初中幾何輔助線大全1

三角形中作輔助線的常用方法舉例

一、延長已知邊構(gòu)造三角形：

例如:如圖7T：已知AC=BD,AD，AC于A，BCIBD^B,求證：AD=BC

會折：__然證,_股="。，一一先還分別會有—AD"—"。一的三圓形全等人有幾貍方案：與ABCD,_

△AOD與ABOC,AABD與ABAC,—但根據(jù)現(xiàn)有逢佳，均無法證金等，差圓的相等，且此可設(shè)

法蚱出新的用，旦讓此電作為兩個三角修的公共用。

證明：分別延長DA,CB,它們的延長交于E點,

VADXACBC±BD（己知）

.-.ZCAE=ZDBE=90°（垂直的定義）

在ADBE與4CAE中

‘NE=/E（公共角）

??[/D8E=NCAE（已證）

=AC（已知）

.'.△DBE^ACAE（AAS）

/.ED=ECEB=EA（全等三角形對應(yīng)邊相等）

.?.ED-EA=EC-EB

即：AD=BCo

（當(dāng)條件丕旦時,__可通過添加輔期線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。._）

二、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。

三、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。

例如:如圖9T：在RtZkABC中，AB=AC,NBAC=90°,N1=N2,CE_LBD的延長于E。

求證：BD=2CE

會析:要延BD=2CE,想到要構(gòu)造線段2CE,_同時■與

NABC的平分線垂直，想到要將其延長。

證明：分別延長BA,CE交于點F。

VBEXCF（已知）

.-.ZBEF=ZBEC=90°（垂直的定義）

在ABEF與4BEC中,

21=N2（已知）

1研=即公共邊）

ZBEF=ZBEC（B^￡）

.'.△BEF^ABEC（ASA）.-.CE=FE=~CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）

2.

VZBAC=90°BE±CF（已知）

.,.ZBAC=ZCAF=90°Zl+ZBDA=90°Zl+ZBFC=90°

NBDA=NBFC

在AABD與AACF中

NBAC=NC4R（已證）

<ZBDA=ZBFC（BVE）

A5=AC（已知）

AABD^AACF（AAS）.*.BD=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等），BD=2CE

四、取線段中點構(gòu)造全等三有形。

例如：如圖11-1：AB=DC,NA=ND求證：NABC=NDCB。

分析:——電AB=DC“_/A=_4D“_想到如.取AD的由點N，__連接..NB,NC,_算由SAS.公理有△ABN

空ADCN,…故.BN=CN,__NABN=_4DCN?！っ娴┱鹧?NBC=/NCB,邂型~_BC_的中點_連接

MN_一則由SSS.公理直△NBM空△NCM所以/NBC=_NNCB,。—問題得證。

證明：WAD,BC的中點N、M,連接NB,NM,NC。則AN=DN,BM=CM,在AABN和ADCN

'AN=DN（輔助線的作法）

中，/A=ZD（已知）

A3=Z）C（已知）

AABN^ADCN（SAS）

/.ZABN=ZDCNNB=NC（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）

在△NBM與ANCM中

一NB=NC（已證）

7BM=CM（輔助線的作法）

NM=NM（公共邊）

?.ANMB^ANCM,（SSS）.*.ZNBC=ZNCB（全等三角形對應(yīng)角相等）ZNBC+Z

ABN=ZNCB+ZDCN即/ABC=/DCB。

巧求三角形中線段的比值

例.1,如圖1,在4ABC中，BD：DC=1：3,AE：ED=2：3,求

AF：FC。

解：過點D作DG〃AC,交BF于點G

所以DG：FC=BD：BC

因為BD：DC=1：3所以BD：BC=1：4

即DG：FC=1：4,FC=4DG

因為DG：AF=DE：AE又因為AE：ED=2：3

所以DG：AF=3：2

22

AF=-DG-DG

即3所以AF：FC=3：4DG=1：6

解：過點C作CG〃DE交AB于點G,則有EF：GC=AF：AC

因為AF=FC所以AF：AC=1：2

EF=-GC

即EF：GC=1：2,2

因為CG：DE=BC：BD又因為BC=CD

所以BC：BD=1：2CG：DE=1：2即DE=2GC

13

2GC--GC=-GC

因為FD=ED—EF=22所以EF：FD=

13

-GC：-GC=1：3

22

4、結(jié):以上兩例中，軸助線都作在了“后紀(jì)”條件中出現(xiàn)

