高中數(shù)學(xué) 雙曲線 經(jīng)典例題 分類指導(dǎo)

高中數(shù)學(xué)雙曲線經(jīng)典例題分類指導(dǎo)

例題定義類

1,已知Fl(5,0),F2(5,0),一曲線上的動點P到Fl,F2距離之差為6,則雙曲線的方

程為點撥：一要注意是否滿足2a|F1F2|,二要注意是一支還是兩支

2

|PF1|PF2|610

32

P的軌跡是雙曲線的右支.其方程為

9

y

2

16

l(x0)

2雙曲線的漸近線為yx,則離心率為

點撥：當(dāng)焦點在x軸.卜.時，

ba

32

,e

2

；當(dāng)焦點在y軸上時，

ab

32

，e

3

3某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時

聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的

距離都是1020m.試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s:相關(guān)

各點均在同一平面上)

【解題思路】時間差即為距離差，到兩定點距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線型的.

［解析］如圖，以接報中心為原點0,正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)

系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A(-1020,0),B(1020,0),C(0,

1020)

設(shè)P(x,y)為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC,故P在AC的垂直

平分線PO上，P0的方程為丫=一乂，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|一

PA|=34034=1360由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線

xa

22

yb

22

1上，

依題意得a=680,c=1020,

b

2

ca

22

1020

x

22

2

680

y

22

5340

2

2

1

故雙曲線方程為

6805340

用y=-x代入上式，得x680

x680

5,y680

5,V|PB|>|PA|,

5,680

5)，故PO680

5,即P(680

答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心680m處.【名師指引】解應(yīng)用題的關(guān)鍵

是將實際問題轉(zhuǎn)換為“數(shù)學(xué)模型”4設(shè)P為雙曲線x

()

B.12

C.123

D.24

2

y

2

12

1上的一點Fl、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=3：2,則△PF1F2的面

積為

A.63

解析：a1,b,c

，由|PF1|:PF2|3:2①

X|PF1|PF2|2a2,②由①、②解得PF1|6,|PF24.

圖2

|PF1|PF2|52,|F1F252,222

PF1F2為直角三角形，

1

212SPF1F2|PF1||PF2|6412.故選B。

5如圖2所示，F(xiàn)為雙曲線C:x2

916

焦點，雙曲線C上的點Pi與P7ii1,2,3關(guān)于y軸對稱，y21的左

則P1FP2FP3FP4FP5FP6F的值是()

A.9B.16C.18D.27

［解析］P1FP6FP2FP5FP3FP4F6,選C

X

a226.P是雙曲線yb221(a0,b0)左支上的一點，F(xiàn)l、F2分別是左、右焦點，且

焦距為2c,則PF1F2的內(nèi)切圓的

圓心的橫坐標(biāo)為()

(A)a(B)b(C)c(D)abc［解析］收PF1F2的內(nèi)切圓的圓心的橫

坐標(biāo)為xO,由圓的切線性質(zhì)知，PF2PF1|cxO|x0(c)|2axOa

x2

7,若橢圓my2

n1mn0與雙曲線x2

ay2

bF2,P是兩條曲線的一個交點，則|PF1「|PF21(ab0)有相同的焦點Fl,

的值是()

A.maB.1

2maC.m22aD.ma

PF1PF21

2雙曲線的實半軸為PF1PF2122

4PF1PF24maPF1PF2ma,故選A.2

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1已知雙曲線C與雙曲線x2

16—y2

4=1有公共焦點，且過點(32,2).求雙曲線C的方程.

【解題思路】運(yùn)用方程思想，列關(guān)于a,b,c的方程組［解析］解法一：設(shè)雙曲線方程為x

a22—yb

a22二L由題意易求c=25.2又雙曲線過點(32,2),/.(32)

2-4b2=l.

XVa2+b2=(25)2,Aa2=12,b2=8.

