新教材蘇教版高中數(shù)學 選擇性必修第一冊 同步試題 5

5.1導數(shù)的概念

一、單選題

1.已知函數(shù)y=/(x)在x=x。處的導數(shù)為2,則1向/匕。+?)一/a。)=()

-Ax

A.0B.yC.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)極限與導數(shù)的關系直接求解.

【詳解】根據(jù)極限與導數(shù)的關系可知］加/(%+詞一〃*。)=/~，%)=2,

-->0AX

故選:D.

2.已知函數(shù)/(x)=x3_41lnx+3,則曲線N=/(x)在(e,/(e))處的切線斜率為().

A.e2——B.3e2——C.e2——D.3e2--

2e2eee

【答案】D

【分析】先求導，令x=l，求出/'(1)，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】依題意，/'(X)=3/-T，令X=1,

故廣⑴=3-寧，解得/'⑴=2,故/'")=3尤2-/,故/'(e)=3e2——

故選：D.

3.極限理〃x)存在是函數(shù)/(幻在點x=x。處連續(xù)的()

A.充分而不必要的條件B.必要而不充分的條件

C.充要條件D.既不充分也不必要的條件

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性與函數(shù)極限的關系即可求解.

x,x>0

2,x=0,在x=O處，極限

(-x,x<0

值為0,但/(力在x=0處不連續(xù)，

但/(x)在點x=/處連續(xù)，可得極限Jim/(x)存在，故極限lim存在是函數(shù)/(x)在點x=/處連續(xù)的必要

不充分條件,

故選：B

4.曲線/（x）=（2x-l）sinx在點（OJ（O））處的切線方程為（）

A.x+y=OB.x-y=0

C.x+y+l=0D.x-y+\=Q

【答案】A

【分析】求出導函數(shù)后計算導數(shù)值/'（0），再求得”0）后，由斜截點斜式得直線方程

【詳解】f'（x）=2sinx+（2x-1）cosx,所以f'（0）=2sin0+（0-l）cos0=-l,又/（0）=0,

所以切線方程為^=一x，即x+y=0.

故選：A.

5.已知函數(shù)/（》）=〃111（》+1）+/，在區(qū)間（2,3）內(nèi)任取兩個實數(shù)玉，々，且工產(chǎn)々，若不等式叢上史'>1

X\~X2

恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[-9,+oo]B.[-7,+oo]C.[9,-H?]D.[7,+oo]

【答案】A

【分析】根據(jù)式子幾何意義，可得出斜率恒大于1,根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得出了'（司=*+2》>1在（2,3）

內(nèi)恒成立，分離參數(shù)求解即可.

【詳解】因為的幾何意義,

西一々

表示點（占J（內(nèi)））與點（x2,f（x2））連線斜率，

?.,實數(shù)為，々在區(qū)間。，3）內(nèi)，

不等式"'）一’仁）>1恒成立，

函數(shù)圖象上在區(qū)間（2,3）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1,

故函數(shù)的導數(shù)大于1在（2,3）內(nèi)恒成立，

/'（x）=―+2%>1在（2,3）內(nèi)恒成立,

由函數(shù)的定義域知，x>-\,

所以〃>-2工27+1在（2,3）內(nèi)恒成立,

由于二次函數(shù)y=-2f-x+l在(2,3)上是單調(diào)遞減函數(shù)，

^-2X2-X+1<-2X22-2+1=-9，：.a>-9,

Aae[-9,+a)).

故選：A.

6.設點p是函數(shù)/(x)=x3-；/(l)x+r(2)圖象上的任意一點，點p處切線的傾斜角為a,則角a的取值

范圍是()

A[。^B.闖科兀)C.與沙同喑-

【答案】B

【分析】求出/'(x),令x=l后可求/'(x),再根據(jù)導數(shù)的取值范圍可得tana的范圍，從而可得a的取值

范圍.

【詳解】v/(x)=x3-1r(i)x+r(2)>???/'(x)=3x2-g_r⑴，

⑴=3-g/'⑴，.../'(1)=2,.../'(X)=3X2_12T,

tana>-1,0<a<—^―<a<it.

24

故選：B.