的兩條已知線段的交點處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。.請再看兩

現(xiàn)讓瓦們感受其中的至妙！

例3,如圖3,EID：DC=1：3,AE：里=2：3，求AF：FP。

解：過點B作BG〃AD,交CE延長線于點G。

所以DF：BG=CD：CB

因為BD：DC=1：3所以CD：CB=3：4

3

DF=-BG

即DF：BG=3：4,4

因為AF：BG=AE：EB又因為AE：EB=2：3

2

AF=-BG

所以AF：BG=2：3即3

所以AF：DF=I“3

-5G=8：9

4

例4.如圖4,BD：DC=1：3,AF=FD，求工6：也。

解：過點D作DG〃CE,交AB于點G

所以EF：DG=AF：AD

因為AF=FD所以AF：AD=1：2圖4

EF=-DG

即EF：DG=1：22

因為DG：CE=BD：BC,又因為BD：CD=1：3,所以BD：BC=1：4

即DG：CE=1：4,CE=4DG

17

4DG--DG=-DG

因為FC=CE—EF=22

17

-DG-DG

所以EF：FC=2：2=1；7

練習(xí):

1.如圖3，BD=DC,AE：FD=1J5，求AF：FB。

2.如圖6,AD：DB=1；3,AE：EC=3：1,求BF：FCo

2.9：1

BFC

二由角平分線想到的輔助線

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相

等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。

①從角平分線上一點向兩邊作垂線；

②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。

通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下

考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。

與角有關(guān)的輔助線

（一）、截取構(gòu)全等

例1.如圖1-2,AB〃CD,BE平分NBCD,

CE平分NBCD,點E在AD上，求證：BC=AB+CDO

分析：此題中就涉及到角平分線，可以利

用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分

線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段

的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題

中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一

部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明

延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，

進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。

例2.已知：如圖1-3,AB=2AC,ZBAD=ZCAD,DA=DB,求證DCLAC

分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段

相等。其它問題自己證明。A

B

圖1-3

例3.已知：如圖1-4,在AABC中，NC=2NB,AD平分NBAC,求證：AB-

AC=CD

分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明

中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的

和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的

線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的

延長來證明呢？

（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等

過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明

問題。

例1.如圖2-1,已知AB〉A(chǔ)D,ZBAC=ZFAC,CD=BCo

求證：ZADC+ZB=180

分析：可由C向NBAD的兩邊作垂線。近而證NADC

與NB之和為平角。

例2.如圖2-2,在AABC中，ZA=90,AB=AC,ZABD=ZCBDo

求證：BC=AB+AD

分析：過D作DE±BC于E,則AD=DE=CE,則構(gòu)造出

全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題,

從中利用了相當(dāng)于截取的方法。

例3.已知如圖2-3,AABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：ZBAC

的平分線也經(jīng)過點Po

分析：連接AP,證AP平分NBAC即可，也就是證P到AB、

AC的距離相等。

(三)：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

從角的一邊上的一點作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形,

垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三

角形的三線合一的性質(zhì)。(如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一

邊相交)。

例1.已知：如圖3T,ZBAD=ZDAC,AB〉A(chǔ)C,CDLAD于D,H是BC中點。

求證：DH=，(AB-AC)