故所求雙曲線的方程為

x

2

12

x

2

y

2

8

=1.一

y

2

解法二：設(shè)雙曲線方程為

16k4k

=1,

x

2

將點(32,2)代入得k=4,所以雙曲線方程為2.已知雙曲線的漸近線方程是y

2

2

12

y

2

8

=1.

x2

,焦點在坐標(biāo)軸上且焦距是10,則此雙曲線的方程為；

［解析］設(shè)雙曲線方程為X4y，當(dāng)。時，化為

X

2

y

2

4

1,2

54

1020,

當(dāng)。時，化為

y

2

4

y

2

1,2

54

1020,

綜上，雙曲線方程為

x

2

20

y

2

5

1或

y

2

5

X

2

20

1

3y0的雙曲線方程為.

2

3.以拋物線y83x的焦點F為右焦點,且兩條漸近線是x

222

［解析］拋物線y83x的焦點F為(23,0),設(shè)雙曲線方程為x3y

43

(23)9,雙曲線方

2

程為

x

2

9

y

2

3

1

4.已知點火3,0),N(3,0),B(l,0),動圓C與直線MN切于點B,過M、N與圓C相切

的兩直線相交于點P,則P點的軌跡方程為A.x

2

y

2

8y

2

1(x1)B.x

2

y

2

8y

2

1(x1)

C.x

2

8

1(x>0)D.x

2

10

l(x1)

［解析］PMPNBMBN2,P點的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線的右

支，選B與漸近線有關(guān)的問題1若雙曲線

xa

22

yb

22

l（aO,b0）的焦點到漸近線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率為（）

A.2B.3C.5D.2【解題思路】通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通a,b,c的關(guān)系

［解析］焦點到漸近線的距離等于實軸長，故b2a,e

2

ca

22

1

ba

22

5,所以e5

【名師指引】雙曲線的漸近線與離心率存在對應(yīng)關(guān)系，通過a,b,c的比例關(guān)系可以求離

心率,也可以求漸近線方程2.雙曲線

x

2

4

y

2

9

1的漸近線方程是（）A.y

［解析］選C23xB.y49xC.y32xD.y94x

3.焦點為（0,6）,且與雙曲線

A.x2x22

yx221有相同的漸近線的雙曲線方程是（）y2

12y2

241B.y2

12241C.24x2

121D.x2

24y2

121

［解析］從焦點位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選B

4,過點（L3）且漸近線為y1

2x的雙曲線方程是

【解析】設(shè)所求雙曲線為x2

4yk

35

421點（1,3）代入：k1

49

2.代入（1）：x2

4y235

44y

35

2

2x2351即為所求.【評注】在雙曲線xay

b221中，令xa22yb220xay

b0即為其漸近線.根據(jù)這一點，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為

x

a22yb22k,而無須考慮其實、虛軸的位置.

5設(shè)CD是等軸雙曲線的平行于實軸的任一弦，求證它的兩端點與實軸任一頂點的連線

成直角.

【證明】如圖設(shè)等軸雙曲線方程為xya

2221,CY直線CD：y=m.代入（1）

\jx2+m2

：X.故有：

yr+///'.

Cm,D

V-v"+ni2

m.ABX

取雙曲線右頂點Ba,0.那么：

Fl2

\lx+in

BCa,m,BD

y1x2+m2

a,m

2222BCBDaamm0,BCBD.

即NCBD=90°.

同理可證：ZCAD=90°.

幾何

1設(shè)P為雙曲線x2y2

121上的一點，F(xiàn)l,F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|:|PF2|3:2,則△PF1F2的

面積為()

A

V

,B.12

c.D.24【解析

6

而

】雙曲線的實、虛半軸和半焦距分別是：al,bc.設(shè)；

PF13r,PF22r.PF1PF22a2,r2.

于是PF16,PF24.PF1

2

PF2

2

52F1F2,

2

故知△PF1F2是直角三角形，NF1PF2=90°.