7.曲線y=/+ax+b在點”(O,l)處的切線方程為x-y+l=O,則°,。的值分別為()

A.-1,1B.-1,-1C.I,1D.1,-1

【答案】C

【分析】根據(jù)切點和斜率求得切線方程.

【詳解】依題意，切點為（0,1）,斜率為1，

y=x2+ax+b,y'=lx+a,

02+ax0+/>=l

所以c,,解得a=l,b=l.

2x0n+a=l

故選：C

8.若lim（l---）=1,則常數(shù)a,6的值為（）

71_Xl-X

A.a=-2,b=4B.a=2,b=-4

C.a=-2fb=—4D.a=29b=4

【答案】C

ax+a-b

【分析】求極限的代數(shù)式通分得Xf1時極限存在且極限為1,則ax+a-6=2(l-x),由恒等

(l+x)(l-x)

式知識可得

【詳解】邸自一臺咂言法V］，則十一=2,解得-2,I

故選：C.

二、多選題

9.在平面直角坐標系X0中，設曲線C的方程是xy=l,下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C上的點與定點尸(0,收)距離的最小值是2-&

B.曲線C上的點和定點尸(0,a)的距離與到定直線/：x+y-0=O的距離的比是0

C.曲線C繞原點順時針旋轉(zhuǎn)45。，所得曲線方程是/-"=1

D.曲線C的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是2

【答案】ABD

【分析】A選項，設出曲線C任意一點的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式以及基本不等式求得“最小值”：B選

項，結(jié)合點到直線的距離公式求得正確答案，C選項，通過求實半軸。來進行判斷：D選項，通過求切線方

程來進行判斷.

【詳解】曲線C的方程是中=1,則'='，所以曲線C是反比例函數(shù)y=L對應的圖象，即曲線C是雙曲線.

XX

A選項，設尸卜是曲線C上的任意一點，

M=)1-閨+g-間=卜+2如+3+4,

令t=X-I,則f2=-+2,

XX

當x>0時，r=x+->2ALV--=2,當且僅當X=1,X=1時，等號成立，

x\xx

當了<0時，/=-(-x)+—<-2^(-xy—=-2,

當且僅當r='>,x=-l時，等號成立，

所以f?v,-2]U[2,+oo).

所以|尸尸仁〃-2"+2=/-V2)'

r-V2e卜8,-2-忘卜12-逝+8),

所以當f=2時，|尸尸|取得最小值為2-JLA選項正確.

B選項，尸卜到直線x+y-正=0的距離為*+=應=/閥,

■^26

所以曲線C上的點和定點的距離與到定直線/：x+y-近=0的距離的比是啦,

B選項正確.

C選項，由上述分析可知曲線C是雙曲線，由于曲線C的圖象關于少=》對稱，

所以V=x是雙曲線C實軸所在直線，

y=xx=-l

由I解得

xy=1，=-1

點。,1）與點（-L-1）的距離是正百=2折，所以雙曲線C的實軸長2a=2&,°=應,

而雙曲線/-/=1的實半軸d=1,所以C選項錯誤.

D選項，^=—,y,

XX

所以在曲線C上任意一點（外工］處的切線方程為y-L=-」7（X-W）,

VfnJtnm

2

令1=0得^=—；令y=0得x=2〃z,

m

I2

所以曲線C的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是彳x—x|2同=2,D選項正確.

2m

故選：ABD

10.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是4（單位：。（3），環(huán)境溫度

是4（單位：。C）,其中％>仇，則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度。將滿足6=〃。=4+（4-止SeR且4>0）.

現(xiàn)有一杯80'C的熱紅荼置于20"C的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（）（參

考數(shù)值ln2*0.7）

A.若〃3）=50℃,貝

B.若〃=上，則紅茶下降到5（TC所需時間大約為7分鐘

C.若/'（3）=-5,則其實際意義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大約以每分鐘5。（3的速率下降

D.紅茶溫度從80℃下降至IJ60°C所需的時間比從60。C下降到40℃所需的時間多

【答案】ABC

【分析】由題知9=/（，）=20+60e/，根據(jù)指對數(shù)運算、以及導數(shù)的幾何意義，依次討論各選項求解.

