高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練(人教A版2019選擇性必修第三冊(cè))(原卷版+解析)

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：繪制散點(diǎn)圖；根據(jù)散點(diǎn)圖判斷是否線性相關(guān)；由散點(diǎn)圖畫求線性回歸方程；解釋直線回歸方程的意義；用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)；根據(jù)回歸方程求原數(shù)據(jù)中的值；計(jì)算樣本中心點(diǎn)；根據(jù)線性回歸方程進(jìn)行線性估計(jì)；根據(jù)樣本中心點(diǎn)求參數(shù)；最小二乘概念與辨析；求回歸直線方程課堂知識(shí)小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識(shí)歸納1、相關(guān)關(guān)系的分類：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)。2、線性相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線。3．最小二乘法求回歸方程：(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距．考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：繪制散點(diǎn)圖例1．某商城在某年前5個(gè)月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表所示：月份一月二月三月四月五月銷售額x/千萬元利潤(rùn)額y/千萬元(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖；(2)觀察散點(diǎn)圖，判斷利潤(rùn)額y與銷售額x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．有以下幾組的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：，，，，，要使剩下的數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，應(yīng)去掉的一組數(shù)據(jù)是________．2．下表為中國(guó)15~19歲男性身高與體重關(guān)系表，畫出散點(diǎn)圖，并觀察體重與身高的關(guān)系．身高（cm）153155157159161163165167體重（kg）46.547.348.249.450.551.75354.7身高（cm）169171173175177179181183體重（kg）55.456.858.259.561.463.16566.5考點(diǎn)2：根據(jù)散點(diǎn)圖判斷是否線性相關(guān)3．下列散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量之間存在正相關(guān)的散點(diǎn)圖的序號(hào)為______．【變式訓(xùn)練】1．如圖是根據(jù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，可以判斷變量，具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．①④2．在下列各圖中，變量、具有線性相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)3：由散點(diǎn)圖畫求線性回歸方程例3．2021年8月27日教育部在其網(wǎng)站發(fā)布了2020年全國(guó)教育事業(yè)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)，其中“十三五”時(shí)期全國(guó)高等教育在學(xué)總規(guī)模和毛入學(xué)率如下圖所示，則下列四個(gè)回歸方程類型中最適合作為毛入學(xué)率和年份數(shù)的回歸方程類型是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．如圖是兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，y關(guān)于x的回歸方程可能是（

）A． B． C． D．2．變量x，y的散點(diǎn)圖如圖所示，根據(jù)散點(diǎn)圖，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為y和x的回歸方程類型的是（

）．A． B． C． D．考點(diǎn)4：解釋直線回歸方程的意義例4．（多選）關(guān)于回歸分析，下列說法正確的是（

）A．回歸分析是研究?jī)蓚€(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法B．運(yùn)用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過樣本中心C．回歸模型中一定存在隨機(jī)誤差D．散點(diǎn)圖能明確反映變量問的關(guān)系【變式訓(xùn)練】1．下列命題中正確的為（

）散點(diǎn)圖可以直觀的判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；經(jīng)驗(yàn)回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；線性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)性越弱；同一組樣本數(shù)據(jù)中，決定系數(shù)越大的模型擬合效果越好A． B． C． D．2．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：得到線性回歸方程為，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)5：用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)例5．若到2035年底我國(guó)人口數(shù)量增長(zhǎng)至14.4億，由2013年到2019年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（）（萬億元）關(guān)于年份代號(hào)的回歸方程為，則由回歸方程預(yù)測(cè)我國(guó)在2035年底人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為________萬億元．（保留一位小數(shù)）【變式訓(xùn)練】1．已知施肥量與玉米產(chǎn)量之間的回歸方程為，則當(dāng)施肥量時(shí)，對(duì)玉米產(chǎn)量的估計(jì)值為（

）A． B．545 C． D．2．（多選）盡管2022年上半年新能源汽車產(chǎn)銷受疫情影響，但各企業(yè)高度重視新能源汽車產(chǎn)品，供應(yīng)鏈資源優(yōu)先向新能源汽車集中，從目前態(tài)勢(shì)來看，整體產(chǎn)銷量完成情況超出預(yù)期.下表是2022年我國(guó)某地新能源汽車前個(gè)月的銷量和月份的統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）月份銷量（萬輛）A．變量與正相關(guān) B．與的樣本相關(guān)系數(shù)C． D．2022年月該地新能源汽車的銷量一定是萬輛考點(diǎn)6：根據(jù)回歸方程求原數(shù)據(jù)中的值例6．某企業(yè)為了研究某種產(chǎn)品的銷售價(jià)格（元）與銷售量（千件）之間的關(guān)系，通過大量市場(chǎng)調(diào)研收集得到以下數(shù)據(jù)：16128424a3864其中某一項(xiàng)數(shù)據(jù)※丟失，只記得這組數(shù)據(jù)擬合出的線性回歸方程為：，則缺失的數(shù)據(jù)a是（