ASPFF

1

2

12

PF1PF2

12

6412.選B.

求弦

1雙曲線x

2

y

2

,則此弦所在的直線方程為（）1的一弦中點為（2,1）

A.y2x1B.y2x2C.y2x3D.y2x3【解析】設(shè)弦的兩端分別為

Axl,yl,Bx2,y2.則有：

xl2yl2lyly2xlx22222

xxyy0.212122

xxyyxy1121222

???弦中點為（2,1）,???

xlx24yly22

.故直線的斜率k

yly2xlx2

xlx2yly2

2.

則所求直線方程為：y12x2y2x3,故選C.

“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個步驟，只要

有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它,但是，“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問

條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：2在雙曲線x

2

y

2

2

1上，是否存在被點M（1,1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存

在，請說明理由.

如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會有如下解法：【正解】在上述解法的基

礎(chǔ)上應(yīng)當(dāng)加以驗證.由

2y2

12x22

2x2x122x4x302

y2x1

2

這里16240,故方程（2）無實根，也就是所求直線不合條件.

止匕外，上述解法還疏忽了一點：只有當(dāng)xlx2時才可能求出k=2.若xlx2,必有

yly20.說明這時直線與雙曲線只有一個公共點，仍不符合題設(shè)條件.

結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線.

換遠(yuǎn)（壓軸題）

1如圖，點F為雙曲線C的左焦點，左港線1交x軸于點Q,點P是1上的一點，已知

PQl|FQ|1,且線段PF的中點M在雙曲線C的左支上.

（I）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）若過點F的直線m與雙曲線C的左右兩支分別交于A、B兩點，設(shè)FBFA,當(dāng)

[6,）時，求直線m的斜率k的取值范圍.

m

【分析】第（I）問中，線段PF的中點M的坐標(biāo)是主要變量，其它都是輔助變量.注意

到

點M是直角三角形斜邊的中點，所以利用中點公式是設(shè)參消參的主攻方向

第（H）中，直線m的斜率k是主要變量，其它包括X都是輔助變量.斜率k的幾何

意義是有關(guān)直線傾斜角0的正切，所以設(shè)置直線m的參數(shù)方程，而后將參數(shù)人用。的

三角式表示，是一個不錯的選擇.

22【解析】（I）設(shè)所求雙曲線為：

xa

2

yb

2

1.其左焦點為F(-Co0)

；左準(zhǔn)線：xa

2

c

2

2

由|PQ|b得P(

a

2

c

,1);由「FQ|1c

a

2

c

1

b

c1bc.1

2

2

2

FP的中點為M

c2

al

ca

21

c

.代入雙曲線方程:

2

4c2

a

2

4c

1

c2

a

2

2

a2c4c2

a2

c2

a

2

a2

cb4

a2

c

2

根據(jù)（1）與（2）ca2b2

，c

a

2

2

2

c

12.所求雙曲線方程為xy2.

（II）設(shè)直線x2tcosm的參數(shù)方程為:

代入x2y

2

2得：

ytsin

2tcostsin2t2cos2

4tcos20

3

當(dāng)

cos20時，16cos2

82cos2

180

,方程（3）總有相異二實根，

4cost那么tlt2

cos2

1,t2.4.

t21t2

cos2

已知直線m與雙曲線C的左右兩支分別交于A、B兩點，，F(xiàn)B與FA同向,

故FB22

FAt2

lt2t0,.于是：tlt2tltt2121

tlt2t2It2tlt22

.注意到

1

2

在[6,)上是增函數(shù),

tlt2

t26

ltlt21t2

6

t

495

lt2

6

(4)代入(5)：64

cos

2

os2492

cos2

48cos

c

4922

cos1

50cos2

49

2

sec2

502

149

tan

149

k

17

或k

7

???雙曲線x2

y2

2的漸近線斜率為1,故直線m與雙曲線C的左右兩支分別交必須

k1,1.綜合得直線m的斜率k的取值范圍是k

11,1

7,17.

