高中數(shù)學(xué)-生活中的變量關(guān)系教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

《生活中的變量關(guān)系》教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)組

【教材分析】

《生活中的變量關(guān)系》一節(jié)是北師大版必修一第二章第一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，函數(shù)是中

學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，生活中的變量關(guān)系是函數(shù)一章的開篇課，為函數(shù)的學(xué)習(xí)提供必要的知

識鋪墊.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生將明析依賴關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別和聯(lián)系，體會生活與數(shù)學(xué)

的密切聯(lián)系,掌握研究方法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)目標與核心素養(yǎng)】

一、教學(xué)目標

L知識與能力：

（1）通過實例，了解生活中的變量關(guān)系，體會變量和變量之間的相互關(guān)系。

（2）知道兩變量之間有相互依賴關(guān)系不一定就是函數(shù)關(guān)系；

（3）學(xué)會判斷兩變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，并結(jié)合實際生活培養(yǎng)學(xué)生的思考和

數(shù)學(xué)建模能力。

2.過程與方法：

（1）從實踐生活中發(fā)現(xiàn)變量之間存在關(guān)系的過程，感知函數(shù)的實際意義，發(fā)展符

號感。

（2）注意收集歸納生活中變量之間的關(guān)系。

3.情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生廣泛聯(lián)想的能力；從生活的實例讓學(xué)生貼近生

活，熱愛生活；數(shù)學(xué)與生活結(jié)合，從源頭上讓學(xué)生更加熱愛數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)

現(xiàn)的責(zé)任心，提高學(xué)習(xí)的積極性。

二.核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：初中時函數(shù)概念的理解

2.邏輯推理：借助初中所學(xué)的變量之間的關(guān)系，分析生活中變量的關(guān)系，將函

數(shù)運用于實際生活中，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識無處不在

3.數(shù)學(xué)運算：根據(jù)變量之間的關(guān)系，列出相應(yīng)函數(shù)關(guān)系式，從而解決實際問題

4.直觀想象：通過有些函數(shù)圖像的畫法，了解函數(shù)關(guān)系是如何體現(xiàn)。

5.數(shù)學(xué)建模:利用函數(shù)變量的關(guān)系，對于生活中，牽扯到有關(guān)變量的實際問題，

我們都可以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，更好的解決一些問題。

【教學(xué)重點】兩個變量的依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系

【教學(xué)難點】通過觀察數(shù)據(jù)和圖像，能夠辨析依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的區(qū)別和聯(lián)系。

【教學(xué)方法】教師啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探索相結(jié)合.

【教學(xué)手段】投影和計算機輔助教學(xué).

［教學(xué)凌程】，

生活經(jīng)驗,—考察J數(shù)學(xué)概念?

概括。

生活中的變化實例；一

依賴關(guān)系的概念”

通過實驗探討兩個變量函數(shù)關(guān)系的概念，

之間的依賴關(guān)系“

列舉現(xiàn)實問題，考察應(yīng)通過函數(shù)關(guān)系分析變化

用及現(xiàn)實意義。并學(xué)會思考。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，體會變量的多樣性和復(fù)雜性，并能發(fā)現(xiàn)變量與變量之間的關(guān)系。

1.展示生活實例1：警察破案，通過視頻觀看發(fā)現(xiàn)，這位警察是怎樣通過一個

腳印判斷出兇手來的？

2.展示生活實例2：從人類進化史、社會發(fā)展實例、以及個人成長的圖片中，

通過體會事物的變化，你能得出什么結(jié)論呢？

設(shè)計意圖通過電影片段和圖片展示，從學(xué)生感興趣的生活實例引入，激發(fā)學(xué)生

的聽課熱情，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)變量的復(fù)雜和多樣性，并能發(fā)現(xiàn)生活中變量之間的依賴關(guān)

系.

二、歸納共性，形成依賴關(guān)系的概念

從事物發(fā)展變化的角度看，能夠發(fā)現(xiàn)以上圖片的共同點嗎？

事物會隨時間的變化而變化，從數(shù)學(xué)角度上講，可以解釋為一個變量隨著另一個變

量的變化而變化，從而我們發(fā)現(xiàn)這兩個變量之間具有依賴關(guān)系。

設(shè)計意圖有了前面的基礎(chǔ)，此時學(xué)生能夠概括上述生活體臉的共性.在提問時明

確思考的角度，避免不必要的發(fā)散.從而引出課題，明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標。