2

分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。

例2.已知：如圖3-2,AB=AC,ZBAC=90,AD為NA

BC的平分線,CELBE.求證:BD=2CEo

分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的

垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角

形。

例3.已知：如圖3-3在4ABC中，AD、AE分別NBAC的內(nèi)、外角平分線,

過頂點B作BFAD,交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長

交AE于M。

求證：AM=MEo

分析：由AD、AE是NBAC內(nèi)外角平分線，可得EA

±AF,從而有BF〃AE,所以想到利用比例線段證相等。

例4.已知：如圖3-4,在4ABC中，AD平分NBAC,AD=AB,CMLAD交AD

延長線于M。求證：AM=；(AB+AC)

分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變換，作4AB

D關(guān)于AD的對稱AAED,然后只需證DM=1-EC,另外

由求證的結(jié)果AM=-(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可

2

嘗試作4ACM關(guān)于CM的對稱AFCM,然后只需證DF=CF即可。

三由線段和差想到的輔助線

線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補(bǔ)短法：

1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等

于另一條；

2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線

段等于長線段。

對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第

三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外

角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

例1.如圖，AC平分/BAD,CEXAB,且NB+ND=180°,求證：AE=AD+BE。

例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,

求證：BC=AB+DCo

例4如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°,AD是NCAB的平分線，DMXAB

于M,且AM=MB。求證：CD=2DBO

1.如圖，AB//CD,AE、DE分別平分NBAD各NADE,求證：AD=AB+CD。

2.如圖，AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是過A的一條直線，且B,C

在AE的異側(cè)，

BDLAE于D,CELAE于E。求證：BD=DE+CE

四由中點想到的輔助線

三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

（一）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線

例2.如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，BA、

CD的延長線分別交EF的延長線G、Ho求證：ZBGE=ZCHEo

證明：連結(jié)BD,并取BD的中點為M,連結(jié)ME、MF,

..,ME是ABCD的中位線，

ME//-LCD,/.ZMEF=ZCHE,

=2

：MF是AABD的中位線，

MF//1AB,ZMFE=ZBGE,

=2

VAB=CD,.\ME=MF,AZMEF=ZMFE,

從而NBGE=NCHE。

（二）、由中線應(yīng)想到延長中線

例3.圖4,已知△ABC中，AB=5,AC=3,連BC上的中線AD=2,求BC的長。

解：延長AD至UE,使DE=AD,則AE=2AD=2X2=4。

在AACD和AEBD中，

VAD=ED,ZADC=ZEDB,CD=BD,

/.AACD^AEBD,.*.AC=BE,

從而BE=AC=3o

在AABE中，SAE2+BE2=42+32=25=AB2,故NE=90。,

?*-BD=7B52+DE2=行+2?=713-故BC=2BD=2713。

例4.如圖5,已知AABC中，AD是NBAC的平分線，AD又是BC邊上的中

線。求證：△ABC是等腰三角形。

證明：延長AD到E,使DE=AD。A

仿例3可證：/r\

Bl

ABEDmACAD,LDV

故EB=AC,NE=N2,

￡

又N1=N2,s5

.*.Z1=ZE,

，AB=EB,從而AB=AC,即AABC是等腰三角形。

（三）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)