/I|

設(shè)為

練習(xí)題

1已知中心在原點，頂點Al、A2在x軸上,離心率e=

213

的雙曲線過點P(6,(1)(2)動直線1經(jīng)過AAIPAZ的重心G,與

雙曲線交于不同的兩點M、N是否存在直線1,使G平分線段MN,證明你的結(jié)論

解如圖，設(shè)雙曲線方程為

xa

22

yb

22

=1由已知得

6a

22

6b

22

1,e

2

aba

2

22

213

，解得a2=9,b2所以所求

雙曲線方程為

x

2

9

y

2

12

(2)P、Al、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3,0)、(-3,0)，，其重心G的坐標(biāo)為(2,2)

假設(shè)存在直線1,使G(2,2)平分線段MN,設(shè)M(xl,yl),N(x2,y2)

22

xlx24yy2124412x19yl108

,1,???kl=JI的方程為22

3x1x29312x29y2108yly24

12x29y2108

4y=(x—2)+2,由，消去丫,整理得*2—4乂+28=0,??4刁6—4328〈0,???所求直線1

43y(x2)

3

2.一知雙曲線x

2

y

2

2

1,問過點A(1,1)能否作直線1,使1與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的

中點？若存在，求出直

線1的方程，若不存在，說明理由。

錯解設(shè)符合題意的直線1存在,并設(shè)P(xl,x2)、Q(x2,y2)

2

2yl

1(1)xl

12

(2)得(xlx2)(xlx2)(yly2)(yly2)(3)因為A(1,D為線段PQ的中點，所

以則(1)2

2y22

x21(2)2

xlx22(4)1

(yly2)將⑷、⑸代入(3)得xlx2

2yly22(5)

若xlx2,則直線1的斜率k

yly2xlx2

2所以符合題設(shè)條件的直線1存在。其方程為2xy10剖析在(3)式成立的前提

下，由(4)、(5)兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線

進(jìn)行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由

y2x1

22

得2x4x30根據(jù)

80,說明所求直線不存在。2y

1x2

3已知點N(l,2),過點N的直線交雙曲線x

1于A、B兩點，且0N

(0AOB)(1)求直線AB的方程；(2)若過N的

直線1交雙曲線于C、D兩點，且CDAB0,那么A、B、C、D四點是否共圓？為什

么？解：(1)設(shè)直線AB：yk(x1)2代入x

1得(2k)x2k(2k)x(2k)20(*)