三、深入情境，形成函數(shù)關(guān)系的概念

老師和學(xué)生一塊動手操作，請同學(xué)們認真觀察往水杯中注水時水量的變化。

問題：水量的變化是怎樣體現(xiàn)出來的？

水量的變化會引起很多量的變化，那我們就來研究一下水量V、水的高度h以及水面寬

度W這三個變量之間的依賴關(guān)系。

問題一：探究水量V和水的高度h之間的依賴關(guān)系

問題二：探究水量V和水面寬度W之間的依賴關(guān)系

實驗二

關(guān)系一：當水面寬度W給定后，水量V不一定能夠被唯一確定。

關(guān)系二：當水量V給定后，水面寬度W能夠被唯一確定。

那從上述結(jié)論中，我們發(fā)現(xiàn)關(guān)系二中，任意給定一個變量的值，另一個變量都有唯一確

定的值與之對應(yīng)，那我們就稱這兩個變量之間滿足函數(shù)關(guān)系。

接下來，為了更好的理解函數(shù)關(guān)系，設(shè)計以下判斷題：

在上面的實驗二中，如果我們從初中學(xué)過的函數(shù)角度看，以下有依賴關(guān)系的兩個變量中,

是函數(shù)關(guān)系的有哪些？

A.水M：v是水面高度h的函數(shù)

B.水量v是水面寬度w的函數(shù)

C.水而寬度w是水的函數(shù)

D.水面高度h是水面寬度w的函數(shù)

答案：AC

設(shè)計意圖通過實驗帶給學(xué)生更加直觀的視覺享受，從而不僅體驗了生活還能從生

活中挖掘一些變量之間的一些規(guī)律，傳遞給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度.激發(fā)學(xué)生對生活

經(jīng)驗的反思和探究，從而發(fā)現(xiàn)并學(xué)會判斷依賴關(guān)系中的一種特殊關(guān)系--函數(shù)關(guān)系。

四、強化概念，形成學(xué)生的建模思維

通過一個例題講解和習(xí)題練習(xí)，加深對函數(shù)關(guān)系的強化，將生活中的現(xiàn)實用函數(shù)的

思想來構(gòu)建，從而研究這個變化背后所隱藏的現(xiàn)實意義。

例：(1)某護士從上午8：00到下午2：00每小時量一次病人的體溫，并記錄成表

格。在這里設(shè)置了一個問題：

請分析有哪些變量？這些變量之間是否存在依賴關(guān)系？如果存在，其中一個變量是

否是另一個變量的函數(shù)？

隨后根據(jù)這個變量之間的變化規(guī)律，假想一下如果自己是那個病人，會有什么感想

呢？

為了更加貼近生活，我設(shè)計了一個純文字型生活實例，讓學(xué)生來感受變化，這個地

方不用任何數(shù)據(jù)導(dǎo)入，直接讓學(xué)生模擬生活，結(jié)合化學(xué)角度來觀察現(xiàn)象。這個地方充分

體現(xiàn)了學(xué)科與學(xué)科之間也是相通的。

練習(xí)：在一定溫度下，往一定量的水中加入蔗糖至飽和態(tài)，在這個過程中，糖水的

濃度與所加蔗糖的質(zhì)量之間存在依賴關(guān)系嗎？若存在，請找一下其中的函數(shù)關(guān)系。

設(shè)計意圖與實例中的表格區(qū)別開，設(shè)計了一個純文字型生活實例，讓學(xué)生來感受

變化，這個地方不用任何數(shù)據(jù)導(dǎo)入，直接讓學(xué)生模擬生活，這里結(jié)合化學(xué)的角度來解決

問題，體現(xiàn)學(xué)科之間的共通性。

五、層層深入，形成學(xué)生的應(yīng)用和責(zé)任意識

疫情下的思考：

累

計

確

診

Time

（1）請同學(xué)們利用本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識來解釋一下曲線的變化規(guī)律。

（2）對其所產(chǎn)生的現(xiàn)實意義談?wù)勀愕目捶ā?/p>

設(shè)計意圖結(jié)合現(xiàn)在最熱門的話題，新冠肺炎中美發(fā)展情況，針對不同體制下的兩

個國家之間疫情情況的對比，以曲線形式呈現(xiàn)，從圖像中去發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系。來讓學(xué)

生從分析實際情況的變化中來發(fā)現(xiàn)作為中國人民的驕傲和幸福感，體會在黨的正確

領(lǐng)導(dǎo)下，中國人民團結(jié)一心，眾志成城，體會中國的強大，作為中國少年，少年強

則國強，充分體現(xiàn)學(xué)習(xí)的重要性，增強學(xué)習(xí)的熱情和家國責(zé)任感。

六、課堂小結(jié)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么呢？

設(shè)計意圖通過讓學(xué)生歸納小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和歸納概括能力

七、課后作業(yè)

1,利用本節(jié)課的知識對視頻中的警察是如何通過腳印判斷出兇手的外形特征做

一個解釋。（可查閱相關(guān)資料）

2,嘗試利用糖水的濃度與所加蔗糖的質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系以及其變化規(guī)律模擬

出函數(shù)圖像.