）A．33 B．35 C．34 D．34.8【變式訓(xùn)練】1．“你指尖躍動(dòng)的電光，是我此生不變的信仰，唯我超電磁炮永世長(zhǎng)存．”御坂美琴在學(xué)園都市中僅有7名超能力者中排名第3位，其能力「超電磁炮」可將硬幣以高速射出．發(fā)射速度v（單位：m/s）可與蓄力時(shí)間t（單位：s）擬合線性回歸方程．已知平均蓄力時(shí)間為7.5s，平均發(fā)射速度為1030m/s，當(dāng)蓄力時(shí)間為12s時(shí)，發(fā)射速度約為（

）A．1280m/s B．1460m/s C．1450m/s D．1480m/s2．已知具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的一組數(shù)據(jù)如表：01234且線性回歸方程是，則等于（

）A． B． C． D．考點(diǎn)7：計(jì)算樣本中心點(diǎn)例7．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下，則y與x的線性回歸方程表示的直線必過點(diǎn)（

）x0123y1246A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．由變量與相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為，根據(jù)樣本中心滿足線性回歸方程，則（

）A．45 B．51 C．67 D．632．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為必過點(diǎn)（

）A．（2，2） B．（1.5，0）C．（1.5，4） D．（1，

2）考點(diǎn)8：根據(jù)線性回歸方程進(jìn)行線性估計(jì)例8．假如女兒的身高y(單位：cm)關(guān)于父親身高x(單位：cm)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，已知父親身高為175cm，估計(jì)女兒的身高為________cm．【變式訓(xùn)練】1．設(shè)某中學(xué)的高中女生體重（單位：與身高（單位：）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法近似得到回歸直線方程為，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．與具有正線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本的中心點(diǎn)C．若該中學(xué)某高中女生身高增加，則其體重約增加D．若該中學(xué)某高中女生身高為，則可斷定其體重必為2．某商店對(duì)每天進(jìn)店的人數(shù)與某種商品的銷售量（單位：件）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到的線性回歸方程為.如果某天進(jìn)店人數(shù)是100人，那么可預(yù)測(cè)這一天該商品銷售的件數(shù)為___________.考點(diǎn)9：根據(jù)樣本中心點(diǎn)求參數(shù)例9．某智能機(jī)器人的廣告費(fèi)用（萬元）與銷售額（萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬元）2356銷售額（萬元）28314148根據(jù)上表可得回歸方程，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為8萬元時(shí)銷售額為______萬元．【變式訓(xùn)練】1．2021年高考成績(jī)揭曉在即，某學(xué)生高考前8次數(shù)學(xué)模擬考試成績(jī)?nèi)绫硭?，模擬次數(shù)（x）12345678考試成績(jī)（y）90105110110100110110105根據(jù)考試成績(jī)y與考試次數(shù)x的散點(diǎn)圖可知，滿足回歸直線方程.若將2021年的高考看作第10次模擬考試，根據(jù)回歸直線方程預(yù)測(cè)今年的數(shù)學(xué)高考成績(jī)?yōu)椋?/p>

）A．100 B．102 C．112 D．1302．已知具有線性相關(guān)的變量、，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若為原點(diǎn)），則_______.考點(diǎn)10：最小二乘概念與辨析3．（多選）下列命題是假命題的有（

）A．回歸方程至少經(jīng)過點(diǎn)中的一個(gè)B．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)，則變量y和x之間的負(fù)相關(guān)性很強(qiáng)C．在回歸分析中，決定系數(shù)為0.80的模型比決定系數(shù)為0.98的模型擬合的效果要好D．在回歸方程中，變量時(shí)，變量y的值一定是﹣7【變式訓(xùn)練】1．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：

x1234y3579則與的線性回歸方程為必過（

）A． B． C． D．2．根據(jù)散點(diǎn)圖，對(duì)兩個(gè)具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x，y進(jìn)行回歸分析，設(shè)u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計(jì)值是（