例5.如圖6,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC±BC,ADXBD,求證：AC=BD。

證明：取AB的中點E,連結(jié)DE、CE,則DE、CE分別為RtAABD,RtAABC

斜邊AB上的中線，故DE=CE=」AB,因此NCDE=NDCE。

2

VAB//DC,

AZCDE=Z1,ZDCE=Z2,

/.Z1=Z2,

在AADE和ABCE中，

VDE=CE,Z1=Z2,AE=BE,

/.AADEmABCE,.\AD=BC,從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。

（四）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線

例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BD平分NABC交AC

于點D,CE垂直于BD,交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

證明：延長BA,CE交于點F,在ABEF和ABEC中,

VZ1=Z2,BE=BE,ZBEF=ZBEC=90°,

/.ABEF^ABEC,/.EF=EC,從而CF=2CE。

圖7

又Nl+NF=N3+NF=90°,故N1=N3。

在AABD和AACF中,：N1=N3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90°,

：.△ABDmAACF,BD=CF,/.BD=2CE0

注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。

（五）中線延長

口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。

題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可

得到全等三角形。

1如圖，AB=CD,E為BC的中點，ZBAC=ZBCA,求證：AD=2AE。

3如圖，AB=AC,AD=AE,M為BE中點，ZBAC=ZDAE=90°。求證：AMXDCo

5.已知：如圖AD為AABC的中線，AE=EF,求證：BF=ACA

/\E

F

BDC

五全等三角形輔助線

（一）、倍長中線（線段）造全等

1：（“希望杯”試題）已知，如圖AABC中，AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是

2：如圖，AABC中，E、F分別在AB、AC±,DE±DF,D是中點，試比較B

E+CF與EF的大小.

3：如圖，AABC中，BD=DC=AC,E是DC的中點，求證：AD平分NBAE.

中考應(yīng)用

例題：以AA5C的兩邊AB,4。為腰分別向外作等腰RtAABD和等腰Rt

AACE,NBA。=NCAE=90。,連接龍，M、N分別是6a座的中點.探究：AM

與"的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

（1）如圖①當(dāng)AA3C為直角三角形時，4/與龍的位置關(guān)系是

線段A的與龍的數(shù)量關(guān)系是

（2）將圖①中的等腰RtAABD繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)（0＜夕＜90）后,

如圖②所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.

（二）、截長補(bǔ)短

1.如圖，AABC中，AB=2AC,AD平分NB4C,且AD=BD,求證：CDXAC

2：如圖，AC/7BD,EA,EB分別平分NCAB,NDBA,CD過點E,求證;AB=AC+

BD

3：如圖，已知在ABC內(nèi)，ABAC=60°,NC=40°,p,Q分別在BC,CA

上，并且AP,BQ分別是

=AB+BP

4：如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分4山。，求證:

ZA+ZC=180°

5

如圖，在四辿形AUCD中，.4O〃8C,點E是AB上一個動點,若4％=60°,，傷=BC,R.

4XC=601判斷4D+.4E'-jBC的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

解：

(三)、借助角平分線造全等

1：如圖，已知在4ABC中，ZB=60°,AABC的角平分線AD,CE相交于點0,求證：0E

=0D

的理由；(2)如果AB=。，AC=。，求AE、BE的長.

D

3.如圖①，冰是N肱加的平分線，請你利用該圖形畫一對以冰所在直線為

對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

(1)如圖②，在△力比1中，N力"是直角，ZB=QO°,AD、四分別是N&C、

/BCA的平分線，AD、方相交于點F。請你判斷并寫出FE與物之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖③，在△力回中，如果N力也不是直角，而⑴中的其它條件不變,

請問，你在⑴中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成如請說明

圖②

(第23題圖)

(四)、旋轉(zhuǎn)

1：正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF,求NEAF的度數(shù).

BEC

2：D為等腰用AABC斜邊AB的中點，DM±DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。

(1)當(dāng)/地W繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。B

(2)若AB=2,求四邊形DECF的面積。\

3.如圖，AABC是邊長為3的等邊三角形，MD。是等腰三角形，且

ZBDC=120°,以D為頂點做一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M,交AC于

點N,連接MN,則A/WW的周長為；

4.已知四邊形ABC。中，ABA.AD,BCLCD,AB=BC,ZABC=12Q,

/MBN=60,/MBN繞B點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交相＞，DC（或它們的延長

線）于￡，￡

當(dāng)繞8點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1）,易證AE+CF=￡F.

當(dāng)NM3N繞6點旋轉(zhuǎn)到AEwCF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)

論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段岱CF,所又有怎樣的

數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

5.已知:PA=0,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB

的兩側(cè).

⑴如圖，當(dāng)NAPB=45°時，求AB及PD的長;

（2）當(dāng)NAPB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)NAPB的大小.

6.在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點MN,D為■C外

一點，且NM°N=60°,N8DC=120°,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC

上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊AABC的周長L

的關(guān)系.

