高中數(shù)學(xué)選修22人教版練習(xí)第一章1.4生活中的優(yōu)生問(wèn)題舉例

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4生活中的優(yōu)生問(wèn)題舉例A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．圓的面積S關(guān)于半徑r的函數(shù)是S＝πr2，那么在r＝4時(shí)面積的變化率是()A．8B．12C．8πD．12π解析：因?yàn)镾′＝2πr，所以S′(4)＝2π·4＝8π.答案：C2．把長(zhǎng)度為8的線段分成四段，圍成一個(gè)矩形，矩形面積的最大值為()A．2B．4C．8D．以上都不對(duì)解析：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，則寬為eq\f(8－2x,2)＝4－x，所以矩形面積為S＝x(4－x)＝－x2＋4x，所以S′＝－2x＋4，令S′＝0，得x＝2，所以矩形的最大面積為S＝2(4－2)＝4.答案：B3．某出版社出版一讀物，一頁(yè)紙上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應(yīng)選用的尺寸為()A．左右長(zhǎng)12cm，上下長(zhǎng)18cmB．左右長(zhǎng)12cm，上下長(zhǎng)19cmC．左右長(zhǎng)11cm，上下長(zhǎng)18cmD．左右長(zhǎng)13cm，上下長(zhǎng)17cm解析：設(shè)所印文字區(qū)域的左右長(zhǎng)為xcm，則上下長(zhǎng)為eq\f(150,x)cm，所以紙張的左右長(zhǎng)為(x＋2)cm，上下長(zhǎng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))cm，所以紙張的面積S＝(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))＝3x＋eq\f(300,x)＋156.所以S′＝3－eq\f(300,x2)，令S′＝0，解得x＝10.當(dāng)x>10時(shí)，S單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<10時(shí)，S單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝10時(shí)，Smin＝216(cm2)，此時(shí)紙張的左右長(zhǎng)為12cm，上下長(zhǎng)為18cm.故當(dāng)紙張的邊長(zhǎng)分別為12cm，18cm時(shí)最節(jié)約．答案：A4．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A．150B．200C．250D．300解析：由題意得，總利潤(rùn)P(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,70090－100x，x>390，))令P′(x)＝0，得x＝300，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)x＝300時(shí)總利潤(rùn)最大，故選D.答案：D5．要制作一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高為A.eq\f(\r(3),3)cm B.eq\f(10\r(3),3)cmC.eq\f(16\r(3),3)cm D.eq\f(20\r(3),3)cm解析：設(shè)圓錐的高為x，則底面半徑為eq\r(202－x2)，其體積為V＝eq\f(1,3)πx(400－x2)，0<x<20，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝eq\f(20\r(3),3).當(dāng)0<x<eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′＞0；當(dāng)eq\f(20\r(3),3)<x<20時(shí)，V′<0，所以當(dāng)x＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V取最大值．答案：D二、填空題6．電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)，為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為_(kāi)_______．解析：由題設(shè)知y′＝x2－39x－40，令y′>0，解得x>40或x<－1，故函數(shù)y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)在[40，＋∞]上遞增，在(0，40)上遞減．所以當(dāng)x＝40時(shí)，y取得最小值．由此得為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為40.答案：407．做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱體水桶，若要使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_(kāi)_______．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，則V＝πR2L＝27π，所以L＝eq\f(27,R2)，要使用料最省，只需使圓柱表面積最小，因?yàn)镾表＝πR2＋2πRL＝πR2＋πeq\f(54,R)(R>0)，所以S表′(R)＝2πR－eq\f(54π,R2)，令S表′(R)＝0，得R＝3，所以當(dāng)R＝3時(shí)，S表最?。鸢福?8．某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和最小，則x＝________．解析：設(shè)該公司一年內(nèi)總共購(gòu)買(mǎi)n次貨物，則n＝eq\f(400,x)，所以總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和(單位：萬(wàn)元)f(x)＝4n＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x，f′(x)＝4－eq\f(1600,x2)，令f′(x)＝0，解得x＝20(－20舍去)，當(dāng)0<x<20時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)20<x≤400時(shí)，f′(x)>0.所以x＝20是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，故當(dāng)x＝20時(shí)，運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和最?。鸢福?0三、解答題9.如圖所示，有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海的同側(cè)，乙廠位于離海岸40km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50km.兩廠要在此岸邊A，D之間合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，則供水站解：設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm，則AC＝50－x(km)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402)(km)．又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意，得y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0<x<50)．y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402)).令y′＝0，解得x＝30.在(0，50)上，y只有一個(gè)極小值點(diǎn)，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，函數(shù)在x＝30km處取得最小值，此時(shí)AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之間距甲廠20km處，10.一個(gè)帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐(如圖)．問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為多少時(shí)解：設(shè)OO1為xm(1＜x＜4)，底面正六邊形的面積為Sm2，帳篷的體積為Vm3.則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為eq\r(32－（x－1）2)＝eq\r(82＋2x－x2)(m)，于是底面正六邊形的面積為S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，所以帳篷的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x－1）＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)(m3)，求導(dǎo)數(shù)，得V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.當(dāng)1<x<2時(shí)，V′＞0；當(dāng)2<x<4時(shí)，V′<0.所以當(dāng)x＝2時(shí)，V最大．即當(dāng)OO1為2m時(shí)，B級(jí)能力提升1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋eq\f(71,3)，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．3萬(wàn)件B．1萬(wàn)件C．2萬(wàn)件D．7萬(wàn)件解析：因?yàn)閤>0，y′＝－x2＋4＝(2－x)(2＋x)，令y′＝0，解得x＝2，所以x∈(0，2)時(shí)，y′>0，x∈(2，＋∞)時(shí)，y′<0，y先增后減．所以x＝2時(shí)函數(shù)取最大值．答案：C2．一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為10km/h時(shí)的燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，當(dāng)行駛每千米的費(fèi)用總和最小時(shí)，此輪船的航行速度為_(kāi)_______解析：設(shè)輪船的速度為xkm/h時(shí)，燃料費(fèi)用為Q元，則Q＝kx3(k≠0)．因?yàn)?＝k×103，所以k＝eq\f(3,500)，所以Q＝eq\f(3,500)x3.所以行駛每千米的費(fèi)用總和為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x)(x>0)．所以y′＝eq\f(3,250)x－eq\f(96,x2).令y′＝0，解得x＝20.因?yàn)楫?dāng)x∈(0，20)時(shí)，y′<0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(20，＋∞)時(shí)，y′>0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝20時(shí)，y取得最小值，即此輪船以20km/h的速度行駛時(shí)，答案：203．時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價(jià)格x(單位：元/套)滿足的關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套．(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開(kāi)銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大(保留1位小數(shù))．解：(1)因?yàn)閤＝4時(shí)，y＝21，代入關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4（x－6）2))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，從而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)，且在eq\b\lc\(\rc\