）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2考點(diǎn)11：求回歸直線方程例11．網(wǎng)購(gòu)是現(xiàn)代年輕人重要的購(gòu)物方式，截止：2021年12月，我國(guó)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物用戶規(guī)模達(dá)8.42億，較2020年12月增長(zhǎng)5968萬，占網(wǎng)民整體的81.6%．某電商對(duì)其旗下的一家專營(yíng)店近五年來每年的利潤(rùn)額（單位：萬元）與時(shí)間第年進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)得如下數(shù)據(jù)：123452.63.14.56.88.0(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）．（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）(2)試用最小二乘法求出利潤(rùn)y與時(shí)間t的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)的利潤(rùn)額．附：，，．參考數(shù)據(jù)：，，，．【變式訓(xùn)練】1．某種產(chǎn)品的廣告支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：x24568y3040605070(1)假定y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程；(2)若廣告支出為10萬元，銷售額應(yīng)為多少？參考公式：線性回歸方程，其中，.2．2021年是中國(guó)加入世界貿(mào)易組織20周年，“入世”是中國(guó)對(duì)外開放的一個(gè)里程碑，中國(guó)已經(jīng)連續(xù)11年成為貨物貿(mào)易出口第一大國(guó)，經(jīng)濟(jì)全球化是歷史潮流，大勢(shì)所趨.“入世”20年，中國(guó)的發(fā)展證明，世界經(jīng)濟(jì)離不開中國(guó)，中國(guó)發(fā)展也離不開世界.下表是中國(guó)2016~2020這5年來的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）數(shù)據(jù)，已知年份代碼和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈線性相關(guān)關(guān)系.年份20162017201820192020年份代碼x12345國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值y/萬億美元11.212.313.914.314.7(1)求年份代碼x和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值y的回歸直線方程(2)預(yù)測(cè)2022年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.參考數(shù)據(jù)：.參考公式：線性回歸方程中，.知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)1、相關(guān)關(guān)系的分類：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)。2、線性相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線。3．最小二乘法求回歸方程：(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．如果在一次試驗(yàn)中，測(cè)得的四組值分別是、、、，則與的回歸直線方程是（

）A． B． C． D．2．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若，，則（

）A．40 B．－17 C．－170 D．43．某統(tǒng)計(jì)部門對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A． B． C． D．4．如圖是變量，的散點(diǎn)圖，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程；，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點(diǎn)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程：，相關(guān)系數(shù)為，則（

）A． B． C． D．5．如圖5個(gè)數(shù)據(jù)，去掉后，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．相關(guān)系數(shù)r變大 B．相關(guān)指數(shù)變大C．殘差平方和變大 D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)6．廣告投入對(duì)商品的銷售額有較大影響，某電商對(duì)連續(xù)5個(gè)年度的廣告費(fèi)x和銷售額y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（單位：萬元）廣告費(fèi)x23456銷售額y2941505971由上表可得回歸方程為，又已知生產(chǎn)該商品的成本（不含廣告費(fèi)）為（單位：萬元），據(jù)此模型預(yù)測(cè)最大的純利潤(rùn)為（

）A．30.15萬元 B．21.00萬元 C．19.00萬元 D．1.50萬元7．如果在一次實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的五組數(shù)值如下表所示：012341015203035經(jīng)計(jì)算知，對(duì)的線性回歸方程是，預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，（

）A．47.5 B．48 C．49 D．49.58．某產(chǎn)品的營(yíng)銷費(fèi)用（萬元）與凈利潤(rùn)額（萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：345640424551根據(jù)上表可得回歸方程中的為，據(jù)此預(yù)預(yù)營(yíng)銷費(fèi)用為7萬元時(shí)的凈利潤(rùn)額為（

）萬元A．52 B． C．53 D．二、多選題9．某公司為了增加某商品的銷售利潤(rùn)，調(diào)查了該商品投入的廣告費(fèi)用：x（單位：萬元）與銷售利潤(rùn)y（單位：萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則下列結(jié)論正確的是（

）廣告費(fèi)用x3458銷售利潤(rùn)y4578A． B．C．直線l必過點(diǎn) D．直線l必過點(diǎn)10．某公司2016-2020年的收入與支出情況如下表所示收入（億元）支出（億元）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則下列說法正確的是（