令A(yù)(xl,yl),B(x2,y2),則xl、x2是方程的兩根.'.2k0且xlx2

2k(2k)2k2

VON

12

(OAOB)，N是AB的中點J

xlx2

2

1

???k(2k)k22k=1.?.AB方程為：y=x+1

(2)將k=1代入方程(*)得x22x3Ox1或x3由yx1得yl0,

y24AA(1,0),B(3,4)VCDAB0

/.CD垂直平分ABACD所在直線方程為

2

y(x1)2B|Jy3x代入雙曲線方程整理得x6x110令C(x3,y3),

D(x4,y4)及CD中點M(xO,yO)則

x3x46,x3x411,.".xO

x3x4

2

3,yO6

ICD=4,|MC||MD|-A、B、C、D四點共圓4.已知橢圓

12

ICD2|MA|MB2,即A、B、C、D至ijM總巨離相等

x

22

3m

y

22

5n

1和雙曲線

x

22

2m

y

22

若直線1與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為

3n3

（1）求雙曲線的漸近線方程（2）直線1過焦點且垂直于x軸，1有公共的焦點，，

求雙曲線的方程

22

22

4

2

［解析］（1）依題意，有3nl5n2m3n,即m

2222

8n,即雙曲線方程為

2

X

16n

y

3n

1,故雙曲線的漸近線方程是

x

22

16n

y

22

3n

0,即y

341619

34

x,,

3c2

12

3c2

(2)設(shè)漸近線yx與直線l:xc交于A、B,則|AB,b

22

,SOAB

c

34

，解得c1即ab1,

22

又

ba

34

,a

2

2

319

雙曲線的方程為

19x16

19y3

22

1yb

22

5.已知F1,F2是雙曲線

xa

1的左，右焦點，點Px,y是雙曲線右支上的一個動點，且PF1的最小值為8,雙曲線

的一條漸近

線方程為y

43

x.求雙曲線的方程；

［解析］PF

1

exaeaaac,當(dāng)且僅當(dāng)xa時取等號，

PFlca.ca8①.雙曲線

xa

22

yb

22

1的一條漸進(jìn)線方程為y

43

x

ba

43

②，又

c

2

ab③

2

22

由①②③得a3,b4,c5,所以所求雙曲線方程為6.已知中心在原點的雙曲線C的右

焦點為2,

瓜

0，右頂點為（I）求雙曲線C的方程（II）若直線l:ykx

9

y

2

16

1

石

0.

與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B且0A0B2（其中。為原點），求k的取值范圍

22

解（1）設(shè)雙曲線方程為

xa

yb

221

由已知得ac2,再由ab2,得b1

2222

故雙曲線C

記

PF,-PFZ

的方程為

X

2

3

y1.

2

(2)將ykx代入

x

2

2

y1得(13k)x90

2

2

3

13k20

由直線1與雙曲線交與不同的兩點得

2

36(13)36(1k)0

22

即k

2

13

且k

2

1.①設(shè)AxA,yA,B(xA,yB),,則

xAyB

13k

2

,xAyB

913k

2

，由OAOB2得xAxByAyB2,

(kDxAxB

2

2

而xAxByAyBxAxB(kxAkxb(xAxB)2

(k1)

2

913k

2

k

13k

2

2

3k73k1

13

2

于是

3k73k1

13

2

2

2,即

3k93k1

2

2

0解此不等式得k3.②

2

由①+②得

k1

2

故的取值范圍為(1,

33

7已知雙曲線C：

xa

22

yb

22

l(a0,b0)的兩個焦點為F1,F2,點P是雙曲線C

上的一點，PF1PF20,且

(1)求雙曲線的離心率e；

27

(2

后

)過點P作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于

蒞

P1,P2兩點，若0P1OP2,2PP1PP20,求雙曲線C

4

的方程.

(1

PF\

r2r,丁

記

PF1PF2Ae

ca2c2a

5.

5r,

(2)由(1

e12,從而雙曲線的漸近線方程為y2x,2

依題意，可設(shè)P(x,y),Pl(xl,2xl),P2(x2,2x2),由0P10P2xlx24x1x2

274

,得xlx2

94

.①

2x1x2x2x1x23x03

由2PpiPP20,得，解得.

4x2x3y012y4x12x2

3

??,點P(x,y)在雙曲線

xa

22

yb

22

(2x1x2)(4x12x2)

122

9a9b

98

a.②

2

22

1,

又b2a,上式化簡得xlx2

由①②，得a2,從而得b22.故雙曲線C的方程為

x

2

2

y

2

8

1.

8.已知動圓與圓Cl:(x+5)2+y2=49和圓C2：(x-5)2+y2=l都外切，(1)求動圓圓心P

的軌跡方程。

解：(1)從已知條件可以確定圓Cl、C2的圓心與半徑。

兩圓外切可得：兩圓半徑和=圓心距

動圓半徑r,依題意有7+r=PC1|,l+r=PC2|,

兩式相減得：|PCl|-|PC2|=6<|ClC2|o

由雙曲線定義得：點P的軌跡是以Cl、C2

2

9

2

16

1(x23)