設(shè)計意圖讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，即數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于

生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與積極性，突顯三維教學(xué)目標。

學(xué)情分析

從學(xué)生知識儲備和經(jīng)驗儲備來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義，

對于函數(shù)當中自變量X和因變量y之間的關(guān)系是有所了解的，能夠準

確的把握因變量y的唯一確定性從來想到函數(shù)關(guān)系的唯一確定性，繼

而再分析，從生活中分析兩個變量之間依賴關(guān)系，從依賴關(guān)系當中抽

象出函數(shù)關(guān)系，有利于他們更好的理解函數(shù)關(guān)系，有利于他們更好的

從生活當中來挖掘函數(shù)關(guān)系。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)會初步學(xué)會用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題的能力，已經(jīng)

初步形成數(shù)學(xué)問題進行合作探究的意識和能力。

教學(xué)分析：創(chuàng)設(shè)問題情景，引出問題實際操作，類比生活中的數(shù)

學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，小組合作探究師生共同交流。

效果分析

一開始通過電影片段和圖片展示，從學(xué)生感興趣的生活實例引入,

激發(fā)學(xué)生的聽課熱情，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)變量的復(fù)雜和多樣性，并能發(fā)

現(xiàn)生活中變量之間的依賴關(guān)系.學(xué)生聽課效果很好，比較有興趣，有

了前面的基礎(chǔ)，此時學(xué)生能夠概括上述生活體驗的共性.在提問時明

確思考的角度，避免不必要的發(fā)散.從而引出課題，明確本節(jié)課的學(xué)

習(xí)目標。

通過實驗帶給學(xué)生更加直觀的視覺享受，從而不僅體驗了生活還

能從生活中挖掘一些變量之間的一些規(guī)律，傳遞給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積

極態(tài)度.激發(fā)學(xué)生對生活經(jīng)驗的反思和探究，從而發(fā)現(xiàn)并學(xué)會判斷依

賴關(guān)系中的一種特殊關(guān)系一-函數(shù)關(guān)系。

結(jié)合現(xiàn)在最熱門的話題，新冠肺炎中美發(fā)展情況，針對不同體制

下的兩個國家之間疫情情況的對比，以曲線形式呈現(xiàn)，從圖像中去發(fā)

現(xiàn)函數(shù)關(guān)系。來讓學(xué)生從分析實際情況的變化中來發(fā)現(xiàn)作為中國人民

的驕傲和幸福感，體會在黨的正確領(lǐng)導(dǎo)下，中國人民團結(jié)一心，眾志

成城，體會中國的強大，作為中國少年，少年強則國強，充分體現(xiàn)學(xué)

習(xí)的重要性，增強學(xué)習(xí)的熱情和家國責(zé)任感。

學(xué)生評價上：本節(jié)課從操作能力、概括能力、學(xué)習(xí)興趣、情緒情

感方面對學(xué)習(xí)效果進行過程評價。對出現(xiàn)問題的學(xué)生，能夠及時指出

其可取之處并耐心引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生勇于面對挫折，持之以恒地探索精

神；當學(xué)生做得精彩有創(chuàng)新，教師給予學(xué)生充分的鼓勵，因此本節(jié)課

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中興趣濃厚，學(xué)得積極主動，課堂氣氛相對活躍。

教師評價：整個教學(xué)環(huán)節(jié)體現(xiàn)了學(xué)生為主體的教學(xué)理念，由學(xué)生

發(fā)現(xiàn)問題、學(xué)生互相交流學(xué)習(xí)、學(xué)生設(shè)計問題、學(xué)生自主解決問題,

為數(shù)學(xué)建模課起到了示范引領(lǐng)的作用。

教材分析

《生活中的變量關(guān)系》一節(jié)是北師大版必修一第二章第一節(jié)的教

學(xué)內(nèi)容，函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,生活中的變量關(guān)系是函數(shù)一章