）A．該公司支出與收入成正相關(guān)B．該公司收入每增加億元，支出一定增加億元C．D．該公司收入為億元時(shí)支出約為億元三、填空題11．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）有如表的樣本數(shù)據(jù)．據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，通過線性回歸分析，求得其回歸直線的斜率為0.7，則這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程是________．34562.5344.512．某同學(xué)收集了具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的一組樣本數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到回歸直線方程為，且，，則______.13．已知變量x，y線性相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)，且，，則在坐標(biāo)系下的散點(diǎn)圖中，大多數(shù)的點(diǎn)都不落在第_________象限.14．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：T）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響．對(duì)近10年的年宣傳費(fèi)和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程．且這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x、y的關(guān)系為；則年宣傳費(fèi)x為_____________時(shí)年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．四、解答題15．為助力新冠肺炎疫情后的經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某電商平臺(tái)為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場(chǎng)．為了對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，采用不同的單價(jià)在平臺(tái)試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：?jiǎn)蝺r(jià)元銷量萬件(1)求單價(jià)的平均值；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算得與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)程度，并由最小二乘估計(jì)求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，求的值．附：16．某公司為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī)，促進(jìn)某產(chǎn)品的銷售，隨機(jī)調(diào)查了該產(chǎn)品的月銷售單價(jià)（單位：元件）及相應(yīng)月銷售量（單位：萬件），對(duì)近5個(gè)月的月銷售單價(jià)和月銷售量（，2，3，4，5）的數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下表數(shù)據(jù)：月銷售單價(jià)（元/件）1015202530月銷售量為（萬件）1110865(1)求關(guān)于的回歸直線方程；(2)利用（1）的回歸方程，當(dāng)該產(chǎn)品月銷售單價(jià)為元/件，月銷售量的預(yù)測(cè)值為多少？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，其中，8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：繪制散點(diǎn)圖；根據(jù)散點(diǎn)圖判斷是否線性相關(guān)；由散點(diǎn)圖畫求線性回歸方程；解釋直線回歸方程的意義；用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)；根據(jù)回歸方程求原數(shù)據(jù)中的值；計(jì)算樣本中心點(diǎn)；根據(jù)線性回歸方程進(jìn)行線性估計(jì)；根據(jù)樣本中心點(diǎn)求參數(shù)；最小二乘概念與辨析；求回歸直線方程課堂知識(shí)小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識(shí)歸納1、相關(guān)關(guān)系的分類：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)。2、線性相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線。3．最小二乘法求回歸方程：(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距．考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：繪制散點(diǎn)圖例1．某商城在某年前5個(gè)月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表所示：月份一月二月三月四月五月銷售額x/千萬元利潤(rùn)額y/千萬元(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖；(2)觀察散點(diǎn)圖，判斷利潤(rùn)額y與銷售額x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系．【答案】(1)散點(diǎn)圖見解析(2)具有線性相關(guān)關(guān)系【分析】（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖.（2）根據(jù)散點(diǎn)圖作出判斷.（1）散點(diǎn)圖如圖所示．（2）由散點(diǎn)圖可知，所有散點(diǎn)排列在一條直線附近，所以利潤(rùn)額與銷售額之間具有線性相關(guān)關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．有以下幾組的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：，，，，，要使剩下的數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，應(yīng)去掉的一組數(shù)據(jù)是________．【答案】【分析】在散點(diǎn)圖中畫出五個(gè)點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得出結(jié)論．【詳解】在散點(diǎn)圖中畫出這五個(gè)點(diǎn)，如圖所示：由散點(diǎn)圖知，除去點(diǎn)之外，其余的點(diǎn)都在一條線附近，所以去掉這個(gè)點(diǎn)以后剩下的數(shù)據(jù)更具有相關(guān)關(guān)系．故答案為：．2．下表為中國(guó)15~19歲男性身高與體重關(guān)系表，畫出散點(diǎn)圖，并觀察體重與身高的關(guān)系．身高（cm）153155157159161163165167體重（kg）46.547.348.249.450.551.75354.7身高（cm）169171173175177179181183體重（kg）55.456.858.259.561.463.16566.5【答案】答案見解析【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，即可根據(jù)散點(diǎn)圖作出判斷.【詳解】隨著身高的增長(zhǎng)，體重也隨之增長(zhǎng)，兩者之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系．考點(diǎn)2：根據(jù)散點(diǎn)圖判斷是否線性相關(guān)3．下列散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量之間存在正相關(guān)的散點(diǎn)圖的序號(hào)為______．【答案】（2）（4）【分析】根據(jù)正相關(guān)的定義即可判斷.【詳解】由散點(diǎn)圖可知：（1）（3）的散點(diǎn)呈左上到右下分布，故為負(fù)相關(guān)，（2）（4）的散點(diǎn)呈左下到右上，故為正相關(guān).故答案為：（2）（4）【變式訓(xùn)練】1．如圖是根據(jù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，可以判斷變量，具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】根據(jù)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，則散點(diǎn)在某條直線附近，從左下至右上或從左上至右下即可.【詳解】根據(jù)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，則散點(diǎn)在某條直線附近，從左下至右上或從左上至右下，所以③④圖的變量具有線性相關(guān)關(guān)系.故選：B2．在下列各圖中，變量、具有線性相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用散點(diǎn)圖判斷可得出結(jié)論.【詳解】由散點(diǎn)圖可知，A選項(xiàng)中的散點(diǎn)均勻地分布在一條直線附近，變量、具有線性相關(guān)關(guān)系，BCD選項(xiàng)中的散點(diǎn)沒有分布在一條直線附近，故BCD選項(xiàng)中變量、不具有線性相關(guān)關(guān)系.故選：A.考點(diǎn)3：由散點(diǎn)圖畫求線性回歸方程例3．2021年8月27日教育部在其網(wǎng)站發(fā)布了2020年全國(guó)教育事業(yè)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)，其中“十三五”時(shí)期全國(guó)高等教育在學(xué)總規(guī)模和毛入學(xué)率如下圖所示，則下列四個(gè)回歸方程類型中最適合作為毛入學(xué)率和年份數(shù)的回歸方程類型是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)進(jìn)行判斷，即可得到答案.【詳解】根據(jù)圖象可知，函數(shù)圖象隨著自變量的變大，函數(shù)值增長(zhǎng)速度基本不變，再由圖象的形狀結(jié)合選項(xiàng)，可判定函數(shù)符合要求.故選：A【變式訓(xùn)練】1．如圖是兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，y關(guān)于x的回歸方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖與給所函數(shù)的圖象的偏離情況，即可求解.【詳解】由散點(diǎn)圖可知，y與x負(fù)相關(guān),故排除A,B,對(duì)于D：，點(diǎn)偏離較大，而點(diǎn)近似在曲線附近，所以y關(guān)于x的回歸方程是C的可能性大．故選：C．2．變量x，y的散點(diǎn)圖如圖所示，根據(jù)散點(diǎn)圖，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為y和x的回歸方程類型的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖據(jù)曲線形狀結(jié)合一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)判斷即得．【詳解】由散點(diǎn)圖可以看出y隨著x的增長(zhǎng)速度越來越快，結(jié)合一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)可知，最適宜作為y和x的回歸方程類型的是：．故選：B.考點(diǎn)4：解釋直線回歸方程的意義例4．（多選）關(guān)于回歸分析，下列說法正確的是（