圖1圖2圖3

(I)如圖1,當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且D舊DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)

量關(guān)系是；此時￥=；

(II)如圖2,點M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMHDN時，猜想(I)問的兩個

結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；

(III)如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，

若AN=x,則Q=(用X、L表示).

梯形中的輔助線

1、平移一腰:

例1.如圖所示，在直角梯形ABCD中，ZA=90°,AB/7DC,AD=15,AB=

16,BC=17.求CD的長.

解：過點D作DE〃BC交AB于點E.

又AB〃CD,所以四邊形BCDE是平行四邊形.

所以DE=BC=17,CD=BE.

在Rt^DAE中，由勾股定理，得

AE2=DE2-AD2,即AE2=172—15,=64.

所以AE=8.

所以BE=AB-AE=16-8=8.

即CD=8.

例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取

值范圍。

解：過點B作BM//AD交CD于點M,

在4BCM中，BM=AD=4,

CM=CD-DM=CD-AB=8—3=5,

所以BC的取值范圍是：

5-4<BC<5+4,即l<BC<9o

2、平移兩腰：

例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB+ZC=90°,AD=1,BC=3,E、F

分別是AD、BC的中點，連接EF,求EF的長。

解：過點E分別作AB、CD的平行線，交BC于點G、H,可得

ZEGH+ZEHG=ZB+ZC=90°

則AEGH是直角三角形

因為E、F分別是AD、BC的中點，容易證得F是GH的中點

所以EF=LGH=L(BC—BG—CH)

22

=-(BC-AE-DE)=-[BC-(AE+DE)]

22

=1(JBC-AD)=1(3-1)=1

3、平移對角線:

例4、已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形AB

CD的面積.

解：如圖，作DE〃AC,交BC的延長線于E點.

VAD//BCI.四邊形ACED是平行四邊形

BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4

,在ADBE中，BD=3,DE=4,BE=5

.\ZBDE=90°.

,,|十rin—BDxED12

作DHLBC于H,貝=-------=—

5x__

(AD+BC)xDH5,

S梯形ABCD----------------------=---------=o

22

例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=7,BD=5后，求證：A

C±BDo

解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E,

易得四邊形BCED是平行四邊形，

則DE=BC,CE=BD=5五,

所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10o

在等腰梯形ABCD中，AC=BD=5也，

所以在AACE中，A。？+加=(5直尸+(5夜f=ioo=AE\

從而ACLCE,于是ACLBD。

例6如圖，在梯形ABCD中,AD//BC,AC=15cm,BD=20cm,高DH=12cm,求

梯形ABCD的面積。

解：過點D作DE〃AC,交BC的延長線于點E,

則四邊形ACED是平行四邊形，

即SAABD=SAACD=SADCEO

所以S梯形ABC。=Sf^BE

由勾股定理得EH=^DE2-DH2=UC2-DH2

=J，-122=9(加

2222

BH=7BD-DH=720-12=16(cm)

11

92

S.nRF=—BE?—X(9+16)X12=150(cm)

所以22,即梯形ABCD的面積是

150cm2o

(二)、延長

即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。

例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB=50°,ZC=80°,AD=2,BC=5,

求CD的長。

解：延長BA、CD交于點E。

在4BCE中，ZB=50°,ZC=80°。

所以NE=50°,從而BC=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC-ED=5-2=3

例8.如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判斷

四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.

解：四邊形ABCD是等腰梯形.方飛

證明：延長AD、BC相交于點E,如圖所示.

VAC=BD,AD=BC,AB=BA,

.,.△DAB^ACBA,

.,.ZDAB=ZCBA,

E

.*.EA=EB./A\

//\\

又AD=BC,.\DE=CE,ZEDC=ZECD.p/V

而NE+NEAB+NEBA=NE+NEDC+NECD=180°,

/.ZEDC=NEAB,/.DC//AB.A-----'B

又AD不平行于BC,

...四邊形ABCD是等腰梯形.