（2）若動圓P與圓C2內(nèi)切，與圓Cl外切，則動圓圓心P的軌跡是（雙曲線右支）

若動圓P與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則動圓圓心P的軌跡是（雙曲線左支）若把圓

C1的半徑改為1,那么動圓P的軌跡是。（兩定圓連心線的垂直平分線）

18.已知直線yax1與雙曲線3xy1交于A、B點。（1）求a的取值范圍；

（2）若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求實數(shù)a的值；（3）是否存在這樣的實數(shù)a,

使A、B兩點關(guān)于直線y

請求出a的值；若不存在，說明理由。

yax122解：（1）由2消去y,得（3a）x2ax20（1）2

3xy1

3a20

依題意即

6且a3(2)

x對稱？若存在,

xx(3)1223a

(2)設(shè)A(xl,yl),B(x2,y2),則

XX2(4)1223a;以AB為直徑的圓過原點，OAOB，xlx2yly20

但yly2a2xlx2a(xlx2)1由(3)(4),xlx2

2

2a3a

2

,xlx2

23a

2

J(a1)

23a

2

a

2a3a

2

10解得a1且滿足(2)

12

12

(3)假設(shè)存在實數(shù)a,使A、B關(guān)于ya

12

x對稱，則直線yax1與yx垂直

1,即a2直線1的方程為y2x1

將a2代入(3)得xlx24

???AB中點的橫坐標(biāo)為2縱坐標(biāo)為y2213但AB中點(2,3)不在直線

y9.⑴橢圓C:

xa

22

12

x±,即不存在實數(shù)a,使A、B關(guān)于直線y

3

12

x對稱。

yb

22

1(a>b>0)上的點A(l,2)到兩焦點的距離之和為4,

求橢圓的方程；

(2)設(shè)K是(1)中橢圓上的動點，F(xiàn)1是左焦點，求線段F1K的中點的軌跡方程；

(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點,

當(dāng)直線PM、PN的斜率都存

在并記為kPM、kPN時，那么kPM質(zhì)，并加以證明。

解：(1)

X

4

2

2

22

kPN

X

是與點P位置無關(guān)的定值。試對雙曲線a

2

2

yb

1寫出具有類似特性的性

y

3

1

x

4

2

(2)設(shè)中點為(x,y),Fl(-1,0)K(-2-x,-y)在

y

2

3

1上

(x2)

4

2

y

2

3

1

(3)設(shè)M(xl,yl),N(-xl,-yl),P(xo,yo),xoWxl

貝ijyob(a1)ylb(a1)

2

2

22x1

2

22x1

2

kPMkPN

2

2

yOylxOxl

yOylxOxl

yOylxOxl

2

22

2

b

2

22x01(

2a22x0xlx

)

a

22

為定值.

10.已知雙曲線方程為2xy2與點P(l,2),

(1)求過點P(1,2)的直線1的斜率k的取值范圍，使直線與雙曲線

有一個交點，兩個交點，沒有交點。(2)過點P(1,2)的直線交雙曲線于A、B兩

點，若P為弦AB的中點，

求直線AB的方程；

(3)是否存在直線1,使Q(1,1)為1被雙曲線所截弦的中點？若存在，

求出直線1的方程；若不存在，請說明理由。

解：(1)當(dāng)直線1的斜率不存在時，1的方程為x=l,與曲線C有一個交點.當(dāng)1的斜率

存在時，設(shè)直線1的方程為y—2=k(x—1),代入C的方程，并整理得

(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(*)(i)當(dāng)2—k2=0,即k=±2時，方程(*)有一個

根，1與C有一個交點(ii)當(dāng)2—k#0,即k六±2時

△=[2(k—2k)]—4(2—k)(一k+4k-6)=16(3-2k)①當(dāng)△=0,即3—2k=0,k=②當(dāng)△>

0,即kV與C有兩個交點.

③當(dāng)△V0,即k>

3232

32

2

2

2

2

2

時，方程()有一個實根，1與C有一個交點.