）A．回歸分析是研究?jī)蓚€(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法B．運(yùn)用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過樣本中心C．回歸模型中一定存在隨機(jī)誤差D．散點(diǎn)圖能明確反映變量問的關(guān)系【答案】ABC【分析】根據(jù)回歸分析的相關(guān)概念和性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，回歸分析是研究?jī)蓚€(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法，所以A正確，對(duì)于B，運(yùn)用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過樣本中心，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)橄嚓P(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系，所以回歸模型中一定存在隨機(jī)誤差，所以C正確，對(duì)于D，散點(diǎn)圖反映的是兩個(gè)變量間的關(guān)系，存在誤差，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC【變式訓(xùn)練】1．下列命題中正確的為（

）散點(diǎn)圖可以直觀的判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；經(jīng)驗(yàn)回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；線性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)性越弱；同一組樣本數(shù)據(jù)中，決定系數(shù)越大的模型擬合效果越好A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)變量間的相關(guān)系數(shù)，一一判斷即可．【詳解】解：對(duì)于，散點(diǎn)圖可以直觀的判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，故正確；對(duì)于，回歸直線也可能不過任何一個(gè)點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，線性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，同一組樣本數(shù)據(jù)中，決定系數(shù)越大的模型擬合效果越好，故正確．故選：C．2．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：得到線性回歸方程為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)與負(fù)相關(guān)且樣本點(diǎn)集中在第一象限可判斷出結(jié)果.【詳解】由樣本數(shù)據(jù)知：與負(fù)相關(guān)，；又樣本點(diǎn)位于第一象限，在軸截距為正，.故選：B.考點(diǎn)5：用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)例5．若到2035年底我國(guó)人口數(shù)量增長(zhǎng)至14.4億，由2013年到2019年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（）（萬億元）關(guān)于年份代號(hào)的回歸方程為，則由回歸方程預(yù)測(cè)我國(guó)在2035年底人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為________萬億元．（保留一位小數(shù)）【答案】【分析】根據(jù)題意求出國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值再除以人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，2035年對(duì)應(yīng)年號(hào)，所以（萬億），所以我國(guó)在2035年底人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為萬億元.故答案為：.【變式訓(xùn)練】1．已知施肥量與玉米產(chǎn)量之間的回歸方程為，則當(dāng)施肥量時(shí)，對(duì)玉米產(chǎn)量的估計(jì)值為（

）A． B．545 C． D．【答案】C【分析】將代入回歸方程即可求解【詳解】因?yàn)槭┓柿颗c玉米產(chǎn)量之間的回歸方程為，則當(dāng)施肥量時(shí)，，故選：C2．（多選）盡管2022年上半年新能源汽車產(chǎn)銷受疫情影響，但各企業(yè)高度重視新能源汽車產(chǎn)品，供應(yīng)鏈資源優(yōu)先向新能源汽車集中，從目前態(tài)勢(shì)來看，整體產(chǎn)銷量完成情況超出預(yù)期.下表是2022年我國(guó)某地新能源汽車前個(gè)月的銷量和月份的統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）月份銷量（萬輛）A．變量與正相關(guān) B．與的樣本相關(guān)系數(shù)C． D．2022年月該地新能源汽車的銷量一定是萬輛【答案】AC【分析】根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念判斷AB選項(xiàng)，再根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本中心可計(jì)算，進(jìn)而可得估計(jì)值，判斷CD選項(xiàng).【詳解】由，，可知隨著變大而變大，所以變量與正相關(guān)，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，，因?yàn)榛貧w直線過樣本中心，所以，，故選項(xiàng)C正確；由回歸直線可知，2022年月該地新能源汽車的銷量的估計(jì)值是萬輛，而不一定是萬輛，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.考點(diǎn)6：根據(jù)回歸方程求原數(shù)據(jù)中的值例6．某企業(yè)為了研究某種產(chǎn)品的銷售價(jià)格（元）與銷售量（千件）之間的關(guān)系，通過大量市場(chǎng)調(diào)研收集得到以下數(shù)據(jù)：16128424a3864其中某一項(xiàng)數(shù)據(jù)※丟失，只記得這組數(shù)據(jù)擬合出的線性回歸方程為：，則缺失的數(shù)據(jù)a是（

