高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點(diǎn)題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）專題研究二正、余弦定理應(yīng)用舉例(原卷版+解析)

專題研究二正、余弦定理應(yīng)用舉例編寫：廖云波【回歸教材】1.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．2.方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3.方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．4.坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．題型一測(cè)量距離問題【例1-1】如圖，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸、的俯角分別為、，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度約等于（

）．（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：，，，，）A． B． C． D．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】一艘船航行到點(diǎn)A處時(shí)，測(cè)得燈塔C在其北偏東75°方向，如圖所示隨后該船以15海里/小時(shí)的速度，向東南方向航行2小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得燈塔C在其北偏東30方向，此時(shí)船與燈塔C間的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里題型二測(cè)量高度問題【例2-1】如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得．已知山高，則山高（

）A． B． C． D．歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】如圖，三點(diǎn)在地面同一直線上，從地面上C，D兩點(diǎn)望山頂A，測(cè)得它們的仰角分別為45°和30°，已知CD＝200米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于（

）A．米 B．米C．米 D．200米題型三測(cè)量角度問題【例3-1】圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點(diǎn)A處的水平面.已知某測(cè)繪興趣小組在冬至日正午時(shí)刻（太陽直射點(diǎn)的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測(cè)得日影長為，則該地的緯度約為北緯（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】位于某海域A處的甲船，在其正東方20nmile的B處有一艘船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救，甲船立即前往營救，同時(shí)把消息告知位干甲船南偏西30°且與甲船相距nmile的C處的乙船．那么乙船前往營救遇險(xiǎn)船時(shí)的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)視線）的方向是北偏東多少度？需要航行的距離是多少海里？【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（三十一）】

【課時(shí)作業(yè)（三十一）】一、單選題1．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)kmB．a(chǎn)kmC．a(chǎn)km D．2akm2．“欲窮千里目，更上一層樓”出自唐朝詩人王之渙的《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于今山西永濟(jì)市，該樓有三層，前對(duì)中條山，下臨黃河，傳說常有鸛雀在此停留，故有此名．下面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客（身高忽略不計(jì)）從地面點(diǎn)看樓頂點(diǎn)的仰角為30°，沿直線前進(jìn)79米到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)看點(diǎn)的仰角為45°，若，則樓高約為（

）．A．65米B．74米C．83米 D．92米3．如圖，是某防汛抗洪大壩的坡面，大壩上有一高為20米的監(jiān)測(cè)塔，若某科研小組在壩底點(diǎn)測(cè)得，沿著坡面前進(jìn)40米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，則大壩的坡角（）的余弦值為（

）A． B． C． D．4．魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高B．表高C．表距D．表距二、填空題5．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度________m.6．“鲅魚公主”形象源于一個(gè)古老的傳說，寓意深刻，美麗動(dòng)人，象征和平，鲅魚圈也因此得名，享譽(yù)中外.“鮁魚公主”雕塑作為渤海明珠景區(qū)的重要組成部分，東與望兒山翹首相望、北與魚躍龍騰雕塑交相輝映，是山海文化、魚龍文化相互交融的經(jīng)典力作，是鲅魚圈的標(biāo)志性建筑.高中生李明與同學(xué)進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，為確定“鲅魚公主”雕塑的高M(jìn)N，選擇點(diǎn)A和附近一樓頂C作為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角從C點(diǎn)測(cè)得，已知樓高BC=40m，則“鲅魚公主”雕塑的高M(jìn)N=_____m7．如圖，一棟建筑物AB高（30-10）m，在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD．在它們之間的地面M點(diǎn)（B、M、D三點(diǎn)共線）測(cè)得對(duì)樓頂A、塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得對(duì)塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為______m．三、解答題8．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D.現(xiàn)測(cè)得，，，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高.9．在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距離為海里的處有一艘緝私艇奉命以海里/時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以海里/時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄.（1）問船與船相距多少海里？船在船的什么方向？（2）問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時(shí)間.10．如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝θ.（1）當(dāng)θ＝時(shí)，求∠OPQ的大?。唬?）當(dāng)∠OPQ越大時(shí)，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，角θ的正弦值．11．如圖，矩形ABCD區(qū)域內(nèi)，D處有一棵古樹，為保護(hù)古樹，以D為圓心，DA為半徑劃定圓D作為保護(hù)區(qū)域，已知m，m，點(diǎn)E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上的動(dòng)點(diǎn)，滿足EF與圓D相切.(1)若∠ADE，求EF的長；(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB的什么位置時(shí)，梯形FEBC的面積有最大值，最大面積為多少？（長度精確到0.1m，面積精確到0.01m2）專題研究二正、余弦定理應(yīng)用舉例編寫：廖云波【回歸教材】1.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．2.方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3.方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．4.坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．題型一測(cè)量距離問題【例1-1】如圖，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸、的俯角分別為、，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度約等于（