32

*

，又k#±2,故當(dāng)kV—2或一2Vk<2或2<k〈時，方程(*)有兩不等實根，1

時，方程()無解，1與C無交點.

32

*

綜上知：當(dāng)k二±2,或k=當(dāng)2VkV當(dāng)k>

32

32

,或k不存在時，1與C只有一個交點；

，或一2VkV2,或kV—2時，1與C有兩個交點；

時，1與C沒有交點.

(2)假設(shè)以P為中點的弦為AB,且A(xl,yl),B(x2,y2),則2x12—yl2=2,2x22—y22=2

兩式相減得:2(x1—x2)(xl+x2)=(yl

—y2)(yl+y2)

又?.?xl+x2=2,yl+y2=4A2(xl-x2)=yl-yl即kAB二

yly2xlx2

=1

但漸近線斜率為±2,結(jié)合圖形知直線AB與有交點，所以以P為中點的弦為：yx1.

(3)假設(shè)以Q為中點的弦存在，設(shè)為AB,且A(xl,yl),B(x2,y2),則2x12—yl2=2,2x22

—y22=2兩式相減得:2(xl-x2)(xl+x2)=(yl-y2)(yl+y2)

X*/xl+x2=2,yl+y2=2.\2(xl—x2)=yl—yl即kAB二

yly2xlx2

=2

但漸近線斜率為±2,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點

的弦不存在.11已知中心在原點，頂點Al、A2在x軸上，離心率e二

213

的雙曲線過點P(6,(2)動直線1經(jīng)過△

A1PA2的重心G,與雙曲線交于不同的兩點M、N是否存在直線1,使G平分線段MN

解(1)如圖，設(shè)雙曲線方程為

xa

y

22

yb

22

=1由」知得

6a

22

6b

22

1,e

2

aba

2

22

213

,解得a2=9,b2所以所求雙曲線方程為

x

22

9

12

(2)P、Al、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3,0)、(-3,0),，其重心G的坐標(biāo)為(2,2)

假設(shè)存在直線L使G(2,2)平分線段MN,設(shè)M(xl,yl),N(設(shè),y2則有

22

xlx24yly2124412x19yl108

,,???kl=??.l的方程為22

3x1x29312x29y2108yly24

12x29y2108

4y=(x-2)+2,由，消去y,整理得x2—4x???A=16—4328V0,J所求直線14

3y(x2)

3

12已知雙曲線x

2

y

2

2

1,問過點A(1,1)能否作直線1,使1

與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線1的方程，若不

存在，說明理由。

錯解設(shè)符合題意的直線1存在，并設(shè)P(xl,x2)、Q(x2,y2)

22yl1(1)xl12(yly2)(yly2)(3)因為A(1,1)為線段PQ的中點，所以

則(1)(2)得(xlx2)(xlx2)22y2x221(2)2

xlx22(4)lxx(yly2)將(4)、(5)代入(3)得122yy2(5)21

若xlx2,則直線1的斜率kyly2

xlx22所以符合題設(shè)條件的直線1存在。其方程為2xy10剖析在(3)式成立

的前提

下，由(4)、(5)兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線

進(jìn)行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由

y2x122得2x4x30根據(jù)80,說明所求直線不存在。

2y1x2

1.解：(1)易知b

x32b23,又F(l,0)c1a2b2c24

橢圓C的方程為4y2

3

21(2)F(l,0),k(a,0)先探索，當(dāng)m=0時，直線LJ_ox軸，則ABED為矩形，

由對稱性知，AE與BD相交于

a1

22FK中點N，且N(,0)

猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點N(

2a1222,0)證明：設(shè)A(xl,yl),B(x2,y2),E(a,y2),D(a,yl),當(dāng)m變化時首先AE過定

點Nxmy1222222222即(abm)y2mbyb(la)0..?.8分

2222bxayab04ab(amb1)0又KANyla1

2222222(a1)y21a22,KENmyl

a12

而KANKEN(yl