）A．33 B．35 C．34 D．34.8【答案】C【分析】由于線性回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)，所以將樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)一定在回歸方程上，所以將，代入解得.故選：C.【變式訓(xùn)練】1．“你指尖躍動(dòng)的電光，是我此生不變的信仰，唯我超電磁炮永世長(zhǎng)存．”御坂美琴在學(xué)園都市中僅有7名超能力者中排名第3位，其能力「超電磁炮」可將硬幣以高速射出．發(fā)射速度v（單位：m/s）可與蓄力時(shí)間t（單位：s）擬合線性回歸方程．已知平均蓄力時(shí)間為7.5s，平均發(fā)射速度為1030m/s，當(dāng)蓄力時(shí)間為12s時(shí)，發(fā)射速度約為（

）A．1280m/s B．1460m/s C．1450m/s D．1480m/s【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出，進(jìn)而將代入擬合線性回歸方程即可求解.【詳解】解：由題意，，所以，所以當(dāng)蓄力時(shí)間為12s時(shí)，發(fā)射速度約為280+100×12=1480m/s．故選：D．2．已知具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的一組數(shù)據(jù)如表：01234且線性回歸方程是，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】線性回歸方程一定過樣本中心.【詳解】由表可知：，代入得：.故選：A考點(diǎn)7：計(jì)算樣本中心點(diǎn)例7．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下，則y與x的線性回歸方程表示的直線必過點(diǎn)（

）x0123y1246A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，根據(jù)回歸直線的性質(zhì)，必過樣本中心，可得答案.【詳解】，．則樣本中心為.故選：B.【變式訓(xùn)練】1．由變量與相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為，根據(jù)樣本中心滿足線性回歸方程，則（

）A．45 B．51 C．67 D．63【答案】B【分析】根據(jù)題意求出，由于樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，所以將代入回歸方程可求出.【詳解】由題意得，因?yàn)榫€性回歸方程為，所以，故選：B.2．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為必過點(diǎn)（

）A．（2，2） B．（1.5，0）C．（1.5，4） D．（1，

2）【答案】C【分析】分別求出的均值即得．【詳解】由已知，，所以回歸直線一定過中心點(diǎn)．故選：C．考點(diǎn)8：根據(jù)線性回歸方程進(jìn)行線性估計(jì)例8．假如女兒的身高y(單位：cm)關(guān)于父親身高x(單位：cm)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，已知父親身高為175cm，估計(jì)女兒的身高為________cm．【答案】165【分析】根據(jù)回歸方程代入數(shù)據(jù)計(jì)算即得.【詳解】根據(jù)女兒身高為(單位：)關(guān)于父親身高(單位：)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)父親的身高為時(shí)，.故答案為：.【變式訓(xùn)練】1．設(shè)某中學(xué)的高中女生體重（單位：與身高（單位：）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法近似得到回歸直線方程為，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．與具有正線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本的中心點(diǎn)C．若該中學(xué)某高中女生身高增加，則其體重約增加D．若該中學(xué)某高中女生身高為，則可斷定其體重必為【答案】D【分析】直接由線性回歸方程系數(shù)的意義以及必過樣本中心點(diǎn)依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由于線性回歸方程中的系數(shù)為，因此與具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；由線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，因此B正確；由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，每增加，其體重約增加，C正確；當(dāng)某女生的身高為時(shí)，其體重估計(jì)值是，而不是確定值，因此D錯(cuò)誤.故選：D.2．某商店對(duì)每天進(jìn)店的人數(shù)與某種商品的銷售量（單位：件）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到的線性回歸方程為.如果某天進(jìn)店人數(shù)是100人，那么可預(yù)測(cè)這一天該商品銷售的件數(shù)為___________.【答案】72【分析】根據(jù)回歸方程將代入計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以這一天該商品銷售的件數(shù)約為72件，故答案為：72.考點(diǎn)9：根據(jù)樣本中心點(diǎn)求參數(shù)例9．某智能機(jī)器人的廣告費(fèi)用（萬元）與銷售額（萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬元）2356銷售額（萬元）28314148根據(jù)上表可得回歸方程，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為8萬元時(shí)銷售額為______萬元．【答案】【分析】計(jì)算出樣本中心后可求，從而可求廣告費(fèi)用為8萬元時(shí)銷售額.【詳解】，，所以，，所以廣告費(fèi)用為8萬元時(shí)銷售額（萬元）故答案為：【變式訓(xùn)練】1．2021年高考成績(jī)揭曉在即，某學(xué)生高考前8次數(shù)學(xué)模擬考試成績(jī)?nèi)绫硭?，模擬次數(shù)（x）12345678考試成績(jī)（y）90105110110100110110105根據(jù)考試成績(jī)y與考試次數(shù)x的散點(diǎn)圖可知，滿足回歸直線方程.若將2021年的高考看作第10次模擬考試，根據(jù)回歸直線方程預(yù)測(cè)今年的數(shù)學(xué)高考成績(jī)?yōu)椋?/p>

