明：當(dāng)向量不共線時(shí)，.6.2.2向量的減法運(yùn)算一、向量減法概念向量的減法運(yùn)算也可定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算.可類比數(shù)的減法運(yùn)算,我們定義向量的減法運(yùn)算,也應(yīng)引進(jìn)一個(gè)新的概念：相反向量。我們把與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量。記作-a，a和-a互為相反向量。于是-(-a)=a規(guī)定,零向量的相反向量仍是0向量.任一向量與其相反向量的和是0向量,即a+(-a)=(-a)+a=0。所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0向量a加上b的相反向量，叫作a與b的向量的差即a-b=a+（-b）。求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫作向量的向量的減法運(yùn)算例1．與向量的模相等，方向相反的向量叫做向量的負(fù)向量，記作：___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)相反向量的定義可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，與向量的模相等，方向相反的向量叫做向量的負(fù)向量，該向量為的相反向量，記為：.故答案為：.舉一反三相反向量及其表示（1）與非零向量長(zhǎng)度___，方向____的向量稱為的相反向量，記為___，的相反向量為__.（2）規(guī)定：零向量的相反向量是___.（3）_______.【答案】相同方相反零向量二、向量減法運(yùn)算的三角形法則如圖,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=a-b,即a-b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量,這是向量減法的幾何意義。注：共起點(diǎn)，指向被減數(shù)例2．如圖，已知向量，，求作向量．【答案】如圖，(1)(2)【解析】【分析】如圖，將向量的起點(diǎn)平移到向量的起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)即可分別得出結(jié)果.【詳解】解：(1)如圖，將向量的起點(diǎn)平移到向量的起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即為向量；(2)如圖，將向量的起點(diǎn)平移到向量的起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即為向量；三、向量減法的平行四邊形法則如圖，設(shè)向量=b,=a,則=-b,由向量減法的定義,知=a+(-b)=a-b。又b+=a,所以=a-b。由此,我們得到a-b的作圖方法.特殊情況1.共線同向2.共線反向例3．如圖，在各小題中，已知，分別求作．【答案】見解析【解析】將的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再首尾相接，方向指向被減向量.【詳解】將的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再首尾相接，方向指向被減向量，如圖，，(1)(2)【點(diǎn)睛】本題考查向量減法的三角形法則，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.例4．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，，，，試作向量:（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的減法可作.（2）過B作BF∥AC，交DC的延長(zhǎng)線于F，連接，則即為所求的.【詳解】(1)在正方形ABCD中，.連接BD，箭頭指向B，則即為.(2)過B作BF∥AC，交DC的延長(zhǎng)線于F，連接AF，則四邊形ABFC為平行四邊形，故.在△ADF中，，故即為所求.舉一反三1．如圖，已知向量，求作向量.【答案】答案見解析【解析】【分析】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量，，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可作出，作向量，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可作出，即可得答案.【詳解】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量，，如圖所示：則向量，再作向量，則向量.2．如圖，質(zhì)點(diǎn)A受到力和的作用，已知，與正東北方向的夾角為30°；，與正東方向的夾角為60°，求下列兩個(gè)向量的大小和方向：（1）；（2）.【答案】（1）大小為N，方向?yàn)闁|偏南15°；（2）大小為N，方向?yàn)闁|偏北75°.【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形法則作出示意圖，進(jìn)而根據(jù)平面向量的加法法則和減法法則得到答案.【詳解】根據(jù)平行四邊形法則作出圖形，由題意，四邊形是正方形，如圖所示.（1）如圖，，，所以的方向?yàn)闁|偏南15°.（2）如圖，，，所以的方向?yàn)闁|偏北75°.3．如圖，解答下列各題．（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示．【答案】（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝.【解析】【分析】根據(jù)圖形和向量的加法、減法運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由題意知，＝，＝，＝，＝，＝，則（1）＝＋＋＝.（2）＝－＝－－＝．（3）＝＋＋＝．（4）＝－＝－(＋)＝．4．如圖，點(diǎn)O是的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用向量的加法法則和向量相等求解.【詳解】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以．因?yàn)?，，所以，即．鞏固提升一、單選題1．在正方形中，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量加減運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】解：.故選：C.2．在五邊形中（如圖），下列運(yùn)算結(jié)果為的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】對(duì)各選項(xiàng)按向量加法、減法運(yùn)算法則進(jìn)行向量加減運(yùn)算即可判斷作答.【詳解】A，，正確；B，，不正確；C，，不正確；D，，不正確.故選：A.3．如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用向量加法和減法的三角形法則計(jì)算即可.【詳解】故選：C.4．已知六邊形ABCDEF是一個(gè)正六邊形，O是它的中心，其中，則=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由圖形可得，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故選：D.二、多選題5．下列能化簡(jiǎn)為的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】由向量加減法運(yùn)算法則直接化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：ABC.6．已知三角形為等腰直角三角形，且，則有（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)三角形的形狀，結(jié)合向量加，減運(yùn)算法則，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由條件可知，且，以為鄰邊的的四邊形是正方形，對(duì)角線相等，根據(jù)向量加，減法則可知，故A正確；，，所以，故B正確；，，所以，故C正確；，，，由條件可知，即，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題7．如圖，在正六邊形ABCDEF中，記向量，，則向量______．（用，表示）【答案】##【解析】【分析】由正六邊形的性質(zhì)：三條不相鄰的三邊經(jīng)過平移可成等邊三角形，即可得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由正六邊形的性質(zhì)知：，∴.故答案為：.8．在平行四邊形中，若，則四邊形的形狀為__________.【答案】矩形【解析】【分析】由向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則得平行四邊形的對(duì)角線相等，進(jìn)而可得答案.【詳解】解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得，向量減法的三角形法則得，因?yàn)?，即，所以平行四邊形的?duì)角線相等，所以該平行四邊形為矩形.故答案為：矩形四、解答題9．如圖，O為內(nèi)一點(diǎn)，，，.求作：(1)+-；(2)--.【答