的開篇課,為函數(shù)的學(xué)習(xí)提供必要的知識鋪墊.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生

將明析依賴關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別和聯(lián)系，體會生活與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)

系,掌握研究方法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)目標：通過生活實例研究變量關(guān)系，明析依賴關(guān)系與函數(shù)關(guān)

系的區(qū)別和聯(lián)系，合作交流，歸納探知生活中的變量關(guān)系。

教學(xué)重點：依賴關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別和聯(lián)系，生活實例的變量

關(guān)系研究。

教學(xué)難點：合作交流，歸納探知生活中的變量關(guān)系，函數(shù)關(guān)系中

的自變量與因變量。

課堂分層測試題

（建議用時：40分鐘）

[4組基礎(chǔ)鞏固練]

一'選擇題

i.下列變量間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是（）

A.勻速航行的輪船在2小時內(nèi)航行的路程

B.某地蔬菜的價格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系

C.正方形的面積S與其邊長。之間的關(guān)系

D.光照時間和蘋果的畝產(chǎn)量

C[A是常量，B是依賴關(guān)系，C是函數(shù)關(guān)系，D是依賴關(guān)系.]

2.下圖是反映某市某一天的溫度隨時間變化情況的圖象.由圖象可知，下

列說法中錯誤的是（）

A.這天15時的溫度最高

B.這天3時的溫度最低

C.這天的最高溫度與最低溫度相差13℃

D.這天21時的溫度是30℃

C[這天的最高溫度與最低溫度相差為36—22=14°C,故C錯.]

3.已知變量x,y滿足y=|x|,則下列說法錯誤的是（）

A.x,y之間有依賴關(guān)系

B.x,y之間有函數(shù)關(guān)系

C.y是x的函數(shù)

D.x是y的函數(shù)

D[當）取一個正值時，有兩個x與它對應(yīng)，故D錯.]

4.諺語“瑞雪兆豐年”說明（）

A.下雪與來年的豐收具有依賴關(guān)系

B.下雪與來年的豐收具有函數(shù)關(guān)系

C.下雪是豐收的函數(shù)

D.豐收是下雪的函數(shù)

A[下雪與來年的豐收具有依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系.]

5.一天，亮亮發(fā)燒了，早晨他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午時

的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開始上升，晚上體溫漸漸下降直到半夜亮

亮才感覺身上不那么發(fā)燙了.下列各圖中能基本上反映出亮亮這一天（0時?24

時）體溫的變化情況的是（）

CD

C[從亮亮的體溫變化，可以看出圖象應(yīng)為：早晨37°C以上不二37°C（中

午）總37℃以上占37℃（半夜），結(jié)合圖象知，只有C項符合.]

r千吃上

二'填空題

6.當圓柱底面半徑變化時，圓柱的體積也隨之發(fā)生變化，在這個變化過程

中，是自變量，是因變量.

［答案］圓柱底面半徑圓柱的體積.

7.自變量光與因變量y之間的關(guān)系如下表:

X01234???

y02468???

(1)寫出尤與y的關(guān)系式：

(2)當x=2.5時，y=.

［答案］(l)y=2x(2)5

8.假定甲、乙兩人在一次百米賽跑中，路程與時間的關(guān)系如圖所示，那么

可以知道：

(1)甲、乙兩人中先到達終點的是

(2)乙在這次賽跑中的速度為m/s.

⑴甲(2)8［設(shè)甲、乙的速度分別為。2，

「10025100

貝】硒=~^=了(01人)，02=Yy^=8(m/s),

三'解答題

9.如圖所示為某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖.

(1)上午8時的氣溫是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？

(2)大約在什么時刻，氣溫為0°C?

(3)大約在什么時刻內(nèi)，氣溫在0C以上？兩個變量有什么特點，它們具有

怎樣的對應(yīng)關(guān)系？

［解］(1)上午8時氣溫是0°C,全天最高氣溫大約是9°C,在14時達到，

全天最低氣溫大約是一2°C,在4時達到.

(2)大約在0時8時和22時，氣溫為0℃.

(3)在8時到22時之間，氣溫在0℃以上，變量0W/W24,變量一2W0W9,

由于圖象是連續(xù)的，可知它們之間具有隨著時間的增加，氣溫先降再升再降的變

化趨勢，所以6與，具有依賴關(guān)系，也具有函數(shù)關(guān)系.