）．（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：，，，，）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】本題可先可將題目放置于矩形中，然后通過求出，通過求出，兩者相減，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，作矩形，因?yàn)閺臍馇蛏蠝y(cè)得正前方的河流的兩岸、的俯角分別為、，所以，，因?yàn)闅馇虻母呤?，所以，則，，，，，，，故選：A.歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】一艘船航行到點(diǎn)A處時(shí)，測(cè)得燈塔C在其北偏東75°方向，如圖所示隨后該船以15海里/小時(shí)的速度，向東南方向航行2小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得燈塔C在其北偏東30方向，此時(shí)船與燈塔C間的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解即可【詳解】由題意可知，海里，由正弦定理可得，解得海里.故選：B題型二測(cè)量高度問題【例2-1】如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得．已知山高，則山高（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】解直角三形再結(jié)合正弦定理可求解.【詳解】在Rt中，，所以．在中，，從而，由正弦定理得，，因此．在Rt中，故選：A．歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】如圖，三點(diǎn)在地面同一直線上，從地面上C，D兩點(diǎn)望山頂A，測(cè)得它們的仰角分別為45°和30°，已知CD＝200米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于（

）A．米 B．米C．米 D．200米【答案】C【解析】【分析】在中求得AC，再在中，利用正弦定理求解.【詳解】解：設(shè)山高AB，在中，，在中，由正弦定理得，即，解得，故選：C題型三測(cè)量角度問題【例3-1】圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點(diǎn)A處的水平面.已知某測(cè)繪興趣小組在冬至日正午時(shí)刻（太陽直射點(diǎn)的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測(cè)得日影長為，則該地的緯度約為北緯（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意有，可得，從而可得【詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：．歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】位于某海域A處的甲船，在其正東方20nmile的B處有一艘船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救，甲船立即前往營救，同時(shí)把消息告知位干甲船南偏西30°且與甲船相距nmile的C處的乙船．那么乙船前往營救遇險(xiǎn)船時(shí)的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)視線）的方向是北偏東多少度？需要航行的距離是多少海里？【答案】北偏東，nmile.【解析】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，利用余弦定理和正弦定理解三角形即可求解.【詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖：由余弦定理得：于是由正弦定理，得于是，由可得因此乙船營救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線的方向是北偏東，需要航行nmile.【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（三十一）】

【課時(shí)作業(yè)（三十一）】一、單選題1．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km B．a(chǎn)kmC．a(chǎn)km D．2akm【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意確定的值，再由余弦定理可直接求得的值．【詳解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．2．“欲窮千里目，更上一層樓”出自唐朝詩人王之渙的《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于今山西永濟(jì)市，該樓有三層，前對(duì)中條山，下臨黃河，傳說常有鸛雀在此停留，故有此名．下面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客（身高忽略不計(jì)）從地面點(diǎn)看樓頂點(diǎn)的仰角為30°，沿直線前進(jìn)79米到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)看點(diǎn)的仰角為45°，若，則樓高約為（