）A．100 B．102 C．112 D．130【答案】C【分析】計(jì)算出樣本中心點(diǎn)，代入回歸直線方程，求出，從而得到線性回歸方程，再代入求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以回歸直線過點(diǎn)，代入回歸直線方程得，，則回歸直線的方程為，當(dāng)時(shí)，得.故選：C.2．已知具有線性相關(guān)的變量、，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若為原點(diǎn)），則_______.【答案】##-0.125【分析】根據(jù)樣本中心必在回歸直線上即可求解.【詳解】,所以,所以樣本中心為,因?yàn)闃颖局行谋卦诨貧w直線上,所以解得.故答案為：.考點(diǎn)10：最小二乘概念與辨析3．（多選）下列命題是假命題的有（

）A．回歸方程至少經(jīng)過點(diǎn)中的一個(gè)B．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)，則變量y和x之間的負(fù)相關(guān)性很強(qiáng)C．在回歸分析中，決定系數(shù)為0.80的模型比決定系數(shù)為0.98的模型擬合的效果要好D．在回歸方程中，變量時(shí)，變量y的值一定是﹣7【答案】ACD【分析】A：回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，但不一定過；B：相關(guān)系數(shù)為負(fù)，說明y與x成負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越靠近1相關(guān)性越強(qiáng)；C：越大，模型擬合效果越好；D：回歸直線上的點(diǎn)不一定是實(shí)際樣本的值構(gòu)成的點(diǎn).【詳解】對(duì)于A，回歸方程是由最小二乘法計(jì)算出來的，它不一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，一定經(jīng)過，所以A是假命題；對(duì)于B，由相關(guān)系數(shù)的意義，當(dāng)越接近1時(shí)，表示變量y與x之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)，則變量y和x之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，所以B是真命題；對(duì)于C，用決定系數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好，所以C是假命題；對(duì)于D，在回歸方程中，變量時(shí)，變量y的預(yù)測(cè)值是－7，但實(shí)際觀測(cè)值可能不是－7，所以D是假命題.故選：ACD.【變式訓(xùn)練】1．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：

x1234y3579則與的線性回歸方程為必過（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出樣本中心即可得到答案.【詳解】由題意可知：，，與的線性回歸方程必過點(diǎn).故選：.2．根據(jù)散點(diǎn)圖，對(duì)兩個(gè)具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x，y進(jìn)行回歸分析，設(shè)u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計(jì)值是（

）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2【答案】B【解析】將u=lny，v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計(jì)值.【詳解】解：將u=lny，v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得：，即，當(dāng)時(shí)，取到最大值2，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則取到最大值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題，考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題,.考點(diǎn)11：求回歸直線方程例11．網(wǎng)購(gòu)是現(xiàn)代年輕人重要的購(gòu)物方式，截止：2021年12月，我國(guó)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物用戶規(guī)模達(dá)8.42億，較2020年12月增長(zhǎng)5968萬，占網(wǎng)民整體的81.6%．某電商對(duì)其旗下的一家專營(yíng)店近五年來每年的利潤(rùn)額（單位：萬元）與時(shí)間第年進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)得如下數(shù)據(jù)：123452.63.14.56.88.0(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）．（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）(2)試用最小二乘法求出利潤(rùn)y與時(shí)間t的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)的利潤(rùn)額．附：，，．參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】(1)，y與t的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合．(2)，萬元．【分析】（1）先利用公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)r，再按要求進(jìn)行比較，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）先利用公式求得，得到利潤(rùn)y與時(shí)間t的回歸方程，進(jìn)而預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)的利潤(rùn)額．（1）由題表，，因?yàn)?，，，所以．故y與t的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合．（2），，所以．當(dāng)時(shí)，．預(yù)測(cè)該專營(yíng)店在時(shí)的利潤(rùn)為萬元．【變式訓(xùn)練】1．某種產(chǎn)品的廣告支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：x24568y3040605070(1)假定y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程；(2)若廣告支出為10萬元，銷售額應(yīng)為多少？參考公式：線性回歸方程，其中，.【答案】(1)(2)82.5萬元.【分析】第（1）問，利用參考公式分別求出和即可；第（2）問，將x=10代入（1）中線性回歸方程預(yù)測(cè)銷售額.【詳解】（1）解：由已知，，，，，∴，∴，∴關(guān)于的線性回歸方程為：.（2）由（1）中回歸方程，當(dāng)時(shí)，（萬元）因此，若廣告支出為10萬元，銷售額約為82.5萬元.2．2021年是中國(guó)加入世界貿(mào)易組織20周年，“入世”是中國(guó)對(duì)外開放的一個(gè)里程碑，中國(guó)已經(jīng)連續(xù)11年成為貨物貿(mào)易出口第一大國(guó)，經(jīng)濟(jì)全球化是歷史潮流，大勢(shì)所趨.“入世”20年，中國(guó)的發(fā)展證明，世界經(jīng)濟(jì)離不開中國(guó)，中國(guó)發(fā)展也離不開世界.下表是中國(guó)2016~2020這5年來的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）數(shù)據(jù)，已知年份代碼和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈線性相關(guān)關(guān)系.年份20162017201820192020年份代碼x12345國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值y/萬億美元11.212.313.914.314.7(1)求年份代碼x和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值y的回歸直線方程(2)預(yù)測(cè)2022年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.參考數(shù)據(jù)：.參考公式：線性回歸方程中，.【答案】(1)(2)16.88萬億美元【分析】（1）根據(jù)最小二乘法即可求解線性回歸方程，（2）利用線性回歸方程代入即可預(yù)測(cè).【詳解】（1），，，所以，，所以年份代碼x和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值y的回歸直線方程（2）令，得，所以2022年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值大約為16.88萬億美元.知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)1、相關(guān)關(guān)系的分類：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)。2、線性相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線。3．最小二乘法求回歸方程：(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．如果在一次試驗(yàn)中，測(cè)得的四組值分別是、、、，則與的回歸直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入所給的四個(gè)選項(xiàng)中驗(yàn)證，若能夠成立的只有一個(gè)，這一個(gè)就是線性回歸方程．【詳解】解：，，這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是，把樣本中心點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中，只有成立，故選：B．2．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若，，則（