【詳解】由題知。=/（0=20+60e"',

A：若〃3）=50空，即50=20+60e』，所以e』=；,

則/（6）=20+60”=20+60（e*/=20+60=35℃,A正確；

11-Lt1

B：若無則20+60-/而'=50，則ei。=5,

兩邊同時取對數(shù)得--^=1J=-In2,所以t=101n2=7,

102

所以紅茶下降到5（TC所需時間大約為7分鐘，B正確；

C;/'（3）表示，=3處的函數(shù)值的變化情況，若f'（3）=-5<0,所以實際意義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大

約以每分鐘5。（3的速率下降，故C正確；

D;0=/（，）=優(yōu)+（4-a）-e-“，設紅茶溫度從80。（：下降到60笛所需的時間為％,則

e=/（f）=20+60e$=60=e-%=]nr尸設紅茶溫度從80。（3下降到40。（：所需的時間為與，則

0=/（，）=20+60-e/=40nei=；=4=_mn',則紅茶溫度從60℃下降到40。（3所需的時間為6）;由于

1（12、13

女》0所以。2Tj—i=芍=_工=_工歷7>0,故q

可得紅茶溫度從80（下降到60笛所需的時間4比從60（下降到40。（：所需的時間G—J少，故D錯誤.

故選：ABC.

11.在曲線/3=上上切線的傾斜角為:〃的點的坐標為（）

x4

A.（1,1）B.（-L-1）0D.0,g）

【答案】AB

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，由導數(shù)的幾何意義，即可得到所求切點

3

【詳解】切線的斜率左=tan±〃=-l,

4

設切點為（%,%）,則/缶）=-1,

又/'（*）=-4，

X

所以-4=T,

所以%=1或%=-1,

所以切點坐標為(1,1)或(-1,-1).

故選：AB.

12.若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在兩個不同的點尸，Q,使得"X)在這兩點處的切線重合，則稱函數(shù)y=/(x)

為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)''的是()

A.y=sinx+cosxB.y=sin(cosx)

C.y=x+sinxD.j^=x2+sinx

【答案】ABC

【分析】求出導函數(shù)，確定切線斜率，選項AB,過圖象最高點(或最低點)處的切線是同一條直線，可判

斷，選項C,由導函數(shù)斜率相等的點有無數(shù)組，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，確定斜率為1的切線，可判斷結(jié)論，百選

項D,導函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，因此不存在斜率相等的兩點，這樣易判斷結(jié)論.

【詳解】A,f(%)=sinx+cosx=A/2(sinx+cosx)=sin(x+-^),

/'(%)=>/2cos(x+^),x=+fMcZ時，f\x)=0,/(x)取得最大值后,

44

直線y二&是函數(shù)圖象的切線，且過點(2左〃+￡,近),左cZ,函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；

4

B,/(x)=sin(cosx),f\x)=-sinxcos(sinx),%=2左肛左eZ時,f\x)=0,cosx=l,-sinl<f(x)<sinl,

此時/(x)=sinl是函數(shù)的最大值，

直線歹=sinl是函數(shù)圖象的切線，且過點(2人肛sinl),%wZ,函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；

C,/(x)=x+sinx,/r(x)=l+cosx,

x=2k兀+三,keZ時，/(x)=1,filkrc+y)=2k冗+三,

TTTTTTTT

過點(2%乃+?,2左7+萬+1),左eZ的切線方程是y-(2%zr+5+l)=x-(2%r+^),即y=x+l,因此該切線過

/(x)圖象上的兩個以上的點，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；

D,/(x)=x2+sinx,/'(x)=2x+cosx，令g(x)=/'(x)=2x+cosx，

則g'(x)=2-sinx>0,所以g(x)即/(x)是R增函數(shù)，因此函數(shù)圖象上不存在兩點，它們的切線斜率相等,

也就不存在切線過圖象上的兩點，因此函數(shù)不是“切線重合函數(shù)

故選：ABC.

三、填空題

13.已知函數(shù)/卜)=加+》+1的圖象在點(1,〃1))的處的切線過點(3,11),則。=.

【答案】1

【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出點處的切線方程，再根據(jù)點(3/1)在切線上，求解即可.

【詳解】由/(》)=加+》+1,得/'(x)=3ox2+l,

.?./(1)=3〃+1,又〃1)="+2,

二函數(shù)/(x)=tz?+x+l的圖象在點(1,/。))的處的切線方程為y=(3a+D(x-l)+a+2,

代入(3,11),得11=(3。+1乂3-1)+。+2,解得a=l.