）．A．65米 B．74米 C．83米 D．92米【答案】B【解析】設(shè)的高度為，在直角三角形中用表示出，由可求得得樓高．【詳解】設(shè)的高度為，則由已知可得，，，所以，解得，所以樓高（米）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．3．如圖，是某防汛抗洪大壩的坡面，大壩上有一高為20米的監(jiān)測(cè)塔，若某科研小組在壩底點(diǎn)測(cè)得，沿著坡面前進(jìn)40米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，則大壩的坡角（）的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由，，可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，進(jìn)而由可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所?在中，由正弦定理得，解得.在中，由正弦定理得，所以.又，所以，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，考查誘導(dǎo)公式，考查學(xué)生合理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題.4．魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．二、填空題5．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度________m.【答案】【解析】【詳解】試題分析:由題設(shè)可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因?yàn)?所以,應(yīng)填.考點(diǎn)：正弦定理及運(yùn)用．6．“鲅魚公主”形象源于一個(gè)古老的傳說，寓意深刻，美麗動(dòng)人，象征和平，鲅魚圈也因此得名，享譽(yù)中外.“鮁魚公主”雕塑作為渤海明珠景區(qū)的重要組成部分，東與望兒山翹首相望、北與魚躍龍騰雕塑交相輝映，是山海文化、魚龍文化相互交融的經(jīng)典力作，是鲅魚圈的標(biāo)志性建筑.高中生李明與同學(xué)進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，為確定“鲅魚公主”雕塑的高M(jìn)N，選擇點(diǎn)A和附近一樓頂C作為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角從C點(diǎn)測(cè)得，已知樓高BC=40m，則“鲅魚公主”雕塑的高M(jìn)N=_____m【答案】60【解析】【分析】由題意可知，解三角形ABC可求得AC，繼而解三角形AMC求得AM，再解三角形AMN，即可求得答案.【詳解】由題意可知，由于，故，又因?yàn)?，，所?,又因?yàn)?，故，故答案為?07．如圖，一棟建筑物AB高（30-10）m，在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD．在它們之間的地面M點(diǎn)（B、M、D三點(diǎn)共線）測(cè)得對(duì)樓頂A、塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得對(duì)塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為______m．【答案】60【解析】【分析】由已知可以求出、、的大小，在中，利用銳角三角函數(shù)，可以求出.在中，運(yùn)用正弦定理，可以求出.在中，利用銳角三角函數(shù)，求出.【詳解】由題意可知：，，由三角形內(nèi)角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，在中，.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、正弦定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題8．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D.現(xiàn)測(cè)得，，，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高.【答案】【解析】【詳解】在△BCD中，.由正弦定理得所以在Rt△ABC中，塔高為.9．在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距離為海里的處有一艘緝私艇奉命以海里/時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以海里/時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄.（1）問船與船相距多少海里？船在船的什么方向？（2）問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時(shí)間.【答案】（1），船在船的正西方向；（2）緝私艇沿東偏北方向行駛小時(shí)才能最快追上走私船．【解析】（1）在中根據(jù)余弦定理計(jì)算，再利用正弦定理計(jì)算即可得出方位；（2）在中，利用正弦定理計(jì)算，再計(jì)算得出追擊時(shí)間．【詳解】解：（1）由題意可知，，，在中，由余弦定理得：，，由正弦定理得：，即，解得：，，船在船的正西方向．（2）由（1）知，，設(shè)小時(shí)后緝私艇在處追上走私船，則，，在中，由正弦定理得：，解得：，，是等腰三角形，，即．緝私艇沿東偏北方向行駛小時(shí)才能最快追上走私船．【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．10．如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝θ.（1）當(dāng)θ＝時(shí)，求∠OPQ的大??；（2）當(dāng)∠OPQ越大時(shí)，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，角θ的正弦值．【答案】（1）.（2）.【解析】（1）設(shè)∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關(guān)系式，將其展開化簡(jiǎn)并整理后得tanα＝，將θ＝代入得答案；（2）令f(θ)＝并利用導(dǎo)數(shù)求得f(θ)的最大值，即此時(shí)的，由（1）可知tanα＝，得答案.【詳解】（1）設(shè)∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關(guān)系式．因?yàn)椤螦QC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以O(shè)Q＝在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，設(shè)∠OPQ＝