（三）、作對角線

即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。

例9如圖6,在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±AD,BC=CD,BE±CD于點E,

求證：AD=DEo

解：連結(jié)BD,

由AD〃BC,得NADB=NDBE；

由BC=CD,得NDBC=NBDC。

所以NADB=NBDE。

又NBAD=NDEB=90°,BD=BD,

所以RtABAD^RtABED,

得AD=DE。

（四）、作梯形的高

1、作一條高

例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ZABC=90°,AB=2DC,對角線A

C±BD,垂足為F,過點F作EF〃AB,交AD于點E,求證：四邊形ABFE是等腰

梯形。

證：過點D作DGLAB于點G,

則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因為AB=2DC,所以AG=GB。

從而DA=DB,于是NDAB=NDBA。

又EF〃AB,所以四邊形ABFE是等腰梯形。

2、作兩條高

例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,ZABC=60°,AD=3cm,BC=5c

m,

求：⑴腰AB的長；⑵梯形ABCD的面積.

解：作AELBC于E,DFLBC于F,又：AD〃BC,

/.四邊形AEFD是矩形，EF=AD=3cm

?；AB=DC

BE=FC=1(BC-EF)=1cm

?在RSABE中,ZB=60°,BE=lcm

AB=2BE=2cm,AE-y[3BE=y[3cm

_(AD+BC)xAE_2

.O梯形ABC。一2--7"tn

(五)、作中位線

1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。

例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC,0是BC的中點，ZA0D=90°,求證:

AB+CD=ADo

證：取AD的中點E,連接0E,則易知0E是梯形ABCD的中位線，從而OE=g

(AB+CD)①

在△A0D中，ZA0D=90°,AE=DE

所以②

2

由①、②得AB+CD=AD。

2、已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延

長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。

例14如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,E、F分別是BD、AC的中點，求證:

(1)EF//AD；(2)EF=-(BC-AD)

2o

證：連接DF,并延長交BC于點G,易證4AFD咨4CFG

則AD=CG,DF=GF

由于DE=BE,所以EF是4BDG的中位線

從而EF〃BG,且后口=工36

2

因為AD〃BG,BG=BC-CG=BC-AD

所以EF〃AD,EF=1（BC-AD）

3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構(gòu)造出兩個全等的三角形達(dá)到解

題的目的。

例15、在梯形ABCD中，AD/7BC,ZBAD=90°,E是DC上的中點，連接AE

和BE,求NAEB=2NCBE。

解：分別延長AE與BC,并交于F點八

U__A

：NBAD=90。且AD〃BCE

：.ZFBA=180°-ZBAD=90°

又0口/放FCB

...NDAE=NF（兩直線平行內(nèi)錯角相等）

ZAED=ZFEC（對頂角相等）

DE=EC（E點是CD的中點）

AAADE^AFCE（AAS）

AE=FE

在AABF中ZFBA=90°且AE=FE

BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

/.在aFEB中ZEBF=ZFEB

ZAEB=ZEBF+ZFEB=2ZCBE

例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,E是CD中點，試問:

線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？

解：AE=BE,理由如下：

延長AE,與BC延長線交于點F.

VDE=CE,ZAED=ZCEF,

ZDAE=ZF

AADE^AFCE

.\AE=EF

VABXBC,/.BE=AE.

例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC,E為DC中點，EFLAB于F點，AB=3c

m,EF=5cm,求梯形ABCD的面積.

解：如圖，過E點作MN〃AB,分別交AD的延長線于M點，交BC于N點.

VDE=EC,AD//BC

/.△DEM^ACNE

四邊形ABNM是平行四邊形

VEFXAB,

??S梯形ABCD=SOVBNM=ABXEF=15cm.

【模擬試題】（答題時間：40分鐘）

2.如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC,ZB=60°,AD=2,BC=8,

則此等腰梯形的周長為（）

A.19B.20C.21D.22

**8.如圖所示，梯形ABCD中，AD〃BC,（1）若E是AB的中點，且AD+BC

=CD,則DE