）A．40 B．－17 C．－170 D．4【答案】D【分析】求出樣本中心點(diǎn)，代入求解出.【詳解】由于，∴，.將（3，10）代入，∴，解得：.故選：D.3．某統(tǒng)計(jì)部門對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得相關(guān)性的強(qiáng)弱，即可比較大小.【詳解】由圖可知：所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān)，而且對(duì)應(yīng)的相關(guān)性比對(duì)應(yīng)的相關(guān)性要強(qiáng)，故，所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點(diǎn)的分布情況可知,因此，故選：C4．如圖是變量，的散點(diǎn)圖，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程；，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點(diǎn)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程：，相關(guān)系數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得變量和呈正相關(guān)，剔除點(diǎn)前的擬合效果不及剔除點(diǎn)后的效果，由此可得結(jié)論.【詳解】解：觀察題中散點(diǎn)圖可知，變量和呈正相關(guān)關(guān)系，所以，，剔除點(diǎn)之后，回歸模型的擬合效果更好，所以更接近于1．所以．故選：A．5．如圖5個(gè)數(shù)據(jù)，去掉后，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．相關(guān)系數(shù)r變大 B．相關(guān)指數(shù)變大C．殘差平方和變大 D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)【答案】C【分析】去掉離群點(diǎn)D后，結(jié)合散點(diǎn)圖對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷得解.【詳解】解：由散點(diǎn)圖知，去掉離群點(diǎn)D后，x與y的相關(guān)性變強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)r的值變大，故選項(xiàng)A正確；相關(guān)指數(shù)的值變大，殘差平方和變小，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，故選項(xiàng)D正確.故選：C．6．廣告投入對(duì)商品的銷售額有較大影響，某電商對(duì)連續(xù)5個(gè)年度的廣告費(fèi)x和銷售額y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（單位：萬元）廣告費(fèi)x23456銷售額y2941505971由上表可得回歸方程為，又已知生產(chǎn)該商品的成本（不含廣告費(fèi)）為（單位：萬元），據(jù)此模型預(yù)測(cè)最大的純利潤(rùn)為（

）A．30.15萬元 B．21.00萬元 C．19.00萬元 D．1.50萬元【答案】C【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算的值，進(jìn)而得到的值，根據(jù)題意得出純利潤(rùn)與的函數(shù)關(guān)系，求解一元二次函數(shù)的最值即可.【詳解】解：由表格中數(shù)據(jù)可得，，，∴，解得，∴回歸方程為，純利潤(rùn)為，故當(dāng)時(shí)，有最大值為19，即最大的純利潤(rùn)為19萬元．故選：C．7．如果在一次實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的五組數(shù)值如下表所示：012341015203035經(jīng)計(jì)算知，對(duì)的線性回歸方程是，預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，（

）A．47.5 B．48 C．49 D．49.5【答案】B【分析】根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋詷颖局行狞c(diǎn)為，代入中，得，即，當(dāng)時(shí)，，故選：B8．某產(chǎn)品的營(yíng)銷費(fèi)用（萬元）與凈利潤(rùn)額（萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：345640424551根據(jù)上表可得回歸方程中的為，據(jù)此預(yù)預(yù)營(yíng)銷費(fèi)用為7萬元時(shí)的凈利潤(rùn)額為（

）萬元A．52 B． C．53 D．【答案】D【分析】先求出，代入回歸方程可確定，再將代入回歸方程即可.【詳解】，因?yàn)榛貧w直線過數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，所以，解得.回歸方程，當(dāng)時(shí)，.故選：D.二、多選題9．某公司為了增加某商品的銷