10.如圖的曲線表示一人騎自行車離家的距離s(千米)與時間f(時)的關(guān)系.騎

車者9時離開家，15時回家.根據(jù)這個曲線圖，請你回答下列問題：

(1)最初到達離家最遠的地方是什么時間？離家多遠？

(2)何時開始第一次休息？休息多長時間？

⑶第一次休息時，離家多遠？

(4)11：00到12：00他騎了多少千米？

(5)他在9：00—10：00和10：00-10：30的平均速度分別是多少?

(6)他在哪段時間里停止前進并休息用午餐？

［解］(1)最初到達離家最遠的地方的時間是12時，離家30千米.

(2)10:30開始第一次休息,休息了半小時.

(3)第一次休息時，離家17千米.

(4)11:00至12:00,他騎了13千米.

(5)9:00—10:00的平均速度是10千米/時；

10:00—10:30的平均速度是14千米/時.

(6)從12時到13時停止前進，并休息用午餐.

［B組素養(yǎng)提升練］

11.國內(nèi)快遞1000g以內(nèi)的包裹的郵資標準如表：

運送距離x（km）0<x^500500<xW10001000<xW1500???

郵資y（元）5.006.007.00???

如果某人在西安要郵寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他應(yīng)付

的郵資是（）

A.5.00元B.6.00元

C.7.00元D.無法確定

C[V800g<l000g,，適用表格給出的郵資標準.

VI000<1200<1500,.?.應(yīng)付郵資7.00元.]

12.星期天，小明從家出發(fā)，出去散步，下圖中描述了他散步過程中離家的

距離s（m）與散步所用的時間/（min）之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象，下面的描述符合

小明散步情況的是（）

A.從家出發(fā)，到一個公共閱報欄，看了一會兒報，就回家了

B.從家出發(fā)，到一個公共閱報欄，看了一會兒報后，繼續(xù)向前走了一段,

然后回家了

C.從家出發(fā)，散了一會兒步（沒有停留），然后回家了

D.從家出發(fā)，散了一會兒步，就找同學(xué)去了，18min后才回家

B[水平線段表明小明離家的距離始終是300米，然后離家距離達到500

米，說明小明從家出發(fā)后，到一個公共閱報欄，看了一會兒報后，繼續(xù)向前走了

一段，然后回家了.]

13.向高為"的水瓶中注水，注滿為止.如果注水量V與水深力的函數(shù)關(guān)

系的圖象如圖①所示，那么水瓶的形狀是圖②中的（）

ABCD

圖②

B［通過圖象反映的兩個變量/?與V的變化情況知，注水量隨高度的變化

是先快后慢，再結(jié)合選項中四個容器的形狀來判斷，只有B符合要求.］

14.現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200克，生產(chǎn)需要含鹽在5%以上且6%以下的食

鹽水，設(shè)需要加入含鹽4%的食鹽水尤克，則x的范圍是.

_0.07X200+0.04%

(100,400)［由L題段得0.05V-------200+1------<0.06,解得100VxV400.］

［C組思維提升練］

15.向平靜的湖面投一塊石子，便會形成以落水點為圓心的一系列同心圓.

(1)在這個變化過程中，有哪些變量？

(2)若圓的面積用S表示，半徑用火表示，則S和R的關(guān)系是什么？它們是

常量還是變量？

(3)若圓的周長用C表示，半徑用R表示，則。與火的關(guān)系式是什么？

［解］(1)形成的一系列同心圓的半徑、周長、面積都是變量.

(2)圓的面積S與半徑R存在依賴關(guān)系，

對于半徑R的每一個取值，都有唯一的面積S與之對應(yīng)，

所以圓的面積S是半徑R的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式是5=兀7?2.圓的面積s、半

徑R都是變量.

(3)C=2兀R.

課后反思

1,這節(jié)課首先從一個電影片段開始，讓學(xué)生深刻理解變量的多

樣性以及變量之間可以相互依賴，從而與這節(jié)課的重點一一變量之間

的依賴關(guān)系相呼應(yīng)，然后通過圖片，表格數(shù)據(jù)，以及圖像，讓學(xué)生不

自覺的走進我所創(chuàng)設(shè)的情境之中。這種低起點，小步子會使的后面的

學(xué)習(xí)內(nèi)容變的順理成章，學(xué)生學(xué)得輕松、愉悅、充滿信心，真正成了

“全民數(shù)學(xué)二

2,這節(jié)課通過圖像以及實驗入手設(shè)計現(xiàn)實情境，學(xué)生答案眾多，

學(xué)生發(fā)言有欲罷不能之勢。極大地開發(fā)了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生用

數(shù)學(xué)