故答案為：1.

14.若直線ax-y-l=O是曲線"蘇-e'在x=l處的切線，則實數(shù)a+6=.

【答案】3-e##—e+3

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合代入法進行求解即可.

【詳解】因為y=6f-e、，所以y'=2法-e”，

把x=]代入ax-y-]=0中，得

于是有a-l=b-e,

由“x-y-l=O可知，切線的斜率為%所以有a=2b-e,

[a-\=b-e[a=2-e

因此有<.,=>\.na+b=3-e,

[a=2o-e[b=1

故答案為：3-e

15.設函數(shù)=當自變量x由1變到1.1時，函數(shù)的平均變化率是.

【答案】2.1

【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解即可.

【詳解】函數(shù)=當自變量x由1變到1.1時，函數(shù)的平均變化率為

1.12-1-(12-1)0.21「

--------------------------------------=------=2.1,

1.1-10.10.1,

故答案為：2.1.

16.己知函數(shù)/(x)=￡+lnx,若曲線y=/(x)在點(m,2)處的切線方程為y=-x+3,則實數(shù)“的值

【答案】2

【分析】運用代入法進行求解即可.

【詳解】把點(口2)代入y=-x+3中，得2=—加+3=根=1,

把(1,2)代入y=N+lnx中，得2=。，即。=2,

X

故答案為：2

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=；x3-x2+ax(aeR).

(1)證明有且僅有兩條經(jīng)過原點的直線與曲線＞=/(x)相切;

(2)記(1)中兩條切線為4,加設4，6與曲線N=〃x)異于原點。的公共點分別為48.若。=1,求cos4O8

的值.

【分析】(1)設出切點，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求出有兩個不同的切點即可證明；

(2)先求出兩條切線的方程，聯(lián)立曲線方程，求出交點，結(jié)合向量夾角公式可求答案.

【詳解】(1)證明：f\x)=x2-2x+a,設過原點的直線與曲線y=/(x)相切于點&/⑺)，則

t2-2t+a=f^~0=-t2-t+a,整理得2/_/=0,即/=0或t=3：

1-0332

所以有且僅有兩條經(jīng)過原點的直線與曲線y=/(x)相切.

(2)當。=1時，fr(x)=x2-2x+l,由(1)知切點為(0,0),

/，(0)=1,/，(|)=1;

兩條切線方程分別知即

?y=x

聯(lián)立方程132-得x=3和x=0(舍)，可得4(3,3)；

y=-x—x4-x

[3

同理可求嗚刀=(3,3),方=(|,￡|,Oi-OS=3x|+3x|=^,

網(wǎng)=3加,同=處，

OAOB5734

所以cos/ZOB=

34

4

18.已知函數(shù)/(x)=ax2-1ax+bJ(l)=2J'(l)=l,求/*)的解析式.

【答案】/(x)=|x2-2x+j.

425

【分析1先對函數(shù)〃》)=公2-：3+6求導，再利用條件〃1)=2,/⑴=1解得參數(shù)。=去6=；,從而得到

fW的解析式.

44

［詳解］T/(X)=4X2一^g+6，fr(x)=2ax--a,乂/(I)=2,/'(1)=1,則有

44

/⑴“一§4+6=2①.八1)=2"$=1②

由①②解得：a=13,6=j5

所以/㈤的解析式是/(X)=^X2-2X+|

19.已知函數(shù)y=xlnx,求這個函數(shù)的圖像在點x=l處的切線方程.

【答案】--1

【分析】利用導數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】由y=xlnx得正=lnx+l,

則當x=1時，切線斜率k-y'|x=l=InI+1=0,

又當x=l時，y=0,所以切點為(1,0),

切線方程為N—0=lx(x-l),

即y=x-L

20.已知函數(shù)/(x)=12-f,求曲線y=/(x)的斜率等于-2的切線方程.

【答案】2x+y-13=0

【分析】利用導數(shù)求得切點坐標，進而求得切線方程.

【詳解】因為/(1)=125,所以八x)=-2x,

設切點為(%/2-君)，則-2x0=—2,即%=1,所以切點為(1,11),

由點斜式可得切線方程為：y-ll=-2(x-l),即2x+y-13=0.